Что такое модуль примеры. Калькулятор онлайн.Решение уравнений и неравенств с модулями
Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак «-» и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= — f(x), если f(x)
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3
Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
х 1 =0, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.
Б) При x
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
х 1 =2, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго — корень х=2.
МБОУ СОШ №17 г. Иванова
«Уравнения с модулем»
Методическая разработка
Составлена
учителем математики
Лебедевой Н.В.20010 г.
Пояснительная записка
Глава 1. Введение
Раздел 2. Основные свойства Раздел 3. Геометрическая интерпретация понятия модуля числа Раздел 4. График функции у = |х| Раздел 5.
Условные обозначения Глава 2. Решение уравнений, содержащих модуль
Раздел 1.Уравнения вида |F(х)| = m (простейшие) Раздел 2. Уравнения вида F(|х|) = m Раздел 3. Уравнения вида |F(х)| = G(х) Раздел 4. Уравнения вида |F(х)| = ± F(х) (красивейшие) Раздел 5. Уравнения вида |F(х)| = |G(х)| Раздел 6. Примеры решения нестандартных уравнений Раздел 7. Уравнения вида |F(х)| + |G(х)| = 0 Раздел 8. Уравнения вида |а 1 х ± в 1 | ± |а 2 х ± в 2 | ± …|а n х ± в n | = m Раздел 9. Уравнения, содержащие несколько модулейГлава 3. Примеры решения различных уравнений с модулем.
Раздел 1. Тригонометрические уравнения Раздел 2. Показательные уравнения Раздел 3. Логарифмические уравнения Раздел 4. Иррациональные уравнения Раздел 5. Задания повышенной сложности Ответы к упражнениям Список литературы Понятие абсолютной величины (модуля) действительного числа является одной из существенных его характеристик.
Это понятие имеет широкое распространение в различных разделах физико-математических и технических наук. В практике преподавания курса математики в средней школе в соответствии с Программой МО РФ понятие «абсолютная величина числа» встречается неоднократно: в 6 – м классе вводиться определение модуля, его геометрический смысл; в 8 – м классе формируется понятие абсолютной погрешности, рассматривается решение простейших уравнений и неравенств, содержащих модуль, изучаются свойства арифметического квадратного корня; в 11 – м классе понятие встречается в разделе «Корень 
Для жизни в современном обществе очень важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках. В процессе решения задач с модулями требуется умение применять такие приёмы, как обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Решение подобных заданий позволяет проверить знание основных разделов школьного курса, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.
Данная работа посвящена одному из разделов – решению уравнений, содержащих модуль. Она состоит из трёх глав. В первой главе вводятся основные понятия и наиболее важные теоретические выкладки. Во второй главе предлагаются девять основных типов уравнений, содержащих модуль, рассматриваются методы их решения, разбираются примеры разного уровня сложности. В третьей главе предлагаются более сложные и нестандартные уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические и иррациональные). К каждому типу уравнений есть упражнения для самостоятельного решения (ответы и указания прилагаются).
Основное назначение данной работы – это оказание методической помощи преподавателям при подготовке к урокам и при организации факультативных курсов. Материал также может быть использован в качестве учебного пособия для старшеклассников. Задания, предлагаемые в работе, интересны и не всегда просты в решении, что позволяет сделать учебную мотивацию учащихся более осознанной, проверить свои способности, повысить уровень подготовки выпускников школ к поступлению в Вузы. Дифференцированный подбор предлагаемых упражнений предполагает переход от репродуктивного уровня усвоения материала к творческому, а также возможность научить применять свои знания при решении нестандартных задач.│ а, если а > 0
│а│ = │ 0, если а = 0 (1)
│ — а, если аПримеры: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 — √2│ = √2 – 1
- Раскрыть модуль выражения:
Раздел 2.
