Определение неопределенный интеграл: Неопределенный интеграл. Понятия и определения. Интегрирование

Неопределенный интеграл. Понятия и определения. Интегрирование

Содержание.

1. Неопределенный интеграл. Основные определения.
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица интегралов.
4. Непосредственное интегрирование.
5. Метод подстановки.
6. Метод интегрирования по частям.

Определение 1. Пусть функция f (x) определена на некотором интервале (a, b) и для всех x ∈ (a, b) существует такая функция F(x), что F’(x) = f (x). Тогда F(x) называется первообразной для f (x) на (a, b) .

Например, одной из первообразных функций для функции cos x будет sin x .

Первообразная не единственна, т. к. (cosx + 2)’ =(cosx)’ + 2’=sin x , (cosx — 3)’ = sin x , а поэтому cos x + 2, cos x — 3 также являются первообразными для sin x .

Теорема. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на

интервале (a, b) , отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое, т.е. если F1 (x) и F2 (x) – некоторые первообразные, т. е. F1’ (x)= f (x) и F2’ (x) = f (x) то F1 (x) – F2 (x) = C .

Следствие. Прибавляя к какой-либо первообразной F(x) для данной функции f (x), определенной на промежутке (a, b) , всевозможные постоянные C , мы получим все первообразные для функции f (x) .

Определение 2. Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом ∫ f (x)dx .

При этом f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.

Согласно определению неопределенного интеграла можно написать:

∫ f (x)dx = F(x)+ C , где F¢(x)= f (x), постоянная C может принимать любое значение и называется произвольной постоянной.

 

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (1,2).

Замечание. В формулах (1) и (2) знаки и уничтожают друга. В этом смысле интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными математическими операциями.

Свойства линейности неопределенного интеграла.

т. е. любая формула интегрирования не изменяет свой вид, если вместо независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию . Поэтому таблицу интегралов от сложной функции запишем в виде:

Таблица интегралов

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал f (x)dx, а затем в таблице
интегралов найти первообразную.

Пример 1.

Выражение cos xdx заменили на d (sin x) . Получили интеграл

который можно отыскать в таблице интегралов, где u(x) = sin x.

Пример 2. 

Здесь мы умножили подынтегральную функцию и разделили на 2, затем внесли 2 под знак дифференциала. Заменим 2dx  =d (2x +1) и получим табличный интеграл

Проверим результат дифференцированием:

Пример 3.

В данном примере мы применили прием подведения под знак дифференциала cosx и постоянной 1. cos xdx = d(1+ sin x).

Пример 4.

Метод подстановки

Пример 6.

Здесь удобно применить тригонометрическую подстановку x = sint , с помощью которой мы избавимся от корня. Отсюда dx = costdt . 

Метод интегрирования по частям.

Пусть u и v — непрерывно дифференцируемые функции от x . На основании формулы дифференциала произведения имеем d(uv)= udv + vdu.

Иногда формула интегрирования по частям применяется несколько раз. Рассмотрим пример такого интеграла.

Замечание. Иногда применение формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу, который в таком случае называется циклическим или круговым.

Получили интеграл, в котором cosnx заменился на sin nx .
Проинтегрируем еще раз по частям, обозначим:

Это пример циклического интеграла. {\prime}=x+0=f(x)$

Больше примеров решений Решение интегралов онлайн

Таким образом, если функция $y=f(x)$ имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.

Теорема

(Об общем виде первообразной для функции)

Если функции $F(x)$ и $\Phi(x)$ — две любые первообразные функции $y=f(x)$, то их разность равна некоторой постоянной, то есть

$$\Phi(x)-F(x)=C=\text { const }$$

Последнюю теорему можно сформулировать иначе: каждая функция, которая является первообразной для функции $f(x)$, может быть представлена в виде $F(x)+C$.

