Онлайн решение уравнений с разделяющимися переменными: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Решение дифференциальных уравнений

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Математические модели происходящих процессов чаще всего описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому остро стоит проблема нахождения их решения. Будем считать, что искомые функции рассматриваемых дифференциальных уравнений зависят от одной переменной.

1. К простейшим дифференциальным уравнениям первого порядка относятся уравнения вида

   

Решение таких уравнений находится с помощью операции интегрирования:

   

2.

Дифференциальные уравнения вида

   

сводятся к дифференциальным уравнениям делением обеих частей равенства на . В результате получаем дифференциальное уравнение

   

Тогда, согласно выше написанному, его решение

   

3. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида или .

Например.

Дифференциальное уравнение или называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Например.

Общее решение такого уравнения ищется с помощью интегрирования обеих частей равенства :

   

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными сводятся к дифференциальным уравнениям с разделенными переменными делением на произведение :

   

Подробнее о дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными читайте в отдельной статье.

4. Дифференциальные уравнения вида

   

сводятся к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены

   

5. Однородным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение , удовлетворяющее условию

   

Однородные дифференциальные уравнения можно свисти к уравнению вида или , которое с помощью замены

   

(или ) сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Подробнее об однородных дифференциальных уравнениях читайте в отдельной статье.

6. Дифференциальные уравнения , где коэффициенты – некоторые действительные числа.

Если , то данное уравнение является однородным и методика получения его решения описана выше.

Рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел или отлично от нуля. Выполним заменой (введем новые переменные)

   

Здесь – некоторые числа. При этом

   

Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, будем иметь:

   

или

   

Величины будем выбирать так, чтобы свободные коэффициенты в числителе и знаменателе последнего дифференциального уравнения равнялись нулю. То есть h и k найдем из системы

   

С учетом этого уравнение сводится к дифференциальному уравнению

   

которое является однородным.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными записывается в виде: (1).В этом уравнении одно слагаемое зависит только от x, а другое – от y. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем: – его общий интеграл.

Пример: найти общий интеграл уравнения: .

Решение: данное уравнение – дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Поэтому илиОбозначим. Тогда– общий интеграл дифференциального уравнения.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид (2). Уравнение (2) легко сводиться к уравнению (1) путем почленного деления его на . Получаем:– общий интеграл.

Пример: Решить уравнение .

Решение: преобразуем левую часть уравнения: . Делим обе части уравнения наРешением является выражение:т.е.

Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида называетсяоднородным, если и– однородные функции одного порядка (измерения). Функцияназывается однородной функцией первого порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множительвся функция умножиться на, т.е.=.

Однородное уравнение может быть приведено к виду . С помощью подстановки()однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде.

Метод Бернулли

Решение уравнения ищется в виде произведения двух других функций, т.е. с помощью подстановки().

Пример: проинтегрировать уравнение .

Полагаем . Тогда , т.е. . Сначала решаем уравнение=0:.

Теперь решаем уравнение т.е.. Итак, общее решение данного уравнения естьт.е.

Уравнение Я. Бернулли

Уравнение вида , гденазываетсяуравнением Бернулли.Данное уравнение решается с помощью метода Бернулли.

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (1), гдеипостоянны.

Частные решения уравнения (1) будем искать в виде , гдек – некоторое число. Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения дляв уравнение (1), получимт. е.или(2)().

Уравнение 2 называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая.

Случай 1.Корнииуравнения (2) действительные и различные:. В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функциии. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид.

Случай 2.Корнииуравнения (2) действительные и равные:. В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функциии. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид.

Случай 3.Корнииуравнения (2) комплексные:,. В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функциии. Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид

Пример. Решить уравнение .

Решение: составим характеристическое уравнение:. Тогда. Общее решение данного уравнения.

Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум.

Экстремум функции нескольких переменных

Определение. Точка М (х_о,у_о) называется точкой максимума (минимума)

функции z=f(x, у), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек {х, у) из этой окрестности выполня­ется неравенство ()

На рис. 1 точка А— есть точка минимума, а точка В—точка максимума.