Основные свойства. Рассмотрим основные свойства абсолютной величины. Свойство №1: Противоположные числа имеют равные модули, т.е. │а│=│- а│ Покажем верность равенства. Запишем определение числа – а : │— а│ = (2) Сравним совокупности (1) и (2). Очевидно, что определения абсолютных величин чисел а и – а совпадают. Следовательно, │а│=│- а│ При рассмотрении следующих свойств ограничимся их формулировкой, так как их доказательство приводится в Свойство №2: Абсолютная величина суммы конечного числа действительных чисел не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │+ … + │а n │ Свойство №3: Абсолютная величина разности двух действительных чисел не превосходит суммы их абсолютных величин: │а — в│ ≤│а│+│в│
Раздел 3.
Геометрическая интерпретация понятия модуля числа. Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку на числовой прямой, которая будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке на числовой прямой соответствует её расстояние от начала отсчёта, т.е. длина отрезка от начала отсчёта до данной точки. Это расстояние рассматривается всегда как величина неотрицательная. Поэтому длина соответствующего отрезка и будет геометрической интерпретацией абсолютной величины данного действительного числа Представленная геометрическая иллюстрация наглядно подтверждает свойство №1, т.е. модули противоположных чисел равны. Отсюда легко понимается справедливость равенства: │х – а│= │а — х│. Также более очевидным становиться решение уравнения │х│= m, где m ≥ 0, а именно х 1,2 = ± m. Примеры: 1) │х│= 4 х 1,2 = ± 4 2) │х — 3│= 1
х 1,2 = 2; 4
Раздел 4. График функции у = │х│
Область определения данной функции все действительные числа.
Раздел 5. Условные обозначения.
В дальнейшем при рассмотрении примеров решения уравнений будут использованы следующие условные обозначения: { — знак системы [ — знак совокупности При решение системы уравнений (неравенств) находится пересечение решений входящих в систему уравнений (неравенств). При решении совокупности уравнений (неравенств) находится объединение решений входящих в совокупность уравнений (неравенств). В этой главе мы рассмотрим алгебраические способы решения уравнений, содержащих один или более модуль.Раздел 1. Уравнения вида │F (х)│= m
Уравнение данного вида называется простейшим. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда m ≥ 0. По определению модуля, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: │F (х)│= m Примеры:№1. Решите уравнение: │7х — 2│= 9
Ответ: х 1 = — 1; х 2 = 1 4 / 7 №2 │х 2 + 3х + 1│= 1
х 2 + 3х + 2 = 0 х 2 +3х = 0 х 1 = -1; х 2 = -2 х · (х + 3) = 0 х 1 = 0; х 2 = -3 Ответ: сумма корней равна — 2 .
№3 │х 4 -5х 2 + 2│= 2 х 4 – 5х 2 = 0 х 4 – 5х 2 + 4 = 0 х 2 · (х 2 – 5) = 0 обозначим х 2 = m, m ≥ 0 х = 0; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – оба значения удовлетворяют условию m ≥ 0 х 2 = 1 х 2 = 4 х = ± 1 х = ± 2 Ответ: количество корней уравнения 7. Упражнения: №1. Решите уравнение и укажите сумму корней: │х — 5│= 3№2 . Решите уравнение и укажите меньший корень: │х 2 + х│= 0№3 . Решите уравнение и укажите больший корень: │х 2 – 5х + 4│= 4№4 .Решите уравнение и укажите целый корень: │2х 2 – 7х + 6│= 1№5 .Решите уравнение и укажите количество корней: │х 4 – 13х 2 + 50│= 14Раздел 2. Уравнения вида F(│х│) = m
Аргумент функции в левой части находится под знаком модуля, а правая часть не зависит от переменной. Рассмотрим два способа решения уравнений данного вида.1 способ: По определению абсолютной величины исходное уравнение равносильно совокупности двух систем.
