Определитель матрицы это: Определитель матрицы | это… Что такое Определитель матрицы?

Определитель матрицы.

Определение Это число, которое ставится в соответствие каждой квадратной матрице по некоторому правилу.

Определителем N-ного порядка(если матрица такого же порядка) является

Прямоугольные матрицы не имеют определителя.

Определение Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента .

Обозначается определитель одним из символов .

Определение Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное .

Обозначается определитель одним из символов

.

Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.

Правило Сарруса для квадратных матриц 3 порядка.

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка,

называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение.

{1,2,3…n}

Произвольная запись слева на право в определённом порядке данных n символов называется перестановкой

Р-число перестановок из n символов

Пара i, j образует инверсию, если большее стоит впереди меньшего(i>j)

Теорема: Все перестановки из n символов можно расположить

с лева на право последовательно так, что чётности соседних будут различны.

Доказывается с помощью леммы.

Лемма: Всякая перемена местами двух символов перестановки меняет её четность на противоположную.

Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.

Чётные перестановки = нечётные перестановки =

Подстановка из n символов.

Всякая подстановка записывается как двустрочная матрица, каждая строка является перестановкой из n символов.

Сумма чисел инверсий в обеих перестановках называется числом инверсий подстановки.

Если сумма чисел инверсий в двух строках чётно, то число инверсий подстановки чётно, а если нет, то нечётно.

Л юбую подстановку можно записать в стандартном виде.

34, 1  2, 2  1, 4  3

Детерминант порядка n – определитель.

Пусть дана матрица порядка n

(*)

Определение:

Определителем порядка n называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое слагаемое которой представляет из себя произведение n элементов определителя матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца определителя. При этом слагаемое берется со знаком “+”, если перестановка, составленная из номеров строк и номеров столбцов, входящих в это произведение – чётное и со знаком “-”, если она не четная.

(*) =

Разложение определителя 3-го порядка по строке и столбцу

Свойства определителя:

1. Определитель не меняется при транспонирование.

Следствие: всякое свойство, справедливое для строк, справедливо и для столбцов.

2. Если в определители есть строка, состоящая из 0, то определитель равен 0.

3. При перемене местами двух строк, определитель меняет знак.

4. Если в определители есть одинаковые строки, то он равен 0.

5. Общий множитель элементов любой строки можно выносить за знак определителя.

6. Если в определителе имеются пропорциональные строки, то определитель равен 0.

7. Если какая-то строка определителя представленна в виде суммы двух слагаемых(матричных строк) то определитель равен сумме двух определителей у которых все строки, кроме данной такие же как и в исходном определителе.

   А данная строка в первом слагаемом заменяется на первое слагаемое матричной строки, а во втором на вторую.

8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен 0.

9. Определитель не изменится, если к одной из его строк прибавить другую, его же, строку, предварительно умножив на любое число.

Миноры и алгебраические дополнения.

Определитель порядка k называется минором

1 k min

m=n A-квадратная матрица

Вычёркиваем выбранные k строк и k столбцов, остается (m-k) строк и столбцовю

M’- минор, оставшийся после отбрасывания выбрранных строк и столбцов.

M’ – дополнительный минор для M минора.

M’ – алгебраическое дополнение.

Теорема.

Произведение любого минора |M| k-го порядка на его

алгебраическое дополнение в определителе является алгебраической суммой, слагаемые которой, получающиеся от умножения членов минора |М| на взятые со знаком (-1) Sm члены дополнительного минора |М’|, будут некоторыми членами определителя , причем их знаки в этой сумме совпадают с теми знаками, с какими они входят в состав определителя.

Доказательство. Доказательство этой теоремы начнем со случая, когда

минор |M| расположен в левом верхнем углу определителя:

т. е. в строках с номерами 1,2, …,k и в столбцах с такими же номерами.

Тогда минор |M‘| будет занимать правый нижний угол определителя. Число SM

в этом случае будет четным:

SM =1+2+…+k+1+2+…+k=2(1+2+…k),

поэтому алгебраическим дополнением для |M| служит сам минор |M‘|.

