Что такое модуль примеры. Калькулятор онлайн.Решение уравнений и неравенств с модулями
Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак «-» и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= — f(x), если f(x)
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3
Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
х 1 =0, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.
Б) При x
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
х 1 =2, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго — корень х=2.
МБОУ СОШ №17 г. Иванова
«Уравнения с модулем»
Методическая разработка
Составлена
учителем математики
Лебедевой Н.В.20010 г.
Пояснительная записка
Глава 1. Введение
Раздел 2. Основные свойства Раздел 3. Геометрическая интерпретация понятия модуля числа Раздел 4. График функции у = |х| Раздел 5.
Глава 2. Решение уравнений, содержащих модуль
Раздел 1.Уравнения вида |F(х)| = m (простейшие) Раздел 2. Уравнения вида F(|х|) = m Раздел 3. Уравнения вида |F(х)| = G(х) Раздел 4. Уравнения вида |F(х)| = ± F(х) (красивейшие) Раздел 5. Уравнения вида |F(х)| = |G(х)| Раздел 6. Примеры решения нестандартных уравнений Раздел 7. Уравнения вида |F(х)| + |G(х)| = 0 Раздел 8. Уравнения вида |а 1 х ± в 1 | ± |а 2 х ± в 2 | ± …|а n х ± в n | = m Раздел 9. Уравнения, содержащие несколько модулейГлава 3. Примеры решения различных уравнений с модулем.
Раздел 1. Тригонометрические уравнения Раздел 2. Показательные уравнения Раздел 3. Логарифмические уравнения Раздел 4. Иррациональные уравнения Раздел 5. Задания повышенной сложности Ответы к упражнениям Список литературы Понятие абсолютной величины (модуля) действительного числа является одной из существенных его характеристик.


│ а, если а > 0
│а│ = │ 0, если а = 0 (1)
│ — а, если аПримеры: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 — √2│ = √2 – 1
- Раскрыть модуль выражения:
Раздел 2.

При рассмотрении следующих свойств ограничимся их формулировкой, так как их доказательство приводится в Свойство №2: Абсолютная величина суммы конечного числа действительных чисел не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │+ … + │а n │ Свойство №3: Абсолютная величина разности двух действительных чисел не превосходит суммы их абсолютных величин: │а — в│ ≤│а│+│в│
Раздел 3.

Представленная геометрическая иллюстрация наглядно подтверждает свойство №1, т.е. модули противоположных чисел равны. Отсюда легко понимается справедливость равенства: │х – а│= │а — х│. Также более очевидным становиться решение уравнения │х│= m, где m ≥ 0, а именно х 1,2 = ± m. Примеры: 1) │х│= 4 х 1,2 = ± 4 2) │х — 3│= 1
х 1,2 = 2; 4
Раздел 4. График функции у = │х│
Область определения данной функции все действительные числа.
Раздел 5. Условные обозначения.
В дальнейшем при рассмотрении примеров решения уравнений будут использованы следующие условные обозначения: { — знак системы [ — знак совокупности При решение системы уравнений (неравенств) находится пересечение решений входящих в систему уравнений (неравенств). При решении совокупности уравнений (неравенств) находится объединение решений входящих в совокупность уравнений (неравенств). В этой главе мы рассмотрим алгебраические способы решения уравнений, содержащих один или более модуль.Раздел 1. Уравнения вида │F (х)│= m
Уравнение данного вида называется простейшим. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда m ≥ 0. По определению модуля, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: │F (х)│= m Примеры:№1. Решите уравнение: │7х — 2│= 9
Ответ: х 1 = — 1; х 2 = 1 4 / 7 №2 │х 2 + 3х + 1│= 1
х 2 + 3х + 2 = 0 х 2 +3х = 0 х 1 = -1; х 2 = -2 х · (х + 3) = 0 х 1 = 0; х 2 = -3 Ответ: сумма корней равна — 2 .

