Онлайн обратная матрицы: Онлайн калькулятор. Обратная матрица

Лекция 5. Обратная матрица

Обратные матрицы. Лекция 5.

Обратная матрица.

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен 0. В противном случае матрица называется вырожденной.

Матрица называется обратной к матрице , если выполняется следующее условие: . В этом случае обозначают .

Теорема 1. Всякая невырожденная матрица имеет свою обратную матрицу. Доказательство. Пусть дана матрица , причем . Составим матрицу следующим образом

,

где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы . Найдем произведение

На диагонали полученной матрицы стоят суммы произведений элементов строк на их алгебраические дополнения. По свойству 8 они равны определителю матрицы . На остальных местах стоят суммы произведений элементов строк на соответствующие алгебраические дополнения элементов других строк.

По свойству 9 все они равны нулю. Поэтому

. Таким образом, . Аналогично можно получить равенство . Отсюда

По определению обратной матрицы

Так как , то матрица существует. Следовательно, матрица имеет обратную матрицу. Теорема доказана.

Следствие: Для произвольной матрицы обратная матрица имеет вид .

Есть другой способ вычисления обратной матрицы методом элементарных преобразований. Для матрицы и единичной матрицы составляется расширенная матрица , которая с помощью элементарных преобразований приводится к виду . Можно показать, что в этом случае .

Пример 25. Для матриц и вычислить и .

Решение. Так как , то обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения:

, ,, .

В соответствии с следствием из теоремы о существовании обратной матрицы . Сделаем проверку

.

Так как , то обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения:

.

В соответствии с следствием из теоремы о существовании обратной матрицы . Сделаем проверку

Ответ:

Свойства обратной матрицы.

1. ;

2. ;

3. .

Ранг матрицы.

Пусть дана матрица размерности

.

Выделим в ней строк и столбцов. . Из элементов, стоящих на пересечении строк и столбцов составим определитель – го порядка. Все такие определители называют минорами матрицы.

Пример 26. Для матрицы минорами второго порядка будут, например, определители

, , , , , , , , .

Минорами третьего порядка — , , , .

Всего для матрицы можно составить миноров порядка , где . Так для матрицы существует всего

миноров второго порядка.

Наибольший из порядков минора данной матрицы, отличных от нуля называется рангом матрицы

. Обозначаются как .

Минор, порядок которого равен рангу матрицы, называют базисным минором. У каждой матрицы может быть несколько базисных миноров.

Свойства ранга матрицы.

1. При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

2. Если из матрицы убрать нулевую строку (нулевой столбец), то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не меняется при её элементарных преобразованиях.