Онлайн калькулятор решение системы уравнений: Решение систем уравнений · Калькулятор Онлайн

Содержание

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса онлайн

Система линейных уравнений

Для решения любой системы линейных уравнений метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных является наиболее универсальным и достаточно простым при небольшом количестве переменных. Этот метод универсален, его применяют, когда система уравнений имеет:

единственное решение;
бесконечное множество решений;
вовсе не имеет решений.

Суть метода состоит в переходе от заданной системы линейных уравнений к более простой с помощью таких эквивалентных преобразований в системе, как:

перемена двух уравнений местами;
умножение обеих частей уравнения на любое действительное число, не равное 0;
прибавление к одному уравнению соответствующих частей другого, умноженных на произвольное число.

С помощью преобразований последовательно исключаем одну переменную за другой пока в одной из строк не будет определена переменная x_i

Метод Гаусса позволяет решать СЛАУ при небольшом числе вычислительных операций.

Алгоритм решения:

записываем систему в виде расширенной матрицы;
прямой ход — приводим матрицу к ступенчатому виду;
обратный ход — приводим матрицу к специальному ступенчатому виду.

Пусть дана система из n уравнений с n неизвестными переменными:

Определитель основной матрицы не равен 0.

Исключим из всех уравнений системы переменную х₁, начиная со 2-го, для чего:

ко 2-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — а₂₁/а₁₁;
к 3-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — а₃₁/а₁₁, и т.д.;
к n-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на — а_n1/а₁₁.

В результате преобразований система приняла вид:

Далее таким же путем исключаем неизвестную переменную х₂ из всех уравнений, начиная с 3-го.

Для этого к 3-му уравнению прибавляем 2-е, умноженное на — а₃₂/а₂₂ и т. д. К n-му уравнению прибавим 2-е, умноженное на — а_n2/а₂₂.

Таким же способом исключаем неизвестную х₃ из всех уравнений системы, начиная с 4-го.

Прямой ход продолжается, пока в последнем уравнении не останется единственная неизвестная. Система будет иметь вид:

а_nn^(n-1) х_n = b_n^(n-1)

После окончания прямого хода метода Гаусса — последовательного исключения неизвестных, вычисляем неизвестную в последнем уравнении:

из последнего уравнения системы находим х_n по формуле:
из предпоследнего уравнения находим х^n-1 и т.д.
из первого уравнения находим х₁.

Последовательное нахождение неизвестных, начиная с последнего уравнения к первому, называется обратным ходом.

Заметим, если в матрице есть хоть одна нулевая строка, у которой правая часть (свободный член) не равна 0, система несовместима, решения отсутствуют.

Для быстрого и правильного решения СЛАУ методом Гаусса можно воспользоваться калькулятором онлайн.

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

123456 — количество неизвестных

Количество знаков после разделителя дроби в числах: 0123456789101112

Предыдущая Метод хорд решения нелинейных уравнений

Следующая Линейная интерполяция

Adblock
detector

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса-Жордана

Укажите количество уравнений в системе m=2345678910

метод Гаусса–Жордана – один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком,
что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений
в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
Приводим матрицу к “треугольному” виду;
Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;

В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через
переменные которые могут принимать произвольные значения;

Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент aⁱ_i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a¹₁ отличен от нуля – переходим к следующему шагу;
Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K_j=a^j_i/aⁱ_i;
Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a^j_kнов.

=a^j_k-K_j*aⁱ_k;
После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n – размерность матрицы A
В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пaⁱ_i, которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце.
Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк.
Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

Комментарий к шагу 3 Метода Гаусса. Рангом матрицы A размера m × n называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается через r(A) = rangA = rankA.
Минором M (от латинского “minor” меньший) k-го порядка матрицы A называется определитель некоторой матрицы, составленной из элементов матрицы A, стоящих на пересечении произвольно выбранных k
строк и k столбцов с сохранением их порядка. Если номера столбцов, в которых расположен минор M, совпадают с номерами строк, то этот минор называется главным. Каждая матрица A порядка n имеет
(C^k_n)2 миноров k-го порядка. Минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы A.