Раздел 2. Уравнения вида F(│х│) = m
Аргумент функции в левой части находится под знаком модуля, а правая часть не зависит от переменной. Рассмотрим два способа решения уравнений данного вида.1 способ: По определению абсолютной величины исходное уравнение равносильно совокупности двух систем.
Так как функция F(│х│) – чётная на всей области определения, то корни уравнений F(х) = m и F(- х) = m – это пары противоположных чисел. Поэтому достаточно решить одну из систем (при рассмотрении примеров указанным способом будет приводиться решение одной системы).2 способ: Применение метода введения новой переменной. При этом вводиться обозначение │х│= а, где а ≥ 0. Данный способ менее объёмный по оформлению.Примеры: №1 . Решите уравнение: 3х 2 – 4│х│= — 1 Воспользуемся введением новой переменной. Обозначим │х│= а, где а ≥ 0. Получим уравнение 3а 2 — 4а + 1 = 0 Д = 16 – 12 = 4 а 1 = 1 а 2 = 1 / 3 Возвращаемся к исходной переменной: │х│=1 и │х│= 1 / 3 . Каждое уравнение имеет два корня. Ответ: х 1 = 1; х 2 = — 1; х 3 = 1 / 3 ; х 4 = — 1 / 3 .

Найдём решение первой системы совокупности: 4х 2 + 5х – 2 =0 Д = 57 х 1 = -5+√57 / 8 х 2 = -5-√57 / 8 Заметим, что х 2 не удовлетворяет условию х ≥ 0. Решением второй системы будет число, противоположное значению х 1 . Ответ: х 1 = -5+√57 / 8 ; х 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Решите уравнение: х 4 – │х│= 0 Обозначим │х│= а, где а ≥ 0. Получим уравнение а 4 – а = 0 а · (а 3 – 1) = 0 а 1 = 0 а 2 = 1 Возвращаемся к исходной переменной: │х│=0 и │х│= 1 х = 0; ± 1 Ответ: х 1 = 0; х 2 = 1; х 3 = — 1.
Упражнения: №6. Решите уравнение: 2│х│ — 4,5 = 5 – 3 / 8 │х│№7 . Решите уравнение, в ответе укажите количество корней: 3х 2 — 7│х│ + 2 = 0№8 . Решите уравнение, в ответе укажите целые решения: х 4 + │х│ — 2 = 0
Раздел 3.

Данный способ рационально использовать в случае сложного выражения для функции G(x) и мене сложного – для функции F(х), так как предполагается решение неравенств с функцией F(х).2 способ: Состоит в переходе к равносильной системе, в которой накладывается условие на правую часть. │F (x )│= G (x )
Данный способ удобнее применять, если выражение для функции G(х) мене сложное, чем для функции F(х), так как предполагается решение неравенства G(х) ≥ 0. Кроме того, в случае нескольких модулей этот способ рекомендуется применять второй вариант.

(1 способ) Ответ: х = 1 1 / 3 №2. │х 2 – 2х — 1│= 2·(х + 1)
(2 способ) Ответ: Произведение корней – 3. №3. Решите уравнение,в ответе укажите сумму корней:
│х — 6│= х 2 — 5х + 9
Ответ: сумма корней равна 4.
Упражнения: №9. │х + 4│= — 3х№10. Решите уравнение, в ответе укажите число решений:│х 2 + х — 1│= 2х – 1№11 . Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:│х + 3│= х 2 + х – 6
Раздел 4. Уравнения вида │F(x)│= F(x) и │F(x)│= — F(x)
Уравнения данного вида иногда называют «красивейшими». Так как правая часть уравнений зависит от переменной, решения существуют тогда и только тогда, когда правая часть неотрицательна. Поэтому исходные уравнения равносильны неравенствам:│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 и │F(x)│= — F(x) F(x)Примеры: №1 .

│4 – х —
│= 4 – х –
х 2 – 5х + 5 = 0 Д = 5 х 1,2 =
≈ 1,4
Ответ: х = 3.
Упражнения: №12. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень: │х 2 + 6х + 8│= х 2 + 6х + 8№13. Решите уравнение, в ответе укажите число целых решений: │13х – х 2 — 36│+ х 2 – 13х + 36 = 0№14. Решите уравнение, в ответе укажите целое число, не являющееся корнем уравнения:
Раздел 5.

