Параллелограмм как чертить: Как начертить параллелограмм 🚩 Математика

Содержание

Мультимедийная разработка учебного занятия. Параллелограмм

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Мультимедийная разработка учебного занятия

Тема урока: «Параллелограмм»
Предмет: геометрия
Класс: 8-В

2. Содержание представляемого материала

1. Цель и задачи учебного занятия.
2. Характеристика учебного занятия.
3. Технологическая карта урока.
4. Фрагменты урока.

3.

Место урока в изучаемой темеРаздел «Четырехугольники» (14 уроков).
1 — 2 уроки «Многоугольники».
Цель: формирование понятия «многоугольник»,
нахождение суммы углов выпуклого многоугольника.
3 урок «Параллелограмм, свойства параллелограмма»
Цель: создать условия для формирования понятия
«параллелограмм» и способа нахождения его свойств.
4 урок «Признаки параллелограмма».
Цель: организация познавательной деятельности
учащихся по определению признаков параллелограмма и
способов их доказательства.
5 урок «Решение задач по теме «Параллелограмм».
Цель: осознание и осмысление блока новой учебной
информации средствами практической
и исследовательской работ.

4. Цель урока

Создание условий для формирования
понятия «параллелограмм» и способа
нахождения его свойств.

5. Задачи урока

Содержательная: с помощью практических заданий
обеспечить понимание учащимися отличия параллелограмма
от других видов четырехугольников, способа определения и
доказательства свойств параллелограмма.

Деятельностная:
формировать у учащихся умения выделять
параллелограмм из всех видов четырехугольников,
опираясь на его определение;
формировать у учащихся навыки доказательства свойств
параллелограмма с опорой на ранее введенные понятия и
доказанные утверждения: признаки равенства
треугольников, признаки и свойства параллельных
прямых.
Развивающая: совершенствовать навыки учебного труда,
самостоятельного поиска знаний; социального
взаимодействия в процессе выполнения групповых заданий;
контроля и оценки своей деятельности.

6. Планируемые результаты

Знать: определение параллелограмма и
его основные свойства.
Уметь: распознавать на чертежах среди
четырехугольников параллелограмм;
чертить параллелограмм; решать
простейшие задачи на использование
основных свойств параллелограмма;
оценивать свою работу.
Тип учебного занятия:
урок изучения нового материала и первичного
закрепления знаний.
Используемая технология:
системно – деятельностный подход.

Методы обучения:
Метод устного контроля (фронтальный опрос,
индивидуальный опрос).
Объяснительно – иллюстрационный (беседа,
демонстрация слайдов презентаций).
Проблемно – поисковый (эвристическая беседа,
практическая работа).

8. Формы организации познавательной деятельности

Фронтальная:
перед учащимися ставится проблема: какими
свойствами будут обладать все параллелограммы
(на этапе актуализации знаний и этапе усвоения
новых знаний).
Индивидуальная работа:
самостоятельная учебная деятельность учащихся по
выделению элементов новых знаний;
практическая учебная деятельность учащихся.

9. Содержание учебного материала

Свойства параллелограмма и простейшие задачи на
их применение.
Теоретический материал:
Определение.
Параллелограммом называется четырехугольник,
у которого противоположные стороны попарно
параллельны.
Свойства.
10. В параллелограмме противоположные стороны
и противоположные углы равны.

1.
20. Диагонали параллелограмма точкой пересечения
2.
делятся пополам.

10. Единица содержания образования

Способ ввода определения параллелограмма практическая работа по составлению четырехугольника
из двух равных треугольников; установление их
характеристических особенностей.
Способ ввода свойств параллелограмма — использование
признаков равенства треугольников, признаков и свойств
параллельных прямых.
Выделение при решении простейших задач основных
свойств параллелограмма.

11. Гипотеза:

Если на плоскости изображены различные
параллелограммы, то они обладают
одинаковыми свойствами.

12. Структура учебного занятия

Организационный момент.
Подготовительный этап
Шаг 1- мотивирование: актуализация опорных знаний и фиксирование
затруднения в пробном действии.
Шаг 2 — рефлексия изменившихся условий: понимание места и причины
затруднения, определение границы между знанием и незнанием.
Шаг 3 — постановка учащимися цели урока как собственной учебной
задачи.

Основной этап – открытие новых знаний.
Шаг 4 — разработка проекта выхода из затруднения.
Шаг 5 — реализация готового проекта – открытие новых знаний.
Шаг 6 — первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.
Заключительный этап – применение и рефлексия.
Шаг 7 — включение в систему знаний и повторение.
Шаг 8 — рефлексия учебной деятельности на уроке.
Итоги урока.
Домашнее задание.

13. Оборудование, информационно-коммуникационная образовательная среда, учебно-методические материалы

Рабочее место учителя (мультимедийный
комплекс).
Презентация к уроку.
Линейки, угольники.
Разрезной материал для практической
работы.
Нелинованная бумага.

14. Ключевые понятия, термины

Параллельные прямые
Накрест лежащие углы
Односторонние углы
Равные треугольники
Четырехугольник
Противоположные стороны
четырехугольника
Противоположные углы четырехугольника
Параллелограмм
Диагональ параллелограмма
Свойства параллелограмма

15.

Технологическая карта урокаОрганизационный момент
Цель
Деятельность учителя
Приветствие.
Цель: включить учащихся в Психологическая
деятельность на личностно – подготовка учащихся к
значимом уровне.
уроку.
Сообщение плана урока.
Доведение до сведения
учащихся способов
оценивания их
деятельности на уроке
(оценка устного ответа,
результаты практической
работы, рефлексии).
Деятельность
учащихся
Задания для учащихся,
выполнение которых
приведет к достижению
запланированных
результатов
Планируемые
результаты
Записывают в тетради дату Записать в рабочей тетради Концентрация внимания
проведения урока.
дату проведения урока.
учащихся.

16. Подготовительный этап

Этап урока
Шаг 1.
Мотивирование:
актуализация
опорных знаний и
фиксирование
затруднений в
пробном
действии.
(6 мин.)
Цель: повторить
изученный
материал,
необходимый для
«открытия нового
знания» и выявить
затруднения в
индивидуальной
деятельности
каждого ученика.

Деятельность учителя
Деятельность учащихся
1. Организация фронтальной беседы
по готовым чертежам:
а) свойства параллельных прямых;
б) признаки равенства
треугольников.
2. Организация практической
работы: совместить пару равных
треугольников так, чтобы получился
четырехугольник и ответить на
вопрос: « Какие характеристические
особенности присущи полученным
четырехугольникам?»
3. Конкретизирует и уточняет
сформулированное учащимися
определение параллелограмма и
название его элементов.
4. Организация фронтальной беседы
по готовому чертежу «Среди
четырехугольников указать
параллелограммы».
5. Постановка проблемы: «Ребята,
если параллелограммы выделяются
особым видом из множества
четырехугольников, то у них есть
особые качества, в геометрии мы их
называем свойствами. Попытайтесь
их найти».
Учащиеся после просмотра каждого
рисунка формулируют свойства
параллельных прямых; признаки
равенства треугольников.

При выполнении практического
задания указывают характерную черту
полученных четырехугольников:
параллельность противоположных
сторон.
Ребята пытаются сформулировать
определение параллелограмма.
Изображают параллелограмм в тетради.
Рассматривая составленные из двух
равных треугольников в ходе
практической работы параллелограммы,
чертежи с изображением всех его
элементов, предполагают свойства,
которыми бы они обладали:
• диагональ делит параллелограмм на
равные треугольники;
• противоположные стороны равны;
• противоположные углы равны;
• сумма односторонних углов равна
180 ;
• вторая диагональ делит
параллелограмм на 4 попарно равных
треугольника;
• диагонали в точке пересечения
делятся пополам.
Задания для
учащихся,
выполнение
которых приведет
к достижению
запланированных
результатов
Задание по готовым
чертежам.
Выполнение
практической работы.

Планируемые
результаты
Учащиеся должны
вспомнить свойства
параллельных
прямых, признаки
равенства
треугольников.
Выделить элементы,
по которым среди
четырехугольников
можно определить
параллелограмм.
Среди
четырехугольников
указывать
параллелограмм.
Предположить
свойства
параллелограмма.
Информационные
источники.
Используемые
слайды
1. Учебник Геометрия. 79 классы./Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов,
С.В. Кадомцев — М.;
Просвещение, 201 0г.
2. Слайд «Продолжите
предложение: При
пересечении двух
параллельных прямых
секущей…»
3. Слайд «Продолжите
предложение: Два
треугольника равны,
если…»
4. Разрезной материал:
три пары равных
треугольников.
5. Слайд с результатом
практической работы.
6. Слайд «Среди
четырехугольников
указать
параллелограммы».

17. Подготовительный этап

Этап урока
Деятельность
учителя
Деятельность
учащихся
Шаг 2.

