Определители четвертого порядка — Мегаобучалка
Методы их вычисления
Определение. Выражение
называется определителем четвертого порядка. Этот определитель можно записать в виде:
, (6)
где — минор элемента, стоящего на пересечении i-ой строки и j-го столбца, -алгебраическое дополнение этого элемента.
Формулу (6) можно записать с помощью значка суммирования :
, (7)
где i=1,2,3,4.
Формула (7) называется разложением определителя по элементам
i-ой строки. Можно записать и разложение определителя по элементам j-го столбца:
(8)
где j=1,2,3,4.
Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов строки или столбца определителя в нуль с помощью свойств определителей.
Пример 11.Вычислить определитель
.
Решение. Прибавим элементы первой строки к элементам второй строки:
.
Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам третьей строки:
.
Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:
.
Разложим полученный определитель по элементам первого столбца
Переставим первые две строки, при этом знак определителя изменится на противоположный, одновременно вынесем общий множитель 3 элементов третьего столбца за знак определителя:
.
Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки:
.
Полученный определитель разложим по элементам второй строки
Пример 12. Вычислить определитель .
Внимание!!! ошибка после 2 действия: при умножении 1 строки на (-2) и прибавлении к 4 строке получается 0 1 -3 2.
Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом по свойству 2 знак определителя изменится на противоположный:
.
Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, а затем элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки, получим:
.
Элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки:
.
Элементы третьей строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки:
.
Получим определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали .
Пример 13. Вычислить определитель
.
Решение.Разложим определитель по элементам третьей строки
Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника
Задания для самостоятельного решения.
1.Вычислить определители:
2. Решить уравнения:
3. Решить неравенства:
4. Вычислить определители:
Ответы: 1. а)7; б)26; в)0; г)0; д)30. 2. а)5; б)2; в)2;
г) 3. а) б) в) г)[-1;7]. 4. а)-24; б)-40; в)-9; г)57; д)-5; е)1; ж)1; з)55; и)30; к)48; л)0; м)-1004; н)150.
Матрицы
Основные понятия
Определение.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины и n столбцов одинаковой длины, которая записывается в виде
(9)
или, сокращенно, , где , (т.е. ) – номер строки, (т.е. ) – номер столбца, числа называются элементами матрицы. Матрицу называют матрицей размера и пишут . Например. , .
Определение. Две матрицы и равны между собой, если их размеры совпадают, а их соответствующие элементы равны, т.е. , если , где .
Например. Так как размеры матриц совпадают и соответствующие элементы равны, поэтому матрицы и равны, т.е.
Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера называют матрицей n-го порядка.
Например. т.е. дана матрица второго порядка.
Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называются диагональной.
Матрица — диагональная.
Определение. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой .
или .
Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные над главной диагональю (или под главной диагональю), равны нулю.
или — треугольные матрицы.
Важной характеристикой квадратной матрицы порядка n является ее определитель (или детерминант), который обозначается или . .
Определение. Квадратная матрица, у которой определитель отличен от нуля, т.е. , называется невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной.
Например,
Матрица А – вырожденная.
Матрица В – невырожденная.
Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О.
В матричном исчисление матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.
Определение. Матрица, содержащая одну строку, называется матрицей-строкой
Матрица, содержащая один столбец, называется матрицей-столбцом
Матрица размера , состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. есть 3.
Определение. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается .
Если , то , если , то .
Транспонированная матрица обладает следующим свойством: .
Error
Sorry, the requested file could not be found
More information about this error
Jump to…
Jump to…Согласие на обработку персональных данных Учебно-тематический планАвторы и разработчики курсаИнформация для студентов и преподавателейВводная лекцияIntroductory lectureЛекция о системе обозначений Lecture on the notation systemВидеолекция (часть 1)Lecture (Part 1)Видеолекция 2.
Операции над функциями. Свойства функции.Lecture 2. Operations on functions. The properties of the functionТеоретический материал Практическое занятие. Исследование свойств функций по определениюPractical lesson. Investigation of the properties of functions by definitionЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.1(Часть 1). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 1)Тест 1.1.1(Часть 2). Числовые функцииQuiz 1.1.1 (part 2)Видеолекция 1. Числовая последовательность Lecture 1. Numeric sequenceВидеолекция 2. Предел числовой последовательностиLecture 2. The limit of a numeric sequence.Practical lesson 1. Study of properties of a numerical sequence by conventionПрактическое занятие 1 (часть 2)Теоретический материалЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.2. Числовые последовательностиВидеолекция 1. Предел функции в точкеLecture 1. The limit of a function at a pointВидеолекция (часть 2)Практическое занятие 1. Вычисление пределов, неопределенности.Practical lesson 1. Calculation of limits.