Примеры: №1. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень: │х + 3│=│2х — 1│
Ответ: целый корень х = 4. №2. Решите уравнение: │ х – х 2 — 1│=│2х – 3 – х 2 │
Ответ: х = 2. №3 . Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:
Корниуравнения 4х 2 + 2х – 1 = 0 х 1,2 = — 1±√5 / 4 Ответ: произведение корней равно – 0,25. Упражнения: №15 . Решите уравнение, в ответе укажите целое решение:│х 2 – 3х + 2│= │х 2 + 6х — 1│ №16. Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень:│5х — 3│=│7 — х│ №17 . Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:
Раздел 6. Примеры решения нестандартных уравнений
В данном разделе мы рассмотрим примеры нестандартных уравнений, при решении которых абсолютная величина выражения раскрывается по определению.Примеры:№1. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: х · │х│- 5х – 6 = 0
Ответ: сумма корней равна 1 №2. . Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень: х 2 — 4х ·
— 5 = 0
Ответ: меньший корень х = — 5. №3. Решите уравнение:
Ответ: х = -1. Упражнения: №18. Решите уравнение и укажите сумму корней: х · │3х + 5│= 3х 2 + 4х + 3
№19. Решите уравнение: х 2 – 3х =
№20. Решите уравнение:
Раздел 7. Уравнения вида │F(x)│+│G(x)│=0
Нетрудно заметить, что в левой части уравнения данного вида сумма неотрицательных величин.
Примеры: №1 . Решите уравнение:
Ответ: х = 2. №2. Решите уравнение: Ответ: х = 1. Упражнения: №21. Решите уравнение:№22 . Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:№23 . Решите уравнение, в ответе укажите количество решений:
Раздел 8. Уравнения вида │а 1 х + в 1 │±│а 2 х + в 2 │± … │а n х +в n │= m
Для решения уравнений данного вида применяется метод интервалов. Если его решать последовательным раскрытием модулей, то получим n совокупностей систем, что очень громоздко и неудобно. Рассмотрим алгоритм метода интервалов: 1). Найти значения переменной х , при которых каждый модуль равен нулю (нули подмодульных выражений):2).

1). Найдём нули подмодульных выражений: х = 2; х = -3 2). Отметим найденные значения на числовой прямой и определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах:
х – 2 х – 2 х – 2 — — + — 3 2 х 2х + 6 2х + 6 2х + 6 — + + 3)
— нет решений Уравнение имеет два корня. Ответ: наибольший корень х = 2. №2. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень:
1).

-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 — — +
3).
Последняя система не имеет решений, следовательно, уравнение имеет два корня. В ходе решения уравнения следует обратить внимание на знак « — » перед вторым модулем. Ответ: целый корень х = 7. №3. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: 1). Найдём нули подмодульных выражений: х = 5; х = 1; х = — 2 2). Отметим найденные значения на числовой прямой и определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах: х – 5 х – 5 х – 5 х – 5 — — — +
-2 1 5 х х – 1 х – 1 х – 1 х – 1 — — + + х + 2 х + 2 х + 2 х + 2 — + + +
3).
Уравнение имеет два корня х = 0 и 2. Ответ: сумма корней равна 2. №4 . Решите уравнение: 1). Найдём нули подмодульных выражений: х = 1; х = 2; х = 3.

