ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Понятие о предмете аналитической геометрии § 2. Координаты § 3. Прямоугольная система координат § 4. Прямоугольные координаты § 5. Координатные углы § 6. Косоугольная система координат § 7. Уравнение линии § 8. Взаимное расположение линии и точки § 9.  § 10. Расстояние между двумя точками § 11. Деление отрезка в данном отношении § 11а. Деление отрезка пополам § 12. Определитель второго порядка § 13. Площадь треугольника § 14. Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с угловым коэффициентом) § 15. Прямая, параллельная оси § 16. Общее уравнение прямой § 17. Построение прямой по ее уравнению § 18. Условие параллельности прямых § 19. Пересечение прямых § 20. Условие перпендикулярности двух прямых § 21. Угол между двумя прямыми § 22. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой § 23. Уравнение прямой, проходящей через две точки § 24. Пучок прямых § 25. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой § 26. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой § 27. Взаимное расположение прямой и пары точек § 28. Расстояние от точки до прямой § 29. Полярные параметры прямой § 30.  2+bx+c§ 51. Директрисы эллипса и гиперболы § 52. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы § 53. Конические сечения § 54. Диаметры конического сечения § 55. Диаметры эллипса § 56. Диаметры гиперболы § 57. Диаметры параболы § 58. Линии второго порядка § 59. Запись общего уравнения второй степени § 60. Упрощение уравнения второй степени; общие замечания § 61. Предварительное преобразование уравнения второй степени § 62. Завершающее преобразование уравнения второй степени § 63. О приемах, облегчающих упрощение уравнения второй степени § 64. Признак распадения линий второго порядка § 65. Нахождение прямых, составляющих распадающуюся линию второго порядка § 66. Инварианты уравнения второй степени § 67. Три типа линий второго порядка § 68. Центральные и нецентральные линии второго порядка § 70. Упрощение уравнения центральной линии второго порядка § 71.  Равносторонняя гипербола как график уравнения y=k/x§ 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q) § 73. Полярные координаты § 74. Связь между полярными и прямоугольными координатами § 75. Архимедова спираль § 76. Полярное уравнение прямой § 77. Полярное уравнение конического сечения АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 78. Понятие о векторах и скалярах § 79. Вектор в геометрии § 80. Векторная алгебра § 81. Коллинеарные векторы § 82. Нуль-вектор § 83. Равенство векторов § 84. Приведение векторов к общему началу § 85. Противоположные векторы § 86. Сложение векторов § 87. Сумма нескольких векторов § 88. Вычитание векторов § 89. Умножение и деление вектора на число § 90. Взаимная связь коллинеарных векторов (деление вектора на вектор) § 91. Проекция точки на ось § 92. Проекция вектора на ось § 93. Основные теоремы о проекциях вектора § 94. Прямоугольная система координат в пространстве § 95.  Координаты точки§ 96. Координаты вектора § 97. Выражения вектора через компоненты и через координаты § 98. Действия над векторами, заданными своими координатами § 99. Выражение вектора через радиусы-векторы его начала и конца § 100. Длина вектора. Расстояние между двумя точками § 101. Угол между осью координат и вектором § 102. Признак коллинеарности (параллельности) векторов § 103. Деление отрезка в данном отношении § 104. Скалярное произведение двух векторов § 104а. Физический смысл скалярного произведения § 105. Свойства скалярного произведения § 107. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей § 108. Условие перпендикулярности векторов § 109. Угол между векторами § 110. Правая и левая системы трех векторов § 111. Векторное произведение двух векторов § 112. Свойства векторного произведения § 113. Векторные произведения основных векторов § 114.  Выражение векторного произведения через координаты сомножителей§ 115. Компланарные векторы § 116. Смешанное произведение § 117. Свойства смешанного произведения § 118. Определитель третьего порядка § 119. Выражение смешанного произведения через координаты сомножителей § 120. Признак компланарности в координатной форме § 121. Объем параллелепипеда § 122. Двойное векторное произведение § 123. Уравнение плоскости § 124. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат § 125. Условие параллельности плоскостей § 126. Условие перпендикулярности плоскостей § 127. Угол между двумя плоскостями § 128. Плоскость, проходящая через данную точку параллельно данной плоскости § 129. Плоскость, проходящая через три точки § 130. Отрезки на осях § 131. Уравнение плоскости в отрезках § 132. Плоскость, проходящая через две точки перпендикулярно данной плоскости § 133. Плоскость, проходящая через данную точку перпендикулярно двум плоскостям § 134.  Точка пересечения трех плоскостей§ 135. Взаимное расположение плоскости и пары точек § 136. Расстояние от точки до плоскости § 137. Полярные параметры плоскости § 138. Нормальное уравнение плоскости § 139. Приведение уравнения плоскости к нормальному виду § 140. Уравнения прямой в пространстве § 142. Пересечение прямой с плоскостью § 143. Направляющий вектор § 144. Углы между прямой и осями координат § 145. Угол между двумя прямыми § 146. Угол между прямой и плоскостью § 147. