Онлайн калькулятор расстояние от точки до прямой: Онлайн калькулятор. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой на плоскости.

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d =	|A·Mx + B·My + C|
	√A2 + B2

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости

Пример 1.

 Найти расстояние между прямой 3x + 4y — 6 = 0 и точкой M(-1, 3).

Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки

d =	|3·(-1) + 4·3 — 6|	=	|-3 + 12 — 6|	=	|3|	= 0. 6
	√32 + 42		√9 + 16		5

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.

уравнение плоскости проходящей через точки перпендикулярно векторуОбщее уравнение плоскости

Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной плоскости, называетсянормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой плоскости.

Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы:

а) точка ;

б) ненулевой вектор (рис.4.8,а).

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно векторуКонец доказательства.

Рассмотрим теперь различные типы уравнений прямой на плоскости.

1) Общее уравнение плоскости P.

Из вывода уравнения следует, что одновременно A, B и C не равны 0 (объясните почему).

Точка принадлежит плоскостиP только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В зависимости от коэффициентов A, B, C и Dплоскость P занимает то или иное положение:

‑ плоскость проходит через начало системы координат, ‑ плоскость не проходит через начало системы координат,

‑ плоскость параллельна оси X,

‑ плоскость не параллельна оси 

X,

‑ плоскость параллельна оси Y,

‑ плоскость не параллельна оси Y,

‑ плоскость параллельна оси Z,

‑ плоскость не параллельна оси Z.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

 

Уравнение (6) легко выводится из уравнения (5). Действительно, пусть точка лежит на плоскости P. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнениюВычитая из уравнения (5) уравнение (7) и группируя слагаемые, получим уравнение (6). Рассмотрим теперь два вектора с координатами соответственно. Из формулы (6) следует, что их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, вектор перпендикулярен вектору Начало и конец последнего вектора находятся соответственно в точках которые принадлежат плоскости P. Следовательно, вектор перпендикулярен плоскости P. Расстояние от точкидо плоскости 

P, общее уравнение которой определяется по формулеДоказательство этой формулы полностью аналогично доказательству формулы расстояния между точкой и прямой (см. рис. 2).Рис. 2. К выводу формулы расстояния между плоскостью и прямой.

Действительно, расстояние d между прямой и плоскостью равно

где ‑ точка лежащая на плоскости. Отсюда, как и в лекции № 11, получается выше приведенная формула. Две плоскости параллельны, если параллельны их нормальные вектора. Отсюда получаем условие параллельности двух плоскостей‑ коэффициенты общих уравнений плоскостей . Две плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные вектора, отсюда получаем условие перпендикулярности двух плоскостей, если известны их общие уравнения

 (10)

Угол f между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами (см. рис. 3) и может, поэтому, быть вычислен по формуле Определение угла между плоскостями.

 (11)

Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости:геометрический и алгебраический.

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.

Кажется с первого взгляда, что алгебраический способ легче, но это… далеко не всегда так. Проблемы обычно возникают как раз с нахождением координат точки и управления плоскости, особенно если система координат была введена не самым удобным способом. Для удобства приведём плюсы и минусы обоих способов в табличке:

Расчет расстояний между городами

Примеры расчета расстояний:

Когда может пригодиться расчет расстояний?

Бесплатный расчет расстояний между городами показывает точное расстояние между городами и считает кратчайший маршрут с расходом топлива. Он может быть востребован в следующих случаях:

• Сервис расчета расстояний помогает проложить маршрут автопутешественнику, например, для летнего отдыха с семьей или при планировании деловой поездки на автомобиле. Зная расход бензина и среднюю цену за литр топлива, нетрудно рассчитать обязательные финансовые затраты в поездке.
• Водителю-дальнобойщику расчет расстояния между городами позволяет проложить маршрут на карте при подготовке к дальнему рейсу.
• Калькулятор расстояний пригодится грузоотправителю, чтобы определить километраж и в соответствии с тарифами транспортной компании оценить стоимость грузоперевозки.

Как пользоваться расчетом расстояний?

Для того чтобы рассчитать маршрут между городами, начните вводить в поле «Откуда» название начального пункта маршрута. Из выпадающей контекстной подсказки выберите нужный город. По аналогии заполните поле «Куда» и нажмите кнопку «рассчитать».

На открывшейся странице на карте будет проложен маршрут, красными маркерами будут обозначены начальный и конечный населенные пункты, а красной линией будет показан путь по автодороге. Над картой будут указаны суммарная длина маршрута, продолжительность пути и расход топлива. Под этой информацией будет размещена сводная таблица с подробными данными о маршруте и об участках пути: тип дороги, расчетная длина и продолжительность каждого фрагмента маршрута.