Объединим решения первых трёх систем. Ответ: ; х = 5.
Упражнения: №24. Решите уравнение:№25. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:№26. Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень:№27. Решите уравнение, в ответе укажите больший корень:
Раздел 9. Уравнения, содержащие несколько модулей
Уравнения, содержащие несколько модулей, предполагают наличие абсолютных величин в подмодульных выражениях. Основной принцип решения уравнений данного вида – это последовательное раскрытие модулей, начиная с «внешнего». В ходе решения используются приёмы, рассмотренные в разделах №1, №3.Примеры: №1. Решите уравнение:
Ответ: х = 1; — 11. №2. Решите уравнение:
Ответ: х = 0; 4; — 4. №3. Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:
Ответ: произведение корней равно – 8. №4. Решите уравнение:
Обозначим уравнения совокупности (1) и (2) и рассмотрим решение каждого из них отдельно для удобства оформления. Так как оба уравнения содержат более одного модуля, то удобнее осуществить равносильный переход к совокупностям систем.(1)
(2)
Ответ:
Упражнения: №36. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: 5 │3х-5│ = 25 х №37. Решите уравнение, если корней более одного, в ответе укажите сумму корней: │х + 2│ х – 3х – 10 = 1 №38. Решите уравнение: 3 │2х -4│ = 9 │х│ №39. Решите уравнение, в ответе укажите количество корней на : 2 │ sin х│ = √2 №40 . Решите уравнение, в ответе укажите количество корней:
Раздел 3. Логарифмические уравнения.
Перед решением следующих уравнений необходимо повторить свойства логарифмов и логарифмической функции.Примеры: №1.
1 случай: если х ≥ — 1, то log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – удовлетворяет условию х ≥ — 1 2 случай: если х log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = — 5 – удовлетворяет условию х — 1
Ответ: произведение корней равно – 15.
№2. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: lg
О.Д.З.
Ответ: сумма корней равна 0,5.
№3. Решите уравнение: log 5
О.Д.З.
Ответ: х = 9. №4. Решите уравнение: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ О.Д.З. х > 0 Воспользуемся формулой перехода к другому основанию. │2 — log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 — log 5 x│- │1 + log 5 x│= — 3 Найдём нули подмодульных выражений: х = 25; х = Эти числа делят область допустимых значений на три интервала, поэтому уравнение равносильно совокупности трёх систем.
Ответ: }
Решение уравнений с модулем — презентация онлайн
1. Решение уравнений с модулем
2. Содержание
1. Определение модуля2. Виды уравнений:
f x a, a const
f x g x
f x g x
f1 x f 2 x f n x g x
3. Методы решения уравнений
4. Задания для самостоятельного решения
5. Выводы
6. Домашнее задание
Большинство уравнений с модулем можно решить исходя из
определения модуля:
a, если a 0,
a
— a, если a 0
Пример
Содержание
Пример 1
Решить уравнение
2x 5 x
Решение:
x 2,5
2 x 5 0
x 5
x 5
2 x 5 x
x 2,5
5
2x 5 x
x
2 x 5 0
3
5
x
3
2 x 5 x
Ответ:
5
,5
3
Методы решения
Содержание
Пример 2
Решить уравнение
x 2 1 2 x 1
Если решать это уравнение по определению, то
придется трижды использовать определение модуля
и при этом нам необходимо будет решить 8 систем.
Поэтому, чтобы избежать этих сложностей, полезно
знать ряд равносильных преобразований некоторых
типов уравнений и другие способы решения
уравнений.

Уравнение вида:
f x a, a const
Равносильно :
, если a 0
f ( x ) 0, если a 0
f ( x) a
f ( x ) a, если a 0
Пример
Содержание
Пример 3
Решить уравнение
x 2 3x 2 1
Решение:
x 3x 2 1
x 3x 3 0;
x 3x 2 1 2
2
x 3x 2 1 x 3x 1 0
2
2
Ответ:
2
3 21
x
2
3 13
x
2
3 21 3 13
,
2
2
Заметим, что если бы мы решали уравнение по определению,
то у нас возникли бы затруднения при подстановке корней в
соответствующие неравенства.
Следующая
равносильность
Содержание
Рассмотрим уравнения вида
f x g x
Такие уравнения можно решать двумя способами:
I способ:
Если f(x) имеет более простой вид, чем g(x), то
f x 0,
f x g x ,
f x g x
f x 0,
— f x g x .
Пример
Далее
Пример 4
Решить уравнение
x 7 x3 15×2 x 7
Решение:
x 7 0,
3
2
x
7
x
15
x
x 7;
3
2
x 7 x 15x x 7
x 7 0,
x 7 x 3 15 x 2 x 7
x 7,
x 7,
3
3
2
2
2
x
15
x
14
0
;
x
x
14
x
1 0;
x 7,
x 7,
x x 2 15 x 2 0
x 3 15 x 2 2 x 0
Решим уравнение первой системы:
x
3
x 2 14 x 2 1 0
x 2 x 1 14 x 1 x 1 0 x 1 x 2 14 x 14 0
x 1; x 7 63
Решим уравнение второй системы:
x x 15x 2 0
2
15 217
x 0; x
2
Вернемся к совокупности систем:
x 7,
x 1,
x 7 63,
x 7 63,
x 7,
x 0,
15 217
x
,
2
15 217
x
2
Ответ:
x 7 63,
x 0,
x 15 217
2
15 — 217
0; 7 63,
.