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости § 148. Пучок плоскостей § 149. Проекции прямой на координатные плоскости § 150. Симметричные уравнения прямой § 151. Приведение уравнений прямой к симметричному виду § 152. Параметрические уравнения прямой § 153. Пересечение плоскости с прямой, заданной параметрически § 154. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки § 155.  Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой§ 156. Уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной плоскости § 157. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую § 158. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум данным прямым § 159. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой § 160. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости § 161. Уравнения перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 162. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую § 163. Условие, при котором две прямые пересекаются или лежат в одной плоскости § 164. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым § 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми § 165а. Правые и левые пары прямых § 166. Преобразование координат § 167. Уравнение поверхности § 168.  Цилиндрические поверхности, у которых образующие параллельны одной из осей координат§ 170. Проекция линии на координатную плоскость § 171. Алгебраические поверхности и их порядок § 172. Сфера § 173. Эллипсоид § 174. Однополостный гиперболоид § 175. Двуполостный гиперболоид § 176. Конус второго порядка § 177. Эллиптический параболоид § 178. Гиперболический параболоид § 179. Перечень поверхностей второго порядка § 180. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка § 181. Поверхности вращения § 182. Определители второго и третьего порядков § 183. Определители высших порядков § 184. Свойства определителей § 185. Практический прием вычисления определителей § 186. Применение определителей к исследованию и решению системы уравнений § 187. Два уравнения с двумя неизвестными § 188. Два уравнения с двумя неизвестными § 189. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными § 190.  Два уравнения с двумя неизвестными§ 190а. Система n уравнений с n неизвестными ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 192. Рациональные числа § 193. Действительные (вещественные) числа § 194. Числовая ось § 195. Переменные и постоянные величины § 196. Функция § 197. Способы задания функции § 198. Область определения функции § 199. Промежуток § 200. Классификация функций § 201. Основные элементарные функции § 202. Обозначение функции § 203. Предел последовательности § 204. Предел функции § 205. Определение предела функции § 206. Предел постоянной величины § 207. Бесконечно малая величина § 208. Бесконечно большая величина § 209. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами § 210. Ограниченные величины § 211. Расширение понятия предепа § 212. Основные свойства бесконечно малых величин § 214. Число е § 215. Предел sinx/x при x стремящемся к 0 § 216.  Эквивалентные бесконечно малые величины§ 217. Сравнение бесконечно малых величин § 217а. Приращение переменной величины § 218. Непрерывность функции в точке § 219. Свойства функций, непрерывных в точке § 219а. Односторонний предел; скачок функции § 220. Непрерывность функции на замкнутом промежутке § 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 223. Скорость § 224. Определение производной функции § 225. Касательная § 226. Производные некоторых простейших функций § 227. Свойства производной § 228. Дифференциал § 229. Механический смысл дифференциала § 230. Геометрический смысл дифференциала § 231. Дифференцируемые функции § 232. Дифференциалы некоторых простейших функций § 233. Свойства дифференциала § 234. Инвариантность выражения f'(x)dx § 235. Выражение производной через дифференциалы § 236. Функция от функции (сложная функция) § 237. Дифференциал сложной функции § 238.  Производная сложной функции§ 239. Дифференцирование произведения § 240. Дифференцирование частного (дроби) § 241. Обратная функция § 242. Натуральные логарифмы § 243. Дифференцирование логарифмической функции § 244. Логарифмическое дифференцирование § 245. Дифференцирование показательной функции § 246. Дифференцирование тригонометрических функций § 247. Дифференцирование обратных тригонометрических функций § 247а. Некоторые поучительные примеры § 248. Дифференциал в приближенных вычислениях § 249. Применение дифференциала к оценке погрешности формул § 250. Дифференцирование неявных функций § 251. Параметрическое задание линии § 252. Параметрическое задание функции § 253. Циклоида § 254. Уравнение касательной к плоской линии § 254а. Касательные к кривым второго порядка § 255. Уравнение нормали § 256. Производные высших порядков § 257. Механический смысл второй производной § 258. Дифференциалы высших порядков § 259.  Выражение высших производных через дифференциалы§ 260. Высшие производные функций, заданных параметрически § 261. Высшие производные неявных функций § 262. Правило Лейбница § 263. Теорема Ролля § 264. Теорема Лагранжа о среднем значении § 265. Формула конечных приращений § 266. Обобщенная теорема о среднем значении (Коши) § 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0 § 268. Раскрытие неопределенности вида бесконесность на бесконечность § 269. Неопределенные выражения других видов § 270. Исторические сведения о формуле Тейлора § 271. Формула Тейлора § 272. Применение формулы Тейлора к вычислению значений функции § 273. Возрастание и убывание функции § 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке § 274а. Признаки возрастания и убывания функции в промежутке § 275. Максимум и минимум § 276. Необходимое условие максимума и минимума § 277. Первое достаточное условие максимума и минимума § 278. Правило нахождения максимумов и минимумов § 279.  