Онлайн решение системы линейных уравнений методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Системы линейных однородных уравнений онлайн

Системы линейных однородных уравнений — имеет вид ∑a^k_ix_i = 0. где m > n или m n.
Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как rangA = rangB. Она заведомо имеет решение, состоящее из нулей, которое называется тривиальным.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения нетривиального и фундаментального решения СЛАУ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения).

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Инструкция. Выберите размерность матрицы: количество переменных: 2345678 и количество строк 23456

Свойства систем линейных однородных уравнений

Для того чтобы система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.

Теорема. Система в случае m=n имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

Теорема. Любая линейная комбинация решений системы также является решением этой системы.
Определение. Совокупность решений системы линейных однородных уравнений называется фундаментальной системой решений, если эта совокупность состоит из линейно независимых решений и любое решение системы является линейной комбинацией этих решений.

Теорема. Если ранг r матрицы системы меньше числа n неизвестных, то существует фундаментальная система решений, состоящая из (n-r) решений.

Алгоритм решения систем линейных однородных уравнений

1. Находим ранг матрицы.
2. Выделяем базисный минор. Выделяем зависимые (базисные) и свободные неизвестные.
3. Вычеркиваем те уравнения системы, коэффициенты которых не вошли в состав базисного минора, так как они являются следствиями остальных (по теореме о базисном миноре).
4. Члены уравнений, содержащие свободные неизвестные, перенесем в правую часть. В результате получим систему из r уравнений с r неизвестными, эквивалентную данной, определитель которой отличен от нуля.
5. Решаем полученную систему методом исключения неизвестных. Находим соотношения, выражающие зависимые переменные через свободные.
6. Если ранг матрицы не равен количеству переменных, то находим фундаментальное решение системы.
7. В случае rang = n имеем тривиальное решение.

Пример. Найти базис системы векторов (а₁, а₂,…,а_m), ранг и выразить векторы по базе. Если а₁=(0,0,1,-1), а

2=(1,1,2,0), а₃=(1,1,1,1), а₄=(3,2,1,4), а₅=(2,1,0,3).
Выпишем основную матрицу системы:

0	0	1	-1
1	1	2	0
1	1	1	1
3	2	1	4
2	1	0	3
x1	x2	x3	x4

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
1	1	1	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Умножим 4-ую строку на (-2). Умножим 5-ую строку на (3). Добавим 5-ую строку к 4-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	0	0	0
0	-1	-2	1
2	1	0	3

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	0	0
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

В матрице B 1-ая строка нулевая, следовательно, вычеркиваем ее. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы.

0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3

Найдем ранг матрицы.

0	0	-1	1
0	-1	-2	1
2	1	0	3
x1	x2	x3	x4

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₁,x₂,x₃, значит, неизвестные x₁,x₂,x₃ – зависимые (базисные), а x₄ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	-1	-1
0	-1	-2	-1
2	1	0	-3
x1	x2	x3	x4

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
— x₃ = — x₄
— x₂ — 2x₃ = — x₄
2x₁ + x₂ = — 3x₄
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂,x₃ через свободные x₄, то есть нашли общее решение:
x₃ = x₄
x₂ = — x₄
x₁ = — x₄

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными . Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность. Метод, который будет изложен в этом разделе, близок к методу вычисления определителя 5.1.с и к методу нахождения ранга матрицы (раздел 5.8). Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.

Выпишем расширенную матрицу системы

Назовем элементарными операциями следующие действия с матрицами:

1. перестановка строк;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Отметим, что при решении системы уравнений, в отличие от вычисления определителя и нахождения ранга, нельзя оперировать со столбцами.

Читатель легко проверит, что если по матрице, полученной из выполнением элементарной операции, восстановить систему уравнений, то новая система будет равносильна исходной.

Цель алгоритма — с помощью применения последовательности элементарных операций к матрице добиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Шаг алгоритма заключается в следующем. Находим первый ненулевой столбец в матрице . Пусть это будет столбец с номером . Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена строк в матрице уже произведена, то есть . Тогда ко второй строке прибавим первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на число , и т.д. В результате получим матрицу

(Первые нулевые столбцы, как правило, отсутствуют.)

Если в матрице встретилась строка с номером , в которой все элементы равны нулю, а , то выполнение алгоритма останавливаем и делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что -ое уравнение будет иметь вид

Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел .

Матрицу можно записать в виде

где

По отношению к матрице выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу

где , . Эту матрицу снова можно записать в виде

и к матрице снова применим описанный выше шаг алгоритма.

Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее.

Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида

Далее выполняется так называемый обратный ход метода Гаусса. По матрице составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть . Заметим, что . Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части.

Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные решения исходной системы . Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами , включая и те неизвестные, которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин (в частности, просто произвольной величиной ). Эта запись и будет общим решением системы.

Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты при , взятые в каждом элементе столбца общего решения, составят первое решение из фундаментальной системы решений, коэффициенты при  — второе решение и т. д.

