Математические правила решения задач показания показателей
Ключевые члены
o Научная нотация
Цели
o Дери правила для умножения и разделения. отрицательный показатель степени
o Применение показателей степени к пониманию и использованию научной записи
Экспоненты — это способ представления повторяющегося умножения (аналогично тому, как умножение — это способ выражения многократного сложения). В некоторых случаях нам может понадобиться выполнять операции над числами с показателями степени; изучив некоторые основные правила, мы можем значительно упростить процесс. Эти правила могут иметь большое значение в более сложной алгебре при работе с переменными (или другими неопределенными числами), которые имеют показатели степени.
Правила возведения в степень
Допустим, мы хотим умножить два экспоненциальных выражения с одинаковым основанием, например,
Подход «грубой силы» к нахождению произведения будет состоять в том, чтобы расширить каждую экспоненту, умножить результаты и преобразовать обратно в экспоненту (при условии, что требуется экспоненциальное представление результата).
Обратите внимание, что когда мы умножаем два показателя степени (опять же, предполагая, что они имеют одно и то же основание), результатом является произведение множителей первого показателя и множителей второго показателя. Таким образом, общее количество факторов равно сумме двух показателей степени. Мы можем обобщить это правило, используя буквы вместо неопределенных чисел.
Вы можете часто видеть, что операция умножения выражается с помощью точки (·) вместо креста ( ), или вы можете увидеть, что она выражена вообще без каких-либо символов. Таким образом, каждое из следующих выражений эквивалентно другим.
Аналогичное правило можно вывести и для деления.
Давайте посмотрим, что произойдет, если мы разделим на .
Теперь мы можем «отменить» любой экземпляр множителя, который появляется как в числителе, так и в знаменателе. Почему это так? Напомним, что мы смогли найти эквивалентные дроби, умножив (или разделив) и числитель, и знаменатель на определенное значение — это эквивалентно умножению или делению на единицу. Таким образом, мы можем сделать следующее:
Это не что иное, как запись исходной дроби в эквивалентной форме. Вместо дроби, состоящей из одного числа, она включает ряд операций (в данном случае умножение).
Проще всего посмотреть на это так: любые множители в числителе могут просто сократить эквивалентные множители в знаменателе. Таким образом, для каждого случая, когда 2 появляется в числителе и знаменателе, мы можем вычеркнуть эту пару.
Мы можем видеть, что показатель степени ответа представляет собой разницу между числителем и знаменателем (опять же, все они имеют одно и то же основание). Обобщим правило:
Рассмотрим еще один случай: что, если экспоненциальное выражение само возводится в степень, как в примере ниже?
Разверните выражение, чтобы увидеть, как оно выглядит с точки зрения умножения.
Обратите внимание, что выражение в скобках имеет три множителя, и мы должны умножить это выражение четыре раза. Таким образом, общее количество множителей двойки равно 12 или произведению показателей степени. В общем случае правило можно сформулировать следующим образом.
Ключом к использованию этих правил является то, что экспоненциальные выражения всегда должны иметь одно и то же основание — правила не применяются к показателям степени с разными основаниями.
Напомним, правила экспоненты следующие.
Практическая задача : Напишите каждое из следующих в качестве экспоненциального выражения с одним базовым и одним экспрессионом.
а. б. c. d.
Решение : В каждом случае используйте правила умножения и деления показателей степени, чтобы упростить выражение до одного основания и одного показателя степени. Обратите внимание в части c, что любое число равно самому себе, возведенному в первую степень. Обратите также внимание на полезность этих правил возведения в степень в части d: умножение 150 в двадцать (или двадцать шесть) раз — сложная задача, и даже большинство калькуляторов не могут дать точное произведение. Однако использование показателей степени позволяет нам иметь
а.
б.
в.
d.
Теперь рассмотрим немного другой случай: произведение двух (или более) множителей, возведенных в степень. Рассмотрим пример ниже.
Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс Pre-Algebra?
Расширение экспоненциального в обычном режиме:
Обратите внимание, что расширенная форма имеет четыре фактора из 2 и четырех факторов. следующее (умножение коммутативно, поэтому мы можем переставлять множители в произведении).