Второе достаточное условие максимума и минимума§ 280. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции § 281. Выпуклость плоских кривых; точка перегиба § 282. Сторона вогнутости § 283. Правило для нахождения точек перегиба § 284. Асимптоты § 285. Нахождение асимптот, параллельных координатным осям § 286. Нахождение асимптот, не параллельных оси ординат § 287. Приемы построения графиков § 288. Решение уравнений. Общие замечания § 289. Решение уравнений. Способ хорд § 290. Решение уравнений. Способ касательных § 291. Комбинированный метод хорд и касательных ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 293. Первообразная функция § 294. Неопределенный интеграл § 295. Геометрический смысл интегрирования § 296. Вычисление постоянной интегрирования по начальным данным § 297. Свойства неопределенного интеграла § 298. Таблица интегралов § 299. Непосредственное интегрирование § 300. Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную переменную) § 301.  Интегрирование по частям§ 302. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений § 303. Тригонометрические подстановки § 304. Рациональные функции § 304а. Исключение целой части § 305. О приемах интегрирования рациональных дробей § 306. Интегрирование простейших рациональных дробей § 307. Интегрирование рациональных функций (общий метод) § 308. О разложении многочлена на множители § 309. Об интегрируемости в элементарных функциях § 310. Некоторые интегралы, зависящие от радикалов § 311. Интеграл от биномиального дифференциала § 312. Интегралы вида … § 313. Интегралы вида S R(sinx, cosx)dx § 314. Определенный интеграл § 315. Свойства определенного интеграла § 316. Геометрический смысл определенного интеграла § 317. Механический смысл определенного интеграла § 318. Оценка определенного интеграла § 318а. Неравенство Буняковского § 319. Теорема о среднем интегрального исчисления § 320. Определенный интеграл как функция верхнего предела § 321.  Дифференциал интеграла§ 322. Интеграл дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница § 323. Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного § 324. Определенное интегрирование по частям § 325. Способ подстановки в определенном интеграле § 326. О несобственных интегралах § 327. Интегралы с бесконечными пределами § 328. Интеграл функции, имеющей разрыв § 329. О приближенном вычислении интеграла § 330. Формулы прямоугольников § 331. Формула трапеций § 332. Формула Симпсона (параболических трапеций) § 333. Площади фигур, отнесенных к прямоугольным координатам § 334. Схема применения определенного интеграла § 335. Площади фигур, отнесенных к полярным координатам § 336. Объем тела по поперечным сечениям § 337. Объем тела вращения § 338. Длина дуги плоской линии § 339. Дифференциал дуги § 340. Длина дуги и ее дифференциал в полярных координатах § 341. Площадь поверхности вращения ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ § 342.  Кривизна§ 343. Центр, радиус и круг кривизны плоской линии § 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии § 345. Эволюта плоской линии § 346. Свойства эволюты плоской линии § 347. Развертка (эвольвента) плоской линии § 348. Параметрическое задание пространственной линии § 349. Винтовая линия § 350. Длина дуги пространственной линии § 351. Касательная к пространственной линии § 352. Нормальная плоскость § 353. Вектор-функция скалярного аргумента § 354. Предел вектор-функции § 355. Производная вектор-функции § 356. Дифференциал вектор-функции § 357. Свойства производной и дифференциала вектор-функции § 358. Соприкасающаяся плоскость § 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник § 360. Взаимное расположение линии и плоскости § 361. Основные векторы сопутствующего трехгранника § 362. Центр, ось и радиус кривизны пространственной линии § 363. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны пространственной линии § 364.  О знаке кривизны§ 365. Кручение РЯДЫ § 367. Определение ряда § 368. Сходящиеся и расходящиеся ряды § 369. Необходимое условие сходимости ряда § 370. Остаток ряда § 371. Простейшие действия над рядами § 372. Положительные ряды § 373. Сравнение положительных рядов § 374. Признак Даламбера для положительного ряда § 375. Интегральный признак сходимости § 376. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница § 377. Абсолютная и условная сходимость § 378. Признак Даламбера для произвольного ряда § 379. Перестановка членов ряда § 380. Группировка членов ряда § 381. Умножение рядов § 382. Деление рядов § 383. Функциональный ряд § 384. Область сходимости функционального ряда § 385. О равномерной и неравномерной сходимости § 386. Определение равномерной и неравномерной сходимости § 387. Геометрический смысл равномерной и неравномерной сходимости § 388. Признак равномерной сходимости; правильные ряды § 389. Непрерывность суммы ряда § 390.  