Необходи­мое условие экстремума — многомерный аналог теоре­мы Ферма.

Теорема. Пусть точка – есть точка экстре­мума дифференцируемой функ­цииz=f(x, у). Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстрему­ма функции z=f(x, у), т. е. частные производные z‘_x

и z‘_y равны нулю, называются критическими или стационарными.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходи­мое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

На рис. изображена так называемая седловая точка М (х_о,у_о). Частные производные и равны ну­лю, но, очевидно, никакого экс­тремума в точке М(х_о,у_о) нет.

Такие седловые точки явля­ются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Задача заключается в том, чтобы отделить их от то­чек экстремума. Иными слова­ми, требуется знать достаточное условие экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух пере­менных).

Пусть функция z=f(x, у): а) определена в некоторой окре­стности критической точки (х_о,у_о), в которой =0 и =0;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные вто­рого порядка;;Тогда, если ∆=АС— В² >0, то в точке (х_о,у_о) функ­ция z=f(x, у) имеет экстремум, причем если А<0 — максимум, если А>0 — минимум. В случае ∆=АС— В²<0, функция z=f(x, у) экстре­мума не имеет. Если ∆=АС— В²=0, то вопрос о наличии экстрему­ма остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум

реко­мендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные функции z‘_x и z‘_y.

2. Решить систему уравнений z‘_x =0, z‘_y =0 и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточ­ного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример. Найти экстремумы функции

Решение. 1. Находим частные производные

2. Критические точки функции находим из системы уравнений:

имеющей четыре решения (1; 1), (1; —1), (—1; 1) и (—1; -1).

3. Находим частные производные второго порядка:

;;, вычисляем их значения в каждой критической точке и проверяем в ней выпол­нение достаточного условия экстремума.

Например, в точке (1; 1) A=z«(1; 1)= -1; В=0; С= -1. Так как ∆= АС— В² = (-1)²-0=1 >0 и А=-1<0, то точка (1; 1) есть точка максимума.

Аналогично устанавливаем, что (-1; -1) — точка минимума, а в точках (1; —1) и (—1; 1), в которых ∆=АС— В² <0, — экстремума нет. Эти точки являются седловыми.

4. Находим экстремумы функции z_max = z(l; 1) = 2, z_min = z(-l; -1) = -2,

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области опреде­ления, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция z = f(x,y), аргументы х и у которой удовлетворяют условию g (х,у) = С, называемому уравне­нием связи.

Определение. Точка называется точкойусловного мак­симума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (х,у) из этой окрестности удовлетворя­ющих условию g (x,y) = С, выполняется неравенство

().

На рис. изображена точка условного максимума .Очевидно, что она не является точкой безусловного экстремума функции z = f(x,y) (на рис. это точка ).

Наиболее простым способом нахождения условного экстре­мума функции двух переменных является сведение задачи к оты­сканию экстремума функции одной переменной. Допустим уравнение связи g (x,y) = С удалось разрешить относи­тельно одной из перемен­ных, например, выразить у через х: .Подста­вив полученное выражение в функцию двух перемен­ных, получим z = f(x,y) =, т. е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет услов­ным экстремумом функ­ции z = f(x,y).

Пример. Найти точки максимума и мини­мума функции z = х² + y² при условии 3х +2у = 11.

Решение. Выразим из уравнения 3х +2у = 11 переменную y через переменную x и подставим полученное в функциюz. Получим z=x²+2илиz =.Эта функция имеет единственный минимум при = 3. Соответствующее значение функции Таким образом, (3; 1) — точка условного экстремума (минимума).

В рассмотренном примере уравнение связи g(x, у) = С оказа­лось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относи­тельно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае исполь­зуется метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных

Эта функция называется функцией Лагранжа, а — множите­лем Лагранжа. Верна следующая теорема.

Теорема. Если точка является точкой условного экс­тремума функцииz = f(x,y) при условии g (x,y) = С, то существует значение такое, что точкаявляется точкой экстре­мума функцииL{x,y, ).