Основываясь на сравнении полученных значений рангов для основной и расширенной матрицы можно сделать следующие выводы о разрешимости системы:

если ранг основной системы равен рангу расширенной и равен числу уравнений системы (rangA=rangA’=n), то система совместна и имеет единственное решение;
если ранг основной системы равен рангу расширенной, но меньше числа уравнений в системе (rangA=rangA’
если ранг основной системы меньше ранга расширенной (rangA

Подробнее

Финансовая математика. 12 задач решены с помощью финансовых функций MS EXCEL

Решение задач, Финансовый менеджмент

Выполнил: user387341

Экономико-математические методы Задача 16 (решение через поиск решения в Excel)

Решение задач, Высшая математика

Выполнил: Мудрый Тушканчик

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.

Система уравнений: Калькулятор метода исключения

Инструкции: Используйте этот калькулятор, чтобы решить систему линейных уравнений, используя метод исключения, со всеми показанными шагами. Укажите два действительных линейных уравнения в соответствующих полях. ниже:

Подробнее о методе исключения для решения линейных систем

Вы можете решить систему линейных уравнений, используя различные варианты, каждый из которых имеет свои преимущества (и недостатки).

Когда у вас есть два уравнения и две переменные, вы обычно можете использовать график метод решения системы, который по сути является методом поиска решений путем нахождения пересечения между двумя линиями.

Или вы можете использовать метод подстановки для решения систем, который пытается решить сначала от одной переменной с точки зрения другой, чтобы затем используйте эту замену, чтобы заменить в другом уравнении и решить для одной переменной.

Как решить систему уравнений подстановкой?

Подход очень прост: 1) Выберите одно из двух уравнений, которое легко решить для любого $x$ или $y$, и решите для этой переменной, с точки зрения другой переменной.

Часто уравнения задаются как, например, «$x = 2y + 3$», где оно уже решено относительно $x$, или, например, «$y = 2x + 3$», где оно уже решено решено для $y$

2) Теперь, когда вы решили для одной переменной в одном из уравнений, используйте эту переменную, для которой вы решили, и подставьте его в другое уравнение.

3) Это уравнение будет с точки зрения другой переменной (не той, для которой вы изначально решили), и затем вы решите ее, и вы получите числовой результат.

4) С числовым результатом, найденным для другой переменной, вернитесь к исходной переменной, для которой вы решили, и подставьте значение, которое вы только что нашли. численно

Это калькулятор исключения Гаусса

Не совсем так, но идея та же: Исключите переменные, найдя эквивалентные уравнения (усилив) и добавив к этому к уменьшению количество переменных.

Для системы 2×2 метод исключения выбирает одну переменную для исключения с помощью соответствующего алгебраического преобразования и операции.

Технически, вы можете применить этот метод, чтобы решить 3 уравнения, используя вычисление исключения, но этот калькулятор специально для систем 2×2.

Калькулятор метода исключения с шагами

Как решить систему уравнений методом исключения? Этот калькулятор покажет вам все шаги, необходимые для решения систему уравнений методом исключения.

Важнейшим шагом является определение того, какая переменная будет исключена, так как правильный выбор переменной может значительно упростить расчет.

Каковы шаги метода исключения?

1) Сначала решите, какую переменную вы будете исключать.

2) Во-вторых, решите, как вы будете устранять, чтобы усилить и использовать уравнения для проведения исключения.

3) В-третьих, как только вы исключите одну из переменных, найдите другую переменную.

4) Четвертое и последнее, как только вы нашли решение для одной из переменных, подставьте ее в любое уравнение (самое простое) так что вы решаете для оставшейся переменной.

Пример: Исключающая система уравнений с шагами

Предположим, что у вас есть следующая система уравнений:

\[\начать{матрицу} \displaystyle 2x+2y & = & 5\\\\\displaystyle x-y & = & 2 \end{матрица} \]

Используйте метод подстановки для решения приведенной выше системы линейных уравнений.