Интегрирование рядов§ 391. Дифференцирование рядов § 392. Степенной ряд § 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда § 394. Нахождение радиуса сходимости § 395. Область сходимости ряда, расположенного по степеням х – х0 § 396. Теорема Абеля § 397. Действия со степенными рядами § 398. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда § 399. Ряд Тейлора § 400. Разложение функции в степенной ряд § 401. Разложение элементарных функций в степенные ряды § 402. Применение рядов к вычислению интегралов § 403. Гиперболические функции § 404. Обратные гиперболические функции § 405. Происхождение наименований гиперболических функций § 406. О комплексных числах § 407. Комплексная функция действительного аргумента § 408. Производная комплексной функции § 409. Возведение положительного числа в комплексную степень § 410. Формула Эйлера § 411. Тригонометрический ряд § 412. Исторические сведения о тригонометрических рядах § 413.  Ортогональность системы функций cos nx, sin nx§ 414. Формулы Эйлера-Фурье § 415. Ряд Фурье § 416. Ряд Фурье для непрерывной функции § 417. Ряд Фурье для четной и нечетной функции § 418. Ряд Фурье для разрывной функции ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ АРГУМЕНТОВ § 420. Функция трех и большего числа аргументов § 421. Способы задания функций нескольких аргументов § 422. Предел функции нескольких аргументов § 424. Непрерывность функции нескольких аргументов § 425. Частные производные § 426. Геометрический смысл частных производных для случая двух аргументов § 427. Полное и частное приращения § 428. Частный дифференциал § 429. О выражении частной производной через дифференциал § 430. Полный дифференциал § 431. Геометрический смысл полного дифференциала (случай двух аргументов) § 432. Инвариантность выражения … полного дифференциала § 433. Техника дифференцирования § 434. Дифференцируемые функции § 435.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности§ 436. Уравнение касательной плоскости § 437. Уравнения нормали § 438. Дифференцирование сложной функции § 439. Замена прямоугольных координат полярными § 440. Формулы для производных сложной функции § 441. Полная производная § 442. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных § 443. Частные производные высших порядков § 444. Полные дифференциалы высших порядков § 445. Техника повторного дифференцирования § 446. Условное обозначение дифференциалов § 447. Формула Тейлора для функции нескольких аргументов § 448. Экстремум (максимум и минимум) функции нескольких аргументов § 449. Правило нахождения экстремума § 450. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов) § 451. Двойной интеграл § 452. Геометрический смысл двойного интеграла § 453. Свойства двойного интеграла § 454. Оценка двойного интеграла § 455. Вычисление двойного интеграла (простейший случай) § 456.  Вычисление двойного интеграла (общий случай)§ 457. Функция точки § 458. Выражение двойного интеграла через полярные координаты § 459. Площадь куска поверхности § 460. Тройной интеграл § 461. Вычисление тройного интеграла (простейший случай) § 462. Вычисление тройного интеграла (общий случай) § 463. Цилиндрические координаты § 464. Выражение тройного интеграла через цилиндрические координаты § 465. Сферические координаты § 466. Выражение тройного интеграла через сферические координаты § 467. Схема применения двойного и тройного интегралов § 468. Момент инерции § 471. Криволинейный интеграл § 472. Механический смысл криволинейного интеграла § 473. Вычисление криволинейного интеграла § 474. Формула Грина § 475. Условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от пути § 476. Другая форма условия предыдущего параграфа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 478. Уравнение первого порядка § 479. Геометрический смысл уравнения первого порядка § 480.  Изоклины§ 481. Частное и общее решения уравнения первого порядка § 482. Уравнения с разделенными переменными § 483. Разделение переменных. Особое решение § 484. Уравнение в полных дифференциалах § 484а. Интегрирующий множитель § 485. Однородное уравнение § 486. Линейное уравнение первого порядка § 487. Уравнение Клеро § 488. Огибающая § 489. Об интегрируемости дифференциальных уравнений § 490. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка по методу Эйлера § 491. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 492. О составлении дифференциальных уравнений § 493. Уравнение второго порядка § 494. Уравнение n-го порядка § 495. Случаи понижения порядка § 496. Линейное уравнение второго порядка § 497. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами § 498. Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами без правой части § 498а. Связь между случаями 1 и 3 § 498 § 499.  Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью§ 500. Линейные уравнения любого порядка § 501. Метод вариации постоянных § 502. Системы дифференциальных уравнений. Линейные системы НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ § 503. Строфоида § 504. Циссоида Диокла § 505. Декартов лист § 506. Верзьера Аньези § 507. Конхоида Никомеда § 508. Улитка Паскаля; кардиоида § 509. Линия Кассини § 510. Лемниската Бернулли § 511. Архимедова спираль § 512. Эвольвента (развертка) круга § 513. Логарифмическая спираль § 514. Циклоиды § 515. Эпициклоиды и гипоциклоиды § 516. Трактриса § 517. Цепная линия |
6. Оценка двойного интеграла снизу и сверху: если , то где s
Теорема |
(О
среднем значении для двойного интеграла).