В каждой из которых накладывается условие на подмодульное выражение. F (│х│) = m Так как функция F(│х│) – чётная на всей области определения, то корни уравнений F(х) = m и F(- х) = m – это пары противоположных чисел. Поэтому достаточно решить одну из систем (при рассмотрении примеров указанным способом будет приводиться решение одной системы).2 способ: Применение метода введения новой переменной. При этом вводиться обозначение │х│= а, где а ≥ 0. Данный способ менее объёмный по оформлению.Примеры: №1 . Решите уравнение: 3х 2 – 4│х│= — 1 Воспользуемся введением новой переменной. Обозначим │х│= а, где а ≥ 0. Получим уравнение 3а 2 — 4а + 1 = 0 Д = 16 – 12 = 4 а 1 = 1 а 2 = 1 / 3 Возвращаемся к исходной переменной: │х│=1 и │х│= 1 / 3 . Каждое уравнение имеет два корня. Ответ: х 1 = 1; х 2 = — 1; х 3 = 1 / 3 ; х 4 = — 1 / 3 .
№2. Решите уравнение: 5х 2 + 3│х│- 1 = 1 / 2 │х│ + 3х 2 Найдём решение первой системы совокупности: 4х 2 + 5х – 2 =0 Д = 57 х 1 = -5+√57 / 8 х 2 = -5-√57 / 8 Заметим, что х 2 не удовлетворяет условию х ≥ 0. Решением второй системы будет число, противоположное значению х 1 . Ответ: х 1 = -5+√57 / 8 ; х 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Решите уравнение: х 4 – │х│= 0 Обозначим │х│= а, где а ≥ 0. Получим уравнение а 4 – а = 0 а · (а 3 – 1) = 0 а 1 = 0 а 2 = 1 Возвращаемся к исходной переменной: │х│=0 и │х│= 1 х = 0; ± 1 Ответ: х 1 = 0; х 2 = 1; х 3 = — 1.
Упражнения: №6. Решите уравнение: 2│х│ — 4,5 = 5 – 3 / 8 │х│№7 . Решите уравнение, в ответе укажите количество корней: 3х 2 — 7│х│ + 2 = 0№8 . Решите уравнение, в ответе укажите целые решения: х 4 + │х│ — 2 = 0
Раздел 3.
Уравнения вида │F(х)│ = G(х) Правая часть уравнения данного вида зависит от переменной и, следовательно, имеет решение тогда и только тогда, когда правая часть функция G(х) ≥ 0. Исходное уравнение можно решить двумя способами:1 способ: Стандартный, основан на раскрытии модуля исходя из его определения и заключается в равносильном переходе к совокупности двух систем. │F (х)│ = G (х) Данный способ рационально использовать в случае сложного выражения для функции G(x) и мене сложного – для функции F(х), так как предполагается решение неравенств с функцией F(х).2 способ: Состоит в переходе к равносильной системе, в которой накладывается условие на правую часть. │F (x )│= G (x )
Данный способ удобнее применять, если выражение для функции G(х) мене сложное, чем для функции F(х), так как предполагается решение неравенства G(х) ≥ 0. Кроме того, в случае нескольких модулей этот способ рекомендуется применять второй вариант.
Примеры: №1. Решите уравнение: │х + 2│= 6 -2х (1 способ) Ответ: х = 1 1 / 3 №2. │х 2 – 2х — 1│= 2·(х + 1)
(2 способ) Ответ: Произведение корней – 3. №3. Решите уравнение,в ответе укажите сумму корней:
│х — 6│= х 2 — 5х + 9
Ответ: сумма корней равна 4.
Упражнения: №9. │х + 4│= — 3х№10. Решите уравнение, в ответе укажите число решений:│х 2 + х — 1│= 2х – 1№11 . Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:│х + 3│= х 2 + х – 6
Раздел 4. Уравнения вида │F(x)│= F(x) и │F(x)│= — F(x)
Уравнения данного вида иногда называют «красивейшими». Так как правая часть уравнений зависит от переменной, решения существуют тогда и только тогда, когда правая часть неотрицательна. Поэтому исходные уравнения равносильны неравенствам:│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 и │F(x)│= — F(x) F(x)Примеры: №1 .