Берем произвольный член

(1)

минора |M|; его знак в |M| будет , если l есть число инверсий в

подстановке

(2)

Произвольный член

(3)

минора |M‘| имеет в этом миноре знак , где l‘ есть число инверсий в подстановке

Перемножая члены (1) и (3), мы получим произведение n элементов

(4)

расположенных в разных строках и разных столбцах определителя; оно будет, следовательно, членом определителя . Знак члена (4) в

произведении |M||M‘| будет произведением знаков членов (1) и (3), т.е. . Такой же знак имеет, однако, член (4) и в определителе .

Действительно, нижняя строка подстановки

,

составленной из индексов этого члена, содержит лишь l+ l‘ инверсий, так как никакое  ни с одним не может составить инверсию: все не больше k, все не меньше k+1.

37. Определитель матрицы

Далее будем рассматривать только квадратные матрицы. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие действительное число, называемое Определителем матрицы и вычисляемое по определенному правилу.

Определитель матрицы естественно возникает при решении систем линейных уравнений, или в свернутой форме , или в свернутой форме . Предыдущая формула получается разложением определителя по первой строке.

Возьмем теперь квадратную матрицу -го порядка

(9. 2)

Для записи определителя -го порядка матрицы будем применять обозначения . При матрица состоит из одного элемента и ее определитель равен этому элементу. При получаем определитель .

Минором элемента матрицы называют определитель матрицы -го порядка, получаемого из матрицы вычеркиванием -той строки и -го столбца.

Пример 7. Найти минор матрицы:

.

По определению, минор элемента есть определитель матрицы, получаемой из матрицы вычеркиванием первой строки и второго столбца. Следовательно, .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется минор , взятый со знаком . Алгебраическое дополнение элемента обозначается , следовательно, .

Пример 8. Найти алгебраическое дополнение элемента матрицы из примера 7.

.

Определителем квадратной матрицы -го порядка называется число:

,

(9.3)

Где ‑ элементы первой строки матрицы (9. 2), а их алгебраические дополнения.

Запись по формуле (9.3) называется Разложением определителя по первой строке.

Рассмотрим свойства определителей.

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Это свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому определение определителя можно сформулировать так:

Определителем квадратной матрицы -го порядка называется число:

,

(9.4)

Где ‑ элементы первого столбца матрицы (9.2), а их алгебраические дополнения.

Свойство 2. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы , то ее определитель изменит знак на противоположный.

Свойства 1 и 2 позволяют обобщить формулы (9.3) и (9.4) следующим образом:

Определитель квадратной матрицы -го порядка (будем в дальнейшем говорить определитель -го порядка) равен сумме попарных произведений любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

, или .

Свойство 3. Определитель, у которого две строки или два столбца одинаковы, равен нулю.

Действительно, поменяем в определителе две одинаковые сроки местами. Тогда, по свойству 2 получим определитель , но с другой стороны, определитель не изменится, т. е. . Отсюда .

Свойство 4. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя умножить на число , то определитель умножится на .

.

Умножим элементы -той строки на . Тогда получим определитель:

.

Следствие 1. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Определитель, у которого две строки (два столбца) пропорциональны, равен нулю.

Пусть -я строка пропорциональна -ой строке. Вынося коэффициент пропорциональности за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками, который по свойству 3 равен нулю.

Свойство 6. Если каждый элемент строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: у одного из них -той строкой (столбцом)служат первые слагаемые, а у другого – вторые.

Разложив определитель по -той строке получим:

.

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Прибавив к элементам -той строки определителя соответствующие элементы -ой строки, умноженные на число , получим определитель . Определитель равен сумме двух определителей: первый есть , а второй равен нулю, так как у него -тая и -тая строки пропорциональны.

Свойство 8. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, т. е.:

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Рассмотрим вспомогательный определитель , который получается из данного определителя заменой -той строки -той строкой. Определитель равен нулю, так как у него две одинаковые строки. Разложив его по -той строке получим:

.