2
Следующая
равносильность
Содержание
Далее
II способ: Если g(x) имеет более простой вид, чем f(x).
Если g(x)<0, то уравнение |f(x)|=g(x) не имеет решений
Если g(x)≥0, то
g x 0,
f x g x f x g x ,
f x g x
Пример
Содержание
Пример 5
Решить уравнение
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35
Решение:
10 x 35 0,
6 x 3 2 x 2 4 x 33 0 6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35,
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35
Решим первое уравнение совокупности:
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35 6 x 3 2 x 2 6 x 2 0
6 x x 2 1 2 x 2 1 0 2 x 2 1 3x 1 0
x 1,
1
x .
3
Решим второе уравнение совокупности:
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35 6 x 3 2 x 2 14 x 68 0
6 x 3 48 2 x 2 8 14 x 28 0
6 x 2 x 2 2 x 4 2 x 2 x 2 14 x 2 0
x 2 3x 2 5x 17 0 x 2
Вернемся к системе:
10 x 35 0,
x 1,
1
x 3,
x 2
Система решений не имеет, следовательно, уравнение
Следующая
Содержание
решений не имеет.
равносильность
Рассмотрим уравнения вида
f x g x
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
f x g x f
2
x g x
2
f x g x ,
f x g x f x g x 0
f x g x .

И мы получаем следующую равносильность:
f x g x ,
f x g x
f x g x .
Пример
Содержание
Пример 6
Решить уравнение
x 5 6 x 2 9 x 6 x 5 2 x 3 6 x 2 13x 6
Решение:
x 5 6 x 2 9 x 6 x 5 2 x 3 6 x 2 13x 6
x 5 6 x 2 9 x 6 x 5 2 x 3 6 x 2 13x 6,
5
2
5
3
2
x
6
x
9
x
6
x
2
x
6
x
13x 6.
2 x x 4 x 2 2 0,
2 x 5 2 x 3 4 x 0,
3
3
2
2 x 6 x 2 11x 6 0.
2
x
12
x
22
x
12
0
.
Решим первое уравнение совокупности:
2 x x 4 x 2 2 0 x x 4 1 x 2 1 0
x x 2 1 x 2 1 x 2 1 0 x x 2 1 x 2 2 0
x 0,
x 2.
Решим второе уравнение совокупности:
x 3 6 x 2 11x 6 0 x 1 x 2 5x 6 0
x 1,
x 2,
x 3.
Вернемся к совокупности:
x
x
x
x
x
0,
2,
1,
2,
3.
Ответ: 0, 2 , 1, 2 ,3.
Методы решения
Содержание
Рассмотрим уравнения вида
f1 x f 2 x f n x g x
Для решения уравнений такого вида удобно воспользоваться
следующим алгоритмом:
1)Найти нули подмодульных выражений;
2)Провести столько параллельных прямых, сколько
содержится модулей в данном уравнении;
3)Нанести на каждую прямую знаки, соответствующие
подмодульной функции;
4)Через точки, соответствующие подмодульным нулям,
провести вертикальные прямые, которые разобьют
параллельные прямые на интервалы;
5)Раскрыть модули на каждом интервале и решить на этом
интервале уравнение.

