Определить максимальное число линейно независимых строк матрицы: 2О. Ранг матрицы как максимальное число линейно независимых строк (столбцов).

2О. Ранг матрицы как максимальное число линейно независимых строк (столбцов).

Напомним, что если , то – это число , такое, что существует минор порядка , отличный от нуля и все миноры порядка равны 0.

Теорема 3. Ранг произвольной матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы.

Доказательство. Докажем для строк. Пусть

, где .

Каждую строку в можно рассматривать как элемент пространства (т.е. упорядоченную совокупность элементов, аналог ). Тогда линейная оболочка строк порождает подпространство . Пусть в матрице базисных строк. Тогда по теореме о базисном миноре (см. §9) имеем, что любая строка матрицы является линейной комбинацией этих строк, т.е. элементом подпространства , а из теоремы 8 . Таким образом, строк матрицы линейно зависимы, т.е. – максимальное число линейно независимых строк.

Следствие. Число линейно независимых строк равно числу линейно независимых столбцов матрицы .

3^о. Элементарные преобразования матрицы.

Вычислять ранг матрицы перебором всех миноров – большая работа. Несколько облегчает положение метод окаймляющих миноров, согласно которому миноры порядка ищутся как окаймляющие ненулевой минор –ого порядка.

Проще всего находить ранг матрицы и ее базисный минор при помощи элементарных преобразований.

Определение 3. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1. Умножение строки на элемент , отличный от нуля.

2. Прибавление к одной строке другой строки.

3. Перестановка строк.

4. Такие же преобразования над столбцами.

Теорема 4. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство. Пусть – исходная матрица, – преобразованная, , т.е. и все , ,…

1. Если , то если умноженная строка входит в , то , если нет, то . Для имеем .

2. Пусть получается из прибавлением к –ой строке –ой. Покажем, что при этом ранг не увеличивается, т.е. если .

а) Если содержит и -ую и -ую строки – очевидно, что .

б) Если –ая строка не входит в , то .

в) Если –ая входит в , а –ая – не входит, то , где – другой минор матрицы . Знак “-” может возникнуть из-за того, что могут быть переставлены строки. Например,

.

Т.о. , т.е. прибавление строк – обратимая операция, то получается из такой же операцией, т.е. .

3. Очевидно, что при перестановке двух строк не меняется максимальное число линейно независимых строк.

4. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях столбцов доказывается аналогично.

Определение 4. Матрицы и , получаемые друг из друга элементарными преобразованиями, называются эквивалентными.

Т.о., эквивалентные матрицы имеют одинаковый ранг.

Определение 5. Матрица, у которой в каждой следующей строке, начиная со второй, первый отличный от нуля элемент стоит правее первого отличного от нуля элемента предыдущей строки, а все нулевые строки (т.е. строки, содержащих хотя бы один ненулевой элемент), называется ступенчатой.

Пример:

– Ступенчатая матрица.

Теорема 5 (о ступенчатой матрице).

1. Каждая матрица элементарными преобразованиями строк приводится к ступенчатой.

2. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.

Доказательство. 1) Если некоторый элемент данной матрицы отличен от нуля, то с помощью элементарных преобразований строк можно получить новую матрицу, в которой все элементы, стоящие над и под ним равны нулю. Например, чтобы получить нуль на месте , достаточно умножить –ую строку на и прибавить к -ой строке. На месте -ого элемента будет стоять .

Возьмем первый слева ненулевой столбец и переставим строки так, чтобы в первой строке оказался этот ненулевой элемент (если первый элемент этого столбца был ненулевым, то переставлять строки не надо). Элементарными преобразованиями все элементы столбца можно сделать нулями. Первая строка ступенчатой матрицы готова: все ненулевые элементы второй и нижних строк стоят правее первого ненулевого элемента первой строки.

Применим ту же процедуру к матрице, начиная со второй строки: возьмем первый слева столбец, содержащий ненулевые элементы, переставим так, чтобы во второй строке был ненулевой элемент и т.д. После этого будет готова и вторая строка.