Фундаментальную систему решений однородной системы можно получить и другим способом. Для этого одному переменному, перенесенному в правую часть, нужно присвоить значение 1, а остальным — нули. Вычислив значения переменных в левой части, получим одно решение из фундаментальной системы. Присвоив другому переменному в правой части значение 1, а остальным — нули, получим второе решение из фундаментальной системы и т.д.

        Замечание 15.4   У читателя может возникнуть вопрос: «Зачем рассматривать случай, когда некоторые столбцы матрицы нулевые? Ведь в этом случае соответствующие им переменные в системе уравнений в явном виде отсутствуют.» Но дело том, что в некоторых задачах, например, при нахождении собственных чисел матрицы, такие системы возникают, и игнорировать отсутствующие переменные нельзя, так как при этом происходит потеря важных для задачи решений.         

        Пример 15.2   Найдите общее решение системы уравнений

где неизвестными являются .

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на . В результате получим

Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на число . Получим

Прямой ход метода Гаусса закончен. Выписываем по матрице систему уравнений

Переносим в правую часть неизвестные (неизвестное реально в ней присутствовать не будет, коэффициент перед ним равен нулю). Получаем

Пусть , , , . Из уравнений находим:

Ответ: , , , , , , где , , ,  — произвольные числа.         

        Замечание 15.5   В процессе решения можно также установить, какие ранги у матриц и и где расположены их базисные миноры. В предыдущем примере , базисный минор расположен в строках с номерами 1, 2, столбцах с номерами 2, 5.         

        Пример 15.3   Найдите общее решение системы уравнений

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на , к третьей строке прибавим первую, умноженную на , к четвертой строке прибавим первую, умноженную на :

Вторую строку, умноженную на , прибавим к третьей:

В третьей строке все элементы равны нулю, а элемент . Значит, система несовместна.

Ответ: Система несовместна.         

        Пример 15.4   Решите систему

Решение. Имеем:

Первую строку, умноженную на числа , , , прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам:

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на . Получим

К четвертой строке прибавим третью, умноженную на :

Выписываем по матрице систему уравнений:

Находим последовательно значения неизвестных:

Ответ: .         

        Замечание 15.6   Так же, как и при решении системы уравнений по правилу Крамера, при использовании метода Гаусса приходится выполнять большой объем вычислительной работы. Из-за этого вполне возможно, что будет допущена какая-либо ошибка в вычислениях. Поэтому желательно после решения системы выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Для выполнения полной проверки подстановку нужно произвести во все уравнения системы. Если же по каким-то причинам это не выполнимо, то можно подставить найденные значения в одно уравнение. В отличие от правила Крамера в методе Гаусса эту подстановку нужно производить в ПОСЛЕДНЕЕ уравнение исходной системы. При наличии в этом уравнении всех неизвестных эта подстановка почти всегда покажет наличие ошибки, если таковая была допущена.         

        Пример 15.5   Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы:

Умножим первую строку последовательно на , 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

Прямой ход метода Гаусса закончен. У полученной матрицы легко определить ранг, ее базисный минор . Отсюда следует, что . По  теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе равно разности между числом неизвестных и рангом матрицы, в нашем случае фундаментальная система состоит из трех решений.

Переходим к системе уравнений

Неизвестные и оставляем в левой части, остальные переносим в правую часть:

Положим , . Получим , . Первое решение из фундаментальной системы: .

Положим , . Получим , . Второе решение из фундаментальной системы решений: .

Положим , . Получим , . Третье решение из фундаментальной системы решений: . Фундаментальная система решений найдена. Общее решение имеет вид

Ответ: Фундаментальная система решений:
, , , общее решение: .         

        Замечание 15.7   Если решения, составляющие фундаментальную систему, умножить на любые ненулевые числа, то вновь полученные решения снова будут образовывать фундаментальную систему. Поэтому в предыдущем примере фундаментальную систему образуют и такие решения:
, , . Общее решение можно записать так: .         

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

линейная алгебра — Решение системы уравнений с использованием Гаусса/Гаусса-Жордана (матрицы)

Система несовместима: второе уравнение минус удвоенное первое уравнение дает $y+2z=3$, а третье уравнение минус три умноженное на второе уравнение дает $2y+4z=2$.

Эти два уравнения несовместимы, поэтому система не имеет решений. Вы можете видеть это при выполнении исключения Гаусса: $$\begin{выравнивание*} \left(\begin{массив}{crc|c} 1 &-2 &3 &2\\ 2&-3&8&7\\ 3 &-4 &13& 8\\ \end{массив}\right) &\stackrel{R_2-2R_1}{\longrightarrow} \left(\begin{массив}{rrr|r} 1 и -2 и 3 и 2\\ 0 и 1 и 2 и 3\\ 3 и -4 и 13 и 8 \end{массив}\right) \stackrel{R_3-3R_1}{\longrightarrow} \left(\begin{массив}{rrr|r} 1 и -2 и 3 и 2\\ 0 и 1 и 2 и 3\\ 0 и 2 и 4 и 2 \конец{массив}\справа)\\ &\stackrel{R_3-2R_2}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrr|r} 1 и -2 и 3 и 2\\ 0 и 1 и 2 и 3\\ 0 и 0 и 0 и -4 \end{массив}\right) \stackrel{-\frac{1}{4}R_3}{\longrightarrow} \left(\begin{массив}{rrr|r} 1 и -2 и 3 и 2\\ 0 и 1 и 2 и 3\\ 0 и 0 и 0 и 1 \конец{массив}\справа). \end{выравнивание*}$$ И коэффициент, и расширенная матрица теперь имеют эшелонированную форму строк: первый ненулевой элемент каждой строки — это $1$, и $1$ в каждой строке появляется справа от $1$ в предыдущей строке, и все строки $0$ находятся внизу.