Rules of differentiationЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТаблица производныхТест 1.1.5 Производная функцииВидеолекция 1. Геометрический и физический смысл производнойLecture 1. Geometric and physical meaning of the derivativeВидеолекция 2. Дифференциал функцииLecture 2. Differential of a functionПрактическое занятие 1. Геометрический смысл производнойPractical lesson 1. The geometric meaning of the derivativeПрактическое занятие 2. Производные и дифференциалы высших порядковPractical lesson 2. Higher-order derivatives and differentialsЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.1.6. Геометрический и физический смысл производнойQuiz 1.1.6. Geometric and physical sense of the derivativeВидеолекция 1. Основные теоремы дифференциального исчисления.Lecture 1. Basic theorems of differential calculusВидеолекция 2. Исследование функций на монотонность и выпуклостьLecture 2. The study of the monotonicity of the functionПрактическое занятие 1. Исследование свойств функций с помощью производнойPractical lesson 1.
Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.2.4. Определенный интегралВидеолекция LectureЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.5 Приложения определенного интегралаВидеолекция. Несобственный интегралыLecture. Improper integralЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.2.6. Несобственные интегралыВидеолекция 1. Функции нескольких переменныхLecture 1. Functions of Multiple VariablesВидеолекция 2. Частные производныеLecture 2. Partial derivativesПрактическое занятие. Функция двух переменныхPractical lesson. Function of several variablesЗадачи для самостоятельной работыРешения задачТест 1.3.1. Функции нескольких переменных (основные понятия)Quiz 1.3.1Видеолекция Дифференцируемость функции двух переменныхLecture. Differentiable functions of two variablesПрактическое занятие 1. Производные и дифференциалы высших порядковПрактическое занятие 2. Понятие дифференциала первого и второго порядкаPractical lesson 2. The concept of the first- and second-order differentialЗадачи для самостоятельной работыРешения задач Тест 1.
3.4. Экстремум функции двух переменныхQuiz 1.3.4Видеолекция 1. Двойной интеграл Lecture 1. Double integral Видеолекция 2. Вычисление двойного интегралаLecture 2. Calculation of the double integralПрактическое занятие 1. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 1. Calculating a certain integralПрактическое занятие 2. Вычисление двойного интегралаPractical lesson 2. Calculating a certain integralЗадачи для самостоятельного решения (Часть 1)Решения задач (Часть 1)Задачи для самостоятельного решения (Часть 2)Решения задач (Часть 2)Тест 1.3.5. Двойной интегралQuiz 1.3.5Видеолекция. Криволинейные интегралыLecture. Curvilinear integralsПрактическое занятие. Вычисление криволинейные интегралов I и II родаPractical lesson. Calculating curvilinear integrals 1 and 2 kind Задачи для самостоятельного решенияРешения задачТест 1.3.6. Криволинейные интегралыАттестация по модулю 1Итоговое тестирование по курсу (2-1)Видеолекция 1. Система линейных уравнений: основные понятияПрактическое занятие 1. Системы линейных уравненийPractical lesson (part 1).
Арифметическое векторное пространствоPractical lesson 1. Arithmetic vector spaceПрактическое занятие 2. Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространстваPractical lesson 2. Linear dependence of vectors and the concept of the basis of the vector systemТеоретический материал (лекция 1)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.1.2. Арифметическое n-мерное векторное пространствоСправочник (часть 1)Справочник (часть 2)Видеолекция 1. Исследование систем линейных уравненийLecture 1. Study systems of linear equationsВидеолекция 2. Однородная система линейных уравненийLecture 2. Homogeneous system of equationsПрактическое занятие 1. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравненийPractical lesson 1. Fundamental system of solutionsПрактическое занятие 2Practical lesson 2Теоретический материал (лекция 1)Теоретический материал (лекция 2)Задачи для самостоятельной работыРешения задачТест 2.