Если f(x;y) — непрерывна на замкнутой области D, то существует — некая «средняя» точка области:
Доказательство Если f(x;y) непрерывна на D, то существуют наименьшее m и наибольшее М значения функции f(x;y), т.е. по свойству 6 имеем: то есть число I/S находится между m и М.
Но непрерывная функция f(x;y) принимает все промежуточные от m до М значения существует точка : ,и теорема 2.2 доказана.
******************
3.
Замена переменных в двойном интеграле.Теорема.
Пусть двойной интеграл преобразуется от прямоугольных декартовых координат (x,y) к криволинейным u и v, связанными с прямоугольными соотношением
x=φ(u,v)
y=ψ(u,v)
где φ(u,v) и ψ(u,v) – функции устанавливающие взаимно однозначное соответствие между областью D плоскости Oxy и областью G плоскости Ouv, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в области G, причем определитель преобразования (определитель Якоби)
в области G, тогда имеет место следующее соотношение
—
формула замены переменных в двойном
интеграле.
4.Вычисление двойного интеграла в Декартовой системе координат.
1.Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для правильной области
Теорема |
Пусть область D — правильная в отношении оси Ох (рис. 2.6.) Тогда в этом случае область D может быть задана одной системой неравенств:
Если существует двойной интеграл (это возможно, например, если f(x;y) непрерывна на D), то его можно вычислить через повторный кратный интеграл так: При этом внутренний интеграл по у находится при постоянном х.
Данное
представление (2.
11) получается из
определения двойного интеграла при
специальном способе разбиения области D на n «мелких» частей (линиями, параллельными
либо Ох,
либо Оу — прямоугольной «шахматной» сеткой.
А затем выполняется суммирование
«объёмов» ΔVi сначала по оси Оу,
а затем по оси Ох).
2. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат для неправильной области
Если область D является неправильной в отношении обеих осей, то ее разбивают на конечное число правильных областей.
********************
5.Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
Пусть на плоскости Оху одновременно введена и полярная система координат Orφ (рис. 2.9):
Оp — полярная ось, которая совпадает с осью Ох; φ — полярный угол; r — полярный радиус точки М.
Тогда, как известно:
Для полярной системы координатная сетка представляет собой пересечение окружностей увеличивающихся радиусов r с лучами, выходящими из точки О под возрастающими углами φ к полярной оси (рис. 2.10).
Рассмотрим элементарный участок полярной сетки (рис. 2.11).
Тогда его площадь ΔS можно найти как разность площадей S1 и S2 полярных секторов радиусов r+Δr и r с раствором угла Δφ:
При Δr 0, Δφ 0 получаем ΔS≈ r·Δr·Δφ.
Таким образом, при замене переменных по формуле (2.12) дифференциал площади в полярной системе координат преобразуется так:
(Напомним, что в декартовой системе координат Оху прямоугольная сетка дает dS=dx·dy.)
Замечание. |
Формулу (2.13) можно получить и по-другому, используя Якобиан J — «коэффициент искажения» площади при переходе к другой системе координат. А именно
что совпадает с (2.13).
Теорема |
Если область D — является правильной в полярной системе координат Оrφ, то двойной интеграл в этих координатах вычисляется так:
2\справа.
= \ гидроразрыв {4} {6} = \ гидроразрыв {2} {3}.
\конец{выравнивание*}
Как и должно быть, этот повторный интеграл дает тот же ответ.Пример 2
Прямоугольные области просты, потому что пределы ($a \le x \le b$ и $c \le y \le d$) фиксированы, то есть диапазоны $x$ и $y$ не зависят друг от друга. Для регионов другой формы диапазон одной переменной будет зависеть от другой. Вот пример где мы интегрируем по области, определяемой $0 \le x \le 2$ и $0 \ле у \ле х/2$. Тот факт, что диапазон $y$ зависит от $x$, означает, что эта область не является прямоугольником. На самом деле область представляет собой треугольник, изображенный ниже. 92$ как в примере 1, вычислить $\iint_\dlr f\,dA$ где $\dlr$ — указанный выше треугольник.
