Онлайн решение системы неравенств: Решение системы неравенств · Калькулятор Онлайн

Для того чтобы найти граничные точки решаем уравнения (1)=(2), (1)=(3) и (2)=(3).

Как видно из иллюстрации многогранник ABCDEобразует область допустимых решений.

Если область допустимых решений не является замкнутой, то либо max(f)=+ ∞, либо min(f)= -∞.

Теперь можно перейти к непосредственному нахождению максимума функции f.

Поочерёдно подставляя координаты вершин многогранника в функцию f и сравнивать значения, находим что

f(C)=f(4;1)=19 – максимум функции.

Такой подход вполне выгоден при малом количестве вершин. Но данная процедура может затянуться если вершин довольно много.

В таком случае удобнее рассмотреть линию уровня вида f=a. При монотонном увеличении числа aот -∞ до +∞ прямые f=aсмещаются по вектору нормали . Если при таком перемещении линии уровня существует некоторая точка X– первая общая точка области допустимых решений (многогранник ABCDE) и линии уровня, то f(X)- минимум fна множестве ABCDE. Если X- последняя точка пересечения линии уровня и множества ABCDE то f(X)- максимум на множестве допустимых решений. Если при а→-∞ прямая f=aпересекает множество допустимых решений, то min(f)= -∞. Если это происходит при а→+∞, то

В нашем примере прямая f=aпересевает область ABCDEв точке С(4;1). Поскольку это последняя точка пересечения, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Реальные задачи линейного программирования содержат очень большое число ограничений и неизвестных и выполняются на ЭВМ. Симплекс-метод – наиболее общий алгоритм, использующийся для решения таких задач. Суть метода заключается в том, что после некоторого числа специальных симплекс- преобразований ЗЛП, приведенная к специальному виду, разрешается. Для того, чтобы продемонстрировать симплекс-метод в действии решим, с попутными комментариями следующую задачу:

Для того, чтобы приступить к решению ЗЛП симплекс методом, надо привести ЗЛП к специальному виду и заполнить симплекс таблицу.

Система (4) – естественные ограничения и в таблицу не вписываются. Уравнения (1), (2), (3) образуют область допустимых решений. Выражение (5) – целевая функция. Свободные члены в системе ограничений и области допустимых решений должны быть неотрицательны.

В данном примере X3, X4, X5 – базисные неизвестные. Их надо выразить через свободные неизвестные и произвести их замену в целевой функции.

Теперь можно приступить к заполнению симплекс-таблицы:

В первом столбце данной таблицы обозначены базисные неизвестные, в последнем – значения свободных неизвестных, в остальных – коэффициенты при неизвестных.

Для того чтобы найти максимум функции fнадо с помощью преобразований методом Гаусса сделать так, чтобы все коэффициенты при неизвестных в последней строке были неотрицательными (для нахождения минимума, сделать так, чтобы все коэффициенты были меньше или равны нулю).

Для этого выбираем столбец с отрицательным коэффициентом в последней строке (столбец 3) и составляем для положительных элементов данного столбца отношения свободный член/коэффициент (1/1; 2/1) . Из данных отношений выбираем наименьшее и помечаем соответствующую строку .

Нами выбран элемент в ячейке (3;3). Теперь с помощью метода Гаусса обнуляем другие коэффициенты в данном столбце, это приводит к смене базиса и мы на один шаг приближаемся к оптимальному решению.

Как видно из таблицы теперь все коэффициенты в последней строке больше либо равны нулю. Это означает, что нами найдено оптимальное значение. Свободные неизвестные равны нулю, значению базисных неизвестных и максимуму функции f соответствует значения свободных неизвестных.