Неопределенный интеграл

Определение

Совокупность всех первообразных функции $y=f(x)$, определенных на заданном промежутке, называется неопределенным интегралом от функции $y=f(x)$ и обозначается символом $\int f(x) d x$. То есть

$\int f(x) d x=F(x)+C$

Знак $\int$ называется интегралом, $f(x) d x$ — подынтегральным выражением, $f(x)$ — подынтегральной функцией, а $x$ — переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной или неопределенного интеграла от функции $f(x)$ называется интегрированием функции $f(x)$. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию.

Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельно расположенных кривых $F(x)+C$, где каждому конкретному числовому значению постоянной $C$ соответствует определенная кривая из указанного семейства.

График каждой кривой из семейства называется интегральной кривой.

Теорема

Каждая непрерывная на промежутке $(a ; b)$ функция, имеет на этом интервале первообразную.

Читать дальше: свойства неопределенного интеграла.

Исчисление I — Неопределенные интегралы

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5.1: Неопределенные интегралы

В предыдущих двух главах нам давали функцию \(f\left( x \right)\), и мы спрашивали, какова производная этой функции. Начиная с этого раздела, мы собираемся изменить ситуацию. Теперь мы хотим спросить, какую функцию мы продифференцировали, чтобы получить функцию \(f\left( x \right)\). 92} — 9x + c,\,\,\hspace{0,25in}c{\mbox{ является константой}}\]

даст \(f\left( x \right)\) после дифференцирования.

В этом последнем примере было два момента. Первый пункт состоял в том, чтобы заставить вас думать о том, как решать эти задачи. Сначала важно помнить, что на самом деле мы просто спрашиваем, что мы дифференцировали, чтобы получить данную функцию.

Другой момент заключается в том, чтобы признать, что на самом деле существует бесконечное количество функций, которые мы могли бы использовать, и все они будут отличаться на константу.

Теперь, когда мы поработали с примером, давайте избавимся от некоторых определений и терминологии.

Определения

Для данной функции \(f\left( x \right)\) антипроизводная функции \(f\left( x \right)\) представляет собой любую функцию \(F\left( x \right)\) такой, что

\[F’\влево(х\вправо) = f\влево(х\вправо)\]

Если \(F\left( x \right)\) является любой антипроизводной \(f\left( x \right)\), то наиболее общая антипроизводная \(f\left( x \right)\) )\) называется неопределенный интеграл и обозначенный,

\[\int{{f\left( x \right)\,dx}} = F\left( x \right) + c,\hspace{0. 25in}\,\,\,\,c{\mbox{ произвольная константа}}\]

В этом определении \(\int{{}}\) называется интегральным символом , \(f\left( x \right)\) называется подынтегральным выражением , \(x\) называется переменная интегрирования и «\(c\)» называются константой интегрирования .

Обратите внимание, что часто мы говорим просто интеграл вместо неопределенного интеграла (или определенного интеграла, если уж на то пошло, когда мы доберемся до них). Из контекста задачи будет понятно, что речь идет о неопределенном интеграле (или определенном интеграле).

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием или интегрированием \(f\left( x \right)\) . Если нам нужно уточнить переменную интегрирования, мы скажем, что мы 92} — 9х + с\]

Пара предупреждений. Одна из наиболее распространенных ошибок, которую студенты допускают при работе с интегралами (как неопределенными, так и определенными), заключается в том, что они пропускают dx в конце интеграла. Это необходимо! Думайте о знаке интеграла и dx как о наборе скобок. Вы уже знаете и, вероятно, вполне довольны идеей, что каждый раз, когда вы открываете скобку, вы должны ее закрывать. В интегралах думайте о знаке интеграла как о «открытой скобке», а 95} + c + 3x — 9\end{выравнивание*}\]

Вы интегрируете только то, что находится между знаком интеграла и dx . Каждый из приведенных выше интегралов заканчивается в другом месте, поэтому мы получаем разные ответы, потому что каждый раз интегрируем разное количество членов. Во втором интеграле «-9» находится вне интеграла и поэтому не интегрируется. Точно так же в третьем интеграле «\(3x — 9\)» находится вне интеграла и поэтому оставлено в покое.

