Отношение (математика) | это… Что такое Отношение (математика)?
У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение.
Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). В математике примерами отношений являются равенство (=), коллинеарность, делимость и т. д.
Отношение может также означать результат операции деления, например:
- двойное отношение,
- отношение направленных отрезков.
Содержание
|
Формальное определение
n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах , называется подмножество прямого произведения этих множеств.
Иногда понятие отношения определяется только для частного случая для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как:
- .
Арность
- Одноместные отношения соответствуют свойствам или атрибутам.
- Двуместные отношения называют бинарными и обычно записывают инфиксной записью: x R y. Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.
- Трёхместные отношения называют тернарными.
Примеры
- Отношение равенства на множестве вещественных чисел — бинарное отношение, обозначаемое символом «=». Ему принадлежат все пары вида , и только они.
- Отношение эквивалентности на произвольном множестве M — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом «~». Состоит из пар вида , где x и y принадлежат одному классу эквивалентности, и только из них.
- Отношение делимости на множестве натуральных чисел — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом « | ».
Состоит из пар вида , где x делит y нацело.
Состоит из пар вида , где x делит y нацело.Отношения и предикаты
Отношение также может быть задано предикатом на n-й декартовой степени множества M: n-ка принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат на ней возвращает значение 1 (или «истинно»). Таким образом, можно дать альтернативное определение отношения: если задано отображение , то отношением называется прообраз единицы в . Такое определение бывает полезно в информатике и математической логике.
Предикаты, которые формируются из отношений, заданных в соответствии с основным определением (когда множества в прямом произведении различны), используются в многосортном исчислении предикатов.[1]
Операции с отношениями
Система отношений, сформированная на одном и том же прямом произведении множеств, изоморфна алгебре множеств и допускает применение теоретико-множественных операций и проверок включения одного отношения в другое. Элементами множеств в этом случае являются кортежи элементов (n-ки).
Для отношений, у которых это ограничение не выполняется, теоретико-множественные операции не применимы, но возможны такие операции как соединение и композиция, которые используются в алгебре Кодда, алгебре кортежей и реляционной алгебре.
См. также
- Отношение порядка
Примечания
- ↑ Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. — М.: Изд-во МГУ, 1982.
Отношения / Отношения и пропорции / Справочник по математике 5-9 класс
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Отношения и пропорции
- Отношения
Нам известно, что для ответа на вопрос во сколько раз одно число больше другого (или меньше), или какую часть одно из них составляет от другого надо найти частное данных чисел.
Частное двух чисел и , отличных от нуля, называют отношением чисел и , или отношением числа к числу . |
Где и — члены отношения; число — предыдущий член отношения; — последующий член отношения.
Например:
14 : 7 — отношение числа 14 к числу 7;
6 : 25 — отношение числа 6 к числу 25;
— отношение числа к числу ;
1,15 : 0,36 — отношение числа 1,15 к числу 0,36.
Отношение двух чисел показывает, во сколько раз одно число больше другого, или какую часть одно число составляет от другого. То есть отношение чисел и показывает, во сколько раз число больше числа или какую часть число составляет от числа .
Мы помним, что деление можно заменить чертой дроби, значит, отношение чисел и можно записать двумя способами: : и .
Основное свойство отношения:
| Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. |
Запишем отношение числа 3 к числу 10 и найдем его значение:
То есть отношение двух чисел можно выразить в процентах.
Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах. Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента. |
Пример:
Сколько процентов составляет число 5 от числа 10?
51021·100%=12·100%=1002%=50%.
Ответ: 50% составляет число 5 от числа 10.
Если значение двух величин выражены одной и той же единицей измерения, то их отношение называют также отношением этих величин. При этом если значения величин выражены разными единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо сначала перейти к одной единице измерения.
Например:
Дан прямоугольник, длина которого равна 12 см, а ширина 1 м.
Найдем отношение длин сторон прямоугольника.
1 м = 100 см;
Отношение длины прямоугольника к его ширине равно 12 : 100 = .
Отношение ширины прямоугольника к его длине равно 100 : 12 = .
Дроби и взаимно обратны, поэтому и отношения 12 к 100 и 100 к 12 называют взаимно обратными.