Скалярное произведение векторовLecture 1. Scalar product of vectorsТеоретический материал (Часть 1)Видеолекция 2. Векторное и смешанное произведения векторовLecture 2. Vector and mixed products of vectorsПрактическое занятие 1. Скалярное произведение векторовPractical lesson 1. Scalar product of vectorsПрактическое занятие 2. Применение произведений векторов при решении задачPractical lesson 2. vector and mixed product of vectors to solve themТеоретический материал (Часть 2)Задачи для самостоятельной работы 1Решения задач 1Тест 2.2.2.(часть 1). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовЗадачи для самостоятельной работы 2Решения задач 2Тест 2.2.2. (часть2). Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторовСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Видеолекция. Уравнения прямой на плоскости и в пространствеLecture. Equation of a straight line on a plane and in spaceТеоретический материалПрактическое занятие 1.
Уравнения прямой на плоскостиPractical lesson 1. Related to the equation of a straight line on a planeЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Практическое занятие 2. Взаимное расположение прямыхPractical lesson 2. The relative position of straight lines.Задачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.3. Уравнения прямойСправочникВидеолекция. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскостиТеоретический материалПрактическое занятие. Уравнение плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости Practical lesson. Equation of a plane Задачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Задачи для самостоятельной работы 2Практическое занятие 2. Взаимное расположение плоскостейPractical lesson 2. Relative position of planesРешение задач 2Тест 2.2.4. Уравнения плоскостиСправочникВидеолекция 1. ЭллипсLecture 1. EllipseТеоретический материал Часть 1Практическое занятие 1. ЭллипсPractical lesson 1. EllipseЗадачи для самостоятельной работы 1Решение задач 1Видеолекция 2.
Гипербола и параболаLecture 2. Hyperbola and parabolaТеоретический материал (Часть 2)Практическое занятие 2. Гипербола и параболаЗадачи для самостоятельной работы 2Решение задач 2Тест 2.2.5. Кривые второго порядкаСправочник (Часть 1)Справочник (Часть 2)Аттестация по модулю 2Анкета обратной связиИтоговое тестирование по курсу (1-2)Итоговое тестирование по курсу (2)Видеолекция 1. Основные понятия теории вероятностей Lecture 1. Basic concepts of probability theoryВидеолекция 2. Вероятность случайного событияLecture 2. Probability of a random eventПрактическое занятие 1. Классическая вероятностьPractical lesson 1. Classical probabilityЗадачи для самостоятельной работы (часть 1)Решения задач (часть 1)Практическое занятие 2. Операции над событиями. Practical lesson (part 2). Algebra of events. Properties of probabilitiesЗадачи для самостоятельно работы (часть 2)Решения задач (часть 2)Теоретический материалТест 3.1.1. Классическая вероятностьВидеолекция 1. Условная вероятностьLecture 1. Conditional probabilityПрактическое занятие 1.
Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула БайесаPractical lesson 1. Conditional probability. The formula of total probability, Bayes ‘ formulaЗадачи для самостоятельной работы. Условная вероятностьРешения задач. Условная вероятностьВидеолекция 2. Повторные независимые опыты и формула БернуллиLecture 2. Repeated Independent Experiments and the Bernoulli FormulПрактическое занятие 2. Схема БернуллиPractical lesson 2. Bernoulli’s formulaЗадачи для самостоятельной работы. Схема БернуллиРешения задач. Схема БернуллиТеоретический материалТест 3.1.2. Условная вероятностьВидеолекция 1. Дискретные лучайные величиныLecture 1. Discrete random variablesВидеолекция 2. Числовые характеристики дискретных случайных величинПрактическое занятие. Дискретные случайные величиныPractical lesson. Discrete random variablesЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа. Законы распределения дискретных случайных величинLaboratory work 1. Distribution Laws of Discrete Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.
2.1. Дискретные случайные величиныВидеолекция 1. Непрерывные случайные величиныВидеолекция 2. Частные случаи распределений случайных величинLecture 2. Special cases of distributions of random variablesПрактическое занятие. Непрерывные случайные величиныPractical lesson. Continuous random variableЗадачи для самостоятельного решенияРешения задачЛабораторная работа (видео). Законы распределения непрерывных случайных величинLaboratory work (video). Distribution Laws of Continuous Random VariablesЛабораторная работаРешения задач (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.2.2. Непрерывные случайные величиныТеоретический материалТест 3.3.1. Законы больших чиселВидеолекция 1. Система случайных величин (часть 1)Видеолекция 2. Система случайных величин (часть 2)Lecture 2. Systems of random variables (part 2)Практическое занятие. Система случайных величинЗадачи для самостоятельной работыРешения задачЛабораторная работаРешение задачи (лабораторная работа)Теоретический материалТест 3.4.1. Совместный закон распределенияВидеолекция 1.
