Как найти векторное произведение векторов? Ответ на webmath.ru
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления векторного произведения векторов
Формула
Для того чтобы найти векторное произведение $[\bar{a}, \bar{b}]$ двух векторов, заданных своими координатами $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$ и $\bar{b}=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right)$ соответственно, необходимо вычислить следующий определитель
$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{array}\right|$$
Обычно такой определитель вычисляют разложением по первой строке. Отметим также, что результатом векторного произведения является вектор.
Примеры вычисления векторного произведения векторов
Пример
Задание. Найти векторное произведение векторов $\bar{a}=(1 ; 0 ; 0)$ и $\bar{b}=(0 ; 1 ; 0)$
Решение. Для вычисления векторного произведения заданных векторов воспользуемся формулой
$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{array}\right|$$
Подставляя координаты заданных векторов, получим:
$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{lll}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right|$$
Раскладываем определитель по первой строке:
$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right|=$$ $$=\bar{i} \cdot\left|\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right|-\bar{j} \cdot\left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right|+\bar{k} \cdot\left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right|=$$ $$=0 \cdot \bar{i}-0 \cdot \bar{j}+1 \cdot k$$
Первые два определителя равны нулю, так как они содержат нулевой столбец, а третий определитель вычисляем
как определитель второго порядка: от произведения элементов главной диагонали отнимаем произведение элементов побочной.
Итак, координаты искомого вектора равны коэффициентам при ортах, то есть
$$[\bar{a}, \bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$$
Ответ. $[\bar{a}, \bar{b}]=(0 ; 0 ; 1)$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Даны векторы $\bar{a}=(5 ; 3 ;-4)$ и $\bar{b}=(6 ; 7 ;-8)$ . Найти координаты векторного произведения $[\bar{a}, \bar{b}]$
Решение. Координаты векторного произведения $[\bar{a}, \bar{b}]$ вычисляются по формуле
$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z}\end{array}\right|$$
Подставляя координаты заданных векторов, получим:
$$[\bar{a}, \bar{b}]=\left|\begin{array}{ccc}\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 5 & 3 & -4 \\ 6 & 7 & -8\end{array}\right|$$
Раскладываем полученный определитель по первой строке:
$$=\bar{i} \cdot\left|\begin{array}{cc}3 & -4 \\ 7 & -8\end{array}\right|-\bar{j} \cdot\left|\begin{array}{cc}5 & -4 \\ 6 & -8\end{array}\right|+\bar{k} \cdot\left|\begin{array}{cc}5 & 3 \\ 6 & 7\end{array}\right|=$$ $$=[3 \cdot(-8)-7 \cdot(-4)] \cdot \bar{i}-[5 \cdot(-8)-6 \cdot(-4)] \cdot \bar{j}+$$ $$+[5 \cdot 7-6 \cdot 3] \cdot \bar{k}=(-24+28) \bar{i}-(-40+24) \bar{j}+(35-18) \bar{k}=$$ $$=4 \cdot \bar{i}+16 \cdot \bar{j}+17 \cdot \bar{k}$$
Тогда
$$[\bar{a}, \bar{b}]=(4 ; 16 ; 17)$$
Ответ.
$[\bar{a}, \bar{b}]=(4 ; 16 ; 17)$
Читать дальше: как найти смешанное произведение векторов.
вектор а найти а
Вы искали вектор а найти а? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вектор как вычислить, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вектор а найти а».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вектор а найти а,вектор как вычислить,вектор как найти,вектор по координатам как найти,вектора как решать,вектора калькулятор онлайн,вектора онлайн калькулятор,векторная алгебра калькулятор онлайн,векторная алгебра онлайн калькулятор,векторный калькулятор,векторный калькулятор онлайн,векторный онлайн калькулятор,векторы онлайн,векторы онлайн калькулятор,вычисление векторов,даны вектора,даны вектора найти координаты вектора,даны векторы,даны координаты вектора найти координаты,как найти вектор,как найти вектор ав если даны а и в,как найти вектор если известны координаты точек,как найти вектор зная координаты точек,как найти вектор по координатам,как найти вектор по координатам двух точек,как найти координаты вектора ав,как найти координаты вектора если известны координаты начала и конца,как найти координаты вектора если известны координаты точек,как найти координаты вектора зная координаты,как найти координаты вектора зная координаты точек,как найти координаты вектора зная координаты точки,как найти координаты вектора по двум точкам,как найти координаты вектора по координатам его начала и конца,как найти координаты вектора по точкам,как найти координаты векторов,как найти координаты векторов если известны координаты точек,как найти координаты точек если известны координаты вектора,как найти координаты точек зная координаты вектора,как по двум точкам найти координаты вектора,как по координатам найти вектор,как по точкам найти координаты вектора,как решать вектора,как решать координаты вектора,калькулятор вектора онлайн,калькулятор векторный,калькулятор векторов,калькулятор векторов онлайн с подробным решением,калькулятор онлайн вектора,калькулятор онлайн векторная алгебра,калькулятор онлайн векторы,координата вектора по двум точкам,координаты вектора как найти по двум точкам,координаты вектора по двум точкам,координаты вектора по координатам конца и начала,координаты вектора по координатам начала и конца,координаты вектора по точкам,найдите вектор,найти вектор,найти вектор по координатам точек,найти координаты вектора по двум точкам,найти координаты вектора по координатам точек,найти координаты точек по координатам вектора,найти орт вектора онлайн,нахождение вектора по координатам точек,нахождение координат вектора,нахождение координат вектора по координатам его начала и конца,онлайн векторный калькулятор,онлайн векторы,онлайн вычисление векторов,онлайн калькулятор вектора,онлайн калькулятор векторная алгебра,онлайн калькулятор векторный,онлайн калькулятор векторов,онлайн калькулятор векторы,по координатам точек найти вектор,решение векторов,решение векторов калькулятор онлайн,решение векторов онлайн калькулятор,формула для нахождения координат вектора,формулы координат вектора.