Большое значение имеет следующий критерий равенства определителя нулю. Определитель квадратной матрицы равен нулю тогда и только тогда когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если одна (один) из них является линейной комбинацией с действительными коэффициентами остальных.

Теорема об определителе произведения двух квадратных матриц. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих квадратных матриц, т. е. .

< Предыдущая		Следующая >

Что такое определитель матрицы? | Марсель Моосбруггер

Геометрическая интуиция, стоящая за детерминантами, может изменить ваше представление о них.

Marcel Moosbrugger

·

Follow

Опубликовано в

·

5 мин чтения

·

24 апр. 2021

Изображение автора (marcelmoos.com)

Вспоминая школьные годы, линейная алгебра была темой, которой я был особенно увлечен. Это дало мне умение решать большие системы линейных уравнений и геометрическую перспективу проблемы, что сделало весь процесс интуитивно понятным.

Однако, что касается определителей матриц, меня учили, что это числа для матриц, как их вычислять, и не более того. Только на курсах в университете я узнал красоту детерминантов.

Как только я узнал о геометрическом значении определителей, мне стало интересно, почему этому еще не учили в старшей школе, ведь это очень просто для понимания и поучительно.

В математике вопрос о том, как что-то вычислить, никогда не должен стоять на первом месте. Первый вопрос всегда: «Что это ТАКОЕ на самом деле?». Только тогда мы должны спросить: «Хорошо, теперь, когда мы знаем, что это такое, как мы можем это вычислить». Возьмем, к примеру, производные, поскольку большинство из нас знает, что такое производные:

Для заданной функции ее производной является ее наклон или скорость изменения.

Это такое простое описание. Тем не менее, определение производных таким образом очень мощно и освобождающе. Мы понимаем, что такое производная, независимо от конкретной функции или размерности функции и независимо от того, как ее вычислить. Фактическое вычисление производных сильно различается между разными функциями. Однако фундаментальный смысл производных связывает все воедино и вносит порядок в хаос.

Ни один учитель не стал бы знакомить учащихся с производными, например: «Для заданной функции производная — это просто еще одна функция, и вот как вы ее вычисляете…». Тем не менее, для определителей матриц такие объяснения, по-видимому, широко распространены. Определять детерминанты по их геометрическому смыслу, а не просто по некоторым числам, так же эффективно, как думать о производных как о наклонах, а не только как о функциях.

Прежде чем углубиться в детерминанты, давайте быстро вспомним, для чего они предназначены: Матрицы.

Матрица — это таблица чисел, представляющая линейную функцию , принимающую вектор в качестве входных данных и производящую другой вектор в качестве выходных:

Вместо матрицы, преобразующей один единственный вектор, мы также можем представить все) векторов одновременно:

Видишь? Похоже, что выбранная нами матрица растягивает пространство на расстояние . Какую бы область во входном пространстве мы ни выбрали, кажется, что после преобразования площадь становится больше. Это именно то, что является определителем!

Определитель матрицы — это коэффициент, на который площади масштабируются этой матрицей.

Поскольку матрицы представляют собой линейных преобразований, достаточно знать коэффициент масштабирования для одной отдельной области, чтобы знать коэффициент масштабирования для всех областей. Вернемся к нашему примеру:

Прямоугольник, вписанный розовым и синим единичными векторами и имеющий площадь 1. После применения нашего матричного преобразования этот прямоугольник превратился в параллелограмм с основанием 9.0065 2 и высота 2. Таким образом, имеет площадь 4. Это означает, что наша матрица масштабирует площади с коэффициентом 4 . Следовательно, определитель нашей матрицы равен 4 . Аккуратно, не так ли?