Рефлексия
изменившихся
условий: понимание
места и причины
затруднения,
определение границы
между знаниями и
незнаниями.
(1 мин.)
Вопрос для обсуждения:
Ответ: «Да, наверно».
«А если взять на плоскости
произвольный параллелограмм,
он будет обладать этими
свойствами?»
Цель: понять место и
причину затруднения,
определить границы
между знаниями и
незнаниями.
Вопрос для обсуждения
«А как убедиться в
правильности гипотезы?»
Записать тему урока на доске, Учащиеся выдвигают гипотезу.
после того как была выдвинута
гипотеза.
Шаг 3. Постановка
учащимися цели урока
Просит сформулировать цель
как собственной учебной урока.
задачи
(1 мин)
Цель: сформулировать
цель урока.
Задания для
учащихся,
выполнение
которых приведет
к достижению
запланированных
результатов
Выполненное
практическое задание.
Планируемые
результаты
Учащиеся выдвигают
гипотезу: если на
плоскости изображены
различные
параллелограммы, то
они обладают
одинаковыми
свойствами.

Ответ учащихся на вопрос: «доказать».
Определяют свои цели урока,
отражающие необходимость
доказательства найденных
свойств параллелограмма.
Учащиеся ставят перед
собой цель урока –
научиться определять и
доказывать свойства
параллелограмма.
Информационные
источники.
Используемые
слайды.
Слайд: гипотеза.
Слайд: тема урока.
Слайд: цель урока.

18. Открытие новых знаний

Этап урока
Шаг 4. Разработка
проекта выхода из
затруднений.
(3 мин.)
Цель: обсудить проект
доказательства свойств
параллелограмма.
Шаг 5. Реализация
готового проекта,
открытие новых знаний.
(8 мин.)
Цель: реализовать
полученные знания при
доказательстве свойств.
Шаг 6. Первичное
закрепление с
проговариванием во
внешней речи.
(3 мин.)
Цель: проговорить
формулировки свойств
параллелограмма и их
доказательства.
Деятельность
учителя
Деятельность
учащихся
Задания для учащихся,
выполнение которых
приведет к достижению
запланированных
результатов
Планируемые
результаты
Постановка задачи:
«Предложите план
доказательства свойств
параллелограмма:
1) в параллелограмме
противоположные стороны и
углы равны;
2) в параллелограмме
диагонали точкой пересечения
делятся пополам»
Учащиеся, работая в парах,
продумывают, в какой
последовательности
доказывать свойства
параллелограмма.

«Доказать, что у параллелограмма
противоположные стороны и углы
равны.
Доказать, что диагонали
параллелограмма точкой
пересечения делятся пополам».
Наметить план
доказательства
свойств
параллелограмма.
Корректирует работу
учащихся.
Проводит доказательство
свойств – по слайдам.
По ходу доказательства
теорем, учащиеся делают
записи в тетради.
Слайд «Свойство 1»
Слайд «Свойство 2»
Усвоить алгоритм
доказательства
свойств
параллелограмма.
Учитель руководит анимацией
слайдов для первичного
проговаривания свойств
параллелограмма и их
доказательств.
Работа в парахпроговаривание
формулировок свойств
параллелограмма и их
доказательств.
Слайды «Повторите
доказательство самостоятельно»
Информационные
источники.
Используемые
слайды.
Слайд о выполнении
практической работы
Слайд «Свойство 1»
Слайд «Свойство 2»
Слайды «Повторите
Закрепить
доказательство
доказательства
самостоятельно»
свойств с первичным
проговариванием во
внешней речи.

19. Применение и рефлексия

Этап урока
Шаг 7. Включение в
систему знаний и
повторение.
(9 мин.)
Цель: применить новые
знания при выполнении
практической работы,
решении задач.
Деятельность
учителя
Вопрос для обсуждения:
«А как построить
параллелограмм на
нелинованной бумаге?»
Деятельность учащихся
Ответы учащихся:
а) сложить из двух равных
треугольников;
б) провести пары параллельных
прямых с помощью угольника и
линейки.
Показать анимированный
слайд «построение
параллелограмма».
Учащиеся строят параллелограммы
на доске и на нелинованных листах.
Проведение фронтальной
беседы «Решение задач на
готовых чертежах».
Учащиеся решают задачи по готовым
чертежам.
Задания для
учащихся,
выполнение
которых приведет
к достижению
запланированных
результатов
Выполнить практическую
работу «Построить
параллелограммы на доске
и на нелинованных листах
с помощью угольника и
линейки»
Учащиеся решают задачи
по готовым чертежам.

Планируемые
результаты
Умение строить
параллелограмм на
нелинованном листе.
Информацион
ные
источники.
Используемые
слайды.
Слайд «Построение
параллелограмма»
Слайд «Решение
задач»
Уметь решать
простейшие задачи на
использование
основных свойств
параллелограмма.

20. Применение и рефлексия

Этап урока
Шаг 8. Рефлексия
учебной деятельности
на уроке.
(6 мин.)
Цель: организовать
осознание учащимися
своей учебной
деятельности, оценить
результаты свои и всего
класса.
Подведение итогов
урока.
(1 мин.)
Цель: оценить результаты
своей работы.
Информация о
домашнем задании.
( 1мин.)
Цель: сообщить
домашнее задание.
Деятельность
учителя
Деятельность
учащихся
Задания для
учащихся,
выполнение
которых приведет
к достижению
запланированных
результатов
Блиц-опрос (тестовые
задания).
Выполняют тестовые задачи
по готовым чертежам.

Задания блиц-опроса.
Беседа с учащимися о
выявлении ошибок в
блиц-опросе.
Пытаются проанализировать
свои решения.
Провести самооценку
выполнения заданий
блиц-опроса.
Учитель предлагает
заполнить карточки
« Рефлексия».
Организация фронтальной
беседы с учащимися с
целью определения
степени достижения целей
урока.
Отвечают на вопрос учителя
«Достигли ли цели урока,
доказали ли гипотезу»
Анализируют собственную
деятельность на уроке.
Определяют собственную
значимость в решении
учебных задач.
Оценивает работу
учащихся.
Сообщает домашнее
задание.
Планируемые
результаты
Выполнение
заданий блицопроса.
Информационные
источники.
Используемые
слайды.
Слайд «Блиц-опрос»
Слайд «Критерии
самооценки выполнения
заданий блиц-опроса»
Умение
анализировать
собственную
деятельность на
уроке.
Определение
учеником
собственной
значимости в
решении учебных
задач.

Слайд «Итоги урока»
Слайд «Домашнее
задание»
Учащиеся записывают задание
в дневник.

21. Литература и ресурсы:

• 1. Геометрия. 7-9классы: учеб. для общеобразоват.
Учреждений / Л.С. Атанасян и др.. -20-е изд. — М:
Просвещение,2010.
• 2. Уроки геометрии в 7-9 классах В.И.Жохов и др.,
методические рекомендации к учебнику Л.С. Атанасяна,
М: Мнемозина, 2006.
• 3. С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий. Упражнения по
планиметрии на готовых чертежах: Пособие для учителя.М.: Просвещение, 1990.
• 4. Н. Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по
геометрии: 8 класс. M.: ВАКО, 2004. – 288с. – (В помощь
школьному учителю)
• 5. http://metodisty.ru/m/files/view/urok_po_teme_parallelogramm-_svoistva_parallelogramma

English Русский Правила

Мультимедийная разработка учебного занятия «Параллелограмм» | Презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме:

Слайд 1

Мультимедийная разработка учебного занятия Тема урока : «Параллелограмм» Предмет : геометрия Класс : 8-В

Слайд 2

Содержание представляемого материала 1 . Цель и задачи учебного занятия. 2. Характеристика учебного занятия. 3. Технологическая карта урока. 4. Фрагменты урока.

Слайд 3

Место урока в изучаемой теме Раздел «Четырехугольники» (14 уроков). 1 — 2 уроки «Многоугольники». Цель : формирование понятия «многоугольник», нахождение суммы углов выпуклого многоугольника. 3 урок « Параллелограмм, свойства параллелограмма » Цель : создать условия для формирования понятия «параллелограмм» и способа нахождения его свойств. 4 урок «Признаки параллелограмма». Цель : организация познавательной деятельности учащихся по определению признаков параллелограмма и способов их доказательства. 5 урок «Решение задач по теме «Параллелограмм». Цель : осознание и осмысление блока новой учебной информации средствами практической и исследовательской работ.

Слайд 4

Цель урока Создание условий для формирования понятия «параллелограмм» и способа нахождения его свойств.