Таким образом, для нахождения условного экстремума функ­ции z = f(х,у) при условии g(x,y) = С требуется найти решение системы

На рис. показан геометрический смысл условий Ла­гранжа. Линия g (х,у) = С пунктирная, линия уровня g(x,y) = Q функции z = f(x,y) сплошные.

Из рис. следует, что в точке условного экстремума линия уровня функции z = f(x,y) касает­ся линии g(x,y) = С.

Пример. Найти точки максимума и мини­мума функции z = х² + y² при условии 3х +2у = 11, ис­пользуя метод множителей Ла­гранжа.

Решение. Составляем функцию Лагранжа L = х² + 2у² +

Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений

Ее единственное решение (х=3, у=1, =—2). Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3;1). Не­трудно убедиться в том, что в этой точке функция z=f(x,y) имеет условный минимум.

Separable Equations — изучите и поймите онлайн

К этому моменту вы узнали, как оценивать решения дифференциальных уравнений, используя поля направлений и метод Эйлера. Вы использовали эти методы, потому что дифференциальные уравнения часто невозможно решить напрямую.

Однако, разделимых дифференциальных уравнений являются особым типом дифференциальных уравнений, которые можно решить явно, что делает их такими же особенными, как нарезанный хлеб!

Значение разделимых дифференциальных уравнений

Давайте начнем с определения того, что такое отделимое дифференциальное уравнение.

Разделимое дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, которое можно записать в виде термины \(x\) из терминов \(y\). В общем случае их можно разделить на функцию \(x\), умноженную на функцию \(y\).

9{2}+9 \) и \(g(y) = 5y \), то вы можете написать \(y’ = f(x)g(y)\), так что это разделимое уравнение. {y’} = x + y\) станет 9{y’} = \ln (x+y), \]

или, другими словами,

\[ y’ = \ln (x+y).\]

Невозможно написать правую часть этого уравнения как \(f(x)g(y)\), потому что у вас есть член \(x+y\) внутри логарифма. Следовательно, это уравнение неразделимо.

Дифференциальные уравнения с разделителями

Дифференциальные уравнения с разделителями можно использовать для моделирования ситуаций в различных дисциплинах. Одним из таких применений является смешивание какого-либо раствора в резервуаре или сосуде с другим веществом, например солью. Раствор определенной концентрации поступает в бак с фиксированной скоростью. Смесь в баке тщательно перемешивают. Затем он выходит из резервуара с фиксированной скоростью. Модель этой задачи приводит к разделимому дифференциальному уравнению.

Реальное применение «проблемы смешивания» — введение лекарства в кровоток. При этом лекарство поступает в кровь с фиксированной скоростью. Лекарство смешивается с кровотоком и течет через тело к сердцу. Как только лекарство достигает сердца, сердце перекачивает лекарство по кровотоку в остальные части тела с фиксированной скоростью.

Приложения разделимых дифференциальных уравнений

Как упоминалось в начале статьи, задачи смешивания являются распространенным применением разделимых дифференциальных уравнений. Проблемы смешивания могут моделировать что угодно, от того, как смешивание различных химических веществ и парниковых газов может повлиять на атмосферу, до того, как варится пиво.

Разделимые дифференциальные уравнения также могут быть использованы в Экономике . Мы можем использовать эти уравнения для измерения инвестиций и того, как начисляются проценты.

Закон охлаждения Ньютона — один из наиболее известных способов использования разделимых уравнений. Вы можете увидеть много других способов использования разделимых дифференциальных уравнений в статье Применение разделения переменных.

Решение разделимых дифференциальных уравнений

Теперь, когда вы знаете, что такое разделимые дифференциальные уравнения и для чего они используются, давайте посмотрим, как их решать. Предположим, у вас есть отделимое дифференциальное уравнение, которое выглядит следующим образом:

\[y’=f(x)g(y).\]

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Если \(g(y) = 0\) для некоторого значения \(y\).

