калькулятор онлайн решить систему уравнений с помощью обратной матрицы
калькулятор онлайн решить систему уравнений с помощью обратной матрицыВы искали калькулятор онлайн решить систему уравнений с помощью обратной матрицы? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и калькулятор решений систем уравнений матричным методом, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «калькулятор онлайн решить систему уравнений с помощью обратной матрицы».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте.
Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор онлайн решить систему уравнений с помощью обратной матрицы Онлайн?
Решить задачу калькулятор онлайн решить систему уравнений с помощью обратной матрицы вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.
Метод решения системы диофантовых уравнений / Хабр
Добрый день!
Как и обещал в первой своей статье, я хочу ознакомить Вас с одним из методов решения системы диофантовых уравнений. Цель статьи ознакомить остальных читателей с этой методикой и донести её в более или менее понятном виде.
Рассмотрим систему из двух диофантовых уравнений
и
Найдем все возможные решения первого уравнения. Как, спросите Вы? Наверняка есть разные методики, но я поделюсь в одной из следующих статей, как бы я решал подобную задачу. А сейчас просто примем что общее решение имеет вид
Как проверить что я не лгу?
Достаточно вспомнить матричное исчисление и умножить вектор значений нашего первого диофантового уравнения(без свободного члена) на матрицу всех коэффициентов.
получили в результате значение свободного члена, а следовательно вычисления правильные
Следующим этапом мы подставим наше общее решение
во второе уравнение
Процедура такая же: умножаем вектор из коэффициентов второго уравнения на общее решение первого
получаем вот такой результат
то есть мы получили уравнение вида
С правой стороны второго диофантового уравнения как был свободный член равный -335, так и остался, то есть наше окончательное решение на этом этапе имеет вид
Или перенеся свободные члены в правую сторону получим
Итак, мы получили очередное диофантовое уравнение.
Давайте найдем его общее решение и проверим его на истинность.
то есть общее решение имеет вид
А теперь делаем обратное преобразование(пусть так называется). То есть в систему
Мы вместо неизвестных x подставляем то, что получилось на последнем этапе
В матричном исчислении это решается умножением одной матрицы на другую.
Но с первой матрицей надо сделать определенную процедуру: убрать (временно) последний столбец с свободными членами, так как этот параметр не участвует в умножении, и будет пользоваться позднее.
Результат умножения двух матриц порождает
матрицу
Последний столбец это свободные члены этой системы.
Учтем тот столбец который временно удаляли, перед умножением и сложим их
наш окончательный ответ в виде матрицы
Проверим?
Векторное произведение коэффициентов первого уравнения и матрицы
а векторное произведение коэффициентов второго уравнения и матрицы
Как видим, результат совпадает с свободным членом каждого из уравнений.
Таким образом общее решение имеет вид
где m,p,q — могут принимать любые целые значения
Таким незамысловатым способом можно решать и более сложные линейные диофантовые уравнения. По следам этого алгоритма создан калькулятор правда, этот калькулятор очень не любит когда вместо значений в коэффициентах первого уравнения начальной системы встречаются нули. Но это проблема конкретной моей реализации этого алгоритма.
В следующей теме я расскажу как создавать диофантовые уравнения по матрице общего решения. Задача в общем то банальна и делается в одно действие, но вдруг кто то не знает.
Буду благодарен за замечания, отзывы и предложения.
Онлайн калькулятор: Калькуляторы матричной триангуляции
Учеба Математика Алгебра линейная алгебра
Матричная триангуляция с использованием методов Гаусса.
Ниже приведены два калькулятора для матричной триангуляции.
Первый использует метод Гаусса, второй метод Барейса.
Описание методов и их теории ниже.
Матричная триангуляция (метод Гаусса)
3 2 3 4 4 4 3 2 1 4 4 3 2 3 1 1
Матрица
Точность вычисления
Разряды после запятой: 4
Треугольная матрица (метод Гаусса)
Треугольная матрица (метод Гаусса с максимальным выбором в столбце):
1 9002 угловая матрица (метод Гаусса с максимальным выбором по всей матрице):
Матричная триангуляция (метод Барейса)
3 2 3 4 4 4 3 2 1 4 4 3 2 3 1 1
Матрица
Точность вычислений
Знаки после запятой: 4
Треугольная матрица (метод Барейса)
Треугольная матрица (метод Барейса с максимальным выбором в столбце)
Треугольная матрица с максимальным выбором во всем методе Барейса матрица)
Сначала дадим понятие треугольной или ступенчатой матрице строк:
Матрица имеет ступенчатую форму строк, если:
- все нулевые строки, если они есть, принадлежат низу матрицы
- Старший коэффициент (первое ненулевое число слева, также называемое точкой опоры) ненулевой строки всегда находится строго справа от старшего коэффициента строки над ним
- Все ненулевые строки (строки, содержащие хотя бы один ненулевой элемент) выше любых строк, содержащих все нули
Пример эшелонированной матрицы строк:
1 0 2 5
0 3 0 0
0 0 0 4
Понятие треугольной матрицы является более узким и используется только для квадратных матриц.
Это выглядит так: треугольная матрица — это квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
Пример верхней треугольной матрицы:
1 0 2 5
0 3 1 3
0 0 4 2
0 0 0 3
Кстати, определитель треугольной матрицы вычисляется простым перемножением всех ее диагональных элементов.
Вы спросите, что интересного в этих ступенчатых (и треугольных) матрицах? Что ж, у них есть удивительное свойство — любую прямоугольную матрицу можно свести к ступенчатой матрице с помощью элементарных преобразований.