На практике отношение величин используется, например, при составлении планов и географических карт. В этом случае участки земли на бумаге изображают в уменьшенном виде, при этом на карте или плане указывают отношение, которое показывает, во сколько раз длина отрезка на рисунке меньше длины длины соответствующего отрезка на местности.
| Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты (плана). |
Например:
Пусть на карте задан масштаб , то есть карта сделана в масштабе одна десятитысячная.
Найдем, какой длине на местности соответствует отрезок 5 см на карте.
Для решения обозначим через длину отрезка на местности (в сантиметрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 5 : , данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:
5 : = 1 : 10 000;
Решаем данное уравнение:
= 510 000;
= 50 000;
50 000 см = 500 м = 0,5 км.
Ответ: отрезок 5 см на карте соответствует 0,5 км на местности.
Найдем, какой длине на карте соответствует отрезок 9,5 км на карте.
Для решения обозначим через длину отрезка на карте (в километрах). Тогда отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: : 9,5, данное отношение равно масштабу карты, поэтому получаем уравнение:
: 9,5 = 1 : 10 000;
Решаем данное уравнение:
= 9,5 : 10 000;
= 0,00095;
0,00095 км = 0,95 м = 95 см.
Ответ: отрезок 9,5 км на карте соответствует 95 см на карте.
Советуем посмотреть:
Пропорции
Прямая и обратная пропорциональные зависимости
Длина окружности и площадь круга
Отношения и пропорции
Правило встречается в следующих упражнениях:
6 класс
Номер 583, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 584, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 585, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 590, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 624, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 636, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 684, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 805, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 866, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1311, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 146, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 149, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 150, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 198, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 230, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 405, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 406, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 426, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 846, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 847, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 303, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Отношения в математике — определение, типы, графики, примеры
Отношения в математике помогают установить связь между любыми двумя объектами или вещами.
Отношение описывает отношения между двумя объектами, которые обычно представляются в виде упорядоченной пары (вход, выход) или (x, y). Здесь x и y — элементы множеств.
Отношения имеют несколько применений, особенно в области информатики, для создания систем управления реляционными базами данных (RDBMS). В этой статье будут подробно описаны отношения, их типы, как связать элементы из двух наборов с помощью отношений и связанных примеров.
| 1. | Что такое отношения в математике? |
| 2. | Представление отношений |
| 3. | Типы отношений |
| 4. | Графические отношения |
| 5. | Часто задаваемые вопросы по отношениям в математике |
Что такое отношения в математике?
Отношения в математике используются для описания связи между элементами двух множеств.
Они помогают отображать элементы одного набора (известного как домен) на элементы другого набора (называемого диапазоном), так что результирующие упорядоченные пары имеют форму (вход, выход). Кроме того, специальные типы отношений, которые можно использовать для установления соответствия между двумя величинами, известны как функции. Можно также сказать, что функция является подмножеством отношения.
Определение отношений в математике
Отношения в математике — это подмножество декартова произведения двух множеств. Предположим, что есть два множества, заданные X и Y. Пусть x ∈ X (x — элемент множества X) и y ∈ Y. Тогда декартово произведение X и Y, представленное как X × Y, задается набором все возможные упорядоченные пары (x, y). Другими словами, отношение говорит о том, что каждый вход будет производить один или несколько выходов.
Отношения в математике Пример
Предположим, что есть два набора X = {4, 36, 49, 50} и Y = {1, -2, -6, -7, 7, 6, 2}. Отношение, которое утверждает, что «(x, y) находится в отношении R, если x является квадратом y», может быть представлено с использованием упорядоченных пар как R = {(4, -2), (4, 2), (36, -6), (36, 6), (49, -7), (49, 7)}.
Представление отношений
Отношения могут быть представлены с использованием различных методов. Существует пять основных представлений отношений. Они представлены следующим образом:
Форма конструктора наборов: Это математическая запись, в которой четко указано правило, связывающее два набора X и Y. Если есть два набора X = {5, 6, 7} и Y = {25, 36, 49}. Правило состоит в том, что элементы X являются положительным квадратным корнем элементов Y. В форме построителя множеств это отношение может быть записано как R {(a, b): a — положительный квадратный корень из b, a ∈ X , b ∈ Y}.
Форма списка: В форме списка записываются все возможные упорядоченные пары двух наборов, которые следуют заданному отношению. Используя тот же пример, что упоминался выше, отношение элементы множества X являются положительными квадратными корнями элементов множества B представлено как R = {(5, 25), (6, 36), (7, 49)}.