Знание того, какие термины интегрировать, — не единственная причина для записи \(dx\). В разделе «Правило подстановки» мы фактически будем работать с \(dx\) в задаче, и если у нас нет привычки записывать его, то можно легко забыть об этом, и тогда мы получим неверный ответ на тот этап.

Мораль этого состоит в том, чтобы убедиться и поставить \(dx\)! На данном этапе это может показаться глупым, но это просто необходимо, хотя бы по той причине, что нужно знать, где останавливается интеграл.

Кстати, обозначение \(dx\) должно показаться вам немного знакомым. Мы видели такие вещи пару разделов назад. Мы назвали \(dx\) дифференциалом в этом разделе, и да, это именно то, чем оно является. \(dx\), которым заканчивается интеграл, есть не что иное, как дифференциал. 92} — 9w + c\end{выравнивание*}\]

Изменение переменной интегрирования в интеграле просто меняет переменную в ответе. Однако важно отметить, что когда мы меняем переменную интегрирования в интеграле, мы также изменяем дифференциал (\(dx\), \(dt\) или \(dw\)) в соответствии с новой переменной. Это важнее, чем мы можем себе представить на данный момент.

Еще одно использование дифференциала в конце интеграла — сообщить нам, по какой переменной мы интегрируем. На данном этапе это может показаться неважным, поскольку большинство интегралов, с которыми мы собираемся здесь работать, будут включать только одну переменную.

Однако, если вы находитесь на пути к получению степени, который приведет вас к исчислению с несколькими переменными, это будет очень важно на этом этапе, поскольку в задаче будет более одной переменной. Вам нужно выработать привычку записывать правильный дифференциал в конце интеграла, чтобы, когда он станет важным в этих классах, вы уже привыкли записывать его. 92} + с\]

Второй интеграл тоже достаточно прост, но нужно быть осторожным. dx говорит нам, что мы интегрируем \(x\). Это означает, что мы интегрируем только те \(x\), которые входят в подынтегральную функцию, а все остальные переменные в подынтегральной функции считаются константами. Тогда второй интеграл равен

. \[\int{{2t\,dx}} = 2tx + c\]

Может показаться глупым всегда ставить

dx , но это важная часть записи, которая может привести к тому, что мы получим неверный ответ, если не введем его.

Теперь есть некоторые важные свойства интегралов, на которые мы должны обратить внимание.

Свойства неопределенного интеграла

1. \(\displaystyle \int{{k\,f\left( x \right)\,dx}} = k\int{{f\left( x \right)\, dx}}\), где \(k\) — любое число. Таким образом, мы можем выносить мультипликативные константы из неопределенных интегралов.

   Доказательство этого свойства см. в разделе «Доказательство различных интегральных формул» в главе «Дополнительно».

2. \(\displaystyle \int{{ — f\left( x \right)\,dx}} = — \int{{f\left( x \right)\,dx}}\). Это действительно первое свойство с \(k = -1\), поэтому доказательство этого свойства не приводится.
3. \(\displaystyle \int{{f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\,dx}} = \int{{f\left( x \right)\,dx}} \pm \int{{g\left( x \right)\,dx}}\). Другими словами, интеграл суммы или разности функций есть сумма или разность отдельных интегралов. Это правило можно распространить на столько функций, сколько нам нужно.
   Доказательство этого свойства см. в разделе «Доказательство различных интегральных формул» главы «Дополнительно».

Обратите внимание, что при работе над первым примером выше мы использовали в обсуждении первое и третье свойства. Мы интегрировали каждый член по отдельности, вернули все константы и затем соединили все вместе с соответствующим знаком.

