2+n-72)=1/(n+9)Решение высшей математики онлайн
‹— Назад
Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , где — число, называется гиперболой. Однако это — частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).
Определение 12.5 Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.
Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось направим вдоль этого отрезка, а ось ординат — перпендикулярно к нему.
Теорема 12.3 Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна .
Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение
| (12.8) |
где
| (12.9) |
Доказательство. Пусть — текущая точка гиперболы (рис. 12.9).
Рис.12.9.
Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть , . В силу последнего неравенства вещественное число , определяемое формулой (12.9), существует.
По условию, фокусы — , . По формуле (10.4) для случая плоскости получаем
По определению гиперболы
Это уравнение запишем в виде
Обе части возведем в квадрат:
После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству
Опять обе части возведем в квадрат:
Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим
С учетом формулы (12.
9) уравнение принимает вид
Разделим обе части уравнения на и получим уравнение (12.8)
Уравнение (12.8) называется каноническим уравнением гиперболы.
Предложение 12.3 Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси и , а начало координат — центр симметрии гиперболы.
Доказательство. Проводится аналогично доказательству предложения 12.1.
Проведем построение гиперболы, заданной уравнением (12.8). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнения как функцию , при условии, что ,
и построим график этой функции.
Область определения — интервал , , функция монотонно растет.
Производная
существует во всей области определения, кроме точки . Следовательно, график — гладкая кривая (без углов). Вторая производная
во всех точках интервала отрицательна, следовательно, график — выпуклый вверх.
Проверим график на наличие асимптоты при . Пусть асимптота имеет уравнение . Тогда по правилам математического анализа
Выражение под знаком предела домножим и разделим на . Получим
Итак, график функции имеет асимптоту . Из симметрии гиперболы следует, что — тоже асимптота. Остается неясным характер кривой в окрестности точки , а именно, образует ли график и симметричная ему относительно оси часть гиперболы в этой точке угол или гипербола в этой точке — гладкая кривая (есть касательная).
Для решения этого вопроса выразим из уравнения (12.8) через :
Очевидно, что данная функция имеет производную в точке , , и в точке у гиперболы есть вертикальная касательная. По полученным данным рисуем график функции (рис. 12.10).
Рис.12.10.График функции
Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую рисунка 12.11.
Рис.12.11.Гипербола
Определение 12.6 Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (12.8), с осью называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками и называется мнимой осью. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина называется эксцентриситетом гиперболы.
Замечание 12.3 Из равенства (12.9) следует, что , то есть у гиперболы . Эксцентриситет характеризует угол между асимптотами, чем ближе к 1, тем меньше этот угол.
Замечание 12.4 В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинами и может быть произвольным. В частности, при мы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение имеет знакомый вид , если взять , а оси и направить по биссектрисам четвертого и первого координатных углов (рис. 12.12).
Рис.12.12.Равносторонняя гипербола
Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к асимптотам и похожую на кривую рисунка 12.
10.
Пример 12.4 Постройте гиперболу , найдите ее фокусы и эксцентриситет.
Решение. Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение
, . Проводим асимптоты и строим гиперболу (рис. 12.13).
Рис.12.13.Гипербола
Из формулы (12.9) получим . Тогда фокусы — , , .
Пример 12.5 Постройте гиперболу . Найдите ее фокусы и эксцентриситет.
Решение. Преобразуем уравнение к виду
Данное уравнение не является каноническим уравнением гиперболы, так как знаки перед и противоположны знакам в каноническом уравнении. Однако, если переобозначить переменные , , то в новых переменных получим каноническое уравнение
Действительная ось этой гиперболы лежит на оси , то есть на оси исходной системы координат, асимптоты имеют уравнение , то есть уравнение в исходных координатах.
Действительная полуось равна 5, мнимая — 2. В соответствии с этими данными проводим построение (рис. 12.14).
Рис.12.14.Гипербола с уравнением
Из формулы (12.9) получим , , фокусы лежат на действительной оси — , , где координаты указаны в исходной системе координат.
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
Калькулятор гиперболы — eMathHelp
Этот калькулятор найдет либо уравнение гиперболы по заданным параметрам, либо центр, фокусы, вершины, ко-вершины, (полу)длину большой оси, (полу)длину малой оси, латеральную прямую, длина латерального отдела прямой кишки (ширина фокуса), параметр фокуса, эксцентриситет, линейный эксцентриситет (фокусное расстояние), директрисы, асимптоты, точки пересечения x, точки пересечения y, домен и диапазон введенной гиперболы.