В этой истории есть одна оговорка: определители могут быть отрицательными! Если мы начнем с площади 1 и масштабируем ее с отрицательным коэффициентом, мы получим отрицательную площадь. А отрицательные области — ерунда. Итак, как мы можем понять наше красивое геометрическое определение при наличии отрицательных определителей? К счастью, исправление простое: если матрица имеет отрицательный определитель, скажем -2, площади масштабируются на 2. Минус просто означает, что пространство изменило свою ориентацию. «Что это теперь вообще значит?», спросите вы с полным правом. Давайте посмотрим:

Мы видим, что данная матрица масштабирует площади в 2 раз. Если мы посмотрим внимательно, то заметим, что синий вектор был справа от розового вектора, но оказался слева. Вот что значит «пространство изменило свою ориентацию». Поэтому определитель матрицы не равен 2 но -2 . Включая отрицательные определители, мы получаем полную картину:

Определитель матрицы — это знаковый коэффициент, на который площади масштабируются этой матрицей. Если знак отрицательный, матрица меняет ориентацию.

Все наши примеры были двумерными. Трудно рисовать многомерные графики. Геометрическое определение определителей применимо к высшим измерениям точно так же, как и к двум. В трехмерном пространстве определителем является масштабный коэффициент со знаком для объемов и даже в более высоких измерениях для гиперобъемов.

Имея это новое геометрическое определение определителей , мы можем легко решать задачи , с которыми без него было бы гораздо труднее справиться . Например, вы могли слышать или не слышать следующий факт:

Если определитель матрицы равен 0, она необратима.

Необратимость матрицы означает, что преобразование, которое представляет матрица, не может быть отменено или отменено. Если бы мы знали только, как вычисляются определители, и ничего не знали об их геометрическом значении, обосновать этот факт было бы сложно. В отличие от этого, используя нашу недавно установленную интуицию относительно определителей, объяснить, почему это верно, становится не так сложно:

Допустим, у нас есть матрица с определителем 0 . Это означает, что матрица масштабирует все области с коэффициентом 0 , что, в свою очередь, означает, что после преобразования все области становятся равными 0 . Это может произойти только в том случае, если матрица сжимает все пространство в более низкое измерение. Например, двумерное пространство будет сжато в одну линию или точку, и такое преобразование нельзя будет отменить.

Достигнув этого момента, мы можем собой гордиться. Мы ввели определители матриц как коэффициенты масштабирования площади и сумели обосновать известное свойство матриц и определителей. И все это мы сделали, даже не задумываясь о том, как вычисляются определители. Но этот вопрос в любом случае должен быть второстепенным.

Эта история показалась вам интересной? Вы можете поддержать меня, став участником Medium здесь: medium.com/@mmsbrggr/membership. Вы получите доступ ко всему Medium, и часть вашего членского взноса пойдет на прямую поддержку моего письма.

Не стесняйтесь обращаться ко мне с личными вопросами и комментариями в LinkedIn. Если вам понравился пост, дайте мне знать о моем информационном бюллетене: marcelmoos.com/newsletter.

Детерминанты: определение

Цели

1. Изучите определение определителя.
2. Научитесь находить на глаз матрицу с нулевым определителем и вычислять определители матриц верхнего и нижнего треугольников.
3. Изучите основные свойства определителя и способы их применения.
4. Рецепт: вычислить определитель, используя операции со строками и столбцами.
5. Теоремы: теорема существования, свойство обратимости, свойство мультипликативности, свойство транспонирования.
6. Словарные слова: диагональные , верхнетреугольные , нижнетреугольные , транспонированные .
7. Основное словарное слово: определитель .

В этом разделе мы определяем определитель и представляем один из способов его вычисления. Затем мы обсудим некоторые из многих замечательных свойств, которыми обладает определитель.

Определитель квадратной матрицы A является вещественным числом det(A). Он определяется своим поведением по отношению к операциям со строками; это означает, что мы можем использовать сокращение строк для его вычисления. Мы дадим рекурсивную формулу для определителя в разделе 4. 2. В этом подразделе мы также покажем, что определитель связан с обратимостью, а в разделе 4.3 — с объемами.