Приложение

Решение неравенств онлайн на Math34. biz для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Неравенство в математике — утверждение об относительной величине или порядке двух объектов (один из объектов меньше или не больше другого), или о том, что два объекта не одинаковы (отрицание равенства). В элементарной математике изучают числовые неравенства, в общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы. Для решения неравенства обязательно должны быть определены обе его части с одним из знаков неравенства между ними. Строгие неравенства подразумевают неравенство двух объектов. В отличие от строгих, нестрогие неравенства допускают равенство входящих в него объектов. Линейные неравенства представляют собой простейшие с точки зрения начала изучения выражения, и для решения таких неравенств используются самые простые методики. Главная ошибка учеников в решении неравенств онлайн в том, что они не различают особенность строгого и нестрогого неравенства, от чего зависит войдут или нет граничные значения в конечный ответ. Несколько неравенств, связанных между собой несколькими неизвестными, называют системой неравенств. Решением неравенств из системы является некая область на плоскости, либо объемная фигура в трехмерном пространстве. Наряду с этим абстрагируются n-мерными пространствами, однако при решении таких неравенств зачастую не обойтись без специальных вычислительных машин. Для каждого неравенства в отдельности нужно найти значения неизвестного на границах области решения. Множество всех решений неравенства и является его ответом. Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому. Аналогичный подход встречается и в других дисциплинах, потому что помогает привести выражения к стандартному виду. Вы оцените по достоинству все преимущества решение неравенств онлайн на нашем сайте. Неравенство — это выражение, содержащее один из знаков = >. По сути это логическое выражение. Оно может быть либо верным, либо нет — в зависимости от того, что стоит справа и слева в этом неравенстве. Разъяснение смысла неравенства и основные приемы решения неравенств изучаются на разных курсах, а также в школе. Решение любых неравенств онлайн — неравенства с модулем, алгебраические, тригонометрические, трансцендентные неравенства онлайн. Тождественное неравенство, как строгие и нестрогие неравенства, упрощают процесс достижения конечного результата, являются вспомогательным инструментом для разрешения поставленной задачи. Решение любых неравенств и систем неравенств, будь то логарифмические, показательные, тригонометрические или квадратных неравенства, обеспечивается с помощью изначально правильного подхода к этому важному процессу. Решение неравенств онлайн на сайте сайт всегда доступно всем пользователям и абсолютно бесплатно. Решениями неравенства с одной переменной называются значения переменной, которые обращают его в верное числовое выражение. Уравнения и неравенства с модулем: модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа. Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень. Неравенства – это выражения, указывающие на сравнение чисел, поэтому грамотное решение неравенств обеспечивает точность таких сравнений. Они бывают строгими (больше, меньше) и нестрогими (больше или равно, меньше или равно). Решить неравенство – значит найти все те значения переменных, которые при подстановке в исходное выражение обращают его в верное числовое представление.. Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности — вот что определяет специфику данного математического раздела. Основные свойства числовых неравенств, применимые ко всем объектам данного класса, обязательно должны быть изучены учениками на начальном этапе ознакомления с данной темой. Неравенства и промежутки числовой прямой очень тесно связаны, когда речь идет о решении неравенств онлайн. Графическое обозначение решения неравенства наглядно показывает суть такого выражения, становится понятно к чему следует стремиться при решении какой-либо поставленной задачи. В основу понятия неравенства входит сравнение двух или нескольких объектов. Неравенства, содержащие переменную, решаются как аналогично составленные уравнения, после чего делается выборка интервалов, которые будут приняты за ответ. Любое алгебраическое неравенство, тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции, вы с легкостью и мгновенно сможете решить, используя наш бесплатный сервис. Число является решением неравенства, если при подстановке этого числа вместо переменной получаем верное выражение, то есть знак неравенства показывает истинное понятие.. Решение неравенств онлайн на сайт каждый день для полноценного изучения студентами пройденного материала и закрепления своих практических навыков. Зачастую тема неравенства онлайн в математике изучается школьниками после прохождения раздела уравнений. Как и положено применяются все принципы при решении, чтобы определить интервалы решений. Найти в аналитическом виде ответ бывает сложнее, чем сделать то же самое, но в числовом виде. Однако такой подход дает более наглядное и полное представление об целостности решения неравенства. Сложность может возникнуть на этапе построения линии абсцисс и нанесения точек решения однотипного уравнения. После этого решение неравенств сводится к определению знака функции на каждом выявленном интервале с целью определения возрастания или убывания функции. Для этого необходимо поочередно подставлять к значениям, заключенных внутри каждого интервала, в исходную функцию и проверять её значение на положительность или отрицательность. В этом есть суть нахождения всех решений, в том числе интервалов решений. Когда вы сами решите неравенство и увидите все интервалы с решениями, то поймете, насколько применим такой подход для дальнейших действий. Сайт сайт предлагает вам перепроверить свои результаты вычислений с помощью мощного современного калькулятора на этой странице. Вы сможете с легкостью выявить неточности и недочеты в своих расчетах, использую уникальный решебник неравенств. Студенты часто задаются вопросом, где найти такой полезный ресурс? Благодаря инновационному подходу к возможности определения потребностей инженеров, калькулятор создан на базе мощных вычислительных серверов с использованием только новых технологий. По сути решение неравенств онлайн заключается в решении уравнения с вычислением всех возможных корней. Полученные решения отмечаются на прямой, а далее производится стандартная операция по определению значения функции на каждом промежутке. А что же делать, если корни уравнения получаются комплексные, как в этом случае решить неравенство в полной форме, которое бы удовлетворяло всем правилам написания результата? Ответ на этот и многие другие вопросы с легкость даст наш сервис сайт, для которого нет ничего невозможного в решении математических задач онлайн. В пользу вышесказанного добавим следующее: каждый, кто всерьез занимается изучением такой дисциплиной как математика, обязан изучить тему неравенств. Неравенства бывают разных типов и решить неравенство онлайн порой сделать непросто, так как необходимо знать принципы подходов к каждому из них. На этом базируется основа успеха и стабильности. Для примера можно рассмотреть такие типы, как логарифмические неравенства или трансцендентные неравенства. Это вообще особый вид таких, сложных на первый взгляд, задач для студентов, тем более для школьников. Преподаватели институтов уделяют немало времени из подготовки практикантов для достижения профессиональных навыков в работе. К таким же типам отнесем тригонометрические неравенства и обозначим общий подход при решении множества практических примеров из постановочной задачи. В ряде случаев сначала нужно привести все к уравнению, упростить его, разложить на разные множители, короче говоря, привести к вполне наглядному виду. Во все времена человечество стремилось найти оптимальный подход в любых начинаниях. Благодаря современным технологиям, человечество сделало просто огромный прорыв в будущее свое развитие. Инновации все чаще и чаще, день за днем вливаются в нашу жизнь. В основу вычислительной техники легла, разумеется, математика со своим принципами и строгим подходом к делу. сайт представляет собой общий математический ресурс, в котором имеется разработанный калькулятор неравенств и многие другие полезные сервисы. Используйте наш сайт и у вас будет уверенность в правильности решенных задач. Из теории известно, что объекты нечисловой природы также изучаются неравенствами онлайн, только этот подход представляет собой особый способ изучения данного раздела в алгебре, геометрии и других направлениях математики. Решать неравенства можно по-разному, неизменным остается конечная проверка решений и лучше всего это делать прямой подстановкой значений в само неравенство. Во многих случаях полученный ответ очевиден и его легко проверить в уме. Предположим нам задано решить дробное неравенство, в котором присутствуют искомые переменные в знаменателях дробных выражений. Тогда решение неравенств сведется к приведению всех слагаемых к общему знаменателю, предварительно переместив все в левую и правую часть неравенства. Далее нужно решить однородное уравнение, полученное в знаменателе дроби. Эти числовые корни будут точками, не включенными в интервалы общего решения неравенства, или ка их еще называют — проколотые точки, в которых функция обращается в бесконечность, то есть функция не определена, а можно только получить ее предельное значение в данной точке. Решив полученное в числителе уравнение, все точки нанесем на числовую ось. Заштрихуем те точки, в которых числитель дроби обращаемся в ноль. Соответственно все остальные точки оставляем пустыми или проколотыми. Найдем знак дроби на каждом интервале и после этого выпишем окончательный ответ. Если на границах интервала будут заштрихованные точки, то тогда включаем эти значения в решение. Если на границах интервала будут проколотые точки — эти значения в решение не включаем. После того, как решите неравенство, вам потребуется в обязательном порядке проверить полученный результат. Можно это сделать руками, каждое значение из интервалов ответа поочередно подставить в начальное выражение и выявить ошибки. Сайт сайт с легкостью выдаст вам все решения неравенства, и вы сразу сравните полученные вами и калькулятором ответы. Если все-таки ошибка будет иметь место, то на нашем ресурсе решение неравенств онлайн окажется вам очень полезным. Рекомендуем всем студентам вначале приступать не к решению напрямую неравенства, а сначала получить результат на сайт, потому что в дальнейшем будет намного проще самому сделать правильный расчет. В текстовых задачах практически всегда решение сводится к составлению системы неравенств с несколькими неизвестными. Решить неравенство онлайн в считанные секунды поможет наш ресурс. При этом решение будет произведено мощной вычислительной программой с высокой точностью и без всяких погрешностей в конечном ответе. Тем самым вы сможете сэкономить колоссальное количество времени на решении данным калькулятором примеров. В ряде случаев школьники испытывают затруднения, когда на практике или в лабораторных работах встречают логарифмические неравенства, а еще хуже, когда видят перед собой тригонометрические неравенства со сложными дробными выражениями с синусами, косинусами или вообще с обратными тригонометрическими функциями. Как ни крути, но без помощи калькулятора неравенств справиться будет очень сложно и не исключены ошибки на любом этапе решения задачи. Пользуйтесь ресурсом сайт совершенно бесплатно, он доступен каждому пользователю каждый день. Начинать действовать с нашего сервиса-помощника очень хорошая идея, поскольку аналогов существует множество, а по-настоящему качественных сервисов единицы. Мы гарантируем точность вычислений при длительности поиска ответа в несколько секунд. От вас требуется только записать неравенства онлайн, а мы в свою очередь сразу предоставим вам точный результат решения неравенства. Искать подобный ресурс может оказаться бессмысленным занятием, так как вряд ли вы встретите такой же качественный сервис как у нас. Можно обойтись без теории про решение неравенств онлайн, но без качественного и быстрого калькулятора вам не обойтись. Желаем вам успехов в учебе! По-настоящему выбрать оптимальное решение неравенства онлайн зачастую связано с логическим подходом для случайной величины. Если пренебречь малым отклонением замкнутого поля, то вектор нарастающего значения пропорционален наименьшему значению на промежутке убывания линии ординат. Инвариант пропорционален двукратному увеличению отображаемым функциям наряду с исходящим ненулевым вектором. Лучший ответ всегда содержит точность вычислений. Наше решение неравенств примет вид однородной функции последовательно сопряженных числовых подмножеств главного направления. За первый интервал возьмем как раз наихудшее по точности значение нашего представления переменной. Вычислим на максимальное отклонение предыдущее выражение. Будем пользоваться сервисом на усмотрение предложенных вариантов по мере необходимости. Будет ли найдено решение неравенств онлайн с помощью хорошего в своем классе калькулятора — это риторический вопрос, разумеется, студентам такой инструмент пойдет только на пользу и принесет огромный успех в математике. Наложим ограничение на область с множеством, которое сведем к элементам с восприятием импульсов по напряжению. Физические значения таких экстремумов математически описывают возрастание и убывание кусочно-непрерывных функций. На протяжении всего пути ученые находили доказательства существования элементов на разных уровнях изучения. Расположим все последовательно идущие подмножества одного комплексного пространства в один ряд с такими объектами, как шар, куб или цилиндр. Из нашего результата можно сделать однозначный вывод и когда решите неравенство, то на выходе, безусловно, прольется свет на высказанное математическое предположение об интеграции метода на практике. В текущем положении вещей необходимое условие будет также являться и достаточным условием. Критерии неопределенности зачастую вызывают у студентов разногласия по причине недостоверных данных. Это упущение должны взять на себя преподаватели ВУЗов, а также учителя в школах, так как на начальном этапе обучения необходимо это тоже учитывать. Из вышесказанного вывода на взгляд опытных людей можно делать выводы, что решить неравенство онлайн очень сложное задание при вхождении в неравенство неизвестных разного типа данных. Об этом сказано на научной конференции в западном округе, на которой выдвигали самые различные обоснования по поводу научных открытий в области математики и физики, а также молекулярного анализа биологически устроенных систем. В нахождении оптимального решения абсолютно все логарифмические неравенства представляют научную ценность для всего человечества. Исследуем данный подход на предмет логических заключений по ряду несовпадений на высшем уровне понятий о существующем объекте. Логика подсказывает иное, чем видно на первый взгляд неопытному студенту. По причине возникновения масштабных аналогий, будет рационально сначала приравнять отношения к разности предметов исследуемой области, а затем показать на практике наличие общего аналитического результата. Решение неравенств абсолютным образом завязано на применении теории и будет важно для каждого изучить такой необходимый для дальнейших исследований раздел математики. Однако, при решении неравенств вам нужно найти все корни составленного уравнения, а уже затем нанести все точки на ось ординат. Некоторые точки будут проколоты, а остальные войдут в интервалы с общим решением. Начнем изучать раздел математики с азов важнейшей дисциплины школьной программы. Если тригонометрические неравенства являются неотъемлемой частью текстовой задачи, то, как раз применять ресурс для вычисления ответа просто необходимо. Введите левую и правую части неравенства корректно, нажмите на кнопу и получите результат в течение нескольких секунд. Для быстрых и точных математических вычислений с числовыми или символьными коэффициентами перед неизвестными, вам как всегда понадобится универсальный калькулятор неравенств и уравнений, который сможет в считанные секунды предоставить ответ на поставленную вами задачку. Если у вас нет времени на написание целого ряда письменных упражнений, то обоснованность сервиса неоспорима даже невооруженным глазом. Для студентов такой подход является более оптимальным и оправданным с точки зрения экономии материальных ресурсов и времени. Напротив катета лежит угол, а для его измерения необходим циркуль, но вы сможете в любо момент воспользоваться подсказками и решите неравенство не применяя никаких формул приведения. Означает ли это успешное завершение начатого действия? Однозначно ответ будет положительным.