Решите уравнение, в ответе укажите меньший целый корень: │5х — 3│= 5х – 3 5х – 3 ≥ 0 5х ≥ 3 х ≥ 0,6 Ответ: х = 1 №2. Решите уравнение, в ответе укажите длину промежутка: │х 2 — 9│= 9 – х 2 х 2 – 9 ≤ 0 (х – 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Ответ: длина промежутка равна 6. №3 . Решите уравнение, в ответе укажите число целых решений: │2 + х – х 2 │= 2 + х – х 2 2 + х – х 2 ≥ 0 х 2 – х – 2 ≤ 0 [- 1; 2] Ответ: 4 целых решения. №4 . Решите уравнение, в ответе укажите наибольший корень:│4 – х —
│= 4 – х –
х 2 – 5х + 5 = 0 Д = 5 х 1,2 =
≈ 1,4
Ответ: х = 3.
Упражнения: №12. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень: │х 2 + 6х + 8│= х 2 + 6х + 8№13. Решите уравнение, в ответе укажите число целых решений: │13х – х 2 — 36│+ х 2 – 13х + 36 = 0№14. Решите уравнение, в ответе укажите целое число, не являющееся корнем уравнения:
Раздел 5.
Уравнения вида │F(x)│= │G(x)│ Так как обе части уравнения неотрицательные, то решение предполагает рассмотрение двух случаев: подмодульные выражения равны или противоположны по знаку. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: │F (x )│= │ G (x )│ Примеры: №1. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень: │х + 3│=│2х — 1│
Ответ: целый корень х = 4. №2. Решите уравнение: │ х – х 2 — 1│=│2х – 3 – х 2 │
Ответ: х = 2. №3 . Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:
Корниуравнения 4х 2 + 2х – 1 = 0 х 1,2 = — 1±√5 / 4 Ответ: произведение корней равно – 0,25. Упражнения: №15 . Решите уравнение, в ответе укажите целое решение:│х 2 – 3х + 2│= │х 2 + 6х — 1│ №16. Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень:│5х — 3│=│7 — х│ №17 .
Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:
Раздел 6. Примеры решения нестандартных уравнений
В данном разделе мы рассмотрим примеры нестандартных уравнений, при решении которых абсолютная величина выражения раскрывается по определению.Примеры:№1. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: х · │х│- 5х – 6 = 0
Ответ: сумма корней равна 1 №2. . Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень: х 2 — 4х ·
— 5 = 0
Ответ: меньший корень х = — 5. №3. Решите уравнение:
Ответ: х = -1. Упражнения: №18. Решите уравнение и укажите сумму корней: х · │3х + 5│= 3х 2 + 4х + 3
№19. Решите уравнение: х 2 – 3х =
№20. Решите уравнение:
Раздел 7. Уравнения вида │F(x)│+│G(x)│=0
Нетрудно заметить, что в левой части уравнения данного вида сумма неотрицательных величин.
Следовательно, исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда оба слагаемых одновременно равны нулю. Уравнение равносильно системе уравнений: │F (x )│+│ G (x )│=0 Примеры: №1 . Решите уравнение:
Ответ: х = 2. №2. Решите уравнение: Ответ: х = 1. Упражнения: №21. Решите уравнение:№22 . Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:№23 . Решите уравнение, в ответе укажите количество решений:
Раздел 8. Уравнения вида │а 1 х + в 1 │±│а 2 х + в 2 │± … │а n х +в n │= m
Для решения уравнений данного вида применяется метод интервалов. Если его решать последовательным раскрытием модулей, то получим n совокупностей систем, что очень громоздко и неудобно. Рассмотрим алгоритм метода интервалов: 1). Найти значения переменной х , при которых каждый модуль равен нулю (нули подмодульных выражений):2).