Определение

Определитель является функцией

det:CsquarematrixD−→R

, удовлетворяющий следующим свойствам:

1. Выполнение замены строки в A не меняет det(A).
2. Масштабирование строки A скаляром c умножает определитель на c.
3. При перестановке двух строк матрицы определитель умножается на −1.
4. Определитель единичной матрицы In равен 1.

Другими словами, каждой квадратной матрице A мы присваиваем число det(A) способом, который удовлетворяет указанным выше свойствам.

В каждом из первых трех случаев выполнение надстрочной операции над матрицей масштабирует определитель на ненулевое число . (Умножение строки на ноль не является операцией со строками.) Следовательно, выполнение операций со строками над квадратной матрицей A не меняет того, равен ли определитель нулю.

Основная мотивация использования этих конкретных определяющих свойств носит геометрический характер: см. раздел 4.3. Еще одна причина для этого определения заключается в том, что оно говорит нам, как вычислить определитель: мы уменьшаем количество строк и отслеживаем изменения.

Пример

Вычислим detA2114B. Сначала уменьшаем строку, затем вычисляем определитель в обратном порядке:

M2114Ndet=7R1 ←→R2——-→M1421Ndet=-7R2=R2-2R1——-→M140-7Ndet=-7R2=R2÷-7——-→ M1401Ndet=1R1=R1-4R2——-→M1001Ndet=1

Сокращенная эшелонная форма строки матрицы представляет собой единичную матрицу I2, поэтому ее определитель равен 1. Предпоследним шагом в сокращении строки была замена строки, поэтому вторая конечная матрица также имеет определитель 1. Предыдущий шаг в сокращение строки было масштабированием строки на -1/7; поскольку (определитель второй матрицы, умноженный на -1/7) равен 1, определитель второй матрицы должен быть равен -7. Первым шагом в сокращении строк была замена строк, поэтому определитель первой матрицы отрицателен, как определитель второй. Таким образом, определитель исходной матрицы равен 7,9.0005

Обратите внимание, что наш ответ согласуется с этим определением определителя.

Пример

Пример

Вот общий метод вычисления определителей с использованием редукции строк.

Рецепт: вычисление определителей путем редукции строк

Пусть A — квадратная матрица. Предположим, что вы выполняете некоторое количество операций со строками над A, чтобы получить матрицу B в форме эшелона строк. Затем

det(A)=(−1)r·(произведение диагональных элементов B)(произведение использованных коэффициентов масштабирования),

, где r — количество выполненных перестановок строк.

Другими словами, определитель A является произведением диагональных вхождений формы эшелона строк B, умноженных на коэффициент ±1, полученный из числа сделанных вами перестановок строк, деленное на произведение коэффициентов масштабирования, используемых в сокращение ряда.

Пример

Пример

Пример (Определитель матрицы 2 × 2)

Воспользуемся рецептом для вычисления определителя общей матрицы 2×2 A=AabcdB.

• Если а=0, то

  detMabcdN=detM0bcdN=-detMcd0bN=-bc.

• Если аВ=0, то

  detMabcdN=a·detM1b/acdN=a·detM1b/a0d-c·b/aN=a·1·(d-bc/a)=ad-bc.

В любом случае мы восстанавливаем формулу из раздела 3.5:

detMabcdN=ad-bc.

Если матрица уже имеет форму эшелона строк, то вы можете просто прочитать определитель как произведение диагональных элементов. Оказывается, это верно для немного большего класса матриц, называемого треугольный .

Определение

• диагональных элементов матрицы A — это элементы a11,a22,…:a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34GKIHLJa11a12a13a21a22a23a31a32a33a41a42a43GK KKIHLLLJдиагональные входы
• Квадратная матрица называется верхнетреугольной , если все ее ненулевые элементы лежат выше диагонали, и называется нижнетреугольной , если все ее ненулевые элементы лежат ниже диагонали. Называется диагональ , если все его ненулевые элементы лежат на диагонали, т. е. если он одновременно является верхнетреугольным и нижнетреугольным. AAAA0AAA00AA000AGKKKIHLLLJверхний треугольныйA000AA00AAA0AAAAGKKKIHLLLJнижний треугольныйA0000A0000A0000AGKKKIHLLLJдиагональный

Предложение

Пусть A — матрица размера n × n.

