Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. | |||||||||
| Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Комплексные числа. Мнимая единица. Поделиться:
| ||||||||
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. | |||||||||
Коды баннеров проекта DPVA.ru Консультации и техническая | Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator | ||||||||
/ / Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел. Тригонометрическая форма представления, формула Муавра и корень n-ной степени из комплексного числа
Деление. 
Деление комплексных чисел
Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы
База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны
Деление на число и деление заданных комплексных чисел выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.
Определение 1
Делением заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на некоторое действительное число $k\ne 0$ является комплексное число, которое определяется равенством \[\frac{z}{k} =\frac{a+b\cdot i}{k} =\frac{a}{k} +\frac{b}{k} \cdot i.\]
Пример 1
Выполнить деление заданных комплексных чисел на число $k=\sqrt{3} $:
1) $z_{1} =\sqrt{3} +\sqrt{3} \cdot i$; 2) $z_{2} =5-4\cdot i$; 3) $z_{3} =\sqrt{3} \cdot i$.
Решение:
Для деления заданных комплексных чисел на действительное число воспользуемся определением и получим:
1) $\frac{z_{1} }{k} =\frac{z_{1} }{\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} +\sqrt{3} \cdot i}{\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } +\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \cdot i=1+1\cdot i$;
2) $\frac{z_{2} }{k} =\frac{z_{2} }{\sqrt{3} } =\frac{5-4\cdot i}{\sqrt{3} } =\frac{5}{\sqrt{3} } -\frac{4}{\sqrt{3} } \cdot i$;
3) $\frac{z_{3} }{k} =\frac{z_{3} }{\sqrt{3} } =\frac{0+\sqrt{3} \cdot i}{\sqrt{3} } =\frac{0}{\sqrt{3} } +\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \cdot i=0+1\cdot i=i$.
{2} } .\]
Примечание 3
Графическая интерпретация операции деления заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на число $k\, \, (|k|>1)$: длина радиус-вектора, изображающего исходное комплексное число, уменьшается в $|k|$ раз (радиус-вектор становится короче в $|k|$ раз).
Примечание 4
Графическая интерпретация операции умножения заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на число $k\, \, (|k|
Иллюстрация примера деления заданного комплексного числа $z=a+b\cdot i$ на число $k_{1} =2,\, \, k_{2} =\frac{1}{4} $ с использованием комплексной плоскости приведена на рис.1-2.
Рис. 1
Рис. 2
Определение 2
Частным двух заданных комплексных чисел в тригонометрической форме представления $z_{1} =r_{1} \cdot (\cos \varphi _{1} +i\sin \varphi _{1} )$ и $z_{2} =r_{2} \cdot (\cos \varphi _{2} +i\sin \varphi _{2} )$ ($r_{2} \ne 0$) является комплексное число, которое определяется равенством
\[z_{1} \cdot z_{2} =\frac{r_{1} }{r_{2} } \cdot [\cos (\varphi _{1} -\varphi _{2} )+i\sin (\varphi _{1} -\varphi _{2} )].
\]
Пример 2
Выполнить деление заданных комплексных чисел:
1) $z_{1} =\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} )$ и $z_{2} =2\cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} )$; 2) $z_{1} =4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$ и $z_{2} =5\cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )$.
Решение:
Для деления заданных комплексных чисел воспользуемся определением и получим:
1)
\[\begin{array}{l} {\frac{z_{1} }{z_{2} } =\left(\sqrt{3} \cdot (\cos \frac{\pi }{4} +i\cdot \sin \frac{\pi }{4} )\right)\div \left(2\cdot (\cos \frac{2\pi }{3} +i\cdot \sin \frac{2\pi }{3} )\right)=\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot [\cos (\frac{\pi }{4} -\frac{2\pi }{3} )+i\cdot \sin (\frac{\pi }{4} -\frac{2\pi }{3} )]=} \\ {=\frac{\sqrt{3} }{2} \cdot (\cos \left(-\frac{5\pi }{12} \right)+i\cdot \sin \left(-\frac{5\pi }{12} \right))} \end{array}\]2)
\[\begin{array}{l} {\frac{z_{1} }{z_{2} } =\left(4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )\right)\div \left(5\cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )\right)=\frac{4}{5} \cdot [\cos (\pi -\frac{\pi }{2} )+i\cdot \sin (\pi -\frac{\pi }{2} )]=} \\ {=\frac{4}{5} \cdot (\cos \frac{\pi }{2} +i\cdot \sin \frac{\pi }{2} )} \end{array}\]Определение 3
Частным двух заданных комплексных чисел $z_{1} =a_{1} +b_{1} i$ и $z_{2} =a_{2} +b_{2} i$ ($r_{2} =\sqrt{a_{2}^{2} +b_{2}^{2} } \ne 0)$ является комплексное число, которое определяется равенством
\[\frac{z_{1} }{z_{2} } =\frac{a_{1} +b_{1} i}{a_{2} +b_{2} i} =\frac{a_{1} a_{2} +b_{1} b_{2} }{a_{2}^{2} +b_{2}^{2} } +\frac{a_{2} b_{1} -a_{1} b_{2} }{a_{2}^{2} +b_{2}^{2} } \cdot i.