Диаграмма-стрелка: Такая диаграмма используется для визуального представления отношения между элементами двух заданных наборов.
Стрелочная диаграмма вышеупомянутого примера представлена как
Табличная форма: Когда ввод и вывод отношения выражаются в форме таблицы, это известно как табличное представление отношения. При этом таблица рисуется с двумя столбцами. Первый обозначает вход, а второй выражает выход. Используя соотношение, согласно которому элементы X = {5, 6, 7} являются положительными квадратными корнями элементов Y = {25, 36, 49} таблица имеет следующий вид:
| X | Д |
|---|---|
| 5 | 25 |
| 6 | 36 |
| 7 | 49 |
Пятое представление, использующее графический метод, будет рассмотрено в следующих разделах.
Типы отношений
Два набора могут иметь разные типы соединений, поэтому для классификации этих соединений необходимы разные виды отношений.
Основные типы отношений перечислены ниже:
Пустое отношение
Пустое отношение — это отношение, в котором любой элемент набора не отображается ни на элемент другого набора, ни на себя. Это соотношение обозначается как R = ∅. Например, P = {3, 7, 9} и соотношение на P, R = {(x, y), где x + y = 76}. Это будет пустое отношение, так как никакие два элемента P не суммируются до 76.
Универсальное отношение
Если все элементы, принадлежащие одному набору, отображаются на все элементы другого набора или на себя самого, то такое отношение известно. как универсальное отношение. Это записывается как R = X × Y, где каждый элемент X связан с каждым элементом Y. Пример, P = {3, 7, 9}, Q = {12, 18, 20} и R = {(x, y), где x < y}.
Отношение идентичности
Если все элементы в наборе связаны сами с собой, тогда оно становится отношением идентичности. Это записывается как I = {(x, x) : для всех x ∈ X}. Например, P = {3, 7, 9}, тогда I = {(3, 3), (7, 7), (9, 9)}
Обратное отношение
Если элементы одного множества являются обратными парами другой набор, то такое отношение известно как обратное отношение.
Другими словами, обратное отношение является обратным отношением. Обратное отношение R обозначается как R -1 . т. е. R -1 = {(y, x) : (x, y) ∈ R}
Рефлексивное отношение
Если в наборе все элементы отображаются сами на себя, то это отношение является рефлексивным. Таким образом, если x ∈ X, то рефлексивное отношение определяется как (x, x) ∈ R. Например, P = {7, 1}, тогда R = {(7, 7), (1, 1)} является рефлексивным связь.
Симметричное отношение
Отношение называется симметричным отношением, если одно множество X содержит упорядоченные пары (x, y), а также противоположные этим парам (y, x). Другими словами, если (x, y) ∈ R, то (y, x) ∈ R для того, чтобы отношение было симметричным. Предположим, что P = {3, 4}, тогда симметричным отношением может быть R = {(3, 4), (4, 3)}.
Транзитивное отношение
Предположим, что (x, y) ∈ R и (y, z) ∈ R, тогда R является транзитивным отношением тогда и только тогда, когда (x, z) ∈ R.
Например, P = {p, q, r}, то транзитивное отношение может быть R = {(p, q), (q, r), (p, r)}
Отношение эквивалентности
Отношение эквивалентности — это тип отношения, который является симметричным, транзитивным и рефлексивный.
Отношение «один к одному»
В отношении «один к одному» каждый элемент одного набора будет сопоставлен с отдельным элементом другого набора. Например, предположим, что есть два множества P = {1, 2, 3} и Q = {a, b, c}. Тогда отношение один к одному может быть R = {(1, a), (2, b), (3, c)}
Отношение «один ко многим»
В отношении «один ко многим» один элемент одного набора будет сопоставлен более чем с одним элементом другого набора. Например, для двух множеств P = {1, 2, 3} и Q = {a, b, c} отношение «один ко многим» записывается как R = {(2, a), (2, b), ( 2, c)}
Отношение «многие к одному»
Если более одного элемента одного множества отображаются в один отдельный элемент другого множества, то такое отношение называется отношением «многие к одному».
Например, P = {1, 2, 3} и Q = {a, b, c}, тогда R = {(1, a), (2, a), (3, a)} является многими к одному связь.