Найденные значения отметить на числовой прямой, которая разбивается на интервалы (количество интервалов соответственно равно n +1 ) 3). Определить, с каким знаком раскрывается каждый модуль на каждом из полученных интервалов (при оформлении решения можно использовать числовую прямую, отметив на ней знаки) 4). Исходное уравнение равносильно совокупности n +1 систем, в каждой из которых указывается принадлежность переменной х одному из интервалов. Примеры: №1 . Решите уравнение, в ответе укажите наибольший корень: 1). Найдём нули подмодульных выражений: х = 2; х = -3 2). Отметим найденные значения на числовой прямой и определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах:
х – 2 х – 2 х – 2 — — + — 3 2 х 2х + 6 2х + 6 2х + 6 — + + 3)
— нет решений Уравнение имеет два корня. Ответ: наибольший корень х = 2. №2. Решите уравнение, в ответе укажите целый корень:
1).
Найдём нули подмодульных выражений: х = 1,5; х = — 1 2). Отметим найденные значения на числовой прямой и определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах: х + 1 х + 1 х + 1 — + +-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 — — +
3).
Последняя система не имеет решений, следовательно, уравнение имеет два корня. В ходе решения уравнения следует обратить внимание на знак « — » перед вторым модулем. Ответ: целый корень х = 7. №3. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: 1). Найдём нули подмодульных выражений: х = 5; х = 1; х = — 2 2). Отметим найденные значения на числовой прямой и определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах: х – 5 х – 5 х – 5 х – 5 — — — +
-2 1 5 х х – 1 х – 1 х – 1 х – 1 — — + + х + 2 х + 2 х + 2 х + 2 — + + +
3).
Уравнение имеет два корня х = 0 и 2. Ответ: сумма корней равна 2. №4 . Решите уравнение: 1). Найдём нули подмодульных выражений: х = 1; х = 2; х = 3.
2). Определим, с каким знаком раскрывается каждый модуль на полученных интервалах. 3). Объединим решения первых трёх систем. Ответ: ; х = 5.
Упражнения: №24. Решите уравнение:№25. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней:№26. Решите уравнение, в ответе укажите меньший корень:№27. Решите уравнение, в ответе укажите больший корень:
Раздел 9. Уравнения, содержащие несколько модулей
Уравнения, содержащие несколько модулей, предполагают наличие абсолютных величин в подмодульных выражениях. Основной принцип решения уравнений данного вида – это последовательное раскрытие модулей, начиная с «внешнего». В ходе решения используются приёмы, рассмотренные в разделах №1, №3.Примеры: №1. Решите уравнение:
Ответ: х = 1; — 11. №2. Решите уравнение:
Ответ: х = 0; 4; — 4. №3. Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней:
Ответ: произведение корней равно – 8.
№4. Решите уравнение:
Обозначим уравнения совокупности (1) и (2) и рассмотрим решение каждого из них отдельно для удобства оформления. Так как оба уравнения содержат более одного модуля, то удобнее осуществить равносильный переход к совокупностям систем.(1)
(2)
Ответ:
Упражнения: №36. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: 5 │3х-5│ = 25 х №37. Решите уравнение, если корней более одного, в ответе укажите сумму корней: │х + 2│ х – 3х – 10 = 1 №38. Решите уравнение: 3 │2х -4│ = 9 │х│ №39. Решите уравнение, в ответе укажите количество корней на : 2 │ sin х│ = √2 №40 . Решите уравнение, в ответе укажите количество корней:
Раздел 3. Логарифмические уравнения.
Перед решением следующих уравнений необходимо повторить свойства логарифмов и логарифмической функции.Примеры: №1.
Решите уравнение, в ответе укажите произведение корней: log 2 (х+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 О.Д.З. х+1≠0 х≠ — 11 случай: если х ≥ — 1, то log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – удовлетворяет условию х ≥ — 1 2 случай: если х log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = — 5 – удовлетворяет условию х — 1
Ответ: произведение корней равно – 15.