Решение : Треугольник немного сложнее прямоугольника, потому что пределы одной переменной будут зависеть от другой переменной. Для треугольника, заданного $0 \le x \le 2$
и $0 \le y \le x/2$, пределы $y$ зависят от $x$. Для данного
значение $x$, $y$ находится в диапазоне от 0 до $x/2$, как показано выше
вертикальная пунктирная линия от $(x,0)$ до $(x,x/2)$.
2\вправо. = \frac{32}{5 \cdot 24} = \frac{4}{15}.
\конец{выравнивание*}
Пример 2′
Теперь вычислите интеграл по тому же треугольнику $\dlr$, но сделайте $y$ — внешняя переменная интегрирования.
Решение : Теперь нам нужно указать постоянные пределы для $y$. Как показано ниже, общий диапазон $y$ внутри треугольника находится между от $0$ до $1$. Тогда для заданного значения $y$ $x$ принимает вид значения между $2y$ и $2$ (как показано горизонтальной пунктирной линией между $(2y,y)$ и $(2,y)$). Следовательно, мы можем описать треугольник как $0 \le y \le 1$ и $2y \le x \le 2$.
Вас смущает, что пределы $x$ составляют $2y \le x \le 2$, а
чем $0 \le x \le 2$ (что было бы более близко к приведенному выше
Пример 2)? Если мы допустим $x$ в диапазоне от $0$ до $2y$, то треугольник
будет верхний левый треугольник на картинке выше. Мы хотим
вычислить интеграл по области $\dlr$, которая является нижним правым
треугольник, заштрихованный красным.
В этом треугольнике $y \lt x/2$ (как использовано выше в
Пример 2), что означает, что для этого примера мы должны использовать $x > 2y$. 91\\
&= 2 \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{5} -(0-0)\right)\\
&= 2 \cdot \frac{2}{15} \goodbreak = \frac{4}{15}.
\конец{выравнивание*}
К счастью, это согласуется с ответом, полученным в примере 2.
Другие примеры
Чтобы перейти от примера 2 к примеру 2′, мы «изменили порядок интеграция». Ты можешь видеть более примеры изменения порядка интегрирования в double интегралы. Вы также можете увидеть больше примеров двойных интегралов из частных случаев интерпретации двойных интегралов как площади и двойных интегралов как объема.
Исчисление III. Двойные интегралы по общим областям
Онлайн-заметки Пола
Главная
/
Исчисление III
/
Несколько интегралов
/ Двойные интегралы по общим областям
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Уведомление для мобильных устройств
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т.
е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 15.3: Двойные интегралы по общим областям
В предыдущем разделе мы рассмотрели двойные интегралы по прямоугольным областям. Проблема в том, что большинство областей не прямоугольные, поэтому теперь нам нужно взглянуть на следующий двойной интеграл,
. \[\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\]
где \(D\) — любой регион.
Есть два типа регионов, на которые нам нужно обратить внимание. Вот набросок обоих.
Мы будем часто использовать обозначение построителя набора для описания этих регионов.
Вот определение региона в случае 1
. \[D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|a \le x \le b,\,\,{g_1}\left( x \right) \le y \le {g_2 }\влево( х \вправо)} \вправо\}\]
, а вот определение региона в случае 2.
\[D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|{h_1}\left( y \right) \le x \le {h_2}\left( y \right),\,c \le y \le d} \right\}\]
Это обозначение на самом деле просто причудливый способ сказать, что мы собираемся использовать все точки \(\left( {x,y} \right)\), в которых обе координаты удовлетворяют двум заданным неравенствам. 9{{{h_{\,2}}\left( y \right)}}{{f\left( {x,y} \right)\,dx}}\,dy}}\]
Вот некоторые свойства двойного интеграла, которые мы должны рассмотреть, прежде чем приступать к некоторым примерам. Обратите внимание, что все три из этих свойств на самом деле являются просто расширениями свойств одиночных интегралов, которые были распространены на двойные интегралы.
Свойства
- \(\displaystyle \iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right) + g\left( {x,y} \right)\,dA}} = \iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}} + \iint\limits_{D}{{g\left( {x,y} \right)\, дА}}\)
- \(\displaystyle \iint\limits_{D}{{cf\left( {x,y} \right)\,dA}} = c\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y } \right)\,dA}}\), где \(c\) — любая константа.