Таким образом, для данного произведения ab (или ), мы можем записать следующее общее правило: вверх с отрицательными показателями. Следующий пример, аналогичный приведенному выше, иллюстрирует это положение:
Но правила экспоненты указывают на следующее:
Результаты должны быть одинаковыми для
Перепишем экспоненциальное выражение следующим образом.
Но правила показателей степени позволяют нам записать это выражение как показатель степени, возведенный в другую степень.
Этот результат подразумевает, что показатель –1 связан с взаимным:
Таким –1 равно .
Таким образом, используя наши правила возведения в степень, мы можем определить, что вообще означает возведение числа в степень, являющуюся отрицательным числом (в частности, в данном случае отрицательное целое число). Вывод ниже следует схеме примера, который мы рассмотрели выше.
Этот результат можно объединить с результатом, который мы получили ранее для продукта, поднятого до данной мощности:
.
) возведен в степень. Мы можем использовать правила экспоненты, которые мы изучали до сих пор, чтобы получить эквивалентный результат. Во-первых, мы будем использовать указанное выше правило продукта, как показано ниже.
Теперь мы будем использовать отрицательную экспоненту и другие правила экспоненты.
Помните, что умножение коммутативно. Таким образом,
Перепишем вторую экспоненту следующим образом.
Таким образом, получаем правило для частных, аналогичное правилу для произведений:
Таким образом, теперь мы можем работать с любыми целыми показателями степени, как положительными, так и отрицательными. Мы также знаем, как умножать и делить экспоненциальные выражения. Позже в курсе мы рассмотрим дробные показатели. (Как оказалось, дробные показатели степени подчиняются тем же правилам, что и целые степени, но точное значение дроби будет разъяснено позже.
)
Практическая задача : Оцените или упростите каждое выражение.
а. б. c. d.
Решение : Используйте правила показателей степени вместе с тем фактом, что отрицательная степень указывает на то, что должна быть взята обратная величина основания.
а. б.
c. д.
Применение показателей степени: научная запись
Хотя экспоненты могут иногда казаться малопонятным или непрактичным математическим инструментом, они имеют множество важных и практических применений. Например, показатели степени используются в так называемой научной нотации , , которая представляет собой способ представления очень больших или очень маленьких десятичных значений.
Рассмотрим два числа ниже.
137 000 000 000 000 000 000 000
0,0000000000000000000000137
Из-за их размеров запись этих чисел чрезвычайно громоздка. Если бы мы могли записать их просто как 1,37, а затем указать количество нулей, которые следуют за этими цифрами или предшествуют им, мы могли бы значительно упростить процесс выражения этих чисел. Обратите внимание, что мы можем получить большее число, многократно умножая 1,37 на 10 некоторое количество раз.
Выражение справа должно включать 26 множителей из 10. Но мы знаем, как записать несколько множителей, используя показатели степени:
То же самое можно сделать и с меньшим числом. В этом случае 1,37 нужно разделить на 10 некоторое количество раз.
В этом случае знаменатель содержит 22 множителя из 10. Давайте используем то, что мы знаем об отрицательных показателях, чтобы записать это в форме, аналогичной той, которую мы использовали выше для большего числа.
Научное обозначение — это метод представления чисел. Общий формат — это одна целая цифра, за которой следует некоторое количество знаков после запятой, умноженное на целую степень числа 10. Давайте рассмотрим еще два примера преобразования стандартной записи в экспоненциальную.
Обратите внимание, что показатель степени можно также рассматривать как количество знаков, на которые десятичная точка должна быть перемещена влево (для положительных показателей степени) или вправо (для отрицательных показателей степени). ) при переходе от стандартного числа к экспоненциальному представлению.
Практическая задача : Преобразуйте каждое число в экспоненциальное представление.
а. 0,0000041 б. –3 720 000 c. 0,0839
Решение : Для каждого числа запишите десятичную дробь, содержащую ненулевые цифры, с запятой после первой цифры, затем умножьте на соответствующую степень числа 10.
a
. б.