Предположим, что \(g(y) = 0\). Тогда у вас есть \(y’ = 0\).

Функции, которые дают вам \(0\) при дифференцировании, являются постоянными функциями, поэтому \(g(y) = 0\) соответствует постоянных решений разделимого дифференциального уравнения.

В самом деле, если \(y_1, y_2, \dots , y_n\) все корни уравнения \(g(y) = 0\), то постоянные решения задаются \(y = y_1\), \(y= y_2\), \(\dots\), \(y = y_n\).

Всегда полезно сначала искать постоянные решения.

Давайте рассмотрим быстрый пример.

Для дифференциального уравнения \(y’ = (x-2)(y+3) \), найдите любые постоянные решения.

Ответ:

Постоянные решения получаются, когда \(g(y) = 0\). Для этой задачи \(g(y) = y + 3\), и это равно нулю, когда \(y = -3\). Итак, есть постоянное решение, и оно равно \(y=-3\).

Случай 2: Для любого значения, когда \(g(y)\ne 0\).

Так как \(g(y) \ne 0\), вы можете разделить на него, что даст вам уравнение

\[ \frac{1}{g(y)}y’ = f(x).\]

Если вы позволите \(h(y) = 1/g(y)\), вы можете немного переписать это как

\[ h(y) y’ = f(x).\]

Теперь давайте проинтегрируем обе части относительно \(x\), что даст вам

\[ \int h(y) y'(x) \,\mathrm{d}x = \int f(x)\,\ mathrm{d}x ,\]

где явно указано, что \(y\) является функцией \(x\). Это приводит вас к замене \(u\)

\[ \begin{align} &u = y(x) \\ &\mathrm{d}u = y'(x) \mathrm{d}x . \end{align} \]

Таким образом, интеграл становится равным

\[ \int h(u) \,\mathrm{d}u = \int f(x)\,\mathrm{d}x ,\]

, и на этом этапе вы, надеюсь, сможете интегрировать обе стороны, а затем заменить их, чтобы найти ответ! 9{2}\) и \(g(y)=1/ \cos y\), то вы видите, что уравнение на самом деле сепарабельно. 2 — 2x + C \] 92 — 2x \right).\]

Разделимые уравнения — Основные выводы

• Разделимое уравнение — это уравнение, которое можно записать в виде \(y’=f(x)g(y)\).
  • Разделимое дифференциальное уравнение можно разделить на функцию от \(x\), умноженную на функцию от \(y\)
• Метод решения разделимых дифференциальных уравнений включает перемещение всех \(x\) и \( y\) переменные на соответствующие части уравнения и интегрирование
• Разделимые дифференциальные уравнения имеют приложения в финансах, «проблемах смешивания» и используются в законе охлаждения Ньютона.
• Всегда помните о проверке постоянных решений и интервала существования решений разделимых дифференциальных уравнений.

AC Разделимые дифференциальные уравнения

\(\require{marginnote}\newcommand{\dollar}{\$} \DeclareMathOperator{\erf}{erf} \DeclareMathOperator{\arctanh}{arctanh} \новая команда{\lt}{<} \новая команда{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \)

¶

Мотивирующие вопросы

• Что такое разделимое дифференциальное уравнение?

• Как найти решение разделимого дифференциального уравнения?

• Разделимы ли некоторые дифференциальные уравнения, возникающие в приложениях?

В разделах 7. 2 и 7.3 мы рассмотрели несколько способов аппроксимации решения задачи с начальным значением. Учитывая частоту, с которой дифференциальные уравнения возникают в окружающем нас мире, нам хотелось бы иметь некоторые методы для нахождения явных алгебраических решений некоторых задач с начальными значениями. В этом разделе мы сосредоточимся на конкретном классе дифференциальных уравнений (называемых отделимое ) и разработать метод нахождения алгебраических формул для решений этих уравнений.