В приведенных выше свойствах не указаны интегралы от произведений и частных. Причина этого проста. Как и в случае с производными, каждое из следующих действий НЕ будет работать.

\[\int{{f\left( x \right)g\left( x \right)\,dx}} \ne \int{{f\left( x \right)dx}}\int{{g\ влево ( х \ вправо) \, dx}} \ hspace {0,75 дюйма} \ int {{\ гидроразрыва {{f \ влево ( х \ вправо)}} {{g \ влево ( х \ вправо)}} \, dx }} \ne \frac{{\int{{f\left( x \right)\,dx}}}}{{\int{{g\left( x \right)\,dx}}}}\]

С производными у нас было правило произведения и правило частного для решения этих случаев. Однако для интегралов таких правил нет. Столкнувшись с произведением и частным в интеграле, у нас будет множество способов справиться с ним в зависимости от того, что представляет собой подынтегральная функция. 92} — 9х + с\]

В этом разделе мы продолжали вычислять один и тот же неопределенный интеграл во всех наших примерах. Цель этого раздела заключалась не в том, чтобы вычислять неопределенные интегралы, а в том, чтобы познакомить нас с обозначениями и некоторыми основными идеями и свойствами неопределенных интегралов. Следующие несколько разделов посвящены фактическому вычислению неопределенных интегралов.

неопределенный интеграл в nLab

Пропустить навигационные ссылки | Домашняя страница | Все страницы | Последние версии | Обсудить эту страницу |

Неопределенные интегралы

• Идея
• Определения и обозначения
• Свойства
• Обобщения
• В декартовых пространствах
• На коллекторах
• В полях алгебраических пределов
• См. также

Идея

Неопределенный интеграл менее определен, чем определенный интеграл. В то время как определенный интеграл обычно представляет собой некоторое число или другую конкретную величину, неопределенный интеграл обычно представляет собой другую переменную величину того же типа, что и подынтегральное выражение.

Термин «неопределенный интеграл» сам по себе довольно неопределенный, так как он использовался для множества немного отличающихся понятий. Оба полуопределенных интеграла и первообразные являются более точными версиями неопределенных интегралов. Фундаментальная теорема исчисления — это, по сути, теорема о том, что эти различные виды неопределенного интеграла по существу являются одним и тем же.

Определения и обозначения

Для начала мы обсудим интегрирование вещественных функций на вещественной прямой, но многое из этого можно обобщить и на другие контексты. Итак, пусть ff — частичная функция от ℝ\mathbb{R} до ℝ\mathbb{R}; обычно доменом ff будет интервал, но мы этого не требуем. 9а.)

Полуопределенный интеграл определяется через определенный интеграл. Мы можем поместить такие имена, как «Риман» и «Лебег» между «полуопределенным» и «интегральным», чтобы указать конкретный вид используемого определенного интеграла. Заметим, что областью определения полуопределенного интеграла является интервал, содержащий aa и содержащийся в области определения ff (или, по крайней мере, в его замыкании, если мы допускаем несобственные интегралы или интегрирующие почти функции). Если мы начнем с определения ff как локально интегрируемой функции? на отрезке II, содержащем аа, то полуопределенный интеграл также будет иметь областью определения II. 9х f(t) \,\mathrm{d}t .

Мы можем записать это значение как C+∫af(x)dxC + \int_a f(x) \,\mathrm{d}x для краткости.

Это только одно из значений «неопределенного интеграла», но единственное, не имеющее альтернативной однозначной терминологии. Заметим, что CC — значение неопределенного интеграла при aa; таким образом, CC является начальным значением, если aa является начальной точкой. Но для авторов, использующих это понятие, часто нет необходимости упоминать ни аа, ни СС (и, следовательно, не нужная для них терминология), поскольку их интересует только то, является ли какая-либо другая функция FF неопределенным интегралом от ff, где ff есть локально интегрируемая функция на некотором отрезке.

Определение

Если FF является частичной функцией от ℝ\mathbb{R} до ℝ\mathbb{R}, то FF является первообразной ff (или антидифференциалом fdxf \,\mathrm{d} x) если ff является производной от FF в своей области определения:

∀x∈domF,f(x)=F′(x). \forall\, x \in \dom F,\; f(x) = F'(x) .

Апостериорно FF должен быть дифференцируемым.

Это обычное значение «неопределенного интеграла» в современных учебниках по математическому анализу с использованием интеграла Римана, особенно когда областью определения ff является интервал.