Поскольку ранг уменьшенной матрицы коэффициентов равен $2$, а ранг расширенной матрицы равен $3$, система несовместна. Вы можете продолжить отсюда, чтобы получить форму эшелона с уменьшенной строкой, но это не «решит» проблему внезапно: $$\begin{выравнивание*} \left(\begin{массив}{crc|c} 1 и -2 и 3 и 2\\ 0 и 1 и 2 и 3\\ 0 и 0 и 0 и 1 \end{массив}\right)&\stackrel{R_1-2R_3}{\longrightarrow} \left(\begin{массив}{crc|c} 1 и -2 и 3 и 0\\ 0 и 1 и 2 и 3\\ 0 и 0 и 0 и 1 \end{массив}\right) \stackrel{R_2-3R_3}{\longrightarrow} \left(\begin{массив}{crc|c} 1 и -2 и 3 и 0\\ 0 и 1 и 2 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 1 \конец{массив}\справа)\\ &\stackrel{R_1+2R_2}{\longrightarrow} \left(\begin{массив}{ccc|c} 1 и 0 и 7 и 0\\ 0 и 1 и 2 и 0\\ 0 и 0 и 0 и 1 \конец{массив}\справа). \end{выравнивание*}$$ Это в сокращенной эшелонированной форме строк (дополнительное условие состоит в том, что начальные $1$ в каждой строке являются единственными ненулевыми элементами в своих столбцах), но опять же вы видите, что это соответствует несогласованной системе.

Теперь предположим, что последнее уравнение было $3x-4y+13z=12$ вместо $8$. Тогда на третьем шаге приведения выше мы получили бы матрицу $$\left(\begin{массив}{crc|c} 1 и -2 и 3 и 2\\ 0 и 1 и 2 и 3\\ 0 и 2 и 4 и 6 \end{массив}\right)\stackrel{R_3-2R_2}{\longrightarrow} \left(\begin{массив}{crc|c} 1 и -2 и 3 и 2\\ 0 и 1 и 2 и 3\\ 0 и 0 и 0 и 0 \конец{массив}\справа).$$ Это совершенно прекрасная матрица формы строки-эшелона; просто вы получите одну свободную переменную и бесконечно много решений. Затем вы можете перейти к уменьшенной форме эшелона строк, дважды добавив вторую строку к первой строке, и вы получите $$\left(\begin{массив}{ccc|c} 1 и 0 и 7 и 8\\ 0 и 1 и 2 и 3\\ 0 и 0 и 0 и 0 \end{массив}\right)$$ который дает решения $$\begin{выравнивание*} х &= 8 — 7t\\ у &= 3 — 2t\\ г &= т \end{align*},\qquad t\text{произвольный.}$$

Решите данную систему линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана.

Линейная алгебра

Мед С.

спросил 15.02.23

Z ₃ +Z ₄ + Z ₅ = 0

2Z ₁ + 2Z ₂ — Z ₃ + Z 5

Z ₁ + Z ₂ — 2Z ₃ — Z ₅ = 0

-Z ₁ — Z ₂ + 2Z ₃ — 3Z ₄ + Z ₅ = 0

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

1 ответ эксперта

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Роджер Р. ответил 17.02.23

Репетитор

5 (19)

Учебники по экспертному исчислению и линейной алгебре

Об этом репетиторе ›

Об этом репетиторе ›

Я переставил уравнения:

(1) 0 = -1Z ₁ -1Z ₂ +2Z ₃ -3Z ₄ +1Z ₅

12

1

+ 2Z ₂ -1Z ₃ +0Z ₄ +1Z ₅

(3) 0 = 1Z ₁ +1Z ₂ -2Z ₃ +0Z ₄ -1Z ₅

(4) 0 = 101 10 1900Z 16 2 +1Z ₃ +1Z ₄ +1Z ₅

Примените следующие преобразования строк:

1. (1′) = -(1)
2. (2′) = {2(1) +(2)}/3
3. (3′) = {(1) +(3)}/(-3)
4. (4′) = (2′) -(4) +3(3′)

Система теперь в форме эшелона:

(1′) 0 = 1Z ₁ +1Z ₂ -2Z ₃ +3Z ₄ -1Z ₅

6 0 9 9 0 0 0 +0Z ₂ + 1Z ₃ -2Z ₄ +1Z ₅

(3») 0 = 0Z ₁ +0Z ₂ +0Z 0 3 1

+ 0Z 0 3 1

+ 016 4 +0Z ₅

(4′) 0 = 0Z ₁ +0Z ₂ +0Z ₃ +0Z ₄ +0Z ₅

Z ₂ и Z ₅ являются бесплатными переменными .