Характеристическая функция случайной величиныLecture 1. Characteristic function of a random variableВидеолекция 2. Свойства характеристической функции случайной величиныLecture 2. Properties of characteristic functions random variable Практическое занятие 1. Вычисление характеристической функции случайной величиныPractical lesson 1. Calculation of Characteristic Functions Практическое занятие 2. Проверка устойчивости для стандартных распределенийPractical lesson 2. Testing the robustness for standard distributions.Задачи для самостоятельного решения (часть 1)Задачи для самостоятельного решения (часть 2)Решения задач (часть 1)Решения задач (часть 2)Тест 3.4.2. (данное тестирование по теме 1)Видеолекция. Основные понятия математической статистикиLecture. The basic concepts of mathematical statisticsЛабораторная работа (видео). Основные понятия математической статистикиLaboratory work (video). Basic concepts of mathematical statisticsТеоретический материалЛабораторная работа. Основные понятия математической статистикиРешения задач (лабораторная работа)Тест 3.
5.1. Основные понятия математической статистикиQuiz 3.5.1.Видеолекция. Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Lecture. Statistical estimates of general population parametersЛабораторная работа 1 (видео). Статистические оценки параметров генеральной совокупностиLaboratory work 1 (video). Statistical estimators of the parameters of the populationЛабораторная работа 1. Статистические оценки параметров генеральной совокупностиРешения задач 1Лабораторная работа 2 (видео). Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиLaboratory work 2(video). Minimum or optimal sample sizeЛабораторная работа 2. Минимальный или оптимальный объем выборочной совокупностиРешения задач 2Теоретический материалТест 3.5.2. Статистические оценкиQuiz 3.5.2Видеолекция. Зависимость между величинами. Виды зависимостейLecture. Dependence between quantities. Types of dependenciesТеоретический материал 1Лабораторная работа 1 (видео, часть 1). Парный корреляционный анализLaboratory work 1 (video, part 1).
Pair correlation analysisЛабораторная работа 1. Парный корреляционный анализЛабораторная работа 1 (видео, часть 2). Множественный корреляционный анализРешение задач 1Лабораторная работа 2 (видео, часть 2). Парный регрессионный анализLaboratory work 2 (video, part 2). Paired Regression AnalysisЛабораторная работа 2. Парный регрессионный анализРешения задач 2Теоретический материал 2Тест 3.5.3. Зависимость между величинамиQuiz 3.5.3Лекция. Статистические гипотезы Теоретический материалЛабораторная работа (видео). Статистический критерий хи-квадратLaboratory work. The Chi-Square StatisticЛабораторная работа 1. Критерий хи-квадратРешения задач (Критерий хи-квадрат)Лабораторная работа 2. Критерий ПирсонаЛабораторная работа (расчетная таблица)Решения задач (Критерий Пирсона)Тест 3.6.1. Проверка статистических гипотез: основные понятияQuiz 3.6.1Видеолекция. Проверка статистических гипотезLecture. Testing statistical hypothesesЛабораторная работа 1 (видео). Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 1.
Comparison of Sampled Population Means with Known Population VariancesЛабораторная работа 1. Сравнение средних выборочных совокупностей при известных дисперсиях генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 1)Лабораторная работа 2 (часть 1). Сравнение средних независимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 1). Comparison of means of independent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2 (часть 2). Сравнение средних зависимых выборочных совокупностей при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностейLaboratory work 2 (part 2). Comparison of mean dependent sample populations with unknown variances of general populationsЛабораторная работа 2. Проверка статистических гипотез о сравнении средних выборочных совокупностей, если не известны дисперсии генеральных совокупностейРешения задач (лабораторная работа 2)Теоретический материалТест 3.6.2. Проверка гипотезQuiz 3.6.2Аттестация по модулю 3Итоговое тестирование по курсу 1-2-3Итоговое тестирование по курсу для математических специальностейИтоговое тестирование по курсу (3)линейная алгебра — Как найти определитель этой матрицы $5 \times 5$?
$\begingroup$
Как найти определитель этой матрицы?
Я знаю в матрице $3 \times 3$
$$A= 1(5\cdot 9-8\cdot 6)-2 (4\cdot 9-7\cdot 6)+3(4\cdot 8-7\cdot 5) $$
а как работать с матрицей $5\x 5$?