Слайд 5

Задачи урока Содержательная : с помощью практических заданий обеспечить понимание учащимися отличия параллелограмма от других видов четырехугольников, способа определения и доказательства свойств параллелограмма. Деятельностная : формировать у учащихся умения выделять параллелограмм из всех видов четырехугольников, опираясь на его определение; формировать у учащихся навыки доказательства свойств параллелограмма с опорой на ранее введенные понятия и доказанные утверждения: признаки равенства треугольников, признаки и свойства параллельных прямых. Развивающая : совершенствовать навыки учебного труда, самостоятельного поиска знаний; социального взаимодействия в процессе выполнения групповых заданий; контроля и оценки своей деятельности .

Слайд 6

Планируемые результаты Знать : определение параллелограмма и его основные свойства. Уметь : распознавать на чертежах среди четырехугольников параллелограмм; чертить параллелограмм; решать простейшие задачи на использование основных свойств параллелограмма; оценивать свою работу.

Слайд 7

Тип учебного занятия : урок изучения нового материала и первичного закрепления знаний . Используемая технология : системно – деятельностный подход . Методы обучения : Метод устного контроля (фронтальный опрос, индивидуальный опрос). Объяснительно – иллюстрационный (беседа, демонстрация слайдов презентаций). Проблемно – поисковый (эвристическая беседа, практическая работа).

Слайд 8

Формы организации познавательной деятельности Фронтальная : перед учащимися ставится проблема: какими свойствами будут обладать все параллелограммы (на этапе актуализации знаний и этапе усвоения новых знаний ). Индивидуальная работа: самостоятельная учебная деятельность учащихся по выделению элементов новых знаний; практическая учебная деятельность учащихся.

Слайд 9

Содержание учебного материала Свойства параллелограмма и простейшие задачи на их применение. Теоретический материал: Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства. 1 0 . В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны. 2 0 . Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Слайд 10

Единица содержания образования Способ ввода определения параллелограмма -практическая работа по составлению четырехугольника из двух равных треугольников; установление их характеристических особенностей. Способ ввода свойств параллелограмма — использование признаков равенства треугольников, признаков и свойств параллельных прямых. Выделение при решении простейших задач основных свойств параллелограмма.

Слайд 11

Гипотеза : Если на плоскости изображены различные параллелограммы, то они обладают одинаковыми свойствами.

Слайд 12

Структура учебного занятия Организационный момент. Подготовительный этап Шаг 1- мотивирование: актуализация опорных знаний и фиксирование затруднения в пробном действии. Шаг 2 — рефлексия изменившихся условий: понимание места и причины затруднения, определение границы между знанием и незнанием. Шаг 3 — постановка учащимися цели урока как собственной учебной задачи. Основной этап – открытие новых знаний. Шаг 4 — разработка проекта выхода из затруднения. Шаг 5 — реализация готового проекта – открытие новых знаний. Шаг 6 — первичное закрепление с проговариванием во внешней речи . Заключительный этап – применение и рефлексия. Шаг 7 — включение в систему знаний и повторение. Шаг 8 — рефлексия учебной деятельности на уроке. Итоги урока . Домашнее задание.

Слайд 13

Оборудование, информационно-коммуникационная образовательная среда , учебно-методические материалы Рабочее место учителя (мультимедийный комплекс ). Презентация к уроку. Линейки, угольники. Разрезной материал для практической работы. Нелинованная бумага.

Слайд 14

Ключевые понятия, термины Параллельные прямые Накрест лежащие углы Односторонние углы Равные треугольники Четырехугольник Противоположные стороны четырехугольника Противоположные углы четырехугольника Параллелограмм Диагональ параллелограмма Свойства параллелограмма

Слайд 15

Технологическая карта урока Организационный момент Цель Деятельность учителя Деятельность учащихся Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов Планируемые результаты Цель : включить учащихся в деятельность на личностно – значимом уровне. Приветствие. Психологическая подготовка учащихся к уроку. Сообщение плана урока. Доведение до сведения учащихся способов оценивания их деятельности на уроке (оценка устного ответа, результаты практической работы, рефлексии ). Записывают в тетради дату проведения урока. Записать в рабочей тетради дату проведения урока. Концентрация внимания учащихся.

Слайд 16

Э тап урока Деятельность учителя Деятельность учащихся Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов Планируе-мые результаты Информацион-ные источники. Используемые слайды Шаг 1. Мотивирование: актуализация опорных знаний и фиксирование затруднений в пробном действии . (6 мин.) Цель: повторить изученный материал, необходимый для «открытия нового знания» и выявить затруднения в индивидуальной деятельности каждого ученика. 1. Организация фронтальной беседы по готовым чертежам : а) свойства параллельных прямых; б) признаки равенства треугольников. 2. Организация практической работы: совместить пару равных т реугольников так, чтобы получился четырехугольник и ответить на вопрос: « Какие характеристические особенности присущи полученным четырехугольникам?» 3. Конкретизирует и уточняет сформулированное учащимися определение параллелограмма и название его элементов. 4. Организация фронтальной беседы по готовому чертежу «Среди четырехугольников указать параллелограммы». 5. Постановка проблемы: «Ребята, если параллелограммы выделяются особым видом из множества четырехугольников, то у них есть особые качества, в геометрии мы их называем свойствами. Попытайтесь их найти». Учащиеся после просмотра каждого рисунка формулируют свойства параллельных прямых; признаки равенства треугольников. При выполнении практического задания указывают характерную черту полученных четырехугольников: параллельность противоположных сторон . Ребята пытаются сформулировать определение параллелограмма. Изображают параллелограмм в тетради . Рассматривая составленные из двух равных треугольников в ходе практической работы параллелограммы, чертежи с изображением всех его элементов, предполагают свойства, которыми бы они обладали: диагональ делит параллелограмм на равные треугольники; противоположные стороны равны; противоположные углы равны; сумма односторонних углов равна 180  ; вторая диагональ делит параллелограмм на 4 попарно равных треугольника; диагонали в точке пересечения делятся пополам. Задание по готовым чертежам. Выполнение практической работы. Учащиеся должны вспомнить свойства параллельных прямых, признаки равенства треугольников. Выделить элементы, по которым с реди четырехугольников можно определить параллелограмм. Среди четырехугольников указывать параллелограмм. Предположить свойства параллелограмма. 1. Учебник Геометрия. 7-9 классы./Л.С. Атанасян , В.Ф. Бутузов, С.В. Кадомцев — М.; Просвещение, 201 0г. 2. Слайд « Продолжите предложение: При пересечении двух параллельных прямых секущей…» 3 . Слайд « Продолжите предложение: Два треугольника равны, если…» 4. Разрезной материал: три пары равных треугольников. 5. Слайд с результатом практической работы. 6. Слайд «Среди четырехугольников указать параллелограммы». Подготовительный этап

Слайд 17

Э тап урока Деятельность учителя Деятельность учащихся Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов Планируемые результаты Информационные источники. Используемые слайды. Шаг 2 . Рефлексия изменившихся условий: понимание места и причины затруднения, определение границы между знаниями и незнаниями. (1 мин.) Цель: понять место и причину затруднения, определить границы между знаниями и незнаниями. Шаг 3 . Постановка учащимися цели урока как собственной учебной задачи (1 мин) Цель: сформулировать цель урока. Вопрос для обсуждения: «А если взять на плоскости произвольный параллелограмм, он будет обладать этими свойствами?» Записать тему урока на доске, после того как была выдвинута гипотеза. Вопрос для обсуждения «А как убедиться в правильности гипотезы?» Просит сформулировать цель урока. Ответ: « Да, наверно ». Учащиеся выдвигают гипотезу. Ответ учащихся на вопрос: — « доказать ». Определяют свои цели урока, отражающие необходимость доказательства найденных свойств параллелограмма. Выполненное практическое задание. Учащиеся выдвигают гипотезу : если на плоскости изображены различные параллелограммы, то они обладают одинаковыми свойствами. Учащиеся ставят перед собой цель урока – научиться определять и доказывать свойства параллелограмма. Слайд: гипотеза. Слайд: тема урока. Слайд: цель урока. Подготовительный этап

Слайд 18

Э тап урока Деятельность учителя Деятельность учащихся Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов П ланируе-мые результаты Информационные источники. Используемые слайды. Шаг 4 . Разработка проекта выхода из затруднений. (3 мин.) Цель: обсудить проект доказательства свойств параллелограмма. Шаг 5. Реализация готового проекта, открытие новых знаний. (8 мин.) Цель: реализовать полученные знания при доказательстве свойств. Шаг 6. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи. (3 мин.) Цель: проговорить формулировки свойств параллелограмма и их доказательства. Постановка задачи: «Предложите план доказательства свойств параллелограмма: 1) в параллелограмме противоположные стороны и углы равны; 2) в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам» Учащиеся, работая в парах, продумывают, в какой последовательности доказывать свойства параллелограмма. «Доказать, что у параллелограмма противоположные стороны и углы равны. Доказать, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам». Наметить план доказательства свойств параллелограмма. Слайд о выполнении практической работы Слайд «Свойство 1» Слайд «Свойство 2» Слайды «Повторите доказательство самостоятельно» Корректирует работу учащихся. Проводит доказательство свойств – по слайдам. По ходу доказательства теорем, учащиеся делают записи в тетради. Слайд «Свойство 1» Слайд «Свойство 2» Усвоить алгоритм доказательства свойств параллелограмма. Учитель руководит анимацией слайдов для первичного проговаривания свойств параллелограмма и их доказательств. Работа в парах-проговаривание формулировок свойств параллелограмма и их доказательств. Слайды «Повторите доказательство самостоятельно» Закрепить доказательства свойств с первичным проговариванием во внешней речи. Открытие новых знаний