- Если область \(D\) можно разделить на две отдельные области \({D_1}\) и \({D_2}\), то интеграл можно записать в виде
\[\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}} = \iint\limits_{{{D_1}}}{{f\left( {x,y } \right)\,dA}} + \iint\limits_{{{D_2}}}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\]
92} — 40y\,dA}}\), \(D\) — треугольник с вершинами \(\left( {0,3} \right)\), \(\left( {1,1} \right )\) и \(\left( {5,3} \right)\). Показать решение
В этот раз мы получили еще меньше информации о регионе. Давайте начнем с наброска треугольника.
Поскольку у нас есть две точки на каждом ребре, легко получить уравнения для каждого ребра, поэтому мы оставляем вам проверку уравнений.
Есть два способа описать этот регион. Если мы используем функции \(x\), как показано на изображении, нам придется разбить область на две разные части, поскольку нижняя функция отличается в зависимости от значения \(x\). В этом случае регион будет задан как \(D = {D_1} \cup {D_2}\), где
\[\begin{align*}{D_1} & = \left\{ {\left( {x,y} \right)|0 \le x \le 1,\,\,\, — 2x + 3 \le y \le 3} \right\}\\ {D_2} & = \left\{ {\left( {x,y} \right)|1 \le x \le 5,\,\,\,\frac{ 1}{2}x + \frac{1}{2} \le y \le 3} \right\}\end{align*}\]
Обратите внимание, что \( \cup \) — это символ «объединения», который просто означает, что \(D\) — это область, которую мы получаем, объединяя две области. Если мы сделаем это, нам нужно будет сделать два отдельных интеграла, по одному для каждой из областей.
Чтобы избежать этого, мы могли бы изменить ситуацию и решить два уравнения для \(x\), чтобы получить
\[\begin{align*}y & = — 2x + 3\hspace{0.
5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = — \frac{1}{2}y + \frac{3}{2} \\ y & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = 2y — 1\end{align*}\]Если мы сделаем это, то заметим, что одна и та же функция всегда справа и одна и та же функция всегда слева, поэтому область равна 9.0003
\[D = \left\{ {\left( {x,y} \right)|\,\, — \frac{1}{2}y + \frac{3}{2} \le x \le 2y — 1,\,\,\,1 \le y \le 3} \right\}\]
Запись области в этой форме означает выполнение одного интеграла вместо двух интегралов, которые нам пришлось бы делать в противном случае.
Любой способ должен дать один и тот же ответ, поэтому мы можем получить пример в примечаниях к разделению области, давайте сделаем оба интеграла.
Решение 1 95\\ & = — \frac{{935}}{3}\end{align*}\]
Было много работы. Обратите внимание, однако, что после того, как мы сделали первую замену, мы не умножили все.
Два квадратичных члена можно легко интегрировать с помощью базовой замены Calc I, поэтому мы не удосужились их перемножить. Мы будем делать это при случае, чтобы сделать некоторые из этих интегралов немного проще.Решение 2
Это решение потребует гораздо меньше работы, так как мы будем вычислять только один интеграл. 93\\ & = — \frac{{935}}{3}\end{align*}\]Итак, цифры были немного беспорядочнее, но в остальном для того же результата требовалось гораздо меньше работы. Также обратите внимание, что мы снова не вырезали два термина в кубе, так как с ними легче работать, используя замену Calc I.
Как показала нам последняя часть предыдущего примера, мы можем интегрировать эти интегралы в любом порядке ( т.е. \(x\) с последующим \(y\) или \(y\) с последующим \(x\) ), хотя часто один заказ будет проще другого. На самом деле будут времена, когда будет невозможно выполнить интеграл даже в одном порядке, в то время как можно будет выполнить интеграл в другом порядке.
Также не забывайте о заменах в исчислении I. Студенты часто просто спешат и умножают все после выполнения интегральной оценки и в конечном итоге пропускают действительно простую замену исчисления I, которая позволяет избежать хлопот с умножением всего. Подстановки в исчислении I не всегда обнаруживаются, но когда они появляются, они почти всегда упрощают работу для остальной части задачи.
Давайте посмотрим на пару примеров таких интегралов.
Пример 2 Оцените следующие интегралы, сначала поменяв порядок интегрирования на обратный. 92}\) перед экспонентой, чтобы выполнить интегрирование \(y\). Мы будем надеяться, что если мы обратим порядок интегрирования, мы получим интеграл, который мы можем сделать.
Теперь, когда мы говорим, что собираемся изменить порядок интегрирования, это означает, что мы хотим сначала интегрировать по \(x\), а затем по \(y\). Обратите также внимание, что мы не можем просто поменять местами интегралы, сохранив исходные пределы, и покончить с этим.