Определение

Если FF — измеримая по Лебегу частичная почти функция от ℝ\mathbb{R} до ℝ\mathbb{R}, то FF — почти первообразная ff, если ff — производная FF почти всюду:

ess∀x∈domF,f(x)=F′(x). \operatorname{ess}\forall\, x \in \dom F,\; f(x) = F'(x) .

Нас особенно интересует случай, когда FF абсолютно непрерывен.

Это нестандартная терминология, но она хорошо сочетается с другими «почти» терминами в теории меры. Это обычное значение «неопределенного интеграла» при использовании интеграла Лебега.

Свойства

Основным свойством, связывающим различные виды неопределенного интеграла, является фундаментальная теорема исчисления (ФТК). Для различных определений интеграла можно доказать, что каждый полуопределенный интеграл или вообще любой неопределенный интеграл в смысле определения является первообразной; и что каждая первообразная или, вообще говоря, каждая почти первообразная является неопределенным интегралом; возможно, с техническими условиями (в зависимости от типа рассматриваемого интеграла), такими как дифференцируемость или абсолютная непрерывность. Подробнее см. в этой статье.

Неопределенные интегралы дают решения дифференциальных уравнений. Конечно, определение первообразной состоит в том, что это решение очень простого дифференциального уравнения. Используя ФТК, мы видим, что неопределенные интегралы являются решениями соответствующих начальных задач. В частности, решение

F′(x)=f(x),F(a)=C F'(x) = f(x),\; F(a) = C

— неопределенный интеграл от ff с начальной точкой aa и начальным значением CC:

9n, то мы можем определить первообразную (или антидифференциал) ω\omega как любую вещественнозначную функцию ff на SS такую, что df=ω\mathrm{d}f = \omega. Тогда, когда PP является точкой в ​​SS (или, возможно, ее замыканием), мы можем определить значение полуопределенного интеграла от ω\omega с начальной точкой PP как интеграл от ω\omega вдоль отрезка прямой от PP; домен представляет собой звездно-выпуклое множество? исходящие из ПП и содержащиеся в (замыкании) СС. Если мы определим неопределенный интеграл как полуопределенный интеграл плюс постоянное начальное значение, то каждая первообразная ω \ omega на звездно-выпуклом множестве является неопределенным интегралом. Обратно, всякий неопределенный интеграл является первообразной, если ω\omega замкнута. Если ω \ omega не замкнута, то у нее все еще есть неопределенные интегралы (пока они непрерывны или иным образом локально интегрируемы), но они больше не являются первообразными (чего никогда не бывает у незамкнутых форм).

Возможно, это можно обобщить на римановы многообразия, рассматривая интегралы по геодезическим; хотя геодезическая между двумя точками не всегда уникальна (даже если она существует), она уникальна в достаточно малой (а часто и довольно большой) окрестности. (Например, на сфере, пока ω\omega интегрируема, мы можем определить таким образом неопределенный интеграл в любой точке, кроме той, которая находится прямо напротив начальной точки.)

Однако такое прямолинейное определение кажется довольно искусственным. , и может быть лучше использовать более подробное понятие полуопределенного интеграла ниже, применимое только к замкнутым формам, но к более общим многообразиям.

О многообразиях

Мы можем обобщить внешние дифференциальные формы на дифференцируемых многообразиях, обобщив FTC до теоремы Стокса. Ясно, что такое первообразная в этом контексте: α\alpha является внешней первообразной ω\omega тогда и только тогда, когда ω\omega является внешней производной α\alpha. На гладком многообразии мы знаем, что означает «почти», и поэтому можем также определить внешние почти первообразные.

Если ω\omega — 11-форма на любом дифференцируемом многообразии и PP — точка его области определения, то полуопределенный интеграл от ω\omega с начальной точкой PP определен в другой точке QQ тогда и только тогда, когда интеграл от ω\omega равен то же самое на любом пути от PP до QQ (и тогда этот интеграл является значением).