1. Если A имеет нулевую строку или столбец, то det(A)=0.
2. Если A является верхнетреугольным или нижнетреугольным, то det(A) является произведением его диагональных элементов.

Доказательство

1. Предположим, что A имеет нулевую строку. Пусть B — матрица, полученная инвертированием нулевой строки. Тогда det(A)=-det(B) по второму определяющему свойству. Но A=B, поэтому det(A)=det(B):

   E123000789FR2=-R2—-→E123000789F.

   Если сложить их вместе, получится det(A)=−det(A), поэтому det(A)=0.

   Теперь предположим, что A имеет нулевой столбец. Тогда A необратима по теореме об обратимой матрице из раздела 3.6, так что ее редуцированная ступенчатая форма строк имеет нулевую строку. Поскольку операции со строками не меняются, если определитель равен нулю, мы заключаем, что det(A)=0.

2. Сначала предположим, что A является верхнетреугольным и что один из диагональных элементов равен нулю, скажем, aii=0. Мы можем выполнять операции со строками, чтобы очистить записи над ненулевыми диагональными записями:

   GKIa11AAA0a22AA000A000a44HLJ−−−→GKIa110A00a22A00000000a44HLJ

   В результирующей матрице i-я строка равна нулю, поэтому det(A)=0 по первой части.

   По-прежнему предполагая, что A является верхнетреугольным, теперь предположим, что все диагональные элементы A отличны от нуля. Затем A можно преобразовать в единичную матрицу, масштабируя диагональные элементы и затем выполняя замену строк:

   EaAA0bA00cFscalebya-1,b-1,c-1——-→E1AA01A001Frowreplacements——-→E100010001Fdet=abc ←———det=1 ←——- −det=1

   Поскольку det(In)=1, и мы масштабировали по обратным величинам диагональных элементов, отсюда следует, что det(A) является произведением диагональных элементов.

   Тот же аргумент работает для нижних треугольных матриц, за исключением того, что замены строк идут вниз, а не вверх.

Пример

Матрица всегда может быть преобразована в ступенчатую форму с помощью ряда операций над строками, а матрица в ступенчатой ​​форме строк является верхнетреугольной. Таким образом, мы полностью оправдали рецепт вычисления определителя.

Определитель характеризуется своими определяющими свойствами, поскольку мы можем вычислить определитель любой матрицы, используя сокращение строк, как в приведенном выше рецепте. Однако мы еще не доказали существование функции, удовлетворяющей определяющим свойствам! Сокращение строк будет вычислять определитель , если он существует , но мы не можем использовать сокращение строк, чтобы доказать существование, потому что мы еще не знаем, что вы вычисляете одно и то же число путем сокращения строк двумя разными способами.

Теорема (Существование определителя)

Существует одна и только одна функция из набора квадратных матриц для действительных чисел, которая удовлетворяет четырем определяющим свойствам.

Мы докажем теорему существования в разделе 4.2, представив рекурсивную формулу для определителя. Опять же, реальное содержание теоремы существования таково:

Независимо от того, какие операции со строками вы выполняете, вы всегда будете вычислять одно и то же значение для определителя.

В этом подразделе мы обсудим ряд удивительных свойств, которыми обладает определитель: свойство обратимости, свойство мультипликативности и свойство транспонирования.

Свойство обратимости

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда det(A)B=0.

В силу свойства обратимости матрица, которая не удовлетворяет ни одному из свойств теоремы об обратимой матрице из раздела 3.6, имеет нулевой определитель.

Следствие

Пусть A — квадратная матрица. Если строки или столбцы A линейно зависимы, то det(A)=0.

В частности, если две строки/столбца A кратны друг другу, то det(A)=0. Мы также восстанавливаем тот факт, что матрица со строкой или столбцом нулей имеет нулевой определитель.