Это не решит нашу первоначальную проблему, и для интегрирования по \(x\) мы не можем иметь \(x\) в пределах интегралов. Даже если мы проигнорировали это, ответ не был бы постоянным, как это должно быть. 92}\) на нижней границе и \(y = 9\) на верхней границе, лежащей между \(x = 0\) и \(x = 3\). Вот набросок этого региона.Поскольку мы хотим интегрировать по \(x\), сначала нам нужно определить пределы \(x\) (вероятно, в терминах \(y\)) и затем получить пределы по \(y\ ) х. Вот они для этого региона.
\[\begin{array}{c}0 \le x \le \sqrt y \\ 0 \le y \le 9\end{array}\] 94} + 1} \,dx}}\,dy}}\) Показать решение
Как и в случае с первым интегралом, мы не можем сделать этот интеграл, сначала проинтегрировав по \(x\), поэтому будем надеяться, что, изменив порядок интегрирования на обратный, мы получим то, что сможем проинтегрировать. Вот пределы для переменных, которые мы получаем из этого интеграла.
\[\begin{массив}{c}\sqrt[3]{y} \le x \le 2\\ 0 \le y \le 8\end{массив}\]
а вот набросок этого региона. 9{\frac{3}{2}}} — 1} \right)\end{align*}\]
Последняя тема этого раздела — две геометрические интерпретации двойного интеграла. Первая интерпретация является расширением идеи, которую мы использовали для развития идеи двойного интеграла в первом разделе этой главы. Мы сделали это, взглянув на объем тела, которое было ниже поверхности функции \(z = f\left({x,y} \right)\) и над прямоугольником \(R\) в \( ху\)-плоскость. Эту идею можно распространить на более общие регионы. 92}\).
Показать решение
Вот график поверхности, и мы попытались показать область в плоскости \(xy\) под поверхностью.
Вот набросок области в плоскости \(xy\) сам по себе.
Приравняв два ограничивающих уравнения, мы увидим, что они пересекаются в точках \(x = 2\) и \(x = — 2\).
2}\end{массив}\]
92 = \frac{{12800}}{3}\end{align*}\]Пример 4. Найдите объем тела, заключенного в плоскости \(4x + 2y + z = 10\), \(y = 3x\), \(z = 0\), \(x = 0\).
Показать решение
Этот пример немного отличается от предыдущего. Здесь область \(D\) явно не указана, поэтому нам нужно ее найти. Во-первых, обратите внимание, что последние две плоскости на самом деле говорят нам, что мы не пройдем дальше плоскости \(xy\) и плоскости \(yz\), когда доберемся до них.
Первая плоскость, \(4x + 2y + z = 10\), является верхней частью объема, поэтому мы действительно ищем нижний объем,
\[г = 10 — 4х — 2у\]
и выше область \(D\) в плоскости \(xy\). Вторая плоскость \(y = 3x\) (да, это плоскость) дает одну из сторон объема, как показано ниже.
Область \(D\) будет областью в \(xy\)-плоскости ( т.
е. \(z = 0\)), которая ограничена \(y = 3x\), \(x = 0\), и линия, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость. Мы можем определить, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость, подставив в нее \(z = 0\).\[0 + 4x + 2y = 10\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}2x + y = 5\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}y = — 2x + 5\]
Итак, вот набросок региона \(D\).
Область \(D\) — это место, где это тело будет располагаться на плоскости \(xy\), и вот неравенства, определяющие область.
\[\begin{array}{c}0 \le x \le 1\\ 3x \le y \le — 2x + 5\end{массив}\] 91 = \frac{{25}}{3}\end{align*}\]
Обратите внимание, что в более общем случае
\[V = \iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\]
дает чистый объем между графиком \(z = f\left( {x,y} \right)\) и областью \(D\) в \(xy\)-плоскости.
5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = — \frac{1}{2}y + \frac{3}{2} \\ y & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = 2y — 1\end{align*}\]
Два квадратичных члена можно легко интегрировать с помощью базовой замены Calc I, поэтому мы не удосужились их перемножить. Мы будем делать это при случае, чтобы сделать некоторые из этих интегралов немного проще.
Это не решит нашу первоначальную проблему, и для интегрирования по \(x\) мы не можем иметь \(x\) в пределах интегралов. Даже если мы проигнорировали это, ответ не был бы постоянным, как это должно быть. 92}\) на нижней границе и \(y = 9\) на верхней границе, лежащей между \(x = 0\) и \(x = 3\). Вот набросок этого региона.
2}\end{массив}\]
92 = \frac{{12800}}{3}\end{align*}\]
е. \(z = 0\)), которая ограничена \(y = 3x\), \(x = 0\), и линия, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость. Мы можем определить, где \(z + 4x + 2y = 10\) пересекает \(xy\)-плоскость, подставив в нее \(z = 0\).