Системы неравенств с одним неизвестным

Система, которая содержит неравенства с одним неизвестным, еще называется системой линейных неравенств.

Определение 1

Система неравенств с одним неизвестным — это совокупность двух или большего числа неравенств, которые содержат одну и ту же неизвестную величину.

Например, $\left\{ \begin{array}{c} {x-1 >2,} \\ {3+x\le 7;} \end{array} \right.$

С этой целью необходимо отдельно найти все возможные решения каждого из неравенств системы, а после отыскать общее решение, которое состоит из общей части всех найденных решений, т. е. все значения, входящие в каждое из этих решений.

При решении любого вида системы из двух неравенств с одним неизвестным каждое неравенство сводится к виду $xc$ (переменная переносится в левую часть неравенства, а свободный член — в правую). Результатом такого преобразования является получение простейших систем.

Рассмотрим возможные варианты таких систем:

Пусть $a

1. $\left\{ \begin{array}{c} {x

   Решение системы: $x

2. $\left\{ \begin{array}{c} {x >a,} \\ {x >b,} \end{array} \right.$

   Решение системы: $x >b$.

3. $\left\{ \begin{array}{c} {x >a,} \\ {x

   Решение системы: $a

4. $\left\{ \begin{array}{c} {xb,} \end{array} \right. $

Решение системы: система решения не имеет, т.к. не существует таких чисел, которые одновременно меньше меньшего числа и больше большего числа.

Все четыре случая описывают все возможные варианты систем из двух неравенств с одним неизвестным и интуитивно понятны.

Часто для решения систем как двух, так и большего числа неравенства, используют числовую прямую, на которую наносят все решения каждого из неравенств системы, а затем ищут те значения, которые принадлежат каждому из решений. Найденные значения и являются решением заданной системы неравенств.

Пример 1

Найти решение системы:

Преобразуем оба неравенства системы к виду $xc$):

Ответ: $x

Легко получить или проверить данное решение, если нанести решение каждого неравенства на числовую прямую. Сразу станет очевидным общее решение системы.

Пример 2

Найти решение системы:

Решение.

Преобразуем оба неравенства системы к виду $xc$:

Мы получили 4-й вариант системы неравенств, при котором система решений не имеет.

Ответ: система решений не имеет.

Пример 3

Найти значения, при которых дробь $\frac{3x+3}{8x-20}$ будет принимать отрицательные значения.

Решение.

Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель будут иметь разные знаки. Составим два возможных варианта системы:

1. $\left\{ \begin{array}{c} {3x+3 >0,} \\ {8x-20

2. $\left\{ \begin{array}{c} {3x+30.} \end{array} \right.$

Решим первую систему:

Решением первой системы будут значения переменной, удовлетворяющие условию $-1

Решим вторую систему:

Данная система решений не имеет.

Ответ: дробь $\frac{3x+3}{8x-20}$ будет принимать отрицательные значения при $-1

При решении подобных примеров ошибочно составляют третью систему, которая состоит из решений первой и второй системы. Такой подход является грубой ошибкой, т.к. каждая из систем является самостоятельной и не зависит от другой.

Системы также могут состоять из нестрогих неравенств, которые содержат знаки $\le $ и $\ge $. Решение таких систем ничем не отличается от выше рассмотренных с той лишь разницей, что в случае нестрогого неравенства в решение включается значение конца или начала промежутка.

Пример 4

Найти решение системы:

Решение.

Преобразуем оба неравенства системы к виду $x\le c$ или $x\ge c$:

Найдем решение с помощью числовой прямой:

Решением системы будут значения переменной, удовлетворяющие условию $-4\le x\le -3$.

Ответ: $-4\le x\le -3$.

Решение линейных неравенств: онлайн калькулятор

Неравенство – это числовое соотношение, иллюстрирующее величину чисел относительно друг друга. Неравенства широко используются при поиске величин в прикладных науках. Наш калькулятор поможет вам разобраться с такой непростой темой, как решение линейных неравенств.

Что такое неравенство

Неравные соотношения в реальной жизни соотносятся с постоянным сравнением различных объектов: выше или ниже, дальше или ближе, тяжелее или легче. Интуитивно или зрительно мы можем понять, что один объект больше, выше или тяжелее другого, однако фактически речь всегда идет о сравнении чисел, которые характеризуют соответствующие величины. Сравнивать объекты можно по любому признаку и в любом случае мы можем составить числовое неравенство.

Если неизвестные величины при конкретных условиях равны, то для их численного определения мы составляем уравнение. Если же нет, то вместо знака «равно» мы можем указать любое другое соотношение между этими величинами. Два числа или математических объекта могут быть больше «>», меньше «<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Знаки неравенств в их современном виде придумал британский математик Томас Гарриот, который в 1631 году выпустил книгу о неравных соотношениях. Знаки больше «>» и меньше «<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Решение неравенств

Неравенства, как и уравнения, бывают разных типов. Линейные, квадратные, логарифмические или показательные неравные соотношения развязываются различными методами. Однако вне зависимости от метода, любое неравенство вначале требуется привести к стандартному виду. Для этого используются тождественные преобразования, идентичные видоизменениям равенств.

Тождественные преобразования неравенств

Такие трансформации выражений очень похожи на привидение уравнений, однако они имеют нюансы, которые важно учитывать при развязывании неравенств.

Первое тождественное преобразование идентично аналогичной операции с равенствами. К обеим сторонам неравного соотношения можно прибавить или отнять одно и то же число или выражение с неизвестным иксом, при этом знак неравенства останется прежним. Чаще всего этот метод применяется в упрощенной форме как перенос членов выражения через знак неравенства со сменой знака числа на противоположный. Имеется в виду смена знака самого члена, то есть +R при переносе через любой знак неравенства изменится на – R и наоборот.

Второе преобразование имеет два пункта:

1. Обе стороны неравного соотношения разрешается умножить или разделить на одно и то же положительное число. Знак самого неравенства при этом не изменится.
2. Обе стороны неравенства разрешается разделить или умножить на одно и то же отрицательное число. Знак самого неравенства изменится на противоположный.

Второе тождественное преобразование неравенств имеет серьезные различия с видоизменением уравнений. Во-первых, при умножении/делении на отрицательное число знак неравного выражения всегда изменяется на обратный. Во-вторых, разделить или умножить части отношения разрешается только на число, а не на любое выражение, содержащее неизвестное. Дело в том, что мы не можем точно знать, число больше или меньше нуля скрывается за неизвестным, поэтому второе тождественное преобразование применяется к неравенствам исключительно с числами. Рассмотрим эти правила на примерах.

Примеры развязывания неравенств

В заданиях по алгебре встречаются самые разные задания на тему неравенств. Пусть нам дано выражение:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Для начала раскроем скобки и перенесем все неизвестные влево, а все числа – вправо.

6x − 12x > 6 + 3

−6x > 9

Нам требуется поделить обе части выражения на −6, поэтому при нахождении неизвестного икса знак неравенства изменится на противоположный.

x < −9/6

x < −1,5

При решении этого неравенства мы использовали оба тождественных преобразования: перенесли все числа справа от знака и разделили обе стороны соотношения на отрицательное число.

Наша программа представляет собой калькулятор решения числовых неравенств, которые не содержат неизвестных. В программу заложены следующие теоремы для соотношений трех чисел:

• если A < B то A–C< B–C;
• если A > B, то A–C > B–C.