Пример

Доказательства свойства мультипликативности и свойства транспонирования ниже, а также теоремы о разложении кофакторов в разделе 4.2 и теоремы об определителях и объемах в разделе 4.3 используют следующую стратегию: определить другую функцию d: {n×nmatrices}→R , и докажите, что d удовлетворяет тем же четырем определяющим свойствам, что и определитель. По теореме существования функция d равна определителю . В этом преимущество определения функции через ее свойства: чтобы доказать, что она равна другой функции, нужно только проверить определяющие свойства.

Свойство мультипликативности

Если A и B матрицы размера n×n, то

det(AB)=det(A)det(B).

Напомним, что взять степень квадратной матрицы A означает взять произведение A на себя:

А2=ААА3=АААи т.д.

Если A обратим, то мы определяем

А-2=А-1А-1А-3=А-1А-1А-1 и т. д.

Для полноты мы устанавливаем A0=In, если AB=0.

Следствие

Если A — квадратная матрица, то

дет(Ан)=дет(А)n

для всех n≥1. Если A обратим, то уравнение верно и для всех n≤0; в частности,

det(A−1)=1det(A).

Пример

Вот еще одно применение свойства мультипликативности.

Следствие

Пусть A1,A2,…,Ak — матрицы размера n × n. Тогда произведение A1A2···Ak обратимо тогда и только тогда, когда обратимо каждое Ai.

Доказательство

Определитель произведения есть произведение определителей по свойству мультипликативности:

det(A1A2···Ak)=det(A1)det(A2)···det(Ak).

По свойству обратимости это не равно нулю тогда и только тогда, когда A1A2···Ak обратим. С другой стороны, det(A1)det(A2)···det(Ak) отличен от нуля тогда и только тогда, когда каждый det(Ai)B=0, что означает, что каждый Ai обратим.

Пример

Для определения свойства транспонирования нам необходимо определить транспонирование матрицы.

Определение

Транспонирование матрицы A размера m×n представляет собой матрицу размера n×m AT, строки которой являются столбцами матрицы A. Другими словами, элемент ij матрицы AT равен aji.

a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34GKKIHLLJAa11a21a31a12a22a32a13a23a33a14a24a34GKKKKKIHLLLLLJATBip

Как и инверсия, транспозиция меняет порядок умножения матриц на обратный.

Факт

Пусть A — матрица размера m×n, а B — матрица размера n×p. Затем

(АВ)Т=БТАТ.

Транспонировать свойство

Для любой квадратной матрицы A мы имеем

дет(А)=дет(А).

Свойство транспонирования очень полезно. Отметим для конкретности, что det(A)=det(AT) означает, например, что

detE123456789F=detE147258369F.

Это означает, что у определителя есть любопытная особенность, заключающаяся в том, что он также хорошо ведет себя по отношению к операциям со столбцом . В самом деле, операция со столбцом над A аналогична операции над строкой над AT, и det(A)=det(AT).

Следствие

Определитель удовлетворяет следующим свойствам в отношении операций со столбцами:

1. Выполнение замены столбца в A не меняет det(A).
2. Масштабирование столбца A скаляром c умножает определитель на c.
3. При перестановке двух столбцов матрицы определитель умножается на −1.

Предыдущее следствие упрощает вычисление определителя: при упрощении матрицы можно выполнять строк и операций со столбцами. (Конечно, нужно еще следить за тем, как операции со строками и столбцами изменяют определитель.)

Пример

Мультилинейность

Резюме: Магические свойства определителя

1. Существует одна и только одна функция det:{n×nmatrices}→R, удовлетворяющая четырем определяющим свойствам.
2. Определитель верхнетреугольной или нижнетреугольной матрицы является произведением диагональных элементов.
3. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда det(A)B=0; в этом случае, det(A−1)=1det(A).
4. Если A и B матрицы размера n×n, то

   det(AB)=det(A)det(B).

5. Для любой квадратной матрицы A имеем

   дет(АТ)=дет(А).

   No related posts.