Пример
Содержание
Пример 7
Решить уравнение
x 1 2 x x 3 4
Решение:
1. Нули подмодульных выражений: x1 1, x2 2, x3 3
2. Проведем параллельные прямые, нанесем на них эти
значения и знаки, соответствующие модулям на каждом
из полученных интервалов:
I
II
III
IV
x 3
–
+
+
+
2 x
+
+
+
–
x 1
–
–
+
+
-3
-1
2
x
Раскрывая модули на каждом интервале, получим
совокупность систем:
x 3,
x 3,
x
1
2
x
x
3
4
x 0
3 x 1,
3 x 1,
x 1 2 x x 3 4
x 2
x 1 2 x x 3 4
1 x 2,
1 x 2,
x 1 2 x x 3 4
x 4
x
2
,
x 2,
x 1 2 x x 3 4
x 8
x 2, x 8.
Ответ:
-2; 8
Методы решения
Содержание
В некоторых случаях удобнее использовать метод замены
переменной.
Пример 8
Решить уравнение
x 2 2 2 x 2 8 0
Решение:
Данное уравнение может быть решено несколькими
способами.

Например:
Способ 1. Используя определение модуля.
Способ 2. Свести уравнение к равносильности f x g x
Способ 3. Замена переменной.
Заметим, что x 2 2 x 2 2 Замена: x 2 t, t 0
Уравнение принимает вид: t 2 2t 8 0, t1 4 (п.к.), t 2 2
Обратная замена: x 2 2 x 4, x 0
Ответ: 0; 4
Методы решения
Содержание
Бывает и так , что уравнение нельзя отнести ни к одному из
рассмотренных типов, а так затруднительно решить его исходя
из определения. В этом случае удобно воспользоваться
графическим способом решения.
Пример 9
Решить уравнение
x 2 1 2 x 1
Решение:
Построим в одной системе координат графики функций
y x 2 1 2, y x 1
y x 2
y x 2 1
10
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
yy x 2 1
10
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
10
y x 2 1 2
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
10
y x 2 1 2
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
Найдем их точки пересечения
10
y x 2 1 2
y x 1
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Содержание
-2
Ответ:
x 1;1
28.

Ответ : 3; 4.
2) x 2 x 1 1
Ответ : 0; 1; 2.
3) x 2 x 3 x
Ответ : 1; 3 .
4) x 2 x 3 2x 8 9
Ответ : 1; 5,5.
5) x — x 2 1 2x — 3 — x 2
Ответ : 2.
6) x 1 — 2 x 1 1 0
Ответ : — 2; 0.
7) x 2 2x — 3 x 1 3 0
Ответ : — 3; — 2; 0;1.
2
Содержание
29. Выводы
1. Виды уравнений:f x a, a const
f x g x
f x g x
f1 x f 2 x f n x g x
2. Методы решения уравнений
Аналитический:
— по определению
— использование равносильностей
— разбиение на промежутки
— замены переменной
Графический
Содержание
30. Домашнее задание
Уровень 1Уровень 2
1) x — 1 2 x 1 1 0
1) x x 6
2
2
2) x 1 1 x
2
2
2) x 2 x 8 x
3) x 2 x — 6 0
3) x 10 2 x 10 11
4) 2 x 1 x 3
4) 3 — x 2x 2 3
5) x — 1 x 1 4
5) x 2 4x 3 x 2 5x 4 0
31. Уровень 3
1) 2x 1 1 5p2) 2x — x 3 x 7
2
3) x 2 4 9 x 2 5
4)
9 — x 2 x 2 4x 3
5) x 2 2x 3 x 2 2x 8 4x 5
Содержание
Калькулятор модуля сравнения
Калькулятор модуля сравненияКак работает калькулятор модуля сравнения?
Учитывая возможное отношение конгруэнтности a ≡ b (mod n), это определяет, верно ли отношение (b конгруэнтно c c по модулю n).
Этот калькулятор имеет 3 входа.
Какая 1 формула используется для расчета модуля сравнения?
- если a ≡ b (mod n), то (a — b)/n является целым числом
Какие 4 концепции используются в Калькуляторе модуля сравнения?
- сравнение по модулю n
- Происходит, когда два числа имеют разность, кратную n.
- конгруэнтны
- идентичны по форме
≅ - модуль
- остаток от деления после деления одного числа на другое.
a mod b - остаток
- Часть операции деления, оставшаяся после деления двух целых чисел
Пример расчета модуля сравнения
- 3 = 4 mod 7
- 20 = 5 (mod 2)