Вместо вычитания членов A–C вы можете указать любое арифметическое действие: сложение, умножение или деление. Таким образом, калькулятор автоматически представит неравенства сумм, разностей, произведений или дробей.

Заключение

В реальной жизни неравенства встречаются также часто, как и уравнения. Естественно, что в быту знания о разрешении неравенств могут и не понадобиться. Однако в прикладных науках неравенства и их системы находят широкое применение. К примеру, различные исследования проблем глобальной экономики сводятся к составлению и развязыванию систем линейных или квадратных неравенств, а некоторые неравные отношения служат однозначным способом доказательства существования определенных объектов. Пользуйтесь нашими программами для решения линейных неравенств или проверки собственных выкладок.

Системы линейных неравенств. Решение систем линейных неравенств

Например:

\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases} \begin{cases}2x-5\geq11\\3+x>7\end{cases} \begin{cases}2x\leq19\\3x<14\\5x>-1\end{cases}

\(\begin{cases}3>4\\x\leq7\end{cases}\)		– первое неравенство не линейное, а числовое
\(\begin{cases}2x^{2}-5\geq11\\3+\frac{1}{x}>7\end{cases}\)		– первое неравенство квадратное, второе дробно-рациональное, т. е. оба не линейные
\(\left[ \begin{gathered} 2x\leq19 \\ 3x<14\\ 5x>-1\\ \end{gathered} \right.\)		—  а это совокупность линейных неравенств, а не система

Решение систем линейных неравенств

Чтобы

Пример: Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала \((4;\infty)\), или на числовой оси:

Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку, то есть любой икс  из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:

А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.

Ответ: \((4;7]\)

Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.

Если в системе находятся требующие преобразований неравенства, то при решении системы каждое неравенство независимо от других

Пример:  Решить систему \(\begin{cases}x-4\geq0\\x-0,3\geq1\end{cases}\)
Решение:

Ответ: \([4;+\infty)\)

Пример:  Решить систему \(\begin{cases}4(x-1)<3x+1\\-3x+7\geq4(1-x)\end{cases}\)
Решение:

Ответ: \([-3;5)\)

Заметьте, что для решения первой системы мы использовали две числовые оси, пересекая их пунктиром, а для решения второй и третьей – одну ось. Вы можете сами выбирать сколько осей вам рисовать, оба варианта допустимы. Однако в больших системах (\(3\) или более неравенства) советую для каждого неравенства чертить свою ось.

Системы линейных неравенств и двойные неравенства

Помимо рассмотренных выше примеров, есть особый вид систем линейных неравенств: двойные неравенства. Они притворяются, что совсем не системы, но на самом деле еще какие системы!

Например:  
— неравенство \(3<x-1<7\)  можно записать как  \(\begin{cases}x-1>3\\x-1<7\end{cases}\)
— неравенство \(2x-5<3x+7≤8x\) можно записать как \(\begin{cases}2x-5< 3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)

Первое неравенство удобнее решать в виде двойного, из-за того, что в левой и правой части нет переменных. А вот второе лучше решать как систему из-за того, что иксы есть во всех трех частях неравенства.

4.

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определите, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств.
• Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков.
• Решайте приложения систем неравенств.

Необходимые навыки

Прежде чем начать, пройдите предварительный тест.

1. Является ли \ ((3, 12) \) решением задачи \ (y> 2x + 3 \)?

Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

Да, потому что \ (12> 9 \).

Если вы пропустили эту проблему, просмотрите раздел 4.1. . (Обратите внимание, что это откроется в новом окне.)

2. Изобразите график всех решений для \ (2x-3y <12 \).

Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Раздел 4. 1 . (Обратите внимание, что это откроется в новом окне.)

3. Где пересекаются прямые \ (y = 2x + 1 \) и \ (y = -3x + 6 \)?

Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

\ ((1, 3) \)

Если вы пропустили эту проблему, просмотрите раздел 3.1 . (Обратите внимание, что это откроется в новом окне.)

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

Определение системы линейных неравенств очень похоже на определение системы линейных уравнений.

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.

Система линейных неравенств выглядит как система линейных уравнений, но вместо уравнений в ней есть неравенства. Здесь показана система двух линейных неравенств.

\ [\ left \ {\ begin {array} {l} x + 4y \ geq 10 \\ 3x − 2y <12 \ end {array} \ right. \ Nonumber \]

Для решения системы линейных неравенств мы найдем значения переменных, которые являются решениями обоих неравенств.Мы решаем систему, используя графики каждого неравенства, и показываем решение в виде графика. Мы найдем на плоскости область, содержащую все упорядоченные пары \ ((x, y) \), в которых выполняются оба неравенства.

РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Решениями системы линейных неравенств являются значения переменных, которые делают все неравенства истинными.

Решение системы линейных неравенств показано заштрихованной областью в системе координат x, y , которая включает все точки, чьи упорядоченные пары делают неравенства истинными.

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух неравенств, мы подставляем значения переменных в каждое неравенство. Если упорядоченная пара выполняет оба неравенства, это решение системы.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 4y \ geq 10 \\ 3x − 2y <12 \ end {array} \ right. \)

а. \ ((- 2,4) \)

г. \ ((3,1) \)

Ответить

а.Является ли упорядоченная пара \ ((- 2,4) \) решением?

Упорядоченная пара \ ((- 2,4) \) выполняла оба неравенства. Следовательно, \ ((- 2,4) \) является решением этой системы.

г. Является ли упорядоченная пара \ ((3,1) \) решением?

Упорядоченная пара \ ((3,1) \) сделала одно неравенство истинным, а другое — ложным. Следовательно, \ ((3,1) \) не является решением этой системы.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 5y> 10 \\ 2x + 3y> −2 \ end {array} \ right.\)

а. \ ((3, −1) \)

г. \ ((6, −3) \)

Ответить

а. нет б. да

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y> 4x − 2 \\ 4x − y <20 \ end {array} \ right. \)

а. \ ((- 2,1) \)

г. \ ((4, −1) \)

Ответить

а. да б.нет

Решение системы линейных неравенств с помощью построения графиков

Решением единственного линейного неравенства является область на одной стороне граничной линии, которая содержит все точки, которые делают неравенство истинным. Решением системы двух линейных неравенств является область, содержащая решения обоих неравенств. Чтобы найти эту область, мы построим график каждого неравенства отдельно, а затем определим область, в которой оба неравенства верны. Решение всегда отображается в виде графика.

РЕШИТЕ ​​СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ.

1. Изобразите первое неравенство.
   • Постройте граничную линию.
   • Затенение сбоку от ограничивающей линии, где выполняется неравенство.
2. На той же сетке нанесите график второго неравенства.
   • Постройте граничную линию.
   • Заштрихуйте ту сторону границы, где выполнено неравенство.
3. Решение — это область перекрытия штриховки.
4. Проверьте, выбрав контрольную точку.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): как решить систему линейных неравенств с помощью построения графиков

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y \ geq 2x − 1 \\ y

Решение

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y <3x + 2 \\ y> −x − 1 \ end {array} \ right. \)

Ответить

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y <- \ dfrac {1} {2} x + 3 \\ y <3x − 4 \ end {array} \ right. \)

Ответить

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − y> 3 \\ y <−15x + 4 \ end {array} \ right. \)

Ответить

	\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − y> 3 \\ y <−15x + 4 \ end {array} \ right. \)
График x — y > 3, построив график x — y = 3 и проверив точку. Пересечения составляют x = 3 и y = −3, а граничная линия будет пунктирной. Тест (0, 0), который делает неравенство ложным, поэтому заштрихуйте (красным) сторону, которая не содержит (0, 0).

«>

График \ (y <−15x + 4 \) путем построения графика \ (y = −15x + 4 \) с использованием наклона \ (m = −15 \) и y -интерсепта b = 4. Граничная линия будет пунктирной. Test (0, 0), что делает неравенство истинным, поэтому закрашивает (синим) сторону, содержащую (0, 0). Выберите контрольную точку в решении и убедитесь, что это решение обоих неравенств.

Точка пересечения двух линий не включена, поскольку обе граничные линии были пунктирными. Решение — это дважды заштрихованная область, которая выглядит как самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {8} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y \ leq 2 \\ y \ geq \ frac {2} {3} x − 1 \ end {array} \ right . \)

Ответить

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {9} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x − 2y \ leq 6 \\ y> — \ frac {1} {4} x + 5 \ end {array} \ right .\)

Ответить

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 2y <5 \\ y> −4 \ end {array} \ right. \)

Ответить

Test with point with coordinates zero and zero which makes the inequality true so the side that contains this point is shaded red.»>

	\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 2y <5 \\ y> −4 \ end {array} \ right.\)
График \ (x − 2y <5 \), построив график \ (x − 2y = 5 \) и проверив точку. Пересечения составляют x = 5 и y = −2,5, а граничная линия будет пунктирной. Тест (0, 0), который делает неравенство истинным, поэтому закрасьте (красным) сторону, содержащую (0, 0).