Так как строк конечное число, то процесс конечен.

2) Пусть в ступенчатой матрице ненулевых строк. Тогда любой минор и выше порядков равен 0, т.е. содержит нулевые строки. Ненулевой минор -ого порядка строится так: берутся столбцы, содержащие первые ненулевые элементы ненулевых строк. Его определитель равен произведению этих ненулевых элементов (верхнетреугольная матрица). Т.о., . ■

Пример. В выше рассмотренном примере . Т.о., ранг любой матрицы вычисляется приведением ее к ступенчатому виду.

Т.е., ранг матрицы вычисляется приведением её к ступенчатому виду.

4^о. Сумма и пересечение подпространств

Рассмотрим два подпространства и пространства .

Определение 6. Будем называть суммой подпространств и и обозначать множество всех векторов, которые можно представить в виде , где и .

Лемма 4. Сумма подпространств является подпространством.

Доказательство. Действительно, если есть ;, то , : , . Также, . ■

Если , , то базис , а в – базис . Каждый вектор из есть линейная комбинация , , т.е. есть линейная комбинация этих векторов , . Выбрав из них линейно независимые, получаем базис в .

Определение 7. Назовём пересечением подпространств и и обозначим множество векторов, котоые принадлежат одновременно обоим подпространствам.

Лемма 5. Пересечение есть подпространство.

Доказательство. Если , то и и , и и и . ■

Теорема 6. Сумма размерностей произвольных подпространств и конечномерного линейного пространства равна сумме размерности пересения этх подпространств и размерности суммы этих подпространств, т.е. .

Доказательство. Пусть , , , . Выберем в базис . Тогда по теореме 1 его можно дополнить до базиса

(1)

подпространства и до базиса

(2)

подпространства . Если , т.е. , то рассмотрим простое объединение базисов в и .

Докажем в начале, что каждый вектор является линейной комбинацией векторов

(3)

Это следует из того, что может быть предсталвен в виде , где , . Тогда разложим по (1), а – откуда и следует необходимое.

Осталось показать, что (3) линейно независимы. Рассмотрим их линейую комбинациюи приравняем её к нулю. Имеем:

.

Здесь вектор , а вектор . Поэтому . Поэтому числа , такие, что

.

Но так как (1) линейно независимы , , , . Тогда получим

.

Но в силу (2) , вектора в (3) линейно независимы. Таким образом, (3) – базис в и имеем . ■

Максимальное число — линейно независимая строка

Cтраница 1

Максимальное число линейно независимых строк ( или, что то же, столбцов) матрицы А называется ее рангом и обозначается через rang А.  [1]

Максимальное число линейно независимых строк матрицы совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.  [2]

Пусть г обозначает максимальное число линейно независимых строк матрицы A, s — максимальное число линейно независимых столбцов. Оставим эти строки, уберем остальные, и применим к оставшейся матрице метод Гаусса. Выше он был описан для квадратной матрицы, но в прямоугольном случае почти ничего не меняется.  [3]

Из линейной алгебры известно, что максимальное число линейно независимых строк в матрице равно ее рангу. Если в матрице выбрать s строк и s столбцов, то минором порядка s матрицы называется детерминант матрицы порядка s, образованный элементами, расположенными на пересечении выбранных строк и столбцов.  [4]

Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу линейно независимых строк, так как при транспонировании матрицы ее строки становятся столбцами, а ранг матрицы не меняется.  [5]

Из линейной алгебры известно, чт о максимальное число линейно независимых строк в матрице равно ее рангу. Если в матрице выбрать S строк и s столбцов, то минором порядка s матрицы называется детерминант матрицы порядка s, образованный элементами, расположенными на пересечении выбранных строк и столбцов.