Слайд 19

Э тап урока Деятельность учителя Деятельность учащихся Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов Планируемые результаты Информационные источники. Используемые слайды. Шаг 7 . Включение в систему знаний и повторение. (9 мин.) Цель: применить новые знания при выполнении практической работы, решении задач. Вопрос для обсуждения: «А как построить параллелограмм на нелинованной бумаге?» Ответы учащихся: а) сложить из двух равных треугольников ; б) провести пары параллельных прямых с помощью угольника и линейки. Выполнить практическую работу «Построить параллелограммы на доске и на нелинованных листах с помощью угольника и линейки» Учащиеся решают задачи по готовым чертежам. Умение строить параллелограмм на нелинованном листе. Уметь решать простейшие задачи на использование основных свойств параллелограмма. Слайд «Построение параллелограмма» Слайд «Решение задач» Показать анимированный слайд «построение параллелограмма». Учащиеся строят параллелограммы на доске и на нелинованных листах. Проведение фронтальной беседы «Решение задач на готовых чертежах». Учащиеся решают задачи по готовым чертежам. Применение и рефлексия

Слайд 20

Э тап урока Деятельность учителя Деятельность учащихся Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов Планируемые результаты Информационные источники. Используемые слайды. Шаг 8 . Рефлексия учебной деятельности на уроке. (6 мин .) Цель: организовать осознание учащимися своей учебной деятельности, оценить результаты свои и всего класса. Подведение итогов урока. (1 мин .) Цель: оценить результаты своей работы . Информация о домашнем задании. ( 1мин.) Цель: сообщить домашнее задание . Блиц-опрос (тестовые задания). Беседа с учащимися о выявлении ошибок в блиц-опросе. Учитель предлагает заполнить карточки « Рефлексия». Организация фронтальной беседы с учащимися с целью определения степени достижения целей урока. Оценивает работу учащихся. Сообщает домашнее задание. Выполняют тестовые задачи по готовым чертежам. Пытаются проанализировать свои решения. Отвечают на вопрос учителя «Достигли ли цели урока, доказали ли гипотезу» Анализируют собственную деятельность на уроке. Определяют собственную значимость в решении учебных задач. Учащиеся записывают задание в дневник. Задания блиц-опроса. Провести самооценку выполнения заданий блиц-опроса. Выполнение заданий блиц-опроса. Умение анализировать собственную деятельность на уроке. Определение учеником собственной значимости в решении учебных задач. Слайд «Блиц-опрос» Слайд «Критерии самооценки выполнения заданий блиц-опроса» Слайд «Итоги урока» Слайд « Домашнее задание» Применение и рефлексия

Слайд 21

Литература и ресурсы: 1. Геометрия. 7-9классы: учеб. для общеобразоват . Учреждений / Л.С . Атанасян и др . . -20- е изд. — М: Просвещение,2010. 2. Уроки геометрии в 7-9 классах В.И.Жохов и др., методические рекомендации к учебнику Л.С. Атанасяна , М: Мнемозина, 2006. 3. С.М. Саврасова , Г.А. Ястребинецкий . Упражнения по планиметрии на готовых чертежах: Пособие для учителя.-М.: Просвещение, 1990. 4. Н. Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. M.: ВАКО, 2004. – 288с. – (В помощь школьному учителю) 5. http://metodisty.ru/m/files/view/urok_po_teme_-parallelogramm-_svoistva_parallelogramma

Слайд 22

Продолжите предложение: При пересечении двух параллельных прямых секущей… а c b а c b а c b  1 +  2 = 180  1 1 1 2 2 накрест лежащие углы равны соответственные углы равны сумма односторонних углов равна 180 о . 2

Слайд 23

Продолжите предложение: Два треугольника равны, если …

Слайд 24

Выполнение практической работы

Слайд 25

Результат практической работы 1 2 3

Слайд 26

Укажите четырехугольники, которые являются параллелограммами 1 2 3 4 5

Слайд 27

Гипотеза : Если на плоскости изображены различные параллелограммы, то они обладают одинаковыми свойствами.

Слайд 28

Тема урока Параллелограмм и его свойства.

Слайд 29

Цель урока учащихся Научиться определять и доказывать свойства параллелограмма .

Слайд 30

Результат практической работы 2 1

Слайд 31

Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. А В С D Дано: АВС D — параллелограмм Доказать: 1) АВ = С D, BC = AD ; 2) A = C, B = D Доказательство : Рассмотрим ∆ АВС и ∆ ADC , AC — общая , 1 2 3 4 1 = 2 и 3 = 4 (как накрест лежащие углы) ∆ АВС = ∆ ADC (по 2-му признаку равенства треугольников), значит, АВ = С D, BC = AD 1 + 3 = 2 + 4 , т. е. A = C, B = D .

Слайд 32

Свойство 2 . Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. В А С D 1 3 4 Дано: АВС D — параллелограмм В D AC = O Доказать: ВО = О D, АО = ОС Доказательство: Рассмотрим ∆ АОВ и ∆ СО D . АВ  С D , В D , AC – секущие 1 = 2 и 3 = 4 (как накрест лежащие углы) Следовательно: АО = ОС, ВО = О D ∆ АОВ = ∆СО D (по 2-му признаку равенства треугольников) O АВ = С D (противоположные стороны параллелограмма) 2

Слайд 33

А В С D 1 2 3 4 Повторите доказательство свойства 1 о самостоятельно!

Слайд 34

Повторите доказательство свойства 2 о самостоятельно! В А С D 1 2 3 4 O

Слайд 35

Построение параллелограмма

Слайд 36

Включение в систему знаний

Слайд 37

Решите задачу 1 M N P K 8 см 5 см Найдите периметр параллелограмма MNPK 2 5 0  Найдите все углы параллелограмма MNPK Решение 8 см 5 см Р = (8 + 5) · 2 = 26 (см) М = Р = 50  N = K = 180  — 50  = 1 3 0  5 0  1 3 0  1 3 0 

Слайд 38

Блиц-опрос

Слайд 39

Выполнение блиц-опроса

Слайд 40

Результаты блиц-опроса Критерии самооценки выполнения блиц-опроса: « 5 »— решены правильно 5 задач, « 4 »—не решена одна задача, « 3 »—не решено две задачи, « 2 »—материал не усвоен. № п\п Оценка 1 (1-ый учащийся) 4 2 (2-ой учащийся) 4 3 (3-ий учащийся) 5 4 (4-ый учащийся) 4 5 (5-ый учащийся) 5 6 (6-ой учащийся) 4 7 (7-ой учащийся) 5 8 (8-ой учащийся) 3 9 (9-ый учащийся) 4 10 (10-ый учащийся) 5 11 (11-ый учащийся) 4 12 (12-ый учащийся) 4 13 (13-ый учащийся) 5 14 (14-ый учащийся) 5 15 (15-ый учащийся) 5 16 (16-ый учащийся) 4 17 (17-ый учащийся) 5 18 (18-ый учащийся) 4 19 (19-ый учащийся) 5 20 (20-ый учащийся) 5 21 (21-ый учащийся) 3

Слайд 41

Результаты рефлексии Я знаю определение параллелограмма — 21 ученик. (100%) Я могу сформулировать основные свойства параллелограмма – 21 ученик. (100%) Я могу воспроизвести доказательства свойств параллелограмма – 19 учеников. (90%) Я могу чертить параллелограмм – 21 ученик. (100%) В самостоятельной работе у меня не возникли затруднения – 18 учеников. (86%) В самостоятельной работе у меня возникли затруднения – 3 ученика. (14%)

Слайд 42

Итоги урока Доказали ли гипотезу ? Достигли ли мы поставленной цели? Что мы использовали для достижения цели урока?

Слайд 43

Домашнее задание п. 42, № 376 а),в ). Доказать, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180 о . 2) Доказать, что при пересечении диагоналей параллелограмма образуются две пары равных треугольников.

Построение дуги окружности в Компас 3D.

Хотите в короткий срок изучить систему
КОМПАС-3D.
ДЛЯ ВАС СОВЕРШЕННО БЕСПЛАТНО, 4 САМЫХ ЭФФЕКТИВНЫХ ВИДЕОКУРСА.

Видеокурс «Автоматизация работы в Компас-3D» за 14 часов научит не только работать с библиотеками, но и создавать собственные библиотеки!
НАЖИМАЙТЕ ЗДЕСЬ.