The boundary line is dashed. Test with point with coordinates zero and zero which makes the inequality true so the side that contains this point is shaded blue.»>

График \ (y> −4 \), построив график \ (y = −4 \) и распознав, что это горизонтальная линия от до \ (y = −4 \).Граничная линия будет пунктирной. Тест (0, 0), который делает неравенство истинным, поэтому закрасьте (синим) сторону, содержащую (0, 0).

Точка \ ((0,0) \) находится в решении, и мы уже нашли, что это решение каждого неравенства. Точка пересечения двух линий не включена, поскольку обе граничные линии были пунктирными.

Решение — это дважды заштрихованная область, которая выглядит как самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {11} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y \ geq 3x − 2 \\ y <−1 \ end {array} \ right. \)

Ответить

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {12} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x> −4x − 2 \\ y \ geq −4 \ end {array} \ right. \)

Ответить

Решение — самая темная заштрихованная область.

Системы линейных неравенств с параллельными линиями границ могут не иметь решения. Мы увидим это в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {13} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x + 3y \ geq 12 \\ y <- \ frac {4} {3} x + 1 \ end {array} \ right . \)

Ответить

The intercepts are x equal to three and y equal to four. The boundary line is dashed. Test with point with coordinates zero and zero which makes the inequality false so the side that contains this point is shaded blue. Next the graph of y less than minus four by three of x plus one is made by graphing y equal to minus four by three of x plus one using the slope m equal to minus four by three and y intercept b equal to one. The boundary line is dashed. Test with point with coordinates zero and zero which makes the inequality true so the side that contains this point is shaded red.»>

	\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 4x + 3y \ geq 12 \\ y <- \ frac {4} {3} x + 1 \ end {array} \ right.\)
График \ (4x + 3y \ geq 12 \), построив график \ (4x + 3y = 12 \) и протестировав точку. Пересечения составляют x = 3 и y = 4, и граничная линия будет сплошной. Тест (0, 0), который делает неравенство ложным, поэтому закрашивает (красным) сторону, которая не содержит (0, 0).
График \ (y <- \ frac {4} {3} x + 1 \) путем построения графика \ (y = - \ frac {4} {3} x + 1 \) с использованием наклона \ (m = — \ frac {4} {3} \) и y -intercept b = 1.Граница будет пунктирной. Test (0, 0), который делает неравенство истинным, поэтому закрашивает (синим) сторону, содержащую (0, 0).

Нет смысла в обеих заштрихованных областях, поэтому у системы нет решения.

Пример \ (\ PageIndex {14} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x − 2y \ geq 12 \\ y \ geq \ frac {3} {2} x + 1 \ end {array} \ right . \)

Ответить

Нет решения.

Пример \ (\ PageIndex {15} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + 3y> 8 \\ y <- \ frac {1} {3} x − 2 \ end {array} \ right. \)

Ответить

Нет решения.

Некоторые системы линейных неравенств с параллельными граничными линиями имеют решение. Мы увидим это в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {16} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y> \ frac {1} {2} x − 4 \\ x − 2y <−4 \ end {array} \ right.\)

Ответить

First the graph of y greater than half of x minus four is made by graphing y equal to half of x minus four using the slope m equal to half and y intercept b equal to minus 4. The boundary line is dashed. Test with point with coordinates zero and zero which makes the inequality so the side that contains this point is shaded red. Next the graph of x minus two times y less than minus four is made by graphing x minus two times y equal to minus four. The intercepts are x equal to minus four and y equal to two. The boundary line is dashed.»>

	\ (\ left \ {\ begin {array} {l} y> \ frac {1} {2} x − 4 \\ x − 2y <−4 \ end {array} \ right. \)
График \ (y> \ frac {1} {2} x − 4 \) путем построения графика \ (y = \ frac {1} {2} x − 4 \) с использованием наклона \ (m = \ frac {1} {2} \) и точка пересечения b = −4. Граница будет пунктирной. Тест (0, 0), который делает неравенство истинным, поэтому закрашивает (красным) сторону, содержащую (0, 0).
График \ (x − 2y <−4 \) путем построения графика \ (x − 2y = −4 \) и проверки точки. Пересечения составляют x = −4 и y = 2, а граничная линия будет пунктирной. Выберите контрольную точку в решении и проверьте , что это решение обоих неравенств. Тест (0, 0), который делает неравенство ложным, поэтому закрашивает (синим) сторону, которая не содержит (0, 0).

Никакая точка на граничных линиях не включается в решение, так как обе линии пунктирны.

Решение — это дважды заштрихованная область, которая также является решением для \ (x − 2y <−4 \).

Пример \ (\ PageIndex {17} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y \ geq 3x + 1 \\ −3x + y \ geq −4 \ end {array} \ right. \)

Ответить

Решение — самая темная заштрихованная область.

Пример \ (\ PageIndex {18} \)

Решите систему, построив график: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} y \ leq — \ frac {1} {4} x + 2 \\ x + 4y \ leq 4 \ end {array} \ верно.\)

Ответить

Решение — самая темная заштрихованная область.

Решение приложений систем неравенств

Первое, что нам нужно сделать для решения приложений систем неравенств, — это преобразовать каждое условие в неравенство. Затем мы строим график системы, как мы делали выше, чтобы увидеть область, содержащую решения. Многие ситуации будут реалистичными только в том случае, если обе переменные положительны, поэтому мы добавляем неравенства в систему в качестве дополнительных требований.

Пример \ (\ PageIndex {19} \)

Кристи продает свои фотографии в киоске на уличной ярмарке. В начале дня она хочет, чтобы на ее стенде было не менее 25 фотографий. Каждая маленькая фотография, которую она показывает, стоит ей 4 доллара, а каждая большая фотография — 10 долларов. Она не хочет тратить больше 200 долларов на фотографии для показа.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Могла ли она показать 10 маленьких и 20 больших фотографий?
г.Могла ли она показать 20 больших и 10 маленьких фотографий?

Ответить

а.
\ (\ begin {array} {ll} \ text {Let} & {x = \ text {количество маленьких фотографий.}} \\ {} & {y = \ text {количество больших фотографий}} \ конец {массив} \)

Для поиска системы уравнений переведите информацию.

\ (\ qquad \ begin {array} {l} \\ \\ \ text {Она хочет иметь как минимум 25 фотографий. } \\ \ text {Количество маленьких плюс количество больших должно быть не менее} 25 .\\ \ hspace {45mm} x + y \ geq 25 \\ \\ \\ $ 4 \ text {для каждого маленького и} $ 10 \ text {для каждого большого должно быть не более чем} $ 200 \\ \ hspace {40mm} 4x + 10y \ leq 200 \\ \\ \\ \ text {Количество маленьких фотографий должно быть больше или равно} 0. \\ \ hspace {50mm} x \ geq 0 \\ \\ \\ \ text {Количество больших фотографий должно быть больше или равно} 0. \\ \ hspace {50mm} y \ geq 0 \ end {array} \)

У нас есть система уравнений.

\ (\ hspace {65mm} \ left \ {\ begin {array} {l} x + y \ geq 25 \\ 4x + 10y \ leq 200 \\ x \ geq 0 \\ y \ geq 0 \ end {массив }\верно.\)

г.
Поскольку \ (x \ geq 0 \) и \ (y \ geq 0 \) (оба больше или равны), все решения будут в первом квадранте. В результате на нашем графике показан только квадрант.

The point with coordinates zero and zero does not make the inequality true so the side that does not include this point is shaded red. Next the inequality four times x plus ten times y greater than or equal to two hundred is made by graphing four times x plus ten times y equal to two hundred. The point with coordinates zero and zero does make the inequality true so the side which contains this point is shaded blue.»>

Чтобы изобразить \ (x + y \ geq 25 \), изобразите \ (x + y = 25 \) сплошной линией. Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство истинным, закрасьте (красным) сторону, на которой нет точки (0, 0). Чтобы изобразить \ (4x + 10y \ leq 200 \), изобразите \ (4x + 10y = 200 \) сплошной линией. Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это делает неравенство истинным, закрасьте (синим) сторону, которая включает точку (0, 0).