№2. Решите уравнение, в ответе укажите сумму корней: lg
О.Д.З.
Ответ: сумма корней равна 0,5.
№3. Решите уравнение: log 5
О.Д.З.
Ответ: х = 9. №4. Решите уравнение: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ О.Д.З. х > 0 Воспользуемся формулой перехода к другому основанию. │2 — log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 — log 5 x│- │1 + log 5 x│= — 3 Найдём нули подмодульных выражений: х = 25; х = Эти числа делят область допустимых значений на три интервала, поэтому уравнение равносильно совокупности трёх систем.
Ответ: }
Решение уравнений с модулем — презентация онлайн
1. Решение уравнений с модулем
2. Содержание
1. Определение модуля2. Виды уравнений:
f x a, a const
f x g x
f x g x
f1 x f 2 x f n x g x
3. Методы решения уравнений
4. Задания для самостоятельного решения
5. Выводы
6. Домашнее задание
Большинство уравнений с модулем можно решить исходя из
определения модуля:
a, если a 0,
a
— a, если a 0
Пример
Содержание
Пример 1
Решить уравнение
2x 5 x
Решение:
x 2,5
2 x 5 0
x 5
x 5
2 x 5 x
x 2,5
5
2x 5 x
x
2 x 5 0
3
5
x
3
2 x 5 x
Ответ:
5
,5
3
Методы решения
Содержание
Пример 2
Решить уравнение
x 2 1 2 x 1
Если решать это уравнение по определению, то
придется трижды использовать определение модуля
и при этом нам необходимо будет решить 8 систем.
Поэтому, чтобы избежать этих сложностей, полезно
знать ряд равносильных преобразований некоторых
типов уравнений и другие способы решения
уравнений.
Уравнение вида:
f x a, a const
Равносильно :
, если a 0
f ( x ) 0, если a 0
f ( x) a
f ( x ) a, если a 0
Пример
Содержание
Пример 3
Решить уравнение
x 2 3x 2 1
Решение:
x 3x 2 1
x 3x 3 0;
x 3x 2 1 2
2
x 3x 2 1 x 3x 1 0
2
2
Ответ:
2
3 21
x
2
3 13
x
2
3 21 3 13
,
2
2
Заметим, что если бы мы решали уравнение по определению,
то у нас возникли бы затруднения при подстановке корней в
соответствующие неравенства.
Следующая
равносильность
Содержание
Рассмотрим уравнения вида
f x g x
Такие уравнения можно решать двумя способами:
I способ:
Если f(x) имеет более простой вид, чем g(x), то
f x 0,
f x g x ,
f x g x
f x 0,
— f x g x .
Пример
Далее
Пример 4
Решить уравнение
x 7 x3 15×2 x 7
Решение:
x 7 0,
3
2
x
7
x
15
x
x 7;
3
2
x 7 x 15x x 7
x 7 0,
x 7 x 3 15 x 2 x 7
x 7,
x 7,
3
3
2
2
2
x
15
x
14
0
;
x
x
14
x
1 0;
x 7,
x 7,
x x 2 15 x 2 0
x 3 15 x 2 2 x 0
Решим уравнение первой системы:
x
3
x 2 14 x 2 1 0
x 2 x 1 14 x 1 x 1 0 x 1 x 2 14 x 14 0
x 1; x 7 63
Решим уравнение второй системы:
x x 15x 2 0
2
15 217
x 0; x
2
Вернемся к совокупности систем:
x 7,
x 1,
x 7 63,
x 7 63,
x 7,
x 0,
15 217
x
,
2
15 217
x
2
Ответ:
x 7 63,
x 0,
x 15 217
2
15 — 217
0; 7 63,
.
2
Следующая
равносильность
Содержание
Далее
II способ: Если g(x) имеет более простой вид, чем f(x).