Решить задачу вектор а найти а вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Онлайн-калькулятор: Калькулятор векторного произведения
Исследование Математика Геометрия
Этот онлайн-калькулятор вычисляет векторное произведение (или векторное произведение) и визуализирует результат в декартовой системе координат.
Приведенный ниже калькулятор вычисляет векторное произведение двух векторов в трехмерном пространстве и визуализирует результат. На графике первый вектор показан зеленым, второй вектор — синим, а перекрестное произведение — красным. Вы можете найти теорию и формулы под калькулятором.
Cross product calculator
Vector a
Vector b
Calculation precision
Digits after the decimal point: 2
x
y
z
Cross product
Definition
1 Перекрестное произведение или векторное произведение (иногда направленное произведение площадей, чтобы подчеркнуть геометрическую значимость) представляет собой бинарную операцию над двумя векторами в трехмерном пространстве и обозначается символом . Учитывая два линейно независимых вектора и , перекрестное произведение (читай «крест b») представляет собой вектор, который перпендикулярен обоим и, следовательно, нормален к плоскости, содержащей их.
Формула определяет векторное произведение:
,
где θ — угол между a и b в плоскости, их содержащей (следовательно, он находится между 0° и 180°), ‖a‖ и ‖b‖ — величины векторов a и b, а n — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей a и b, в направлении, заданном правилом правой руки. Если векторы a и b параллельны (т. е. угол θ между ними равен 0° или 180°), по приведенной выше формуле векторное произведение a и b равно нулевому вектору 0,
По соглашению направление вектора n задается правилом правой руки, где указательный палец правой руки указывает в направлении a, а средний палец — в направлении b. Затем вектор n выходит из большого пальца (см. рисунок рядом). Использование этого правила означает, что векторное произведение антикоммутативно, т. е. b × a = −(a × b). Если сначала указать указательным пальцем на b, а затем указать средним пальцем на a, большой палец будет вынужден двигаться в противоположном направлении, изменяя знак вектора произведения на противоположный.
Использование векторного произведения требует учета хиральности системы координат. Приведенное выше правило правой руки предназначено для правосторонней системы координат. В левой системе координат направление вектора n задается правилом левой руки и указывает в противоположном направлении.
Формула
Нам нужен практический способ вычисления векторного произведения координат двух векторов. Для стандартного базиса трехмерного пространства, образованного векторами
,
можно записать следующие равенства из определения векторного произведения.
Поскольку каждый вектор может быть определен как линейная комбинация трех базисных векторов, мы можем записать векторы
как
.
Таким образом, перекрестное произведение a и b будет
.
Это можно расширить, используя дистрибутивность
Которую можно упростить, используя стандартные базисные равенства, приведенные выше, до
BTW, приведенное выше выражение можно записать как определитель
Последняя формула описывает результирующий вектор векторного произведения с координатами:
Википедия: перекрестное произведение ↩
URL скопирован в буфер обмена
Похожие калькуляторы
- • Скалярное произведение
- • Угол между двумя векторами
- • Является ли точка треугольником?
- • Величина вектора
- • Калькулятор сложения векторов
- • Раздел геометрии (81 калькулятор)
#GeOmetry #VECTER ГЕЙОМЕТРА ГЕЙОМЕТРА Геометрия Математического векторного векторного вектора
PLANETCALC, Cross Product Calculator
2021-03-02 22:07
‘; возврат рет; } }
Векторы онлайн калькуляторы
В этом разделе находятся калькуляторы, которые позволяют выполнять все основные операции с векторов .
В частности, с помощью этих калькуляторов можно найти скалярное, векторное и смешанное (скалярное тройное) произведение векторов, найти разложение вектора по заданному базису, проверить вектора на ортогональность, компланарность и т.д. Есть 19 калькуляторов и для каждого из них предусмотрено пошаговое решение.
Векторы сложение Калькулятор находит сумму двух векторов, заданных в координатной форме.
Векторы разница Калькулятор находит разность двух векторов, заданных в координатной форме.
Вектор скалярных времен Калькулятор умножает вектор на скаляр.
Скалярное произведение векторов Калькулятор позволяет найти скалярное произведение двух векторов.
Векторное произведение векторов Калькулятор позволяет найти векторное произведение двух векторов.
Скалярное тройное (смешанное) произведение векторов Калькулятор находит смешанное произведение трех векторов.
Величина вектора (длина) Калькулятор находит длину заданного вектора с пошаговым решением.
Угол между векторами Калькулятор умеет находить угол между двумя векторами. Пошаговое решение также доступно.
Направленные косинусы вектора Калькулятор находит направленные косинусы вектора с пошаговым решением.
Проекция вектора Калькулятор находит проекцию вектора на ось или другой вектор.
Площадь треугольника, построенная по векторам Калькулятор находит площадь треугольника. Треугольник задан двумя векторами.
Площадь параллелограмма, построенного по векторам Калькулятор находит площадь параллелограмма. Параллелограмм задается двумя векторами.
Объем параллелепипеда, построенный по векторам Калькулятор находит объем параллелепипеда, построенного на векторах.
Объем тетраэдра, построенный по векторам Калькулятор находит объем тетраэдра, построенного на векторах.