Решение системы — это самая темная заштрихованная область графика. Участки граничной линии, которые граничат с темным участком, включены в решение, как и точки на оси x от (25, 0) до (55, 0).

г. Чтобы определить, подойдут ли 10 маленьких и 20 больших фотографий, мы смотрим на график, чтобы увидеть, находится ли точка (10, 20) в области решения.Мы также можем проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением обоих уравнений.

Нет, Кристи не показала бы 10 маленьких и 20 больших фотографий.

г. Чтобы определить, подойдут ли 20 маленьких и 10 больших фотографий, мы смотрим на график, чтобы увидеть, находится ли точка (20, 10) в области решения. Мы также можем проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением обоих уравнений.

Это так, поэтому Кристи могла выбрать отображение 20 маленьких и 10 больших фотографий.

Обратите внимание, что мы также можем проверить возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.

Пример \ (\ PageIndex {20} \)

Прицеп может нести максимальный вес 160 фунтов и максимальный объем 15 кубических футов. Микроволновая печь весит 30 фунтов и имеет объем 2 кубических фута, в то время как принтер весит 20 фунтов и имеет 3 кубических фута пространства.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Можно ли в этом прицепе перевезти 4 микроволновки и 2 принтера?
г. Можно ли в этом прицепе перевезти 7 микроволновых печей и 3 принтера?

Ответить

а.\ (\ left \ {\ begin {array} {l} 30m + 20p \ leq 160 \\ 2m + 3p \ leq 15 \ end {array} \ right. \)
б.

г. да
г. нет

Пример \ (\ PageIndex {21} \)

Мэри необходимо приобрести запасы листов для ответов и карандашей для стандартного теста, который будет проводиться среди младших классов в ее средней школе. Количество необходимых листов для ответов как минимум на 5 больше, чем количество карандашей. Карандаши стоят 2 доллара, а листы для ответов — 1 доллар. Бюджет Мэри на эти принадлежности предусматривает максимальную стоимость в 400 долларов.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Может ли Мэри купить 100 карандашей и 100 листов для ответов?
г. Может ли Мэри купить 150 карандашей и 150 листов для ответов?

Ответить

а. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} a \ geq p + 5 \\ a + 2p \ leq 400 \ end {array} \ right. \)
б.

г. №
г. нет

Когда мы используем переменные, отличные от x и y для определения неизвестной величины, мы также должны изменить имена осей графика.

Пример \ (\ PageIndex {22} \)

Омару нужно съесть не менее 800 калорий, прежде чем отправиться на командную тренировку. Все, что ему нужно, — это гамбургеры и печенье, и он не хочет тратить больше пяти долларов. В гамбургер-ресторане рядом с его колледжем каждый гамбургер содержит 240 калорий и стоит 1,40 доллара. Каждое печенье содержит 160 калорий и стоит 0,50 доллара США.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Сможет ли он съесть 3 гамбургера и 1 печенье?
г.Сможет ли он съесть 2 гамбургера и 4 печенья?

Ответить

а.
\ (\ begin {array} {ll} \ text {Let} & {h = \ text {количество гамбургеров.} \\ & {c = \ text {количество файлов cookie} \ end {array} \)

Для поиска системы уравнений переведите информацию.

Калории из гамбургеров по 240 калорий каждый плюс калорий из печенья по 160 калорий в каждом должны быть больше 800.

\ (\ qquad \ begin {array} {l} \ hspace {40mm} 240h + 160c \ geq 800 \\ \\ \\ \ text {Сумма, потраченная на гамбургеры в} 1 $.40 \ text {каждый, плюс сумма, потраченная на файлы cookie} \\\ text {at} 0,50 $ \ text {каждое должно быть не более} 5,00 $. \\ \ hspace {40mm} 1,40h + 0,50c \ leq 5 \\ \\ \\ \ text {Количество гамбургеров должно быть больше или равно 0. } \\ \ hspace {50mm} h \ geq 0 \\ \ text {Количество куки-файлов должно быть больше или равно 0. } \\ \ hspace {50 мм} c \ geq 0 \ end {array} \)

\ (\ text {У нас есть наша система уравнений.} \ Qquad \ left \ {\ begin {array} {l} 240h + 160c \ geq 800 \\ 1.40h + 0.50c \ leq 5 \\ h \ geq 0 \\ c \ geq 0 \ end {array} \ right.\)

г.
Поскольку \ (h \ geq 0 \) и \ (c \ geq 0 \) (оба больше или равны), все решения будут в первом квадранте. В результате на нашем графике показан только квадрант.

Для построения графика \ (240h + 160c \ geq 800 \), график \ (240h + 160c = 800 \) в виде сплошной линии. Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство истинным, закрасьте (красным) сторону, на которой нет точки (0, 0).

График \ (1.40h + 0.50c \ leq 5 \). Граничная линия равна \ (1,40h + 0,50c = 5 \). Мы проверяем (0, 0), и это делает неравенство истинным. Заштриховываем сторону линии, которая включает (0, 0).

Решением системы является самая темная заштрихованная область графика. Участки граничной линии, которые граничат с темным заштрихованным участком, включены в решение, как и точки на оси x от (5, 0) до (10, 0).

г. Чтобы определить, соответствуют ли 3 гамбургера и 2 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (3, 2) в области решения.Это так, поэтому Омар может съесть 3 гамбургера и 2 печенья.

г. Чтобы определить, соответствуют ли 2 гамбургера и 4 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (2, 4) в области решения. То есть Омар может съесть 2 гамбургера и 4 печенья.

Мы также можем проверить возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.

Пример \ (\ PageIndex {23} \)

Tension необходимо съедать не менее 1000 дополнительных калорий в день, чтобы подготовиться к марафону.У него есть только 25 долларов, которые он может потратить на дополнительную еду, и он потратит их на пончики по 0,75 доллара, каждый из которых содержит 360 калорий, и энергетические напитки за 2 доллара, в которых содержится 110 калорий.

а. Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Может ли он купить 8 пончиков и 4 энергетических напитка и удовлетворить свои потребности в калориях?
г. Может ли он купить 1 пончик и 3 энергетических напитка и удовлетворить свои потребности в калориях?

Ответить

а. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 0.75d + 2e \ leq 25 \\ 360d + 110e \ geq 1000 \ end {array} \ right. \)
b.

г. да
г. нет

Пример \ (\ PageIndex {24} \)

Врач Филиппа говорит ему, что он должен добавлять как минимум 1000 калорий в день к своему обычному рациону. Филип хочет купить протеиновые батончики стоимостью 1,80 доллара каждый, 140 калорий и сок, который стоит 1,25 доллара за бутылку и содержит 125 калорий. Он не хочет тратить больше 12 долларов.

а. Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
г. Изобразите систему.
г. Может ли он купить 3 протеиновых батончика и 5 бутылок сока?
г. Может ли он купить 5 протеиновых батончиков и 3 бутылки сока?

Ответить

а. \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 140p + 125j \ geq 1000 \\ 1.80p + 1.25j \ leq 12 \ end {array} \ right. \)
б.

г. да
г. нет

Получите доступ к этим онлайн-ресурсам, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в решении систем линейных неравенств с помощью построения графиков.

• Решение систем линейных неравенств с помощью построения графиков
• Системы линейных неравенств

Ключевые понятия

• Решения системы линейных неравенств: Решения системы линейных неравенств — это значения переменных, которые делают все неравенства истинными. Решение системы линейных неравенств показано заштрихованной областью в системе координат x, y , которая включает все точки, чьи упорядоченные пары делают неравенства истинными.
• Как решить систему линейных неравенств с помощью построения графиков.
  1. Изобразите первое неравенство.
     Постройте граничную линию.
     Заштрихуйте сбоку от ограничивающей линии, где выполнено неравенство.
  2. На той же сетке нанесите график второго неравенства.
     Постройте граничную линию.
     Заштрихуйте сбоку от границы, на которой выполнено неравенство.
  3. Решение — это область перекрытия штриховки.
  4. Проверьте, выбрав контрольную точку.

Глоссарий

Система линейных неравенств

Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.

системных задач линейных неравенств

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Примеры решения словесных задач «Линейные неравенства»

2) Анита работает онлайн-репетитором за 4 доллара в час. Она также работает редактором за 7 $ в час. Ей разрешается работать только 15 часов в неделю. Она хочет заработать не более 75 $ \ $. Изобразите систему неравенств, чтобы представить эту ситуацию, и напишите как минимум два решения.
Решение: Пусть работает онлайн-репетитором = x, а редактором будет y.
4x + 7y $ \ leq $ 75
x + y $ \ leq $ 15

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Системы линейных неравенств

Пожалуйста, включите скрипты (или JavaScript) в вашем веб-браузере, и затем перезагрузите эту страницу.