Полученный маршрут можно распечатать или, изменив некоторые параметры, повторить расчет. В дополнительных настройках можно задать транзитные населенные пункты, а также скорректировать расчетную скорость движения по дорогам каждого типа. Ниже дополнительных настроек расположены поля ввода данных топливного калькулятора. Внесите в них актуальный расход горючего вашей машины и среднюю цену 1 литра топлива. При повторном расчете эти данные будут использованы для подсчета необходимого количества топлива и его стоимости.

Другие методы прокладки маршрута

Пожалуй, самая простая альтернатива — это открыть атлас автодорог и на глаз проложить маршрут по карте. Затем, прокатив по маршруту курвиметр, можно получить приблизительный километраж. Оценить время поездки будет сложнее: для этого придется разбить маршрут на фрагменты с одинаковым классом дорог и измерить сумму длин фрагментов каждого класса. Далее, зная среднюю скорость для каждого класса дорог, нетрудно рассчитать время, поделив путь на скорость.

Если курвиметра нет под рукой, то можно воспользоваться линейкой. Приложите нулевую отметку линейки к начальному пункту маршрута и двигайте линейку, плотно примыкая ее к извилинам дороги.

Рассчитать расстояние между городами также можно с помощью таблиц, которые опубликованы в атласах и справочниках. Это достаточно удобно для маршрутов, начинающихся и заканчивающихся в крупных городах. Мелких населенных пунктов, как правило, нет в таблицах.

Алгоритм расчета расстояния между городами

Расчет маршрута основан на алгоритме поиска кратчайшего пути во взвешенном графе автодорог (алгоритм Дейкстры). Расстояния определены по точным спутниковым координатам дорог и населенных пунктов. Расчет является результатом компьютерного моделирования, а модели не бывают идеальными, поэтому при планировании маршрута поездки не забудьте заложить резерв.

Смотрите также:

• таблица расстояний между городами России
• Расчет расстояний для вашего сайта
• Расчет расстояний на других языках в других странах:

Существует несколько подходов к определению расстояния между городами:

• расстояние по автодорогам включает в себя длину автотрассы и соединяющих ее с городом дорог;
• расстояние по прямой, или как его еще называют «по птичьему полету«, характеризуется меньшей протяженностью, но практически менее ценно, т. к. перемещение обычно происходит по дорогам.

В наших расчетах расстояния между городами берутся по автодорогам.

Предложить идею

Онлайн-калькулятор: Расстояние по Земле

  Professional  Навигация

Этот калькулятор вычисляет расстояние от одной точки на Земле до другой точки, проходящей сквозь Землю, а не по поверхности.

Если вы хотите измерить расстояние от одной точки на Земле до другой, вы должны использовать формулу большого круга или ортодромическую формулу расстояния. Для этого у нас даже есть два калькулятора: тот, который использует формулу гаверсинуса, и другой, который использует формулу Винсента.

Однако что, если вы хотите узнать расстояние между двумя точками на Земле через Землю, а не по поверхности? Как оказалось, проблема относительно проста, за исключением пары подводных камней. Калькулятор ниже находит расстояние между двумя точками через Землю, а вывод формулы со всеми ошибками можно найти под калькулятором.

Расстояние через Землю

Широта первой точки

Долгота первой точки

Широта второй точки

Долгота второй точки

Точность расчета

Знаки после запятой: 3

Расстояние, км

 

Расстояние через Землю

Итак, у нас есть две точки на поверхности Земли, определяемые их широтой и долготой , и мы хотим знать расстояние между ними, проходящим «сквозь» Землю, а не вокруг нее. Технически у нас есть сферические координаты каждой точки в трехмерном пространстве, потому что мы знаем радиус Земли, угол наклона (широта) и азимутальный угол (долгота). Если мы преобразуем их в декартовы координаты с x, y, z в трехмерном пространстве, мы можем легко найти расстояние, используя известную формулу евклидова расстояния:

Итак, давайте определим нашу декартову систему координат. Началом будет центр Земли. Ось x будет указывать на пересечение нулевого меридиана с плоскостью экватора. Ось Y будет указывать на 90 градусов западного меридиана пересечения с плоскостью экватора, ось Z будет указывать на север.

Декартова система координат

— это наша долгота, это наша широта.

Декартовы координаты могут быть получены из сферических координат с использованием следующих соотношений:

Мы почти закончили, но нам еще нужно учесть пару факторов, возникающих из-за того, что в геодезии Земля аппроксимируется сплюснутым сфероидом или эллипсоид вращения. Итак, когда мы говорим о координатах, мы говорим о координатах на поверхности опорного эллипсоида, используемого в геодезической системе отсчета, в данном случае WGS 84 (следовательно, расстояние также измеряется между двумя точками опорного эллипсоида). Факторы:

Так как Земля сплющена на полюсах и выпукла на экваторе, радиус Земли непостоянен и зависит от широты точки. Таким образом, нам нужно вычислить его для обеих точек, что можно сделать с помощью этого калькулятора.