- линейная алгебра
- матрицы
- определитель
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Когда матрица начинает увеличиваться, может быть проще использовать сокращение строк или столбцов для нахождения определителя, особенно если не так много разреженных строк или столбцов, которые можно было бы использовать в повторяющихся разложениях Лапласа. Этот метод использует тот факт, что замена двух строк/столбцов меняет знак определителя, умножение строки/столбца на скаляр умножает определитель на ту же величину, а добавление скаляра, кратного одной строке/столбцу, к другой оставляет определитель без изменений.
Для вашей матрицы мы можем начать с прибавления $3$ от первой строки к четвертой: $$\begin{vmatrix}
1 и 2 и 3 и 4 и 1 \\
0 и -1 и 2 и 4 и 2 \\
0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\
0 и 0 и 0 и 0 и 7 \\
0 и 0 и 1 и 1 и 1 \notag
\end{vmatrix}$$
Очистить первую и вторую строки: $$\begin{vmatrix}
1 и 0 и 0 и 0 и 0 \\
0 и -1 и 0 и 0 и 0 \\
0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\
0 и 0 и 0 и 0 и 7 \\
0 и 0 и 1 и 1 и 1 \notag
\end{vmatrix}$$
Очистить третий и последний столбцы: $$\begin{vmatrix}
1 и 0 и 0 и 0 и 0 \\
0 и -1 и 0 и 0 и 0 \\
0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\
0 и 0 и 0 и 0 и 7 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \notag
\end{vmatrix}$$
Поменяйте местами четвертую и пятую строки: $$-1\cdot\begin{vmatrix}
1 и 0 и 0 и 0 и 0 \\
0 и -1 и 0 и 0 и 0 \\
0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\
0 и 0 и 0 и 1 и 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 7 \notag
\end{vmatrix}$$
В этот момент мы можем остановиться и перемножить диагональные элементы вместе, чтобы найти определитель, который равен 28.
Обновление: Должен отметить, что я проделал гораздо больше работы, чем необходимо выше. Вам не нужно выполнять полное сокращение строк — достаточно привести матрицу к верхнетреугольному виду, поскольку определитель такой матрицы также является произведением ее элементов главной диагонали. После первого шага, описанного выше, мы можем перейти непосредственно к добавлению $-\frac14$, умноженных на третью строку, к последней: $$\begin{vmatrix} 1 и 2 и 3 и 4 и 1 \\ 0 и -1 и 2 и 4 и 2 \\ 0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 0 и 7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \notag \end{vmatrix}$$ и затем поменять местами последние две строки$$-1\cdot\begin{vmatrix} 1 и 2 и 3 и 4 и 1 \\ 0 и -1 и 2 и 4 и 2 \\ 0 и 0 и 4 и 0 и 0 \\ 0 и 0 и 0 и 1 и 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 \notag \end{vmatrix}.$$ Это, очевидно, имеет тот же определитель, что и результат приведенной выше полной редукции строк.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Разложение определителя по Лапласу можно выполнить, используя любую строку или столбец квадратной матрицы. {4+4}b_{44}\left|\begin{array}{ccc}1&2&4\\0&-1&4\\-3&-6&-12\end{массив}\right|\right ) = 4\left(-\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\0&-1&2\\-3&-6&4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 1&2&4\\0&-1&4\\-3&-6&-12\конец{массив}\право|\право)$$
Первый столбец подходит для обоих этих расширений определителя 3×3. Я опущу символику кофактора, так как вы уже знаете, как разложить детерминанты 3×3:
$$4\left(-\left(\left|\begin{array}{cc}-1&2\\-6&4\end{массив}\right| — 3\left|\begin{array}{cc}2&1\\ -1&2\конец{массив}\право|\право) + \влево(\влево|\начало{массив}{cc} -1&4\\-6&-12\конец{массив}\вправо| — 3\влево|\ begin{массив}{cc}2&4\\-1&4\end{массив}\right|\right)\right)$$
И, наконец, разложим определители 2×2:
$4(-((-4-(-12)) — 3(4 — (-1))) + ((12-(-24)) — 3(8-(-4)))) = 28$ $
$\endgroup$
$\begingroup$
1) Сначала выберите самую простую строку/столбец для расширения, чтобы сэкономить работу. Третья строка в вашем случае имеет только одну ненулевую запись.
2) Развернуть по этому ряду. Вы получаете
\begin{equation} 4 \begin{vmatrix} 1 и 2 и 4 и 1 \\ 0 и -1 и 4 и 2 \\ -3&-6&-12&4\ 0 и 0 и 1 и 1 \нетаг \end{vmatrix}, \end{уравнение} так как все остальные члены равны нулю. Эта матрица получается удалением третьей строки и третьего столбца.