Осваиваем систему КОМПАС 3D с нуля!
Создание 3D моделей, сборок и документации.
СТАНЬТЕ ПРОФЕССИОНАЛОМ!

Как легко, просто и быстро научиться чертить в трехмерном AutoCAD?
КЛИКНИТЕ И УЗНАЙТЕ.

Новинка! Бесплатный видеокурс по созданию 3D моделей в программе SolidWorks

«Как легко, просто и быстро организовать правильное оформление чертежей в AutoCAD?»

Кликните и узнайте

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Урок №16.

Построение эллипса, продолжение.

Продолжаем рассматривать способы построения эллипсов в программе Компас 3D.

Эллипс по центру, середине стороны и вершине описанного параллелограмма.

Для построения нажимаем кнопку «Эллипс по центру, середине стороны и вершине параллелограмма» в компактной панели, или в верхнем меню последовательно нажимаем команды «Инструменты» — «Геометрия» — «Эллипсы» — «Эллипс по центру, середине стороны и вершине параллелограмма».

Для наглядности построения начертим произвольный параллелограмм и построим его диагонали. Нажимаем кнопку «Эллипс по центру, середине стороны и вершине параллелограмма», указываем центральную точку, затем середину одной из сторон и вершину параллелограмма, описанного вокруг создаваемого эллипса.

Угол наклона первой полуоси к оси абсцисс текущей системы координат и длины полуосей определятся автоматически

Эллипс по трем вершинам параллелограмма.

Чтобы выполнить построение, нажимаем кнопку «Эллипс по трем вершинам параллелограмма» в компактной панели, или в верхнем меню последовательно нажимаем команды «Инструменты» — «Геометрия» — «Эллипсы» — «Эллипс по трем вершинам параллелограмма».

Теперь последовательно при помощи курсора указываем три вершины параллелограмма. Угол наклона первой полуоси к оси абсцисс текущей системы координат и длины полуосей будут определены автоматически. Для отрисовки осей достаточно нажать соответствующую кнопку на панели свойств.

Эллипс по центру и трем точкам.

Построение начинаем с нажатия кнопки «Эллипс по центру и 3 точкам» в компактной панели, или в верхнем меню последовательно нажимаем команды «Инструменты» — «Геометрия» — «Эллипсы» — «Эллипс по центру и 3 точкам».

Сначала при помощи курсора указываем центр эллипса, а затем три принадлежащие ему точки (координаты центра и точек, само собой можно задавать в панели свойств). Завершаем построение нажатием кнопки «Прервать команду».

Эллипс касательный к двум кривым.

Для построения нажимаем кнопку «Эллипс касательный к 2 кривым» в компактной панели, или в верхнем меню последовательно нажимаем команды «Инструменты» — «Геометрия» — «Эллипсы» — «Эллипс касательный к 2 кривым». Давайте построим две произвольные окружности различных диаметров, так чтобы они находились на некотором расстоянии друг от друга.

После нажатия кнопки «Эллипс касательный к 2 кривым» указываем точку на первом объекте и точку на втором объекте. Теперь нужно указать третью точку, через которую пройдет эллипс. Завершаем построение нажатием кнопки «Прервать команду».

Во всех способах, которые мы рассмотрели в панели свойств, для построенных эллипсов, можно задавать стиль линий и оси.

Мы рассмотрели все способы построения эллипсов в Компас 3D. Встретимся в следующем уроке.

Если у Вас есть вопросы можно задать их ЗДЕСЬ.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Список последних уроков по программе Компас-3D

Урок №7. Построение отрезков в Компас 3D. Произвольный отрезок и отрезок параллельный прямолинейному объекту.
Урок №8. Построение отрезков в Компас 3D. Отрезок перпендикулярный прямолинейному объекту.
Урок №9. Построение отрезков в Компас 3D. Касательные отрезки.

Урок №10. Построение окружности в Компас 3D.
Урок №11. Построение окружности в Компас 3D.Окружность по трем точкам и окружность с центром на объекте.
Урок №12. Построение окружностей в Компас 3D. Окружности касательные к кривым, окружность по двум точкам.
Урок №13. Построение дуги окружности. Произвольная дуга, дуга по трем точкам, дуга касательная к кривой.
Урок №14. Построение дуги окружности. Дуга по двум точкам, дуга по двум точкам и углу раствора.
Урок №15. Построение эллипса.
Урок №16. Построение эллипса, продолжение.

Автор: Саляхутдинов Роман

«БОСК 8.0»

Познай Все Cекреты КОМПАС-3D

Более 100 наглядных видеоуроков;
Возможность быстрее стать опытным специалистом КОМПАС-3D;
Умение проектировать 3D изделия (деталей и сборок) любой степени сложности;
Гарантии доставки и возврата.

>> Читать Полное Описание <<

Автор: Саляхутдинов Роман

«БОСК 5.0»

Новый Видеокурс. «Твердотельное и Поверхностное Моделирование в КОМПАС-3D»

Большая свобода в обращении с поверхностями;
Возможность формирования таких форм, которые при твердотельном моделировании представить невозможно;
Новый уровень моделирования;
Гарантии доставки и возврата.

>> Читать Полное Описание <<

Автор: Саляхутдинов Роман

«Эффективная работа в SolidWorks»

Видеокурс. «Эффективная работа в SolidWorks» поможет Вам:

Многократно сократить временя на освоение программы;
Научит проектировать 3D изделия (деталей и сборок) любой степени сложности; создавать конструкторскую документацию; проводить инженерный анализ.
Поможет быстрее стать грамотным специалистом;
Гарантии доставки и возврата.

>> Читать Полное Описание <<

Автор: Дмитрий Родин

«AutoCAD ЭКСПЕРТ»

Видео самоучитель По AutoCAD

60 наглядных видеоуроков;
Более 15 часов только AutoCAD;
Создание проектов с нуля прямо у Вас на глазах;
365-дневная гарантия

>> Читать Полное Описание <<

Презентация » Параллелограмм» по геометрии 8 класс

геометрия 8 класс Тема урока Параллелограмм

свойства параллельных прямых признаки равенства треугольников
свойства параллельных прямых
признаки равенства треугольников

определение параллелограмма свойства параллелограмма
определение параллелограмма
свойства параллелограмма

чертить параллелограмм применять свойства параллелограмма при решении задач
чертить параллелограмм
применять свойства параллелограмма при решении задач

Цели урока:

Вспомним

Узнаем

Научимся

Продолжите предложение: При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей…

накрест лежащие углы равны

соответственные углы равны

сумма односторонних углов

 1 +  2 = 180 

Продолжите предложение: Два треугольника равны, если …

Укажите четырехугольники, у которых стороны попарно параллельны

Укажите четырехугольники, у которых не более двух параллельных сторон

Назовите пары параллельных прямых

Определение

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом

AB  CD, AC  BD

Какими свойствами обладает параллелограмм?

Свойство 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Дано: АВС D — параллелограмм

Доказать: 1) АВ = СD, BC = AD;

2) A = C, B = D

Доказательство: рассмотрим ∆ АВС и ∆ ADC,

AC — общая ,

1 = 2 и 3 = 4

(как накрест лежащие углы)

АВ = СD, BC = AD

∆ АВС = ∆ ADC (по 2-му признаку равенства треугольников)

1 + 3 = 2 + 4 , т.е. A = C, B = D.

Повторите доказательство теоремы самостоятельно!

Свойство 2 . Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Дано: АВС D — параллелограмм

В D AC = O

Доказать: ВО = О D , АО = ОС

Доказательство:

рассмотрим ∆ АОВ и ∆ СО D ,

АВ = С D (противоположные стороны параллелограмма,

АВ  С D, ВD, AC – секущие

1= 2 и 3= 4 (как накрест лежащие углы)

∆ АОВ = ∆СО D (по 2-му признаку равенства треугольников)

Следовательно: АО = ОС, ВО = О D

Повторите доказательство теоремы самостоятельно!

Построение параллелограмма

Решите задачу

Решение

7 см

70 

110 

4 см

110 

70 

7 см

Р = (7 + 4) · 2 = 22 (см)

Найдите периметр параллелограмма MNPK

М = Р = 70 

Найдите все углы параллелограмма MNPK

N = K = 180  — 70  = 110 

Решите задачу. В параллелограмме ABCD: О – точка пересечения диагоналей, отрезок MK проходит через эту точку.

Докажите, что ∆ OMB = ∆ OKD

Решение: по свойству параллелограмма ВО = О D,  ВОМ =  КОD – вертикальные ,

 МВО =  DОК – накрест лежащие при параллельных прямых ВМ и DК и секущей ВD  ∆ OMB = ∆ OKD (по стороне и двум прилежащим углам).