в.
Практическая задача : Преобразуйте каждое число в экспоненциальном представлении в десятичное в стандартной форме.
а. б. c.
Решение : Преобразование в стандартную форму просто требует перемещения десятичной точки на количество разрядов, указанное в показателе степени. Для отрицательного показателя десятичная точка должна быть смещена влево, а для положительного показателя — вправо.
а. б.
с.
7 лучших игр для понимания математических показателей
Последнее обновление 31 октября 2022 г., коллектив редакции
Изучение показателей становится намного проще, играя в онлайн-игры.
Часто преподавателям трудно объяснить учащимся, как отличить, скажем, n раз A от A в степени n (разница между умножением на n и экспоненциальным возведением [1] в степень n). Благодаря поддержке обучения, такой как онлайн-игры, начинающие математики могут усвоить и научиться применять концепцию экспоненты уверенно и бегло.
Для непосвященных Экспонента обычно сообщается как «в степени n». И она выражается как A n , где n может быть любым целым числом или дробью. Это означает, что A умножается на n раз. Это означает, что если n = 3, то вы фактически вычисляете A*A*A, чтобы найти третью степень числа A.
Зачем играть в экспоненциальные игры?Играя в обучающие игры, учащиеся могут четко понять разницу между nA и A n , разница, которая чаще всего сбивает с толку первоклассников.
Экспонентные игры легко доступны в Интернете. Эти игры могут стать увлекательным учебным пособием для обучения и практики решения задач на экспоненты.
Таким образом, вам не нужно беспокоиться о том, как занять маленьких детей чем-то значимым во время использования их устройств.
Игры на показатели могут помочь вам заинтересовать учащихся решением задач, основанных на этой концепции. При регулярной практике дети научатся решать эти вопросы в уме и продемонстрируют исключительный прогресс.
Игры для отработки задач на показатели предлагают надежный и игровой способ [2] укрепить понятия и методы решения в умах учащихся.
Если эти причины заставили вас начать поиск игр, которые могут научить экспонентов, я предлагаю вам пройтись по списку ниже. Эти игры с показателями могут помочь решить уравнения, узнать о степенях и других важных понятиях, таких как квадраты и квадратные корни и т. д.
Лучшие игры для изучения показателей 1. Alien Powers Alien Powers — это игра на время, которая дает хорошую практику для решения задач на экспоненты.
Поскольку ответ нужно дать до того, как инопланетяне достигнут нижней части экрана викторины, это создает правильные условия для мысленного вычисления экспоненциальных значений чисел.
Игроки могут применять математические вычисления в уме, быстро вычислять и зрительно-моторную координацию, чтобы выбрать правильный ответ и заработать очки. Регулярная практика делает детей настолько беглыми, что они даже не осознают, что на самом деле вычислили 7 2 , чтобы получить ответ.
Ссылка на игру
2. Math Speed Racing ExponentsНасколько хорошо вы справляетесь со своими вычислительными способностями, когда вас отвлекают? Об этом вам говорит эта игра для изучения показателей и отработки задач на их основе. В этой игре есть автомобильные гонки, которые естественным образом привлекают детей.
Им предстоит решать экспоненциальные формы в пути, держаться подальше от других машин, а также собирать бонусные баллы на своем пути.
Таким образом, эта игра развивает их навыки когнитивной гибкости и помогает им стать умнее, делая несколько вещей одновременно. Не говоря уже о том, что быстрые расчеты, необходимые для поддержания автомобиля в рабочем состоянии, помогают начинающим учащимся свободно владеть показателями.
Ссылка на игру
3. Математика пирамид 2Математика пирамид 2 предлагает ряд обучающих материалов. Он предлагает показатели обучения, квадратные корни, LCM и GCF в качестве различных целей. Маленькие ученики читают тест, который появляется вверху, выбирают шарик с правильным ответом (который на самом деле является числом) и перетаскивают его, чтобы положить в банку слева.