Если g(x)<0, то уравнение |f(x)|=g(x) не имеет решений
Если g(x)≥0, то
g x 0,
f x g x f x g x ,
f x g x
Пример
Содержание
Пример 5
Решить уравнение
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35
Решение:
10 x 35 0,
6 x 3 2 x 2 4 x 33 0 6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35,
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35
Решим первое уравнение совокупности:
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35 6 x 3 2 x 2 6 x 2 0
6 x x 2 1 2 x 2 1 0 2 x 2 1 3x 1 0
x 1,
1
x .
3
Решим второе уравнение совокупности:
6 x 3 2 x 2 4 x 33 10 x 35 6 x 3 2 x 2 14 x 68 0
6 x 3 48 2 x 2 8 14 x 28 0
6 x 2 x 2 2 x 4 2 x 2 x 2 14 x 2 0
x 2 3x 2 5x 17 0 x 2
Вернемся к системе:
10 x 35 0,
x 1,
1
x 3,
x 2
Система решений не имеет, следовательно, уравнение
Следующая
Содержание
решений не имеет.
равносильность
Рассмотрим уравнения вида
f x g x
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
f x g x f
2
x g x
2
f x g x ,
f x g x f x g x 0
f x g x .
И мы получаем следующую равносильность:
f x g x ,
f x g x
f x g x .
Пример
Содержание
Пример 6
Решить уравнение
x 5 6 x 2 9 x 6 x 5 2 x 3 6 x 2 13x 6
Решение:
x 5 6 x 2 9 x 6 x 5 2 x 3 6 x 2 13x 6
x 5 6 x 2 9 x 6 x 5 2 x 3 6 x 2 13x 6,
5
2
5
3
2
x
6
x
9
x
6
x
2
x
6
x
13x 6.
2 x x 4 x 2 2 0,
2 x 5 2 x 3 4 x 0,
3
3
2
2 x 6 x 2 11x 6 0.
2
x
12
x
22
x
12
0
.
Решим первое уравнение совокупности:
2 x x 4 x 2 2 0 x x 4 1 x 2 1 0
x x 2 1 x 2 1 x 2 1 0 x x 2 1 x 2 2 0
x 0,
x 2.
Решим второе уравнение совокупности:
x 3 6 x 2 11x 6 0 x 1 x 2 5x 6 0
x 1,
x 2,
x 3.
Вернемся к совокупности:
x
x
x
x
x
0,
2,
1,
2,
3.
Ответ: 0, 2 , 1, 2 ,3.
Методы решения
Содержание
Рассмотрим уравнения вида
f1 x f 2 x f n x g x
Для решения уравнений такого вида удобно воспользоваться
следующим алгоритмом:
1)Найти нули подмодульных выражений;
2)Провести столько параллельных прямых, сколько
содержится модулей в данном уравнении;
3)Нанести на каждую прямую знаки, соответствующие
подмодульной функции;
4)Через точки, соответствующие подмодульным нулям,
провести вертикальные прямые, которые разобьют
параллельные прямые на интервалы;
5)Раскрыть модули на каждом интервале и решить на этом
интервале уравнение.
Пример
Содержание
Пример 7
Решить уравнение
x 1 2 x x 3 4
Решение:
1. Нули подмодульных выражений: x1 1, x2 2, x3 3
2. Проведем параллельные прямые, нанесем на них эти
значения и знаки, соответствующие модулям на каждом
из полученных интервалов:
I
II
III
IV
x 3
–
+
+
+
2 x
+
+
+
–
x 1
–
–
+
+
-3
-1
2
x
Раскрывая модули на каждом интервале, получим
совокупность систем:
x 3,
x 3,
x
1
2
x
x
3
4
x 0
3 x 1,
3 x 1,
x 1 2 x x 3 4
x 2
x 1 2 x x 3 4
1 x 2,
1 x 2,
x 1 2 x x 3 4
x 4
x
2
,
x 2,
x 1 2 x x 3 4
x 8
x 2, x 8.