Домашнее задание

п. 42, теоремы о свойствах параллелограмма,

№ 371 б), 372 в), 376 а),в)

Литература и ресурсы

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. Геометрия 7-9, учебник для общеобразовательных учреждений, М: Просвещение,2006.
Н. Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. M.: ВАКО, 2004. – 288с. – (В помощь школьному учителю)
Мельникова Н. Б., Лепихова М. Тематический контроль по геометрии. 8 кл. — М.: Интеллект-Центр. 2007
«Уроки геометрии в 7-9 классах» В.И.Жохов и др., методические рекомендации к учебнику Л.С. Атанасяна, М: Мнемозина, 2006.
С.М. Саврасова, Г.А. Ястребинецкий. Упражнения по планиметрии на готовых чертежах: Пособие для учителя.-М.: Просвещение, 1990.
Смайлы: http://office.microsoft.com/ru-ru/clipart/results.aspx?qu=%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%B9%D0%BB%D1%8B&sc=20
Материалы Мастер-класса Савченко Е.М. http://www.it- n.ru /communities.aspx?cat_no=4510&lib_no=130597&tmpl=lib

Работа выполнена учителем математики МБОУ « Выделянская СОШ»» Лященко Л.Е.

Конспект урока геометрии в 8 классе «Параллелограмм и его виды» | Математика

Автор: Катасонова Вероника Анатольевна

Организация: МБОУ СОШ № 3 им. И. А. Левченко г. Семикаракорска

Населенный пункт: Ростовская область, г. Семикаракорск

Тип урока: обобщение и систематизация учебного материала по теме: «Параллелограмм и его виды»

Ход урока

I. Организационный момент

Добрый день, ребята!

Сегодня у нас обобщающий урок по материалу первой четверти: мы должны вспомнить всё, что изучали в первой четверти, выделить взаимосвязи между изученными темами, выделить главное для дальнейшего использования при решении геометрических задач.

II. Актуализация знаний

Давайте вспомним, какие геометрические фигуры мы изучили в этой четверти?

Один из обучающихся отвечает: Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат.

Как можно назвать все эти четыре геометрические фигуры одним словом?

Один из обучающихся отвечает: Четырёхугольники!

Верно!

Как связаны между собой параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат?

Один из обучающихся отвечает: Прямоугольник, ромб и квадрат – это виды параллелограмма!

Верно. И сейчас нам предстоит вспомнить про каждый из этих четырёхугольников и их свойствах.

III. Формулировка темы и цели урока

Вы, наверное, догадались, какой будет тема нашего урока?

Один из обучающихся отвечает: Параллелограмм и его виды.

Верно. Запишите в тетради число и тему урока: «Параллелограмм и его виды».

Как вы думаете, какова цель нашего урока?

Один из обучающихся отвечает: повторить свойства параллелограмма и его видов.

Верно. Давайте приступим к выполнению этой цели.

IV. Закрепление материала

Нам предстоит заполнить такую схему:

Будем вспоминать и постепенно заполнять эту схему в тетради.

Итак, что же такое параллелограмм?

Один из обучающихся отвечает: это четырёхугольник, у которого каждые две противолежащие стороны параллельны.

Верно. Давайте сделаем чертёж параллелограмма. Кто хочет выйти к доске и начертить параллелограмм?

Один из обучающихся выходит к доске, чертит параллелограмм, остальные обучающиеся делают чертёж в тетради, заполняя верхнюю часть схемы: Параллелограмм.

Теперь давайте вспомним, какими свойствами он обладает?

Один из обучающихся отвечает: Противолежащие стороны параллелограмма равны.

Верно. Выйди к доске и покажи на нашем чертеже, какие стороны нашего параллелограмма равны.

Обучающийся выходит к доске, показывает и называет равные стороны параллелограмма.

Молодец! Запишите в тетради в свойствах параллелограмма первое свойство: противолежащие стороны равны.

Ещё какие свойства есть у параллелограмма?

Один из обучающихся отвечает: Противолежащие углы параллелограмма равны.

Верно. Выйди к доске и покажи на чертеже, какие углы нашего параллелограмма равны.

Обучающийся выходит к доске, показывает и называет равные углы параллелограмма.

Молодец! Запишите в тетрадь второе свойство параллелограмма: противолежащие углы равны.

Ещё какие свойства есть у параллелограмма?

Один из обучающихся отвечает: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Верно. Выходи к доске. Нам надо провести диагонали параллелограмма и обозначить точку их пересечения буквой О.

Обучающийся проводит на чертеже диагонали параллелограмма, обозначает точку их пересечения буквой О, называет равные отрезки, образовавшиеся на чертеже в результате пересечения диагоналей параллелограмма.

Молодец! Запишите в тетрадь третье свойство параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам.

И ещё есть одно свойство, которое следует из того, что параллелограмм – это четырёхугольник.

Один из обучающихся отвечает: Сумма углов параллелограмма равна 360°.

Правильно! Запишите четвёртое свойство параллелограмма: сумма углов равна 360°.

Итак, с первым разделом схемы мы справились.

Переходим к прямоугольнику. Что такое прямоугольник?

Один из обучающихся отвечает: Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые.

Верно! Давайте сделаем чертёж. Кто хочет пойти к доске и начертить прямоугольник?

Один из обучающихся выходит к доске и чертит прямоугольник, остальные делают чертёж в тетради.

Молодец!

Давайте вспомним, какие свойства есть у прямоугольника?

Один из обучающихся отвечает: Диагонали прямоугольника равны.

Правильно. Выходи к доске. Нам надо провести диагонали прямоугольника.

Обучающийся проводит на чертеже диагонали прямоугольника, называет их и делает акцент на то, что эти отрезки равны.

Молодец! Запишите первое свойство прямоугольника: диагонали равны.

Так как прямоугольник – частный случай параллелограмма, все свойства параллелограмма справедливы и для прямоугольника.

Какие из свойств параллелограмма, описанные выше, мы можем перенести и к прямоугольнику?

Один из обучающихся отвечает: противолежащие стороны равны.

Правильно. Выходи к доске, покажи и назови равные стороны нашего прямоугольника.

Обучающийся показывает на чертеже и называет равные стороны прямоугольника.

Хорошо! Запишите в тетради второе свойство прямоугольника: противолежащие стороны равны.

Ещё какое свойство можем записать?

Один из обучающихся отвечает: диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Правильно. Выходи к доске. Обозначим на чертеже точку пересечения диагоналей буквой О.

Обучающийся отмечает на чертеже точку пересечения диагоналей буквой О, показывает и называет равные отрезки, образовавшиеся при пересечении диагоналей прямоугольника.

Молодец! Запишите в тетради третье свойство прямоугольника: диагонали точкой пересечения делятся пополам.

И ещё одно свойство, справедливое для всех четырёхугольников?

Один из обучающихся отвечает: сумма углов равна 360°.

Правильно. Запишите четвёртое свойство прямоугольника: сумма углов равна 360°.

Ну вот, с прямоугольником закончили.

Теперь переходим к ромбу. Что такое ромб?

Один из обучающихся отвечает: ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны.

Верно. Кто хочет сделать чертёж ромба на доске?

Один из обучающихся выходит к доске, чертит ромб. Остальные делают чертёж ромба в тетради.

Молодец!

Давайте вспомним свойства ромба.

Один из обучающихся отвечает: диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Верно. Выходи к доске. Давайте проведём на чертеже диагонали ромба.

Один из обучающихся выходит к доске, проводит диагонали ромба, показывает на чертеже, что они перпендикулярны (при пересечении образовался прямой угол) и называет, какие равные углы образовались (на какие два равных угла диагонали делят углы ромба ). Остальные проводят диагонали ромба у себя в тетради.

Молодец! Запишите первое свойство ромба: диагонали перпендикулярны; второе свойство: диагонали – биссектрисы углов ромба.

Ромб – частный случай параллелограмма, поэтому свойства параллелограмма справедливы и для него.

Какое третье свойство можно записать для ромба?

Один из обучающихся отвечает: противолежащие углы равны.

Верно. Выходи к доске и покажи равные углы ромба.

Обучающийся выходит к доске, показывает на чертеже и называет равные углы ромба.

Молодец! Запишите третье свойство ромба: противолежащие углы равны.

Ещё какое свойство есть у ромба?

Один из обучающихся отвечает: диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Правильно. Выходи к доске. Обозначим на чертеже точку пересечения диагоналей буквой О.

Обучающийся выходит к доске, обозначает точку пересечения диагоналей ромба буквой О, называет равные отрезки, образовавшиеся в результате пересечения диагоналей.

Правильно! Запишите четвёртое свойство ромба: диагонали точкой пересечения делятся пополам.

И ещё одно свойство, справедливое для всех четырёхугольников?

Один из обучающихся отвечает: сумма углов равна 360°.

Правильно! Запишите пятое свойство ромба: сумма углов равна 360°.

Итак, мы закончили заполнять раздел схемы с ромбом.

Теперь переходим к квадрату. Что такое квадрат?