3) Повторение процесса снова с этим новым определителем 4×4 даст вам ответ в терминах определителей 3×3, и, судя по всему, вы знаете, как с ними обращаться…
$\endgroup$
$\begingroup$
Умножив 1-ю строку на $3$ и прибавив к 4-й строке, а затем умножив 3-ю строку полученной матрицы на $-\frac 1 4$ и прибавив к 5-й строке, получим
$$ \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0\\ -3 & -6 & -9& -12 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$
Мы получили блочную верхнюю треугольную матрицу. Следовательно,
$$\det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 1\\ 0 & -1 & 2 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix} = \det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -1 & 2\\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \cdot \det \begin{bmatrix} 0 & 7\\ 1 & 1\end{bmatrix} = (-4) \cdot (-7) = 28$$
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.Ускорение вычисления символьного определителя в SymPy
То, что вы описываете как отношение многочленов, известно как рациональная функция: https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_function
В модуле polys SymPy есть способы представления рациональных функций, хотя они могут быть медленными, особенно с большим количеством переменных.
В sympy 1.7 есть новая реализация матрицы, которая все еще является несколько экспериментальной, но основана на модуле polys и может обрабатывать рациональные функции. Мы можем проверить это здесь, быстро создав случайную матрицу:
В [35]: случайный импорт
В [36]: из sympy import random_poly, symbols, Matrix
В [37]: randpoly = lambda : random_poly(random.choice(symbols('x:z')), 2, 0, 2)
В [38]: randfunc = lambda : randpoly() / randpoly()
В [39]: M = Matrix([randfunc() для _ в диапазоне(16)]).reshape(4, 4)
В [40]: М.
Вышли[40]:
⎡ 2 2 2 2 ⎤
⎢ 2⋅z + 1 2⋅z + z 2⋅z + z + 2 x + 2 ⎥
⎢ ──────── ──────────── ──────────── ────┥ ────
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎢ у + 2⋅у у + 2⋅у + 1 х + 1 2⋅г + 2⋅г ⎥
⎢ ⎥
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎢ у + у + 1 2⋅х + 2⋅х + 1 z z + 2⋅z + 1⎥
⎢ ────────── ────────────── ────── ─────────┎
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎢ 2⋅у + 2 у + 2⋅у у + 1 х + х + 2 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎢ 2⋅z + 2 2⋅z + 2⋅z + 2 y + 1 2⋅y + y + 2⎥
⎢acмобильный
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎢2⋅z + z + 1 2⋅x + 2⋅x + 2 2⋅y + 2⋅y x + 2 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎢ 2⋅у + 2⋅у 2⋅у + у 2⋅х + х + 1 2⋅х + х + 1⎥
⎢ ────────── ──────── ──────────── ─────────────────
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎣ г + 2 х + 2 2⋅у х + 2 ⎦
Если мы преобразуем это в новую реализацию матрицы, то мы можем вычислить определитель, используя метод Charpoly:
В [41]: from sympy.polys.domainmatrix import DomainMatrix В [42]: dM = DomainMatrix.from_list_sympy(*M.shape, M.tolist()) В [43]: dM.domain Выход[43]: ZZ(x,y,z) В [44]: dM.domain.field Out[44]: Поле рациональных функций по x, y, z над ZZ с лексическим порядком В [45]: %time det = dM.charpoly()[-1] * (-1)**M.shape[0] Время процессора: пользователь 22 с, система: 231 мс, всего: 22,3 с Время стены: 23 с
Это медленнее, чем подход, предложенный @asmeurer выше, но он выдает результат в канонической форме как отношение развернутых полиномов. В частности, это означает, что вы можете сразу сказать, равен ли определитель нулю (для всех x, y, z) или нет. Время также занимает эквивалент , отмена , но реализация более эффективна, чем Matrix.det.
Сколько времени это займет, во многом зависит от того, насколько сложен окончательный вывод, и вы можете получить некоторое представление об этом из длины его строкового представления (я не буду показывать все!):
В [46]: len(str(det)) Вышел[46]: 54458 В [47]: ул(дет)[:80] Out[47]: '(16*x**16*y**7*z**4 + 48*x**16*y**7*z**2 + 32*x**16*y* *7 + 80*x**16*y**6*z**4 + '
В какой-то момент появится возможность интегрировать это в основной класс Matrix или иным образом сделать класс DomainMatrix более общедоступным.