Парабола, её каноническое уравнение, вершина, форма и характеристики параболы
О чем статья
Парабола
Парабола – это множество точек плоскости, которые равноотделённые от заданной точки, что называется фокусом и заданной прямой под названием директриса.
Чтобы получить каноническое уравнение параболы, расположим директрису перпендикулярно оси , а фокус на оси так, чтобы начало координат помещался на одинаковом расстоянии от них (см. рис. 1). Обозначим через расстояние от фокуса к директрисе, тогда у фокуса будут координаты , .
Для произвольной точки параболы расстояний , а расстояние к директрисе . По определению из рис. 1 видим, что , а и поэтому:
Рис. 1
(1)
– каноническое уравнение параболы.
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов).
Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.
Заказать работу
Что такое вершина параболы
Вершина параболы – это парабола, которая проходит через точки . Если точка принадлежит параболе, то и тоже принадлежит параболе, так как из:
.
Значит, парабола симметрична относительно оси , её график достаточно построить в первой четверти, где из канонического уравнения параболы получается, что:
Чтобы найти вершину параболы, необходимо знать формулу: .
Давайте посмотрим, как данная формула действует, допустим дано уравнение:
Тогда:
, , . Чтобы найти величины , и , в квадратном уравнении коэффициент при , при , постоянная (коэффициент без переменной) = . Если взять тот же пример, , получается, что:
, , .
Форма и характеристики параболы
Исследуем за каноническим уравнением форму и расположение параболы:
1. В уравнении переменная входит в парной степени откуда получается, что парабола симметрична относительно оси .
Ось – это ось, которая симметрична параболе.
2. Так как , тогда , откуда получается, что парабола расположена справа от оси .
3. При мы имеем , то есть парабола проходит через начало координат. Точка – это вершина параболы.
4. При увеличении значений переменной модуль тоже возрастает. Изобразим параболу на рисунке:
Рис. 2
5. В полярной системе координат, у канонического уравнения параболы такой вид:
6. Уравнение , , , тоже описывают параболы:
Рис. 3
Оптическое свойство параболы
У параболы “оптическое” свойство, если: в фокусе параболы поместить источник света, тогда отбитые от параболы лучи будут параллельными оси . Это свойство учитывают при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.
При положительном уравнении:
описывают параболу симметричную относительно с вершиной в точке , ветви которой направлены влево (рис. 3 (а)).
Аналогично изложенному, уравнение и описывают параболы с вершиной в точке симметрично относительно , ветви которой направлены соответственно вверх и вниз (см.
рис. 3 (б) и (в)). Если например, уравнение решить относительно
и обозначить , тогда получим известное со школьного курса уравнение параболы . Теперь её фокусное расстояние .
Примеры решения
Пример 1
Задача
Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы .
Решение
Сравнивая каноническое уравнение и данное , получим , , тогда. Так как уравнение директрисы , тогда в данном случае .
Ответ
координаты фокуса: , а уравнение директрисы параболы: .
Пример 2
Задача
Составить каноническое уравнение параболы:
а) с фокусом в точке ;
б) с фокусом в точке .
Решение
а). Так как фокус на положительной полуоси , тогда парабола симметрична относительно с вершиной в точке и , поэтому и согласно формуле (1) .
б). Фокус лежит на отрицательной полуоси с вершиной в точке , ветви направлены вниз, каноническое уравнение следует искать в виде .
Ответ
а) каноническое уравнение параболы с фокусом в точке : ;
б) каноническое уравнение с фокусом в точке : .
Пример 3
Задача
Показать путём выделения полного квадрата, что уравнение – это уравнение параболы. Привести его к каноническому виду. Найти вершину, фокус, ось и директрису этой параболы.
Решение
Выделим относительно переменной полный квадрат
= = = = = = .
Обозначим , . Тогда в результате параллельного переноса координатных осей в новое начало, то есть в точку , получим каноническое уравнение параболы .
Ветви этой параболы направлены вниз симметрично относительно оси , , – фокусное расстояние. В новой системе координат фокус находится в точке , уравнение директрисы в новой системе .
Повернёмся к старым координатам при помощи замены , . Уравнение оси в новой системе , а в старой – уравнение оси параболы.
Уравнение директрисы в новой системе координат , а в старой .
В новой системе для фокуса , , а в старой системе , , то есть .
Ответ
Каноническое уравнение параболы – ;
вершина – ветви параболы направлены вниз;
, , – фокусное расстояние, а фокус находится в точке ;
уравнение оси ;
уравнение директрисы .
3-8[Решено] Найдите ближайшую точку на параболе y2 = 2x )
Вариант 3 : (2, 2)
Бесплатно
Электрические заряды и закон Кулона (основной)
75,7 тыс.
2}} \)
Проверка второй производной: быть функцией, определенной на интервале I.
- Вычислить f’(x)
- Решите f’(x) = 0 и найдите корни f’(x) = 0. Предположим, что x = c является корнем f’(x) = 0.
- Вычислить f’’(x) и положить x = c, чтобы получить значение f’’(c).
- Если f’’(c) < 0, то x = c — точка локальных максимумов.
- Если f’’(c) > 0, то x = c является точкой локальных минимумов.
- Если f’’(c) = 0, нам нужно использовать первый критерий производной. 92}}}\)
⇒ f»(y) = 3y 2
Теперь оцените значение f»(y) при y = 2
⇒ f»(2) = 12 > 0
Поскольку мы знаем, что согласно критерию второй производной, если f»(c) > 0, то x = c является точкой минимума
Итак, y = 2 является точкой максимума для f(y)
Когда y = 2, то подставив y = 2 в уравнение x = y2/2, получим x = 2
Итак, точка (2, 2) и есть искомая точка .
Скачать решение PDFПоделиться в WhatsApp
Последние обновления NDA
Последнее обновление: 29 сентября 2022 г.