Один из обучающихся отвечает: квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.

Правильно. Давайте сделаем чертёж квадрата. Кто хочет к доске?

Один из обучающихся выходит к доске и чертит квадрат. Остальные делают чертёж в тетради.

Молодец.

Если квадрат – это прямоугольник, то квадрат – это параллелограмм.

Как вы думаете, почему к квадрату идут две стрелочки: от прямоугольника и от ромба?

Один из обучающихся отвечает: так как квадрат – частный случай прямоугольника и в то же время частный случай ромба (параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые).

Правильно! Значит, свойства квадрата вытекают из свойств прямоугольника и ромба.

Какое первое свойство квадрата мы запишем?

Один из обучающихся отвечает: диагонали квадрата равны.

Правильно. Проведём на чертеже диагонали квадрата. Выходи к доске.

Обучающийся выходит к доске, проводит диагонали квадрата, называет их и говорит о том, что они равны.

Молодец! Запишите в тетради первое свойство квадрата: диагонали равны.

Какое ещё свойство можем записать?

Один из обучающихся отвечает: диагонали перпендикулярны.

Правильно. Выходи к доске и покажи на чертеже, что диагонали нашего квадрата перпендикулярны.

Обучающийся выходит к доске, называет диагонали квадрата и показывает на чертеже, что они перпендикулярны (при пересечении образовался прямой угол).

Молодец! Запишите второе свойство квадрата: диагонали перпендикулярны.

Ещё какое свойство есть у квадрата?

Один из обучающихся отвечает: диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.

Верно. Выходи к доске, покажи, какие равные углы образовались и ответь на вопрос, сколько градусов будет равен каждый из них?

Обучающийся выходит к доске, называет и показывает равные углы, образовавшиеся при проведении диагоналей квадрата, а также отвечает, что каждый из этих углов равен 45°, так как углы квадрата равны по 90°.

Всё верно! Запишите третье свойство квадрата: диагонали – биссектрисы углов квадрата.

Какое ещё свойство квадрата следует из того, что он является параллелограммом?

Один из обучающихся отвечает: диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Правильно. Отметим на чертеже точку пересечения диагоналей квадрата буквой О. Выходи к доске.

Обучающийся отмечает на чертеже точку пересечения квадрата буквой О, показывает и называет равные отрезки, образовавшиеся при пересечении диагоналей.

Молодец! Запишите четвёртое свойство квадрата: диагонали точкой пересечения делятся пополам.

И ещё одно свойство квадрата, справедливое для всех четырёхугольников?

Один из обучающихся отвечает: сумма углов равна 360°.

Правильно! Запишите пятое свойство квадрата: сумма углов равна 360°.

Итак, мы закончили заполнение схемы, в ней мы объединили все свои знания, полученные при изучении параллелограмма и его видов. Знание всех этих сведений поможет при решении геометрических задач.

V. Информация о домашнем задании.

Запишите домашнее задание на следующий урок:

повторить § 2 «Параллелограмм. Свойства параллелограмма», § 4 «Прямоугольник», § 5 «Ромб», § 6 «Квадрат»;
выполнить № 40 (1): Периметр параллелограмма равен 112 см. Найдите его стороны, если одна из них на 12 см меньше другой;
выполнить № 114: Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О, ∠ABD =64°. Найдите ∠COD и ∠AOD.

Спасибо всем за работу! До свидания!

Приложения:

file0.docx.. 35,2 КБ

Опубликовано: 14.11.2021

Два подхода к решению задач на доказательство

Геометрия – одна из древнейших наук, занимающаяся изучением свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве. Современным школьникам приходится уделять очень много времени обучению и выполнению домашних заданий, ведь почти каждая геометрическая задача нестандартна, особенно задачи на доказательство.

В теме «Четырехугольники» проблему с доказательствами поможет решить использование теоремы Вариньона. В данной статье приведено доказательство теоремы Пьера Вариньона и некоторых следствий из неё с использованием авторских чертежей, созданных в программе GeoGebra, а также рассмотрены несколько задач, решенных традиционным способом и с помощью применения вышеуказанной теоремы.

Взявшись за данную статью, автор столкнулась с тем, что для её оформления необходимо умение грамотно и наглядно выполнять чертежи и геометрические построения: чертить четырехугольники, находить середины их сторон, строить перпендикулярные прямые, откладывать на них равные отрезки. Существенную помощь в данной проблеме оказали возможности программы GeoGebra, переведенной на 39 языков и работающей на большом числе операционных систем. GeoGebra предоставляет пользователю набор виртуальных чертежных инструментов, с помощью которых на экране, как на листе бумаги, можно выполнять геометрические построения. Важнейшей особенностью полученного чертежа является то, что программа запоминает алгоритм построения, исходные данные можно легко изменять и результат сохранить в удобном формате.

Рассмотрим теорему Вариньона и пару следствий из неё.

Теорема Вариньона (рисунок 1): Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

Рис. 1

Дано:

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND.

Доказать:

KLMN – параллелограмм;
S_KLMN= S_ABCD:2

Доказательство:

Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например NM. Так как NM является средней линией треугольника ADC, то NM ║AC. По тем же причинам KL║AC. Следовательно, KL║NM и KL= MN= AC:2. таким образом, по признаку KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника
Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника. Поэтому сама сумма площадей первого и третьего треугольников равна четверти площади всего четырехугольника. То же и относительно суммы площадей второго и четвертого треугольников. Поэтому площадь параллелограмма KLMN составляет половину площади четырехугольника

Некоторые следствия из теоремы Вариньона:

Следствие 1.

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали равны; б) бимедианы перпендикулярны.

а) Прямая теорема (рисунок 2): если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Рис. 2

Дано:

ABCD – четырехугольник;

KLMN – параллелограмм Вариньона;

AC=BD

Доказать: KLMN – ромб.

Доказательство:

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то диагонали исходного четырёхугольника равны.

б) Прямая теорема (рисунок 3): если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является ромбом.

Рис. 3

Дано:

ABCD – четырехугольник;

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Доказать: KLMN – ромб.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является ромбом, то бимедианы исходного четырёхугольника перпендикулярны.

Следствие 2.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали перпендикулярны; б) бимедианы равны.

а) Прямая теорема (рисунок 4): если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Рис. 4

Дано:

Четырехугольник ABCD;

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны.

Доказать: KLMN – прямоугольник.

Доказательство:

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то диагонали исходного четырёхугольника перпендикулярны.

б) Прямая теорема (рисунок 5): если в четырёхугольнике бимедианы равны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Рис. 5

Дано:

Четырехугольник ABCD;

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны.

Доказать: KLMN – прямоугольник.

Доказательство:

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Обратная теорема: если параллелограмм Вариньона является прямоугольником, то бимедианы исходного четырёхугольника равны.

Сравнение решений задач с использованием теоремы Вариньона и без её применения:

Задача 1. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма (рисунок 6).

Рис. 6

Дано: ABCD – четырехугольник

AK=KB, BL=LC, CM=MD, AN=ND

Доказать: KLMN – параллелограмм.

Доказательство:

1 способ

Проведем АС и рассмотрим треугольник АВС. KL – средняя линия, следовательно KL║ AC, KL= AC:2. Рассмотрим треугольник ADC, NM – средняя линия, следовательно NM║AC, NM = AC/2.

KL║ AC, NM ║AC, следовательно, KL ║NM.

KL= AC:2, NM = AC:2, следовательно, KL=NM.

KLMN – параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны)

2 способ

KLMN – параллелограмм Вариньона (по определению).

Задача 2. Докажите, что площадь параллелограмма, вершины которого являются серединами сторон четырехугольника ABCD, равна половине площади четырехугольника ADCD (рисунок 7).

Рис. 7

Дано: ABCD – четырехугольник

Доказать: S_KLMN=1/2 S_ABCD

Доказательство:

1 способ

Так как S_ABCD=1/2AC^XBD sin<1 и S_KLMN=1/2KL^XKN sin<2 и учитывая, что <1=<2, KL=1/2AC и KN=1/2BD, то получаем, что S_KLMN=1/2 S_ABCD

2 способ

Так как KLMN – параллелограмм Вариньона, то его площадь равна половине площади четырехугольника ABCD.

Задача 3. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот (рисунок 8).

Рис. 8

Доказательство:

1 способ

AC – диагональ. KL – средняя линия треугольника ABC. NM – средняя линия треугольника ADC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (AB=DC, BC=DC, AC – общая сторона) => KL=NM. Также KL||NM (AC||NM, AC||KL) => KLMN- параллелограмм.
Из первого следует, что KL=NM. Аналогично можно доказать, что LM=KN.
ABCD – прямоугольник => AC=BD. => KL=LM=MN=NK=> KLMN – ромб.

2 способ

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба;

б) Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.