Отношение «многие ко многим»
В отношении «многие ко многим» один или несколько элементов одного набора будут сопоставлены с тем же или другим элементом другого набора. Если P = {1, 2, 3} и Q = {a, b, c}, то R = {(2, a), (3, a), (2, c)} является примером множества для многие отношения.
Графические отношения
Отношения также могут быть представлены графически с использованием декартовой системы координат. Элемент отношения может быть либо выражен в виде упорядоченной пары (x, y), либо может быть задан в виде уравнения (или неравенства). Упорядоченная пара представляет положение точек на координатной плоскости. Предположим, что отношение задано как y = x — 2 на множестве всех действительных чисел, тогда шаги для построения графика следующие:0005
- Замените x числовыми значениями; x = -1, 0, 2 (несколько случайных чисел) 90 180
- Найдите соответствующие значения y, используя данное соотношение; у = -3, -2, 0,
- Запишите эти контрольные точки как упорядоченные пары; {(-1, -3), (0, -2), (2, 0)}.
- Нанесите эти точки на декартову плоскость. Если отношение уже задано в виде упорядоченных пар, то нанесите их на плоскость.
- Соедините эти точки, чтобы получить график заданного отношения. Для данного примера график будет прямой линией.
Важные замечания по отношениям в математике:
- Отношение используется для установления связи между элементами одного или разных наборов.
- Упорядоченная пара вида (вход, выход) используется для обозначения элемента отношения.
- Декартово произведение двух множеств можно описать с помощью соотношений.
- Отношения могут быть представлены с использованием формы построения набора, формы реестра, стрелочной диаграммы, графической формы и табличной формы.
- Существует множество различных типов отношений, таких как пустое отношение, универсальное отношение, отношение многие к одному и т. д.
☛ Связанные статьи:
- Взаимосвязи и функции
- Координатная геометрия
- оси x и y
Часто задаваемые вопросы об отношениях в математике
Что такое определение отношений в математике?
Отношение в математике дает отношение между двумя множествами (скажем, A и B).
Каждый элемент отношения представлен в виде упорядоченной пары (x, y), где x принадлежит A, а y принадлежит B. Другими словами, отношение — это подмножество декартова произведения A и B.
Что такое функции и отношения в математике?
Отношение помогает установить связь между элементами двух множеств так, что вход и выход образуют упорядоченную пару (вход, выход). Функция — это подмножество отношения, которое определяет результат при заданном входе. Все функции являются отношениями, но не все отношения являются функциями. Например, R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} является отношением, но не функцией, поскольку 1 отображается дважды (и 2, и 3).
Какие существуют типы отношений в математике?
В математике существует девять различных типов отношений. Они даны следующим образом:
- Пустое отношение
- Универсальная связь
- Отношение личности
- Обратная зависимость
- Рефлексивное отношение
- Отношение симметрии
- Переходное отношение
- Отношение эквивалентности
Существует четыре других типа отношений, основанных на отображении.
- Отношения один к одному
- Отношение один ко многим
- Отношение «многие к одному»
- Отношение многие ко многим
Что такое уравнение отношения?
Когда отношение выражается в виде уравнения, оно называется уравнением отношения. y = x 2 является примером уравнения отношения. График этой зависимости будет параболой.
Как представляются отношения в математике?
Существует 5 широко используемых способов представления отношения. Это форма построения набора, форма списка, табличная форма, стрелочная диаграмма и с использованием графика.
Как записать отношение на графике?
Если существует упорядоченная пара (x, y) такая, что x связано с y, то такое отношение можно изобразить на графике. Чтобы представить отношение на графике, просто отметьте на нем упорядоченные точки. Координата x представляет собой расстояние точки от оси y, а координата y обозначает расстояние от оси x.
Что такое симметричные отношения в математике?
Симметричное отношение в математике может быть определено как отношение, которое содержит упорядоченную пару (x, y), а также обратную эту пару (y, x).
Таким образом, для симметричного отношения, если (x, y) ∈ R, то (y, x) ∈ R.
Все ли функции относятся к математике?
Все функции являются отношениями. Функция — это отношение, в котором каждый вход будет иметь только один выход. Таким образом, отношение «один к одному» и отношение «многие к одному» образуют функцию.