Это игра на время, которая продолжается до тех пор, пока вы не выберете ограничение по времени или не допустите ошибку. Таким образом, пребывание в игре как можно дольше заставляет детей освежать свои навыки счета и всегда выбирать правильный ответ. Поначалу это может быть немного сложно, но разве это не то, что вам нужно, чтобы накачать мозг?
Ссылка на игру
4.
Математические игры Математические игры в магазине Playstore — это универсальное решение для раннего развития математических навыков, включая возведение в степень. Игра предлагает множество математических задач, которые бросают вызов уму и развивают быстроту мышления. Вы можете выбрать любой навык из возведения в степень, квадратного корня и основных операций, чтобы освежить свои вычислительные способности.
Всегда предпочтительнее играть в нее несколько раз, так как она помогает закрепить концепцию, ускоряет скорость вычислений и дает множество задач для стимуляции ума. Эта игра идеально подходит для того, чтобы превратить время, проведенное за экраном, в время обучения, сохраняя при этом высокий коэффициент развлечения.
Ссылка на игру: Play Store
5. Powers Memory Game Расширьте возможности своего обучения, играя в эту игру-викторину, которая превратит вас в ботаника-счетчика. Это достаточно сложно для шестиклассника, так как в вопросах может быть задано нахождение даже 4-й и более высоких степеней любого числа.
Эта математическая игра для изучения показателей степени позволяет вам бросить вызов мозгу, чтобы правильно и быстро решать задачи возведения в степень.
В результате работы над задачами на экспоненты улучшается и способность к умножению. Ожидайте также положительного улучшения моторных навыков, поскольку викторина требует ввода чисел и нажатия «Продолжить», чтобы перейти к следующему вопросу. Цель состоит в том, чтобы решить как можно больше вопросов за одну игровую сессию, что делает процесс обучения увлекательным.
Ссылка на игру
6. Exponents Crocodile Game Exponents Crocodile Game — динамичная игра, предназначенная для учащихся начальной и средней школы. Это игра, в которой вам предоставляются цифровые игральные кости, и вы должны нажимать «старт» и «останавливаться» стратегически, чтобы избежать слота монстра. Как только вы нажмете «стоп» и наберете число, вам будет предложено решить вопрос. Задача состоит в том, чтобы найти экспоненциальную степень встречающихся одно-, двух- и трехзначных чисел.
Итак, игра достаточно сложная, чтобы заинтересовать семиклассника, но и первоклассники могут развлечься, выбирая вопросы, которые им кажутся легкими. Эта игра немного повышает уровень сложности, чтобы дети не чувствовали себя менее сложными. Давление, связанное с выбором правильного слота и избеганием монстров, также помогает улучшить концентрацию.
Ссылка на игру
Довольно интересная игра для школьников средних классов, позволяющая изучить понятие показателей. Он охватывает свойства, полезные для решения уравнений на основе показателей. Дети могут перейти от решения А n к решению уравнений с использованием таких свойств, как произведение степеней и т. д. Обучение упрощается, если сначала предоставить демонстративное решение. Кроме того, фон космоса и использование астрономических значений для обучения концепциям представителей способствуют коэффициенту вовлеченности этой игры.
Ссылка на игру
Преимущества игры в экспоненты Игры для обучения экспонентов разработаны с учетом уровня владения языком и соответствующей учебной программы.
Если дети хотят решать более сложные задачи, чем те, которым их учат в классе, они могут использовать эти игры для более сильного и устойчивого развития своих представлений. Некоторые из лучших преимуществ этих игр:
- Предоставление инструмента самообучения: Игры дают представление о методе решения задач возведения в степень. Таким образом, дети могут самостоятельно изучать концепции и получать достаточную практику.
- Улучшение мышления и вычислительных способностей: Умственные способности мышления и вычислений заметно улучшаются благодаря динамичному характеру игр для обучения показателей.
- Улучшает когнитивные навыки: Вычисление, чтение и выбор правильного ответа, а иногда и маневрирование элементами или заполнение ответов в соответствии с требованиями игры расширяют возможности детей выполнять различные действия одновременно.
Возведение в степень — это следующий шаг после умножения.