Итак, что же такое элементарные преобразования, спросите вы?
Элементарными преобразованиями матриц являются следующие операции:
- Переключение строк (строка в матрице может быть заменена другой строкой)
- Умножение строк (каждый элемент в строке может быть умножен на ненулевую константу)
- Добавление строки (строка может быть заменена суммой этой строки и кратным другой строки)
Что теперь?
Элементарные преобразования матриц сохраняют эквивалентность матриц.
А если вспомнить, что системы линейных алгебраических уравнений записываются только в матричной форме, то это означает, что элементарные матричные преобразования не меняют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Путем триангуляции матрицы линейного уравнения AX=B к A’X = B’, т.е. с соответствующим преобразованием столбца B, вы можете сделать так называемую «обратную подстановку».
Для объяснения воспользуемся приведенной выше треугольной матрицей и перепишем систему уравнений в более общем виде (я составил столбец B):
Понятно, что сначала найдем , а потом подставим в предыдущее уравнение, найти и так далее – переход от последнего уравнения к первому. Это то, что называется обратной заменой.
Этот алгоритм сокращения строк называется методом Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных уравнений. Его также называют методом исключения Гаусса, так как это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований системы уравнений приводятся к ступенчатой (или треугольной) форме строк, в которую помещаются все остальные переменные (начиная с последний).
Теперь немного мыслей об этом методе.
Как обнулить переменную во втором уравнении?
Вычитая из него первую единицу, умноженную на коэффициент
Вот пример:
Нуль в первом уравнении
Во втором уравнении нет
В обобщенном смысле метод Гаусса можно представлена следующим образом:
где N – размерность строки,
– i-я строка,
– элемент в i-й строке, j-й столбец в формуле. Во-первых, если диагональный элемент равен нулю, этот метод не сработает. Во-вторых, при расчете отклонение будет возрастать и чем дальше, тем больше. Так что результат не будет точным.
Для уменьшения отклонения используются модификации метода Гаусса. Они основаны на том, что чем больше знаменатель, тем меньше отклонение. Этими модификациями являются метод Гаусса с максимальным выбором в столбце и метод Гаусса с максимальным выбором во всей матрице. Как видно из названия, перед каждым стержнем исключения переменных в строке (во всей матрице) ищется элемент с максимальным значением и выполняется перестановка строк, поэтому он поменяется местами с .
Однако существует радикальная модификация метода Гаусса – метод Барейса.
Как можно избавиться от деления? Умножая строку на перед вычитанием. Затем вам нужно вычесть , умножить на без деления.
.
Вроде бы хорошо, но возникает проблема увеличения значения элемента при вычислениях
Барейс предложил разделить приведенное выше выражение на и показал, что если исходными элементами матрицы являются целые числа, то и результирующее число будет целым. Также предполагается, что для нулевой строки .
Кстати, тот факт, что алгоритм Барейса сводит целые элементы исходной матрицы к треугольной матрице с целыми элементами, т.е. без накопления отклонений, является весьма важной особенностью с точки зрения машинной арифметики.
Алгоритм Барейса можно представить в виде:
Этот алгоритм можно модернизировать, аналогично Гауссу, с максимальной выборкой в столбце (вся матрица) и перестановкой соответствующих строк (строк и столбцов).
URL скопирован в буфер обмена
Похожие калькуляторы
- • Калькулятор обратной матрицы
- • Решение неоднородной системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы
- • Модульная обратная матрица
- • Матрица 90 Умножение 60 656 90 Матрица 90 065 • секция линейной алгебры (15 калькуляторов)
Барейс треугольная матрица Барейса метод Барейса метод Гаусса линейная алгебра математическая матрица треугольная матрица
PLANETCALC, Калькуляторы матричной триангуляции
Тимур 2020-12-04 10:52:19 9000 онлайн калькулятор обратных матриц 9001 1
Для любой невырожденной матрицы (т.
е. определитель не равен нулю) существует обратная матрица ,
например, его произведение на исходную матрицу дает единичную матрицу:
А∙А −1 = А -1 ∙А = Е
Наш онлайн-калькулятор поддерживает два различных метода вычисления обратной матрицы: с помощью метода Гаусса-Жордана и с помощью композиций алгебраических дополнений к исходной матрице.
Чтобы найти обратную матрицу с помощью метода Гаусса-Жордана, нужно прикрепить единичную матрицу справа от исходной матрицы:
( А | Е )
Затем с помощью элементарных преобразований преобразовать исходную матрицу в единичную, применяя те же преобразования к единичной матрице, выписанной справа. Следовательно, исходная матрица будет преобразована в единичную, а выписанная справа единичная матрица — в обратную:
( А | Е ) → ( Е | А −1 )
Этот способ легкий, удобный и не такой трудоемкий.
Чтобы найти обратную матрицу с помощью алгебраического метода дополнений, можно использовать следующую формулу:
где
| А |
— определитель матрицы
А,
А и — алгебраическое дополнение элемента и матрицы
А.
По определению
A i j = (-1) i+j M i j
где М и — минор элемента и матрицы А.
По определению — минор элемента и матрицы А – определитель, полученный удалением я ряд, Дж столбец матрицы А.
Итак, алгебраический адъюнктный метод нахождения матрицы, обратной исходной матрице порядка
н
очень трудоемко, так как нужно вычислять не только определитель исходной матрицы, но и
п 2 детерминанты порядка
п-1
.