WGS 84 широта точки — геодезическая широта, определяемая углом между плоскостью экватора и нормалью к эллипсоиду, а не геоцентрическая широта, которая определяется углом между плоскостью экватора и линией, соединяющей точку с центром эллипсоид. Поскольку начало нашей декартовой системы находится в центре Земли, нам нужно преобразовать геодезическую широту в геоцентрическую широту для обеих точек.

Считаем по формулам:
,
где — геоцентрическая широта, — геодезическая широта, — большая полуось эллипсоида, — малая полуось эллипсоида.

Подводя итог, для расчета расстояния нам нужно сделать следующее:

• Вычислить радиус Земли в каждой точке
• Вычислить геоцентрическую широту в каждой точке
• Преобразование сферических координат каждой точки в декартовы координаты из рассчитанного радиуса, геоцентрической широты и долготы в x,y,z.
• Рассчитать расстояние по формуле Евклидова расстояния

URL-адрес скопирован в буфер обмена

Похожие калькуляторы

• • Радиус Земли по широте (WGS 84)
• • Расстояние по поверхности относительно расстояния через Землю
• • Калькулятор расстояния
• • Углы курса и расстояние между двумя точками на ортодромии (большой круг)
• • Курсовой угол и расстояние между двумя точками на локсодромии (локсодромия).
• • Секция навигации (20 калькуляторов)

 Расстояние Эллипсоида Эллипсоида Эллипсоида Геодезии широты -02-26 14:11:19

Калькулятор расстояний — Онлайн-калькулятор расстояний

Калькулятор расстояний — это онлайн-инструмент, который помогает рассчитать расстояние между двумя точками. Расстояние можно определить как измерение, описывающее, насколько далеко друг от друга находятся две точки или объекты. Это скалярная величина и имеет только величину.

Что такое калькулятор расстояний?

Калькулятор расстояний вычисляет расстояние между двумя точками, если заданы их координаты x и y. Отрезок линии, соединяющий две точки в двумерном пространстве, дает расстояние между этими двумя точками. Чтобы использовать калькулятор расстояний , введите значения координат x и y в поля ввода.

Калькулятор расстояний

ПРИМЕЧАНИЕ. Введите значения до трех цифр.

Как пользоваться калькулятором расстояний?

Чтобы найти расстояние между двумя точками с помощью онлайн-калькулятора расстояний, выполните следующие шаги:

• Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору расстояний Cuemath.
• Шаг 2: Введите координаты x и y в данное поле ввода, то есть (x ₁ ,y ₁ ) и (x ₂ ,y ₂ ).
• Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы найти расстояние между двумя точками.
• Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс», чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор расстояний?

В координатной геометрии мы можем найти расстояние между двумя точками, вычислив длину отрезка, соединяющего обе точки. Через эти две точки проходит только одна линия. Шаги для вычисления расстояния между любыми двумя точками, когда известны координаты x и y, следующие:

1. Возведение в квадрат разности координат x.
2. Затем возведите в квадрат разницу координат y.
3. Сложите значения, полученные на шаге 1 и шаге 2.
4. Наконец, извлеките квадратный корень из значения, полученного на шаге 3. Это даст расстояние между двумя точками.

Формула расстояния между двумя точками в двумерном пространстве была выведена с использованием теоремы Пифагора. Тот же метод можно расширить и для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула, используемая для определения расстояния между двумя точками с координатами (x ₁ , Y ₁ ) и (x ₂ , Y ₂ ) дается как:

Расстояние между двумя точками = √ [(x ₂ — x ₁ ) ² + + + + + + +. (y ₂ — y ₁ ) ² ]

Хотите находить сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронировать бесплатный пробный урок

Решенные примеры на калькуляторе расстояний

Пример 1:

Найдите расстояние между двумя точками, если координаты (5,2) и (7,8), и проверьте с помощью калькулятора расстояний.

Solution:

Distance between two points = √[(x ₂ — x ₁ ) ² + (y ₂ — y ₁ ) ² ]

= √[ (7 _{— 5) ² + (8 — 2) ² ]}

= √[(2) ² + (6) ² ]

= √ [4 + 36]

= √ [40]

= 2√10

= 6,32 единицы

Пример 2:

Найдите расстояние. между двумя точками, если координаты (12,6) и (9,2), и проверьте с помощью калькулятора расстояний.

Решение:

Расстояние между двумя точками = √ [(x ₂ — x ₁ ) ² + (y ₂ — Y ₁ ) ² ]

79

9

9

9

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

29000 29000 2

2

2

2

2 ₁ ) . (9 — 12) ² + (2 — 6) ² ]

= √ (-3) ² + (-4) ²

= √ [9 + 16]

= a 25

= 5 шт.

No related posts.