Ответ:
-2; 8
Методы решения
Содержание
В некоторых случаях удобнее использовать метод замены
переменной.
Пример 8
Решить уравнение
x 2 2 2 x 2 8 0
Решение:
Данное уравнение может быть решено несколькими
способами.
Например:
Способ 1. Используя определение модуля.
Способ 2. Свести уравнение к равносильности f x g x
Способ 3. Замена переменной.
Заметим, что x 2 2 x 2 2 Замена: x 2 t, t 0
Уравнение принимает вид: t 2 2t 8 0, t1 4 (п.к.), t 2 2
Обратная замена: x 2 2 x 4, x 0
Ответ: 0; 4
Методы решения
Содержание
Бывает и так , что уравнение нельзя отнести ни к одному из
рассмотренных типов, а так затруднительно решить его исходя
из определения. В этом случае удобно воспользоваться
графическим способом решения.
Пример 9
Решить уравнение
x 2 1 2 x 1
Решение:
Построим в одной системе координат графики функций
y x 2 1 2, y x 1
y x 2
y x 2 1
10
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
yy x 2 1
10
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
10
y x 2 1 2
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
10
y x 2 1 2
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
-2
2
4
6
8
Найдем их точки пересечения
10
y x 2 1 2
y x 1
8
6
4
2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Содержание
-2
Ответ:
x 1;1
28.
Задания для самостоятельного решения:1) x 2 6x x 4 8 0Ответ : 3; 4.
2) x 2 x 1 1
Ответ : 0; 1; 2.
3) x 2 x 3 x
Ответ : 1; 3 .
4) x 2 x 3 2x 8 9
Ответ : 1; 5,5.
5) x — x 2 1 2x — 3 — x 2
Ответ : 2.
6) x 1 — 2 x 1 1 0
Ответ : — 2; 0.
7) x 2 2x — 3 x 1 3 0
Ответ : — 3; — 2; 0;1.
2
Содержание
29. Выводы
1. Виды уравнений:f x a, a const
f x g x
f x g x
f1 x f 2 x f n x g x
2. Методы решения уравнений
Аналитический:
— по определению
— использование равносильностей
— разбиение на промежутки
— замены переменной
Графический
Содержание
30. Домашнее задание
Уровень 1Уровень 2
1) x — 1 2 x 1 1 0
1) x x 6
2
2
2) x 1 1 x
2
2
2) x 2 x 8 x
3) x 2 x — 6 0
3) x 10 2 x 10 11
4) 2 x 1 x 3
4) 3 — x 2x 2 3
5) x — 1 x 1 4
5) x 2 4x 3 x 2 5x 4 0
31. Уровень 3
1) 2x 1 1 5p2) 2x — x 3 x 7
2
3) x 2 4 9 x 2 5
4)
9 — x 2 x 2 4x 3
5) x 2 2x 3 x 2 2x 8 4x 5
Содержание
Калькулятор модуля сравнения
Калькулятор модуля сравненияКак работает калькулятор модуля сравнения?
Учитывая возможное отношение конгруэнтности a ≡ b (mod n), это определяет, верно ли отношение (b конгруэнтно c c по модулю n).
Этот калькулятор имеет 3 входа.
Какая 1 формула используется для расчета модуля сравнения?
- если a ≡ b (mod n), то (a — b)/n является целым числом
Какие 4 концепции используются в Калькуляторе модуля сравнения?
- сравнение по модулю n
- Происходит, когда два числа имеют разность, кратную n.
- конгруэнтны
- идентичны по форме
≅ - модуль
- остаток от деления после деления одного числа на другое.
a mod b - остаток
- Часть операции деления, оставшаяся после деления двух целых чисел
Пример расчета модуля сравнения
- 3 = 4 mod 7
- 20 = 5 (mod 2)