Определенный интеграл неопределенный интеграл: Чем отличается определенный интеграл от неопределенного?

Определенный интеграл | это… Что такое Определенный интеграл?

ТолкованиеПеревод

Определенный интеграл

Определённый интеграл как площадь фигуры

В математическом анализе интегралом функции называют расширение понятия суммы. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Этот процесс обычно используется при нахождений таких величин как площадь, объём, масса, смещение и т. д., когда задана скорость или распределение изменений этой величины по отношению к некоторой другой величине (положение, время и т. д.).

Существует несколько различных определений операции интегрирования, отличающиеся в технических деталях. Однако все они совместимы, то есть любые два способа интегрирования, если их можно применить к данной функции, дадут один и тот же результат.

Согласно основной теореме анализа, интегрирование — операция, обратная к дифференцированию.

Содержание 1 Типы интегралов 2 История 2.1 Интеграл в древности 3 См. также 4 Ссылки

Типы интегралов

• Определённый интеграл
• Неопределённый интеграл
• Интеграл Римана и Римана — Стилтьеса
• Интеграл Лебега и Лебега — Стилтьеса
• Интеграл Даниэля
• Кратный интеграл
• Криволинейный интеграл
• Поверхностный интеграл
• Эллиптический интеграл

История

Знаки интеграла и дифференцирования , были впервые использованы Лейбницем в конце XVII века. Символ интеграла образовался из буквы S — сокращения слова лат. summa (сумма).

Интеграл в древности

Интегрирование прослеживается ещё в древнем Египте, примерно в 1800 до н. э., Московский математический папирус демонстрирует знание формулы объёма усечённой пирамиды. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпывания Евдокса (

примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен. Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в 3-м веке н.э Лю Хуэйем, который использовал их для нахождения площади круга. Этот метод был впоследствии использован Дзю Чонгши для нахождения объёма шара.

См. также

• Первообразная
• Основная теорема анализа
• Знак интеграла
• Численное интегрирование
• Методы интегрирования
• Список интегралов элементарных функций
• Теорема об ограниченности интегрируемой функции
• Теорема о среднем в определенном интеграле
• Таблица интегралов

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Integral на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Онлайн Калькулятор Интегралов
• Интеграл — статья из Большой советской энциклопедии

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

• Определенный артикль
• Определитель (значения)

Полезное

Интегралы. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Интегралы

2. Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных
данной функции f(x) называется ее
неопределенным интегралом
и
f ( x)dx
обозначается
:
f ( x)dx F ( x) C
,
где C – произвольная постоянная.

3. Правила интегрирования

cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
1
f (ax b) dx F ( ax b) C , a 0
a

4. Определенный интеграл

В декартовой
прямоугольной системе
координат XOY фигура,
ограниченная осью OX,
прямыми x=a, x=b (a<b) и
графиком непрерывной
неотрицательной на отрезке
[a;b] функции y=f(x),
называется криволинейной
трапецией

5. Определенный интеграл

Вычислим площадь криволинейной трапеции.
Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей.
Проведем через полученные точки прямые,
параллельные оси OY. Заданная
криволинейная трапеция разобьется на n
частей. Площадь всей трапеции приближенно
равна
S n f (сумме
x0 ) x0 площадей
f ( x1 ) x1 … столбиков.
f ( xn 1 ) xn 1
S Sn
S lim S n
n
по определению
, его называют
b
определенным интегралом от функции
f ( x)dx
y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают так:
a

6.

Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона — Лейбница)Для непрерывной функции
b
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a )
b
a
a
где F(x) – первообразная функции f(x).

7. Основные свойства определенного интеграла

a
f ( x)dx 0
a
b
dx
b
a
a
b
a
a
f ( x)dx f ( x)dx
b

8. Основные свойства определенного интеграла

b
a
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
b
b
a
a
cf
(
x
)
dx
c
f
(
x
)
dx
,
c
const
b
b
b
a
a
a
(
f
(
x
)
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx

9. Геометрический смысл определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
положительной на промежутке [a;b]
функции f(x), осью x и прямыми x=a и
x=b:
b
S f ( x)dx
a

10.

Геометрический смысл определенного интегралаПлощадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной
отрицательной на промежутке [a;b]
функции f(x), осью x и прямыми x=a и
x=b:
b
S f ( x)dx
a

11. Геометрический смысл определенного интеграла

Замечание: Если функция изменяет
знак на промежутке [a;b] , то
b
S1 S 2 f ( x)dx
a

12. Физический смысл определенного интеграла

При прямолинейном движении
перемещение s численно равно площади
криволинейной трапеции под графиком
зависимости скорости v от времени t:
t2
S v(t )dt
t1

13. Вычисление площадей и объемов

с помощью определенного
интеграла

14. Площадь фигуры,

Ограниченной графиками непрерывных
f ( x)что
g ( x)
функций y=f(x) и y=g(x) таких,
для любого x из [a;b], где a и b –
абсциссы точек пересечения графиков
функций:
b
S ( f ( x) g ( x))dx
a

15. Объем тела,

полученного в результате вращения
вокруг оси x криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной и
неотрицательной функции y=f(x) на
отрезке [a;b]:
b
V f ( x)dx
2
a

English     Русский Правила

х_0 ф(х) \; dx$

---

Иногда у меня создается впечатление, что между определенной и неопределенной интеграцией должна быть основная и важная разница. Но когда я рассматриваю простые примеры, мне кажется, что уравнение в заголовке верно, поэтому кажется, что большой разницы нет.