Решение:

Шаг 1: Выберите переменную для исключения

Умножая второе уравнение на $2$, получаем:

\[\начать{матрицу} 2x+2y & = & 5\\\\2x-2y & = & 4 \end{матрица} \]

Теперь, когда мы усилили исходные уравнения, вычитание первого уравнения из второго уравнения дает

\[2x-2y-\влево(2x+2y\вправо)=4-5\] \[\Стрелка вправо -4y=-1\]

Из приведенного выше уравнения мы напрямую находим, что, разделив обе части уравнения на $\displaystyle -4$, мы получим

\[y = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}\] Шаг 2: Подставьте найденное значение в другое уравнение

Теперь снова подставим $\displaystyle y = \frac{1}{4}$ в другое уравнение

\[2x+2\cdot \влево(\frac{1}{4}\вправо)=5\] \[\Стрелка вправо 2x+\frac{1}{2}=5\]

Подставив $x$ в левую часть, а константы в правую, получим

\[\displaystyle 2 x = 5 — \frac{1}{2}\] \[\Стрелка вправо \displaystyle 2x = \frac{9}{2}\]

Теперь, найдя $x$, разделив обе части уравнения на $2$, получим следующее

\[\displaystyle x = \displaystyle \frac{ \frac{9}{2}}{ 2}\]

и упрощая окончательно получаем следующее

\[\displaystyle x=\frac{9}{4}\] Шаг 3: Проверка найденных решений путем обратного включения в исходные уравнения

Мы проверим, действительно ли найденные решения удовлетворяют уравнениям.

Подставляем $\displaystyle x = \frac{9}{4}$ и $\displaystyle y = \frac{1}{4}$ в предоставленные уравнения и получаем\[\begin{matrix } \displaystyle 2\cdot \left(\frac{9}{4}\right)+2\cdot \left(\frac{1}{4}\right) & = & 5\\\\\displaystyle \left( \фракция{9* = \displaystyle \frac{1}{4}\).

Калькулятор системы уравнений и решатель шаг за шагом

Калькулятор системы уравнений доступен для решения линейных уравнений из 2 и 3 линейных уравнений. Нам может быть сложно решить линейные уравнения, когда мы имеем дело с более чем 2 линейными уравнениями. .
Решить систему уравнений алгебраическим методом может быть довольно удивительно. Мы знаем, что есть 4 метода решения системы линейных уравнений. Здесь мы только решаем матричный метод с помощью калькулятора системы уравнений.

Система линейных уравнений представляет собой набор линейных уравнений из 2 или более 2, обычно эти уравнения представляют собой две переменные. Решение систем линейных уравнений
Примеры:
5x+6y=3
6x+9y=12
Мы можем решить систему уравнений с помощью калькулятора системы уравнений.

Метод решения алгебраического уравнения:

Мы можем решить алгебраическое уравнение следующими основными методами:

Графический метод
Алгебраический метод:

Алгебраический метод:

Алгебраический метод решения линейного уравнения подразделяется на четыре основных метода:

Метод подстановки
Метод исключения
Метод перекрестного умножения
Матричный метод

Метод подстановки:

«В методе подстановки мы вычисляем значение одной переменной из одного уравнения и подставляем его в другое уравнение».
Калькулятор системы уравнений быстро находит ответ линейного уравнения. Калькулятор метода подстановки делает задачу простой и сложной для нас, и мы можем быстро найти значения «x» и «y».

Метод исключения:

В методе исключения мы делаем коэффициенты уравнения равными, а затем вычитаем их, чтобы найти ответ переменных, таких как «x» и «y». Решение системы линейных уравнений может быть легко вычислено, если мы сможем сделать коэффициент равным.

Метод перекрестного умножения:

Метод перекрестного умножения обычно используется при решении систем линейных уравнений. Метод перекрестного умножения является наиболее простым методом решения линейных уравнений. Этот метод можно использовать для решения системы линейных уравнений из 2 или 3.

Матричный метод:

Существует три основных метода решения системы линейных уравнений, когда вы решаете линейное уравнение матричным методом:

Правило Крамера:

Правило Крамера — важный метод решения систем линейных уравнений. В правилах Крамера мы используем определитель матриц. Это основная причина, по которой правило Крамера также известно как определитель матриц. .
Решение систем уравнений по правилу Крамера.
ax+by= k
cx+dy= l
$$ \left[ \begin{array}{cc|c}a & b & k\\c & d & l\\\end{array}\right] $$
Определитель в этом случае равен”
$$ D = \begin{vmatrix}a & b \\ c & d\\\end{vmatrix} $$
$$D_x = \begin{vmatrix} a & b \\c & d\\\end{vmatrix} $$
$$D_y = \begin{vmatrix} a & b \\c & d\\\end{ vmatrix} $$
Окончательные значения переменных «x» и «y», рассчитанные калькулятором системы уравнений.
$$ x = \dfrac{D_x}{D} $$
$$ y = \dfrac{D_y}{D} $$

Правило Крамера широко используется для решения системы уравнений, так как его легко найти окончательный результат переменных по правилам Крамера. Калькулятор системы уравнений разрабатывает правильное решение линейных уравнений.