{i\cdot \frac{\pi }{6} } \]Сообщество экспертов Автор24
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13.11.2021
Выполнение любых типов работ по математике
Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами
Подбор готовых материалов по теме
Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы
2.
Основные операции с комплексными числамиМ. Борна
Сложение и вычитание комплексных чисел работает так же, как сложение и вычитание сурдов. См. также Простейшая радикальная форма. Это неудивительно, поскольку мнимое число j определяется как `j=sqrt(-1)`.
Добавление комплексных чиселДобавить действительные части, добавить мнимые части.
Вычитание комплексных чисел 92``= 9 + 4`
`= 13`
Умножение на сопряженное
Пример 2(f) является частным случаем.
`3 + 2j` является сопряженным `3 − 2j`.
В целом:
`x + yj` является сопряженным числа `x − yj`
и
`x − yj` является сопряженным числа `x + йдж`.
Обратите внимание, что когда мы умножаем сопряженные числа, наш окончательный ответ равен 9.0085 только реальное (не содержит мнимых членов.
Мы используем идею сопряжения с при делении комплексных чисел .
Отдел комплексных чисел
Ранее мы научились рационализировать знаменатель выражения вроде:
`5/(3 кв.2)`
Чтобы упростить выражение, мы умножили числитель и знаменатель на , сопряженное знаменателя, `3 + sqrt2` следующим образом:
`5/(3-кв.2)xx(3+кв.2)/(3+кв.2)`
`=(15+5кв2)/(9-2)`
`=(15+5кв2)/7`
Мы сделали это для того, чтобы в знаменателе не осталось корня (квадратный корень).
Процесс деления на комплексное число аналогичен предыдущему — мы умножаем верхнюю и нижнюю часть дроби на сопряженную часть нижней части.
Пример 3 — Раздел
и . Экспресс
`(3-й)/(4-2й)` 92)`
`=(-16-13j)/(4+81)`
`=(-16-13j)/85`
Упражнения1.
Express в форме a + bj :
`(4+кв.(-16))+(3-кв.(-81))`
Ответить
`(4+sqrt(-16))+(3-sqrt(-81))`
`=(4+4j)+(3-9j)`
`=7-5j`
2 Экспресс по форме а + бж.
`кв.(-4)/(2+кв.(-9))`
92)/(4+9)``=(6+4j)/13`
Сложное деление
Сделано простым
Комплексное деление может быть выполнено двумя способами. Простой способ и другой путь. Итак, начнем с простого, докажем наши ответы другим способом. а затем проведите его через онлайн-калькулятор.
Полярное преобразование
Самый простой способ разделить комплексные числа — преобразовать любые декартовы (прямоугольные) числа в полярную форму.
На случай, если вы забыли, как это сделать, нам нужно найти модули с помощью небольшая теорема Пифагора:
В декартовом числе «A+jB» мы находим квадратный корень из (A 2 + B 2 ).
Теперь все, что нам нужно, это аргумент, и мы готовы. используя память SOHCATOA, косинус угла находится рядом с гипотонезой или A / r.Давайте добавим некоторые значения, чтобы нам все было ясно.
Дополним сумму (3+j4)/(4+j3)=?
Используя приведенное выше преобразование, r 1 = sqr(3 2 +4 2 ) = 5.
Тогда аргумент, Cos=(3/5) >> Cos=(0,6) >> Arg=(арккосинус(0,6)) = 53,13 градусаИтак, (3+j4) = 5L53,13 градуса.
Вторая часть (4+j3) = 5L36,87 градусов
Помните это:
Чтобы разделить два полярных числа, мы делим их модули и вычитаем их аргументы .
Используя наши цифры сверху, мы делим 5 на 5 (=1), и 53,13 — 36,87 = 16,26 градуса.
Следовательно, наш ответ в полярной форме равен 1L16,26 градуса.
Преобразование обратно в декартово с помощью SOHCATOA .Смежный = косинус (16,26) X гипотонус = 0,96 X 1 = 0,96
Противоположный = синус (16,26) X гипотонус = 0,28 X 1 = 0,28
Декартово решение = 0,96+j0,28
Другой путь
Этот способ немного сложнее, но имеет некоторые преимущества.
- Выглядит более впечатляюще
- Преподавателям математики нравится
- Очень сложно объяснить это в HTML без использования MathML и изображений (но давайте попробуем).
С нашей приведенной выше суммой (3+j4)/(4+j3)=? нам нужно рационализировать знаменатель (это просто означает, что мы теряем j битов из нижней части [то есть 4+j3] ) .
Чтобы рационализировать, мы используем сопряжение знаменателя. Сопряженным 4+j3 является 4-j3 (как бы наоборот). Результатом будет целое число.
Подумайте о сценарии реального мира, у нас есть сопротивление с индуктивным сопротивлением в качестве одного импеданса, и теперь мы собираемся применить другое сопротивление с емкостным сопротивлением, чтобы нейтрализовать реактивное сопротивление, оставив только РЕАЛЬНОЕ значение сопротивления.
Express в форме a + bj :
Это даст нам модуль (r). 