Разделимое дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, алгебраическая структура которого позволяет разделять присутствующие переменные определенным образом. Например, рассмотрим уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dy}{dt} = ty\text{.} \end{уравнение*}

Мы хотели бы разделить переменные \(t\) и \(y\) так, чтобы все вхождения \(t\) отображались справа, а все вхождения \(y\) — слева и умножить \(dy/dt\text{.}\) Мы можем сделать это в предыдущем дифференциальном уравнении, разделив обе части на \(y\text{:}\)

\begin{уравнение*} \frac1y\frac{dy}{dt} = t\text{. } \end{уравнение*}

Обратите особое внимание, что когда мы пытаемся разделить переменные в дифференциальном уравнении, мы требуем, чтобы левая часть была произведением, в котором производная \(dy/dt\) является одним членом.

Не каждое дифференциальное уравнение разделимо. Например, если мы рассмотрим уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dy}{dt} = t-y\text{,} \end{уравнение*}

может показаться естественным разделить его записью

\begin{уравнение*} y + \frac{dy}{dt} = t\text{.} \end{уравнение*}

Как мы увидим, это бесполезно, поскольку левая часть не является произведением функции \(y\) на \(\frac{dy}{dt}\text{.}\)

Предварительный просмотр 7.4.1

В этом предварительном упражнении мы исследуем, являются ли определенные дифференциальные уравнения разделимыми или нет, а затем вернемся к некоторым ключевым идеям из предыдущих работ по интегральному исчислению.

1. Какие из следующих дифференциальных уравнений являются разделимыми? Если уравнение сепарабельно, запишите его в исправленном виде \(g(y) \frac{dy}{dt} = h(t)\text{. }\) 92}{2} + С? \end{уравнение*}

2. Предположим, мы знаем, что некоторая функция \(f\) удовлетворяет уравнению

   \begin{уравнение*} \int f'(x)~dx = \int x~dx\text{.} \end{уравнение*}

   Что вы можете сказать о \(f\text{?}\)

Подраздел 7.4.1 Решение разделимых дифференциальных уравнений

Прежде чем мы обсудим общий подход к решению дифференциального уравнения с разделимыми связями, полезно рассмотреть пример.

92+8}\текст{.} \end{equation*}

Стратегия примера 7.4.1 может быть применена к любому дифференциальному уравнению вида \(\frac{dy}{dt} = g(y) \cdot h(t)\text{, }\) и любое дифференциальное уравнение этой формы называется сепарабельным . Мы пытаемся решить разделимое дифференциальное уравнение, написав

\begin{уравнение*} \frac{1}{g(y)} \frac{dy}{dt} = h(t)\text{,} \end{уравнение*}

, а затем интегрируем обе части по \(t\text{.}\). После интегрирования мы пытаемся решить алгебраически для \(y\), чтобы записать \(y\) как функцию \(t\ текст{. }\)

Мы рассмотрим еще один пример, прежде чем углубляться в некоторые действия.

Пример 7.4.2

Решите дифференциальное уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dy}{dt} =3y\text{.} \end{уравнение*}

Решение

Следуя той же стратегии, что и в примере 7.4.1, мы имеем

\begin{equation*} \frac 1y \frac{dy}{dt} = 3\text{.} \end{equation*}

Интегрирование обеих частей по \(t\text{,}\)

\begin{equation*} \int \frac 1y\frac{dy}{dt}~dt = \int 3~dt\text{,} \end{уравнение*} 9{3т}\текст{.} \end{equation*}

Следует сделать еще одно небольшое техническое замечание. Обратите внимание, что \(y=0\) является равновесным решением этого дифференциального уравнения. При решении приведенного выше уравнения мы начинаем с деления обеих частей на \(y\text{,}\), что недопустимо, если \(y=0\text{.}\). Чтобы быть предельно осторожным, мы обычно рассмотрим равновесные решения отдельно. В этом случае обратите внимание, что окончательная форма нашего решения отражает равновесное решение, позволяя \(C=0\text{. }\)

Мероприятие 7.4.2

Предположим, что население города постоянно растет со скоростью 3% в год.