Метод обратной матрицы:

В методе обратной матрицы мы умножаем на обратную матрицу с обеих сторон уравнения. Это простая система уравнений с обратной матрицей. Возможно, вы столкнетесь с трудностями при решении систем уравнений. Вы можете быть поражены, увидев стиль работы калькулятора системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений, представленную следующим образом:
ax+by=L
cx+dy=K 91 \begin{bmatrix}L\\K \\\end{bmatrix} $$

Нам нужно только вставить значения коэффициентов и переменных, чтобы найти их при использовании калькулятора системы уравнений.

Исключение Гаусса-Жордана:

Рассматривайте это как метод, который можно использовать для решения системы линейных уравнений. Мы можем найти редуцированную форму эшелона методом исключения Гаусса-Жордана.
Основные шаги, связанные с исключением Гаусса-Жордана, следующие:

Изменение положения двух строк
Умножить одну из строк с ненулевым скалярным значением
Сложение и вычитание всех строк

Мы можем найти уменьшенную форму эшелона с помощью калькулятора исключения Гаусса.
Мы можем представить исключение Гаусса-Жордана следующим образом:
Рассмотрим линейное уравнение:
ax+by=L
cx+dy=K
$$ \left[ \begin{array}{cc|c}a & b & L\\c & d & K\\\end{массив}\right] $$

Практические примеры:

Шаг 1:
x+3y=5
7x+9y=11
нам нужно расставить значения коэффициентов переменных «x» и «y». Постоянные значения помещаются в правую часть матрицы.
$$ \left[ \begin{array}{cc|c}1 & 3 & 5\\7 & 9 & 11\\\end{array}\right] $$
Шаг 2:

Определитель в в этом случае:
$$ D = \begin{vmatrix}1 & 3 \\7 & 9\\\end{vmatrix} = -12 $$
Шаг 3:
Нам нужно разделить значения Dx и Dy:
D_x = \begin{vmatrix}5 и 3 \\11 и 9\\\end{vmatrix} = 12
D_y = \begin{vmatrix}1 & 5 \\7 & 11\\\end{vmatrix} = -24
Шаг 4:
Окончательные значения переменных «x» и «y», рассчитанный решателем системы уравнений.
$$ x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{12}{-12} = -1 $$
$$ y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-24}{- 12} = 2 $$
x=-1, y=2

Калькулятор решения уравнений — простой способ решения системы линейных уравнений всеми 3-мя известными матричными методами.

Работа калькулятора системы уравнений:

Система решателей уравнений обеспечивает решение 2-х или 3-х линейных уравнений наиболее простым и сложным способом.
Ввод:

- Вставьте коэффициент переменных и констант.
- Выберите метод решения уравнения.
- Нажмите кнопку расчета

Вывод:

Когда мы используем калькулятор системы линейных уравнений. Легко решить систему линейных уравнений.

- Окончательное отображаемое значение переменных
- Все этапы представлены различными способами

Часто задаваемые вопросы:

Зачем нужна система одновременных уравнений?

Когда нам нужно найти общее решение 2 или 3 линейных уравнений. Тогда нам нужно решить их вместе, и мы называем их одновременными уравнениями, так как они имеют общее решение. Калькулятор систем уравнений легко может найти решения одновременных уравнений.

Можете ли вы решить системное линейное уравнение без построения графика?

Да, линейное уравнение можно решить без построения графика. Существуют различные методы решения линейного уравнения, такие как замена, исключение и матричный метод решения линейного уравнения.

Как решить систему уравнений с показателями?

Вы можете решить систему уравнений с показателями, если основания двух или более показательных уравнений совпадают.

Каковы условия решения уравнения системы методом исключения?

Есть определенные условия для решения системы линейных уравнений
Запишите оба уравнения в стандартной форме
Сделайте коэффициенты одной переменной противоположными.
Добавьте уравнения, полученные в результате второго шага 2, чтобы исключить одну переменную.