То есть мы хотим найти пары $ (x, y) $, которые являются решениями для и неравенства.Во-первых, нам нужно построить график линий $ y = -2x-2 $ и $ y = -2 $. Посмотрите на сетки слева. В левой сетке вы смотрите на график $ y = -2x-2 $. На справа вы смотрите на график $ y = -2 $.

Вот способ узнать, является ли точка $ (1,2) $ решением первое неравенство:

$ y≥-2x-2 $ за $ (1,2) $?
$ 2≥-2 (1) -2 $?
$ 2≥-2-2 $?
$ 2≥-4 $?
ДА

Проверьте каждую точку в таблице ниже в обоих неравенствах. Также укажите, какие точки решения системы двух неравенств (то есть, какие точки являются решением обеих первое неравенство и второе неравенство ).

Нажмите, чтобы увидеть Графики $ y≥-2x-2 $ и $ y≥-2 $ показаны вместе. В темно-синий участок — это область, где решение устанавливает перекрытие. Светло-синий участок — это остальная часть набора решений. $ y≥-2 $, а розовое сечение — это остальная часть набора решений $ y≥-2x-2 $.

Красная линия — это график $ y = -4x-2 $ и синяя линия — график $ 3x + 4y = 18 $.

Для каждой точки в таблице ниже найдите точку на сетке и определить, является ли это решением каждого неравенства.

Нажмите посмотреть на график неравенств. Помните, что темно-синий область — график множества решений системы линейных неравенств.Назовите точка на сетке, лежащая в наборе решений.

Графики линий $ x + y = -2 $ и $ 2x-3y = 6 $ указаны на сетка ниже. Как видите, графики этих двух линий делят сетку на четыре секции, которые были обозначены A, B, C и D.

Выберите точку в каждом разделе сетки выше (A, B, C и D) и заполните таблицу ниже.

Щелкните, чтобы построить график двух неравенств. Есть ли темно-синий участок сетки слева соответствует к только что найденному набору решений?

Прочтите: Приложения систем линейных неравенств

Цели обучения

• Напишите и изобразите систему, моделирующую количество, которое должно быть продано для достижения заданного объема продаж
• Напишите систему неравенств, которая представляет регион прибыли для бизнеса
• Интерпретация решений системы неравенства затрат / доходов

В нашем первом примере мы покажем, как написать и изобразить систему линейных неравенств, которая моделирует объем продаж, необходимый для получения определенной суммы денег.

Пример

Кэти продает рожки мороженого на школьном мероприятии по сбору средств. Она продает два размера: маленький (в котором есть [латекс] 1 [/ latex] мерная ложка) и большой (в котором есть [latex] 2 [/ latex] мерные ложки). Она знает, что может получить максимум 70 [латексных] шариков мороженого из своего запаса. Она берет [латекс] 3 доллара [/ латекс] за маленький конус и [латекс] 5 долларов [/ латекс] за большой конус.

Кэти хочет заработать не менее 120 долларов [латекс] [/ латекс], чтобы отдать их школе. Напишите и изобразите систему неравенств, которая моделирует эту ситуацию.

Сначала определите переменные. Есть две переменные: количество маленьких шишек и количество больших шишек.

s = маленький конус

л = большой конус

Напишите первое уравнение: максимальное количество ложек, которое она может выдать. Имеющиеся у нее совки [латекс] (70) [/ латекс] должны быть больше или равны количеству совков для маленьких ( s ) и больших [латексных] (2 [/ латексных] л. ) она продает.

[латекс] s + 2l \ le70 [/ латекс]

Напишите второе уравнение: сумму денег, которую она собирает. Она хочет, чтобы общая сумма денег, полученных от маленьких колбочек [латекс] (3 s ) [/ latex] и больших конусов [латекса] (5 l ) [/ latex], составляла не менее [латекса] 120 долларов [/ латекс].

[латекс] 3s + 5l \ ge120 [/ латекс]

Запишите систему.

[латекс] \ begin {case} s + 2l \ le70 \\ 3s + 5l \ ge120 \\ s> = 0 \ l> = 0 \ end {case} [/ latex]

Теперь изобразите систему. Переменные x и y заменены на s и l ; график s по оси x и l по оси y .

Первый график область [латекс] s + 2 l ≤ 70 [/ латекс]. Нарисуйте граничную линию, а затем проверьте отдельные точки, чтобы увидеть, какую область закрасить. Мы закрашиваем только те области, которые также удовлетворяют [latex] x> = 0, y> = 0 [/ latex]. График показан ниже.

Теперь нарисуйте область [latex] 3s + 5l \ ge120 [/ latex] Постройте граничную линию, а затем проверьте отдельные точки, чтобы увидеть, какую область закрасить. График показан ниже.

Изобразив регионы вместе, вы обнаружите следующее:

И представленный как перекрывающийся регион, у вас есть:

Ответ

Область фиолетового цвета — это решение.Пока комбинация маленьких и больших колбочек, которые продает Кэти, может быть отображена в фиолетовой области, она заработает не менее [латекс] 120 долларов [/ латекс] и не будет использовать более [латексных] 70 [/ латексных] совков. мороженого.

В предыдущем примере поиска решения системы линейных уравнений мы ввели уравнения затрат и доходов производителя:

Стоимость: [латекс] y = 0,85x + 35,000 [/ латекс]

Доход: [латекс] y = 1,55x [/ латекс]

[латекс] x \ ge0, y \ ge0 [/ латекс]

Уравнение затрат показано синим цветом на графике ниже, а уравнение дохода — оранжевым. Точка пересечения двух линий называется точкой безубыточности, мы узнали, что это решение системы линейных уравнений, которые в данном случае включают уравнения затрат и доходов. Обратите внимание, что показанные линии представляют только, где [latex] x \ ge0, y \ ge0 [/ latex]. Легко забыть включить эту часть в график.

Заштрихованная область справа от точки безубыточности представляет объемы, от которых компания получает прибыль. Область слева представляет количества, по которым компания терпит убытки.

В следующем примере вы увидите, как информацию, которую вы узнали о системах линейного неравенства, можно применить для ответа на вопросы о затратах и ​​доходах.

Обратите внимание, как заштрихованная синим цветом область между уравнениями затрат и доходов обозначена как «Прибыль». Это «золотая середина», которую компания хочет достичь, когда они производят достаточное количество рам для велосипедов с минимальными затратами, чтобы зарабатывать деньги. Они не хотят, чтобы выходило больше денег, чем приходило!

Пример

Определите область прибыли для бизнеса по производству скейтбордов с помощью неравенств, учитывая систему линейных уравнений:

Стоимость: [латекс] y = 0. 85x + 35,000 [/ латекс]

Доход: [латекс] y = 1,55x [/ латекс]

[латекс] x \ ge0, y \ ge0 [/ латекс]

Мы знаем, что графически решения линейных неравенств представляют собой целые области, и мы узнали, как графически отображать системы линейных неравенств ранее в этом модуле. Основываясь на приведенном ниже графике и уравнениях, определяющих затраты и выручку, мы можем использовать неравенства для определения региона, в котором производитель скейтбордов будет получать прибыль. Опять же, не как включается только область для [latex] x \ ge0, y \ ge0 [/ latex].

Начнем с уравнения дохода. Мы знаем, что точка безубыточности находится на [latex] (50,000, 77,500) [/ latex], а область прибыли — это синяя область. Если мы выберем точку в регионе и протестируем ее, как мы это делали для поиска областей решения неравенств, мы будем знать, какой знак неравенства использовать.

Давайте проверим точку [латекс] \ влево (65,00,100,000 \ вправо) [/ латекс] в обоих уравнениях, чтобы определить, какой знак неравенства использовать.