1.2 Определение того, представляет ли отношение функцию – математика 3080 Подготовка
Отношение представляет собой набор упорядоченных пар. Набор первых компонентов каждой упорядоченной пары называется доменом , а набор вторых компонентов каждой упорядоченной пары называется диапазон . Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре — это первые пять натуральных чисел. Второе число в каждой паре вдвое больше первого.
1, 2,2, 4,3, 6,4, 8,5, 10
Домен: [latex]\left\{1,\text{}2,\text{}3,\text{}4,\text{}5\right\}[/latex]. Диапазон: [латекс]\влево\{2,\текст{}4,\текст{}6,\текст{}8,\текст{}10\вправо\}[/латекс].
Обратите внимание, что каждое значение в домене также известно как входное значение или независимая переменная и часто обозначается строчной буквой [латекс]\текст{}х\текст{}[/латекс]. Каждое значение в диапазоне также известно как выходное значение или зависимая переменная и часто обозначается строчной буквой [латекс]\текст{}у\текст{}[/латекс].
Функция [latex]\text{}f\text{}[/latex] — это отношение, которое присваивает одно значение в диапазоне каждому значению в домене . Другими словами, значения x не повторяются. В нашем примере, который связывает первые пять натуральных чисел с числами, удвоенными их значениями, это отношение является функцией, поскольку каждый элемент в домене [латекс]\левый\{1,\текст{}2,\текст{}3,\ text{}4,\text{}5\right\}[/latex], сочетается ровно с одним элементом в диапазоне, [latex]\left\{2,\text{}4,\text{}6, \text{}8,\text{}10\right\}[/latex].
Теперь рассмотрим множество упорядоченных пар, связывающих термины «четный» и «нечетный» с первыми пятью натуральными числами. Это будет выглядеть как
нечетный, 1, четный, 2, нечетный, 3, четный, 4, нечетный, 5
Обратите внимание, что каждый элемент в домене [латекс]\левый\{\текст{четный}\текст{}\текст{нечетный}\правый\}[/латекс] равен , а не в паре ровно с одним элементом в домене. диапазон, [латекс]\влево\{1,\текст{}2,\текст{}3,\текст{}4,\текст{}5\вправо\}[/латекс]. Например, термин «нечетный» соответствует трем значениям из домена [латекс]\левый\{1,\текст{}3,\текст{}5\правый\}[/латекс] и термин «четный» соответствует двум значениям из диапазона [латекс]\влево\{2,\текст{}4\вправо\}[/латекс]. Это нарушает определение функции, поэтому это отношение не является функцией.
На рис. 1-2 сравниваются отношения, которые являются функциями и не функциями.
Рисунок 1-2: (a) Это отношение является функцией, поскольку каждый вход связан с одним выходом.
Обратите внимание, что input [latex]\text{}q\text{}[/latex] и [latex]\text{}r\text{}[/latex] дают вывод [latex]\text{}n\text{ }[/латекс]. б) Это отношение также является функцией. В этом случае каждый вход связан с одним выходом. (c) Это отношение не является функцией, поскольку input [latex]\text{}\text{}q\text{}[/latex] связан с двумя разными выходами.Функция представляет собой отношение, в котором каждое возможное входное значение приводит ровно к одному выходному значению. Мы говорим, что «выход есть функция входа».
Входные значения составляют домен , а выходные значения составляют диапазон .
Учитывая связь между двумя величинами, определить, является ли эта связь функцией.
- Определите входные значения.
- Определите выходные значения.
- Если каждое входное значение приводит только к одному выходному значению, классифицируйте отношение как функцию. Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, не классифицируйте отношение как функцию.
Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, не классифицируйте отношение как функцию.Меню кофейни, показанное на рис. 1-3, состоит из пунктов и их цен.
- Зависит ли цена от товара?
- Является ли предмет функцией цены?
Решение
В конкретном математическом классе общая оценка в процентах соответствует среднему баллу. Является ли средний балл успеваемости функцией процентной оценки? Является ли процентная оценка функцией среднего балла? В Таблице 1-1 показано возможное правило выставления оценок.
| Процентное содержание | 0–56 | 57–61 | 62–66 | 67–71 | 72–77 | 78–86 | 87–91 | 92–100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Средний балл | 0,0 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 | 4,0 |
Раствор
В таблице 1-2 перечислены пять величайших бейсболистов всех времен в порядке их ранга.