1. Пусть \(P(t)\) будет населением города в год \(t\text{.}\) Напишите дифференциальное уравнение, описывающее годовой темп роста.

2. Найдите решения этого дифференциального уравнения.

3. Если известно, что население города в год 0 составляет 10 000 человек, найдите население \(P(t)\text{.}\) 9\circ\) Комната F. Закон охлаждения Ньютона гласит, что

   \begin{уравнение*} \frac{dT}{dt} = -k(T-75)\text{,} \end{уравнение*}

   , где \(k\) — константа пропорциональности.

   1. Предположим, вы измеряете, что кофе охлаждается со скоростью один градус в минуту в то время, когда кофе приносят в комнату. Используйте дифференциальное уравнение, чтобы определить значение константы \(k\text{.}\)

   2. Найдите все решения этого дифференциального уравнения. 92 + 1}\text{,}\) \(y(0) = 4\)

   Подраздел 7.

   4.2 Резюме

   • Разделимое дифференциальное уравнение — это уравнение, которое можно переписать так, чтобы все вхождения зависимой переменной умножались на производную, а все вхождения независимой переменной — в другую часть уравнения.

   • Мы можем найти решения некоторых разделимых дифференциальных уравнений путем разделения переменных, интегрирования по \(t\text{,}\) и окончательного решения полученного алгебраического уравнения относительно \(y\text{.}\) 9{16}\)

     6

     Масса радиоактивного образца распадается со скоростью, пропорциональной его массе.

     1. Выразите этот факт в виде дифференциального уравнения для массы \(M(t)\), используя \(k\) в качестве константы пропорциональности.

     2. Если начальная масса \(M_0\text{,}\), найдите выражение для массы \(M(t)\text{.}\)

     3. Период полураспада образца — это количество времени, необходимое для распада половины массы. Зная, что период полураспада углерода-14 составляет 5730 лет, найдите значение \(k) для образца углерода-14.

     4. Сколько времени требуется, чтобы образец углерода-14 уменьшился до одной четверти своей первоначальной массы?

     5. Углерод-14 естественным образом встречается в окружающей среде; любой живой организм поглощает углерод-14, когда ест и дышит. Однако после смерти организм больше не поглощает углерод-14. Предположим, вы нашли остатки доисторического кострища. Анализируя обгоревшую древесину в яме, вы определяете, что количество углерода-14 составляет всего 30% от количества в живых деревьях. Оцените возраст костра. ² Этот подход является основной идеей радиоуглеродного датирования.

     7

     Рассмотрим задачу с начальным значением

     \begin{уравнение*} \frac{dy}{dt} = -\frac ty, \ y(0) = 8 \end{уравнение*}

     1. Найдите решение начальной задачи и нарисуйте его график.

     2. Для каких значений \(t\) определено решение?

     3. Каково значение \(y\) при последнем определении решения?

     4. Посмотрев на дифференциальное уравнение, объясните, почему мы не должны ожидать решения со значением \(y\), которое вы указали в (c).

     8

     Предположим, что цилиндрический резервуар для воды с отверстием в дне наполнен водой. Вода, конечно, вытечет и высота воды уменьшится. Пусть \(h(t)\) обозначает высоту воды. Физический принцип, называемый Законом Торричелли , подразумевает, что высота уменьшается со скоростью, пропорциональной квадратному корню из высоты.

     1. Выразите этот факт, используя \(k\) как константу пропорциональности.

     2. Предположим, у вас есть два резервуара, один с \(k=-1\), а другой с \(k=-10\text{.}\) Какие физические различия вы ожидаете обнаружить?

     3. Предположим, у вас есть резервуар, высота которого уменьшается со скоростью \(20\) дюймов в минуту, когда вода заполняется до глубины \(100\) дюймов. Найдите значение \(k\text{.}\)

     4. Решите задачу о начальных значениях для резервуара в части (c) и нарисуйте полученное решение.

     5. Через какое время вода вытечет из бака?

     6. Является ли найденное решение действительным на все времена \(t\text{?}\) Если да, объясните, откуда вы это знаете.

        No related posts.