• исчисление

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Определенное интегрирование возвращает, в принципе, определенное действительное число (если верхняя граница содержит переменную, вы получаете функцию, но все же).

Бесконечное интегрирование обычно интерпретируется как антидифференцирование благодаря силе фундаментальной теоремы исчисления. Он возвращает целое семейство функций с неизвестным/общим постоянным членом.

Теоретически это совершенно разные операции, и только благодаря чуду FtC они так тесно связаны (и, таким образом, получают очень похожие обозначения). Я даже слышал, как люди доходят до того, что говорят, что не существует такой вещи, как неопределенные интегралы, есть только определенные интегралы и первообразные.

9xf(t)dt|C\in S\right\}$ функций (где $S$ — интересующая система счисления, такая как $\Bbb R$ или $\Bbb C$), или (если контекст позволяет ) произвольная функция в этом множестве, если нам все равно, о какой из них мы говорим.

$\endgroup$

9

$\begingroup$

1. Определенный интеграл от $f(x)$ является ЧИСЛОМ и представляет площадь под кривой f(x) от $x=a$ до $x=b$.

   Определенный интеграл имеет верхний и нижний пределы интегралов, и она называется определенной, потому что в конце задачи число – это определенный ответ .

2. Неопределенный интеграл от $f(x)$ является ФУНКЦИЕЙ .

   Неопределенный интеграл обычно дает общее решение задачи дифференциальное уравнение.

   Неопределенный интеграл является более общей формой интегрирования, и это можно интерпретировать как

   антипроизводная рассматриваемого функция.

---

Основная теорема исчисления

Определенный и неопределенный интегралы связаны основной теоремой исчисления следующим образом: Чтобы вычислить определенный интеграл, найдите неопределенный интеграл (также известный как антипроизводная) функцию и оценить в конечных точках x=a и x=b.

Разница между определенными и неопределенными интегралами станет очевидной, если мы вычислим интегралы для одной и той же функции.

Пожалуйста, проверьте следующий источник для более подробной информации: 1 2

$\endgroup$

Неопределенные интегралы — Интегрирование путем замены: определенные интегралы

Предыдущий Следующий

Интегрирование путем замены: определенные интегралы

Будьте осторожны: Есть два способа использовать подстановку для вычисления определенных интегралов. При вычислении определенного интеграла убедитесь, что вы знаете, как вы его используете .

Способ 1: Сначала проинтегрируйте неопределенный интеграл подстановкой.

Мы знаем, как использовать подстановку, чтобы найти неопределенные интегралы. Это означает, что мы знаем, как использовать подстановку для нахождения первообразных.

Чтобы использовать подстановку для нахождения первообразной, мы сначала используем подстановку для нахождения неопределенного интеграла. Затем мы бросаем + C , что равносильно установке C = 0. Неопределенный интеграл представляет собой бесконечное семейство первообразных, и установка C = 0 дает нам одну первообразную из этого бесконечного семейства.

Способ 2: Измените переменные и никогда не возвращайтесь назад.

Другой способ вычисления определенных интегралов путем подстановки состоит в том, чтобы изменить переменную интегрирования, а также изменить пределы интегрирования, чтобы они соответствовали новой переменной. С помощью этого метода нам никогда не придется возвращать исходную переменную.

Вот два шага, которые необходимо выполнить при интегрировании определенного интеграла по способу 2:

• Выполните замену в определенном интеграле, не забывая изменить пределы интегрирования .
    
• Используйте FTC для интегрирования полученного определенного интеграла.

Возвращаясь к определенным интегралам, основная теорема исчисления говорит, что мы можем вычислить определенный интеграл

, найдя первообразную F от f и взять разницу

F ( b ) – F ( a )

что сокращается до

.

Пока мы можем использовать подстановку под интегралом, мы можем использовать подстановку для вычисления определенного интеграла.

Есть два шага:

1. Используйте интегрирование путем подстановки, чтобы найти соответствующий неопределенный интеграл. Это дает нам первообразную подынтегральной функции.

2. Используйте FTC с первообразной из (1), чтобы найти определенный интеграл.

Помните, сначала вы делаете подстановку, чтобы получить новый определенный интеграл с новой переменной интегрирования и новыми пределами интегрирования. Затем вы оцениваете новый определенный интеграл, используя FTC.

Путь 1 или путь 2? Помощь!

Есть два очевидных вопроса, которые могут крутиться в вашей голове прямо сейчас.

• «Должен ли я использовать способ 1 или способ 2?»
    
• «Как узнать, когда использовать способ 1 и когда использовать способ 2?»

Есть хорошие новости и плохие новости… нет, на самом деле есть только хорошие новости. В любом случае будет работать. Пока вы знаете, какой способ вы используете, и делаете это правильно, вы получите правильный ответ. Чтобы проверить это, вычислите эти интегралы, используя способ 2, и вычислите эти интегралы, используя способ 1. Вы должны получить те же ответы, что и раньше.