Логарифмические неравенства 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Тема: Метод интервалов
Урок: Логарифмические неравенства
1. Важные опорные факты
Ключом к решению логарифмических неравенств являются свойства логарифмической функции, т. е. функции вида (). Здесь t – независимая переменная, а – конкретное число, у – зависимая переменная, функция.
Вспомним основные свойства логарифмической функции.
Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях
1. Область определения: ;
2. Область значений: ;
3. Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно возрастает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности, ). При монотонно убывает (когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, функция убывает от плюс до минус бесконечности, ).
Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.
2. Методика решения простейших логарифмических неравенств с основанием большим единицы, пример
Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .
Неравенство необходимо решать, применяя эквивалентные, равносильные преобразования. Рассмотрим схему. Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, большим единицы, помним, что функция монотонно возрастает. Отсюда:
При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:
Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:
Например:
Рис. 2. Иллюстрация решения примера
Ответ:
3.
Методика решения простейших логарифмических неравенств с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, пример
Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .
Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, помним, что функция монотонно убывает. Отсюда:
При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:
Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:
Например:
Рис. 3. Иллюстрация решения примера
Ответ: нет решений
4. Обобщение методики
Выполним обобщение. Мы рассматриваем простейшие логарифмические неравенства, т.
е. неравенства вида:
Все остальные более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим.
Методика решения:
1. Уравнять основания логарифмов;
2. Сравнить подлогарифмические выражения:
— при сохранить знак неравенства;
— при изменить знак неравенства на противоположный;
3. Учесть ОДЗ;
5. Решение примеров
Пример 1 – решить неравенство:
Уравняем основания логарифмов. Для этого число в правой части представим в виде логарифма с нужным основанием:
Итак, имеем неравенство:
Основание логарифма меньше единицы, имеем эквивалентную систему:
Рис. 4. Иллюстрация решения примера 1
Ответ:
Пример 2 – решить неравенство:
Уравняем основания:
Имеем неравенство:
Основание логарифма меньше единицы, имеем эквивалентную систему:
Имеем систему двух простейших логарифмических неравенств.
Уравняем основания в каждом из них:
В обоих случаях основание логарифма больше единицы, запишем эквивалентные системы:
Рис. 5. Иллюстрация к решению примера 2
Ответ:
Итак, мы изучили простейшие логарифмические неравенства. На следующем уроке мы рассмотрим, каким образом более сложные неравенства сводятся к простейшим
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Webmath.ru (Источник).
2. Tutoronline.ru (Источник).
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А.
М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 516, 517, 525;
2. Решить неравенство:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
3. Решить неравенство:
а) ;
б) ;
в) ;
г)
Решение логарифмических неравенств
Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:
а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;
б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.
Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.
Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.
Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:
V , где V — один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.
Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство
равносильно системе:
Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство
равносильно системе:
Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.
1. Решим неравенство:
Так как основание логарифмов в обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма должны быть строго больше нуля.
Перейдем к системе:
Обратите внимание: мы указываем, что больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под знаком логарифма. В этом случает большее выражение автоматически будет больше нуля.
Решим систему неравенств:
Корни квадратного трехчлена: ,
Отсюда:
Ответ:
2. Решим неравенство:
Мы видим, что в основании логарифмов стоят степени числа 2, поэтому мы можем привести логарифмы к одному основанию. Сделаем это, воспользовавшись свойствами логарифмов:
Перенесем логарифм с отрицательным коэффициентом из левой части неравенства в правую (так как умножать легче, чем делить).
Так как в неравенстве присутствуют логарифмы с одинаковым основанием и в первой степени, мы можем представить обе части неравенства в виде логарифма по основанию 2:
Теперь мы можем перейти от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма. Основание больше 1, поэтому знак неравенства сохраняется.
Не забываем про ОДЗ:
Отсюда:
Ответ:
3. Решим неравенство:
В нашем неравенстве логарифм стоит в квадрате, поэтому это логарифмическое неравенство мы будем решать с помощью замены переменных.
Сначала приведем логарифмы к одному основанию:
Введем замену переменных:
.
Получим квадратное неравенство:
Значит, .
Запишем это двойное неравенство в виде системы:
Вот только теперь, когда мы получили систему простейших неравенств относительно , мы можем вернуться к исходной переменной.
Перейдем к выражениям, стоящим под знаком логарифма:
Последнее неравенство системы — это ОДЗ неравенства. Заметим, что оно выполняется, если выполняется второе неравенство системы, поэтому нет необходимости его решать.
Решим систему.
Первое неравенство системы преобразуется к виду
Дискриминант этого квадратного трехчлена отрицателен, старший коэффициент положителен, поэтому неравенство верно при любых действительных значениях .
Второе неравенства преобразуется к виду , отсюда
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Одновременные уравнения по математике 5-го класса
Наших пользователей: Я рекомендую эту программу каждому ученику, который приходит в мой класс. С тех пор, как я начал это, я заметил резкое улучшение. Мой 12-летний сын Джей использует программу уже несколько месяцев. Его фракционные навыки улучшаются с каждым днем. Большое спасибо! Существует так много программ по алгебре. Я не знаю, как я застрял с вашим, но академически говоря, это лучшее, что когда-либо случалось со мной! Это лучшее программное обеспечение, с которым я сталкивался в сфере образования. Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?Поисковые фразы, использованные 26 марта 2010 г.:
|
10
com
Найти корни уравнения третьего порядка
Наших пользователей: Я только что купил это программное обеспечение и после нескольких дней использования понял, что оно стоит тех денег, которые я за него заплатил. Я действительно боролся с уравнениями алгебры. Стыдно признаться, но дело в том, что я не силен в математике. Поэтому мне постоянно нужна помощь. Затем я наткнулся на эту программу «Алгебратор». И, клятва!! Это изменило мою жизнь. Я больше не завишу ни от кого, кроме этой маленькой программки. Программа спасает! Большое спасибо! Я думаю, что программа потрясающая. Пользуемся всего неделю, но он уже себя окупил. В настоящее время мы используем его, чтобы «проверить» домашнее задание ребенка, испытывающего трудности с алгеброй 2 в старшей школе. Я установил его на сохранение «99» шагов, и мы можем видеть каждый шаг решения. Объяснения на каждом этапе бесценны, так как прошло много лет с тех пор, как я начал заниматься алгеброй. Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?Поисковые фразы, использованные 18 марта 2010 г.:
|
Я люблю влезать в свои собственные проблемы; программное обеспечение охватывает все аспекты вопросов по алгебре, которые можно получить на экзамене. 
У нас не было проблемы, которую мы не могли решить. Это довольно удобно для пользователя, и, если вы правильно вводите задачу, проблем не возникает. В следующем году у нас есть еще один ребенок, который пойдет в старшую школу и по алгебре 1. Я буду с нетерпением ждать следующего выпуска Алгебратора. Это просто супер! 
ppt