Стоимость:

[латекс] \ begin {array} {l} y = 0.85x + {35,000} \\ {100,000} \ text {? } 0,85 \ влево (65,000 \ вправо) +35,000 \\ 100,000 \ text {? } 90,250 \ end {array} [/ latex]

Нам нужно использовать>, потому что [latex] 100,000 [/ latex] больше, чем [latex] 90,250 [/ latex]

Неравенство затрат, которое обеспечит получение компанией прибыли, а не только безубыточности, составляет [латекс] y> 0,85x + 35,000 [/ латекс]

Теперь проверьте точку в уравнении доходов:

Выручка:

[латекс] \ begin {array} {l} y = 1,55x \\ 100 000 \ text {? } 1,55 \ влево (65 000 \ вправо) \\ 100 000 \ text {? } 100,750 \ end {array} [/ latex]

Нам нужно использовать <, потому что [latex] 100,000 [/ latex] меньше, чем [latex] 100,750 [/ latex]

Неравенство доходов, которое обеспечит получение компанией прибыли, а не только безубыточности, составляет [латекс] y <1.55x [/ латекс]

Система неравенств, определяющая область прибыли производителя велосипеда:

[латекс] \ begin {array} {l} y> 0,85x + 35,000 \\ y <1,55x \ end {array} [/ latex]

Ответ

Стоимость производства 50 000 единиц [/ латекса] [латекса] составляет 77 500 долл. США [/ латекс], а выручка от продажи 50 000 единиц [/ латекса] [латекса] также составляет 77 500 долл. США [/ латекс] . Чтобы получить прибыль, бизнес должен произвести и продать более 50 000 единиц [латекса]. Система линейных неравенств, которая представляет количество единиц, которые компания должна произвести, чтобы получить прибыль:

[латекс] \ begin {array} {l} y> 0.85x + 35,000 \\ y <1,55x \ end {array} [/ latex]

В следующем видео вы увидите пример того, как найти точку безубыточности для небольшого бизнеса по производству снобоксов.

А вот еще один видео-пример решения приложения по системе линейных неравенств.

Мы увидели, что системы линейных уравнений и неравенств могут помочь определить поведение рынка, которое очень полезно для бизнеса. Пересечение уравнений затрат и доходов дает точку безубыточности, а также помогает определить регион, в котором компания будет получать прибыль.

% PDF-1.4 % 655 0 объект > эндобдж xref 655 123 0000000016 00000 н. 0000003992 00000 н. 0000004077 00000 н. 0000004319 00000 н. 0000004935 00000 н. 0000005194 00000 н. 0000008904 00000 н. 0000009298 00000 н. 0000009681 00000 п. 0000009783 00000 н. 0000010977 00000 п. 0000011257 00000 п. 0000011557 00000 п. 0000011906 00000 п. 0000018969 00000 п. 0000019454 00000 п. 0000019859 00000 п. 0000020119 00000 п. 0000025017 00000 п. 0000025403 00000 п. 0000025789 00000 п. 0000026074 00000 п. 0000026469 00000 н. 0000026829 00000 н. 0000029881 00000 п. 0000030120 00000 н. 0000030431 00000 п. 0000030666 00000 п. 0000031231 00000 п. 0000031326 00000 п. 0000031673 00000 п. 0000031965 00000 п. 0000032646 00000 п. 0000032805 00000 п. 0000033187 00000 п. 0000033519 00000 п. 0000037601 00000 п. 0000037800 00000 п. 0000038379 00000 п. 0000038915 00000 п. 0000039789 00000 п. 0000040199 00000 п. 0000040730 00000 п. 0000041148 00000 п. 0000041195 00000 п. 0000041242 00000 п. 0000041289 00000 п. 0000041336 00000 п. 0000041373 00000 п. 0000041426 00000 п. 0000042168 00000 п. 0000042385 00000 п. 0000042463 00000 п. 0000042539 00000 п. 0000042616 00000 п. 0000042691 00000 п. 0000042769 00000 п. 0000043024 00000 п. 0000046204 00000 п. 0000046589 00000 п. 0000046991 00000 п. 0000047525 00000 п. 0000048179 00000 п. 0000049709 00000 п. 0000050072 00000 н. 0000050340 00000 п. 0000052161 00000 п. 0000052286 00000 п. 0000052821 00000 п. 0000053977 00000 п. 0000054035 00000 п. 0000054095 00000 п. 0000055292 00000 п. 0000055831 00000 п. 0000055992 00000 п. 0000056367 00000 п. 0000056670 00000 п. 0000059558 00000 п. 0000060965 00000 п. 0000061333 00000 п. 0000061961 00000 п. 0000062309 00000 п. 0000065393 00000 п. 0000065601 00000 п. 0000067250 00000 п. 0000067598 00000 п. 0000067861 00000 п. 0000068263 00000 п. 0000069637 00000 п. 0000069746 00000 п. 0000070876 00000 п. 0000072167 00000 п. 0000073426 00000 п. 0000079281 00000 п. 0000085229 00000 п. 0000095529 00000 п. 0000096484 00000 п. 0000099176 00000 п. 0000099420 00000 н. 0000099737 00000 п. 0000100101 00000 п. 0000100436 00000 н. 0000100525 00000 н. 0000100983 00000 н. 0000101072 00000 н. 0000101537 00000 н. 0000101626 00000 н. 0000102092 00000 н. 0000102181 00000 п. 0000102639 00000 п. 0000109184 00000 п. 0000109529 00000 н. 0000109941 00000 н. 0000114620 00000 н. 0000115488 00000 н. 0000133086 00000 н. 0000134818 00000 н. 0000135984 00000 п. 0000153582 00000 н. 0000155344 00000 н. 0000158413 00000 н. 0000159233 00000 н. 0000002756 00000 н. трейлер ] / Назад 1016720 >> startxref 0 %% EOF 777 0 объект > поток hb«e`d« Ā

Калькулятор неравенства — шаг за шагом

Описание:

Решатель неравенств, решающий неравенство с деталями вычисления: линейное неравенство, квадратичное неравенство.

Описание:

Калькулятор неравенств позволяет решать неравенства : его можно использовать как для решения линейного неравенства с одним неизвестным, чтобы решить квадратное неравенство. Во всех случаях шаги расчетов детализированы и дан точный результат.

Калькулятор неравенства предлагает множество возможностей расчета, поэтому, например, можно решить дробное неравенство , неравенство, которое содержит буквы (символьное вычисление).

Операторы, используемые для решения неравенства

Операторы сравнения, используемые для решения неравенства :

• > Улучшенный
• > = Superior или равно

Решение линейного неравенства онлайн

Решение линейного неравенства с одним неизвестным в виде `a * x> b` выполняется очень быстро, если переменная не является неоднозначной, просто введите неравенство , решающее и щелкните inequality_solver, будет возвращен точный результат.

Также приведены шагов вычислений , необходимых для решения неравенства .

Калькулятор — мощный инструмент компьютерной алгебры, он может манипулировать и получать разрешение линейное неравенство , включающее числа, но также буквы, и в этом случае оно должно явно указывать переменная. К решить линейное неравенство, следуя 3x + 5> 0 , просто введите выражение 3 * x + 5> 0 в области исчисления, затем нажмите кнопку вычисления или кнопку inequality_solver, точный результат возвращается `[x> -5/3]`.2 + b * x + c> 0` выполняется очень быстро, когда переменная не является неоднозначной, просто введите неравенство с по решить и щелкните inequality_solver, затем будет возвращен точный результат.

Также приведены шагов вычислений , необходимых для решения неравенства .

Калькулятор — мощный инструмент компьютерной алгебры, он может манипулировать и получать разрешение квадратное неравенство , включающее числа, но также буквы, и в этом случае оно должно явно указывать переменная.2-5> 0 в области исчисления, затем нажмите кнопку расчета или кнопку inequality_solver, результат затем возвращается в область, где детализированы вычисления.

Принцип решения неравенства.

Для решения неравенства калькулятор использует следующие принципы:

• Он может прибавлять или вычитать одно и то же число к обеим сторонам неравенства.
• Он может умножать или делить каждый член неравенства на одно и то же число.
• Когда это число отрицательное, направление неравенства меняется на противоположное
• Когда это число положительно, сохраняется смысл неравенства

Синтаксис:

Примеры:

В этом примере показано, как использовать решатель неравенства

Решение неравенств 1-й степени

Алгебраных неравенств — Задачи | Неравенства

\ (2x-1 <7 \)

\ (2x-1 \ le 7 \)

\ (2x-1> 7 \)

\ (2x-1 \ ge 7 \)

\ (- 5x + 24 <3x-8 \)

\ (- 24 \)

\ (- 5x + 24 + (- 24) <3x-8 + (- 24) \)

\ (- 5x <3x-32 \)

\ (- 3x \)

\ (- 5x + (- 3x) <3x-32 + (- 3x) \)

\ (- 8x <-32 \)

\ (8 \)

\ (\ frac {-8x} {8} <- \ frac {32} {8} \)

\ (- х <-4 \)

\ (- х \ раз -1 <-4 \ раз -1 \)

\ (х> 4 \)

\ (x> 4 \)

\ (4 \)