Кроме того, он будет отображать гиперболу. Шаги доступны.
Связанные калькуляторы: Калькулятор параболы, Калькулятор окружности, Калькулятор эллипса, Калькулятор конического сечения
Тип:
из уравненияиз данных
Уравнение:
Если калькулятор что-то не рассчитал, или вы обнаружили ошибку, или у вас есть предложение/отзыв, пожалуйста, напишите его в комментариях ниже. 9{2}} = 3 \sqrt{5}$$$.
Эксцентриситет равен $$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$$.
Первый фокус $$$\left(h — c, k\right) = \left(- 3 \sqrt{5}, 0\right)$$$.
Второй фокус $$$\left(h + c, k\right) = \left(3 \sqrt{5}, 0\right)$$$.
Первая вершина $$$\left(h — a, k\right) = \left(-6, 0\right)$$$.
Вторая вершина $$$\left(h + a, k\right) = \left(6, 0\right)$$$.
Первая ковершина $$$\left(h, k — b\right) = \left(0, -3\right)$$$. 9{2}}{c} = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$$$.
Первая асимптота: $$$y = — \frac{b}{a} \left(x — h\right) + k = — \frac{x}{2}$$$.
Вторая асимптота: $$$y = \frac{b}{a} \left(x — h\right) + k = \frac{x}{2}$$$.
Х-пересечения можно найти, установив $$$y = 0$$$ в уравнении и решив $$$x$$$ (шаги см. в калькуляторе перехватов).
x-отрезки: $$$\left(-6, 0\right)$$$, $$$\left(6, 0\right)$$$
y-отрезки можно найти, установив $ $$x = 0$$$ в уравнении и решение для $$$y$$$: (шаги см. в калькуляторе перехватов). 9{2}}{4}$$$А.
График: см. графический калькулятор.
Центр: $$$\влево(0, 0\вправо)$$$A.
Первый фокус: $$$\влево(- 3 \sqrt{5}, 0\вправо)\приблизительно \влево(-6,708203932499369, 0\вправо)$$$A.
Второй фокус: $$$\влево(3\sqrt{5}, 0\вправо)\приблизительно \влево(6,708203932499369, 0\вправо)$$$A.
Первая вершина: $$$\left(-6, 0\right)$$$A.
Вторая вершина: $$$\left(6, 0\right)$$$A.
Первая ковершина: $$$\left(0, -3\right)$$$A.
Вторая ковершина: $$$\left(0, 3\right)$$$A.
Длина по главной (поперечной) оси: $$$12$$$A.
Длина большой полуоси: $$$6$$$A.
Длина малой (сопряженной) оси: $$$6$$$A.
Длина малой полуоси: $$$3$$$A.
Первая широкая прямая кишка: $$$x = — 3 \sqrt{5}\приблизительно -6,708203932499369$$$A.
Вторая широкая прямая кишка: $$$x = 3 \sqrt{5}\приблизительно 6,708203932499369$$$A.
Концы первой широкой прямой кишки: $$$\left(- 3 \sqrt{5}, — \frac{3}{2}\right)\приблизительно \left(-6,708203932499369, -1,5\right) $$$, $$$\left(- 3 \sqrt{5}, \frac{3}{2}\right)\приблизительно \left(-6,708203932499369, 1,5\right)$$$A.
Концы второй широкой прямой кишки: $$$\left(3 \sqrt{5}, — \frac{3}{2}\right)\приблизительно \left(6.708203932499369, -1.5\right)$$ $, $$$\left(3\sqrt{5}, \frac{3}{2}\right)\приблизительно \left(6.708203932499369, 1,5\справа)$$$А.
Длина латерального отдела прямой кишки (ширина фокуса): $$$3$$$A.
Параметр фокуса: $$$\frac{3 \sqrt{5}}{5}\приблизительно 1,341640786499874$$$A.
Эксцентриситет: $$$\frac{\sqrt{5}}{2}\приблизительно 1,118033988749895$$$A.
Линейный эксцентриситет (фокусное расстояние): $$$3 \sqrt{5}\приблизительно 6,708203932499369$$$A.
Первая направляющая: $$$x = — \frac{12 \sqrt{5}}{5}\приблизительно -5,366563145999495$$$А.
Вторая направляющая: $$$x = \frac{12 \sqrt{5}}{5}\примерно 5,366563145999495$$$A.
Первая асимптота: $$$y = — \frac{x}{2} = — 0,5 x$$$A.