 [6]

Другими словами, р ( Л) есть максимальное число линейно независимых строк матрицы А.  [7]

В данном определении заложена теорема, поскольку совпадение максимального числа линейно независимых строк и столбцов сразу неочевидно, но это так.  [8]

Точно так же доказывается, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк, Отсюда вытекает интересное следствие.  [9]

Точно так же доказывается, что ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк. Отсюда вытекает интересное следствие.  [10]

Действительно, величина, стоящая в левой части, есть максимальное число линейно независимых строк матрицы А, в правой же части стоит максимальное число линейно независимых строк матрицы А; но это число, очевидно, совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов матрицы А.  [11]

В этом пункте мы убедимся, что ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк ( или столбцов) этой матрицы.  [12]

Пусть матрица А имеет ранг г. Как доказано в предшествующем параграфе, г равно максимальному числу линейно независимых строк матрицы А. Пусть, для определенности, первые г строк матрицы А линейно независимы, а каждая из остальных будет их линейной комбинацией. Тогда первые г строк матрицы А также будут линейно независимыми: всякая линейная зависимость между ними была бы линейной зависимостью и между первыми г строками матрицы А ( вспомнить определение сложения векторов.  [13]

В частности, отсюда будет следовать весьма нетривиальная теорема о том, что у любой матрицы максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.  [14]

О В частности, отсюда будет следовать весьма нетривиальная теорема о том, что у любой матрицы максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.  [15]

Страницы:      1    2

независимость — Линейная алгебра — максимальное количество линейно независимых векторов

Задавать вопрос

спросил 4 года 10 месяцев назад

Изменено 3 года, 4 месяца назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Вопрос: Определить максимальное количество линейно независимых векторов среди заданного набора векторов. $$ A = (1,-1,0,0) \quad B = (1,0,-1,0) \quad C = (1,0,0,-1) \\ D = (0,1,-1,0) \quad E = (0,1,0,-1) \quad F = (0,0,1,-1) $$

Я не понимаю этот вопрос. как я могу решить этот вопрос?

edit: На самом деле в этом вопросе мне нравится это, как можно записать эти векторы с еще двумя векторами и сколько таких векторов?? Это правда. кто-нибудь может объяснить

То есть

 A-B = (0,1,-1,0)
 

так, А-В = С Я могу написать С вместо А и В .. Это мое понимание.

• независимость

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Если ваш набор состоит из векторов $\{u_1,u_2,\dots u_k\}$, он может не быть линейно независимым набором, но вы всегда можете взять подмножество, которое является линейно независимым (обычно нам нужно максимальное количество таких ). Например, если мой набор состоит из $u_1=(1,1), u_2=(0,1),u_3=(2,3)$, то набор с максимальным количеством линейно независимых векторов, который я могу взять из этого набор $\{(1,1),(0,1)\}$, так как $u_3$ является линейной комбинацией первых двух. Точно так же здесь можно взять любые две, так как любая пара из этого множества будет линейно независимой.

Как указывалось в комментариях, вам, вероятно, была дана процедура, которой нужно следовать. Если вы не знаете, почему и как это работает, вы можете спросить.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Помещение ваших векторов в матрицу в виде столбцов и сокращение строк даст матрицу ранга 3, что означает, что у нас есть три линейно независимых вектора. Первые три столбца состоят из элементарных векторов, а остальные столбцы содержат коэффициенты линейной зависимости для соответствующих векторов. Столбец 4 равен $(-1,1,0,0)$, что говорит мне о том, что $D=-A+B$ 9\вверху) с = М с = 0 $$ и используйте метод исключения Гаусса, чтобы узнать ранг $M$, где $\top$ означает транспонирование матриц (здесь векторы-строки превращаются в векторы-столбцы).

Вы можете заранее подумать о том, сколько векторов может быть не более чем линейно независимым.

Выбор правильного подмножества осуществляется методом проб и ошибок.

$\endgroup$

линейная алгебра — Максимальное количество линейно зависимых столбцов матрицы $m \times n$

Задавать вопрос

спросил 3 года, 4 месяца назад

Изменено 3 года, 4 месяца назад

Просмотрено 723 раза

$\begingroup$

Формулировка вопроса: Правда или ложь? Если $A$ является ($4 \times 8$) матрицей, то любые шесть столбцов линейно зависимы. Ответ из учебника: Верно.