2.2: Основания и высоты параллелограммов

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 39636

Иллюстративная математика
OpenUp Resources

Lesson

Давайте еще немного исследуем площадь параллелограмма.

Упражнение $\PageIndex{1}$: параллелограмм и его прямоугольники

Елена и Тайлер находили площадь этого параллелограмма:

Рисунок $\PageIndex{1}$

Переместите ползунок, чтобы увидеть, как это сделал Тайлер:

Переместите ползунок, чтобы увидеть, как это сделала Елена:

В чем сходство двух стратегий нахождения площади параллелограмма? Чем они отличаются?

Упражнение $\PageIndex{2}$: Правильная высота?

Изучите примеры и не примеры оснований и высот параллелограммов.

Примеры: Пунктирные сегменты на этих рисунках представляют соответствующую высоту для данного основания.

Рисунок $\PageIndex{2}$

Непримеры: пунктирные сегменты на этих рисунках , а не представляют соответствующую высоту для данного основания.

Рисунок $\PageIndex{3}$

Выберите все верные утверждения о основаниях и высотах параллелограмма.
1. Основанием может быть только горизонтальная сторона параллелограмма.
2. Любая сторона параллелограмма может быть основанием.
3. Высота может быть проведена под любым углом к стороне, выбранной в качестве основания.
4. Основание и соответствующая ему высота должны быть перпендикулярны друг другу.
5. Высоту можно изобразить только внутри параллелограмма.
6. Высоту можно провести за пределами параллелограмма, если он проведен под углом 90 градусов к основанию.
7. База не может быть увеличена до высоты.
Пять студентов обозначили основание $b$ и соответствующую высоту $h$ для каждого из этих параллелограммов. Все ли рисунки подписаны правильно? Объясните откуда вы знаете.

Рисунок $\PageIndex{4}$

Готовы ли вы к большему?

В апплете параллелограмм состоит из отрезков сплошных линий, а высота и опорные линии — из отрезков пунктирных линий. База b и соответствующая высота h помечены.

Упражнение $\PageIndex{3}$: нахождение формулы площади параллелограмма

Для каждого параллелограмма:

Определите основание и соответствующую высоту и запишите их длины в таблицу.
Найдите площадь параллелограмма и запишите ее в последний столбец таблицы.

Рисунок $\PageIndex{5}$

Таблица $\PageIndex{1}$
параллелограмм	база (шт.)	высота (ед.)
А
Б
С
Д
любой параллелограмм	$б$	$ч$

В последней строке напишите выражение для площади любого параллелограмма, используя $b$ и $h$.

Готовы ли вы к большему?

Что произойдет с площадью параллелограмма, если его высота удвоится, а основание не изменится? Если высота утроится? Если высота в 100 раз больше исходной?
Что произойдет с площадью, если и основание, и высота удвоятся? Оба тройные? Обе в 100 раз длиннее своей первоначальной длины?

Резюме

Мы можем выбрать любую из четырех сторон параллелограмма в качестве основания . И сторона (отрезок), и его длина (размер) называются основанием.
Если мы проведем любой перпендикулярный отрезок из точки на основании к противоположной стороне параллелограмма, этот отрезок всегда будет иметь одинаковую длину. Мы называем это значение высотой . Существует бесконечно много сегментов, которые могут представлять высоту!

Рисунок $\PageIndex{6}$: 2 копии одного и того же параллелограмма. Слева база = 6 единиц. Соответствующая высота = 4 единицы.

Справа база = 5 единиц. Соответствующая высота = 4,8 единицы. Для обоих показаны 3 разных сегмента, представляющих высоту.

Вот две копии одного и того же параллелограмма. Слева сторона, являющаяся основанием, имеет длину 6 единиц. Соответствующая ему высота равна 4 единицам. Справа сторона, являющаяся основанием, имеет длину 5 единиц. Его соответствующая высота составляет 4,8 единицы. Для обоих показаны три разных сегмента, представляющих высоту. Мы могли бы привлечь гораздо больше!

Независимо от того, какая сторона выбрана в качестве основания, площадь параллелограмма равна произведению этого основания и соответствующей ему высоты. Мы можем проверить это:

$4\times 6=24\qquad\text{ и }\qquad 4.8\times 5=24$

Мы можем понять, почему это так, разложив и перестроив параллелограммы в прямоугольники.

Рисунок $\PageIndex{7}$

Обратите внимание, что длины сторон каждого прямоугольника являются основанием и высотой параллелограмма. Несмотря на то, что у двух прямоугольников разные длины сторон, произведения длин сторон равны, поэтому они имеют одинаковую площадь! И оба прямоугольника имеют ту же площадь, что и параллелограмм.

Мы часто используем буквы вместо цифр. Если $b$ — основание параллелограмма (в единицах), а $h$ — соответствующая высота (в единицах), то площадь параллелограмма (в квадратных единицах) равна произведению этих двух чисел. $b\cdot h$

Обратите внимание, что мы пишем символ умножения с маленькой точкой вместо символа $\times$. Это сделано для того, чтобы мы не запутались в том, означает ли $\times$ умножение или буква $x$ заменяет число.

В старших классах вы сможете доказать, что отрезок перпендикуляра из точки на одной стороне параллелограмма к противоположной стороне всегда будет иметь одинаковую длину.

Рисунок $\PageIndex{8}$

Проще всего это увидеть, нарисовав параллелограмм на миллиметровой бумаге. А пока мы просто будем использовать это как факт.

Статьи глоссария

Определение: основание (параллелограмма или треугольника)

Мы можем выбрать любую сторону параллелограмма или треугольника в качестве основания фигуры. Иногда мы используем слово база для обозначения длины этой стороны.

Рисунок $\PageIndex{9}$

Определение: высота (параллелограмма или треугольника)

Высота – это кратчайшее расстояние от основания фигуры до противоположной стороны (для параллелограмма) или противоположной вершины (для треугольник).

Мы можем показать высоту более чем в одном месте, но она всегда будет перпендикулярна выбранному основанию.

Рисунок $\PageIndex{10}$

Определение: параллелограмм

Параллелограмм — это тип четырехугольника, у которого две пары параллельных сторон.

Вот два примера параллелограмма.

Рисунок $\PageIndex{11}$: два параллелограмма с указанными углами и длинами сторон. Слева верхняя и нижняя стороны = 5 единиц. Левая и правая стороны = 4,24 единицы. Верхний левый и нижний правый углы = 135 градусов. Верхний правый и нижний левый углы = 45 градусов. Справа верхняя и нижняя стороны = 9,34 единицы. Левая и правая стороны = 4 единицы.

Верхний левый и нижний правый углы = 27,2 градуса. Верхний правый и нижний левый углы = 152,8 градуса.

Определение: Четырехугольник

Четырехугольник — это тип многоугольника, который имеет 4 стороны. Прямоугольник является примером четырехугольника. Пятиугольник не является четырехугольником, потому что у него 5 сторон.

Практика

Упражнение $\PageIndex{4}$

Выберите все параллелограммов, высота которых указана правильно для данного основания.

Рисунок $\PageIndex{12}$: 4 параллелограмма на сетке, помеченные A, B, C, D. Параллелограмм A, основание = 3 единицы, высота = 2 единицы. Параллелограмм B, основание = 3 единицы, высота = 2 единицы. Параллелограмм С, основание = 3 звена, высота = 2 звена. Параллелограмм D, основание = диагональ двух единичных квадратов, высота = 3 единицы.

Упражнение $\PageIndex{5}$

Сторона, обозначенная $b$, выбрана в качестве основания этого параллелограмма.

Рисунок $\PageIndex{13}$

Нарисуйте сегмент, показывающий высоту, соответствующую этому основанию.

Упражнение $\PageIndex{6}$

Найдите площадь каждого параллелограмма.

Рисунок $\PageIndex{14}$: 3 параллелограмма на сетке, помеченные A, B, C. Параллелограмм A, основание = 4 единицы, высота = 2 единицы. Параллелограмм B, основание = 5 единиц, высота = 2 единицы. Параллелограмм С, основание = 2 единицы, высота = 4 единицы.

Упражнение $\PageIndex{7}$

Если сторона, длина которой равна 6 единицам, является основанием этого параллелограмма, какова его соответствующая высота?

Рисунок $\PageIndex{15}$: параллелограмм, нижняя и верхняя стороны которого обозначены цифрой 6, а правая сторона — цифрой 5. Пунктирная линия, перпендикулярная правой стороне, обозначена цифрой 4,8, а пунктирная линия, перпендикулярная нижней стороне, — с маркировкой 4.

6 шт.
4,8 шт.
4 шт.
5 шт.

Упражнение $\PageIndex{8}$

Найдите площадь каждого параллелограмма.

Рисунок $\PageIndex{16}$: 3 параллелограмма с обозначениями A, B, C. Параллелограмм A, основание = 9 сантиметров, высота = 4 сантиметра. Параллелограмм В, основание = 5 см, высота = 4 см. Параллелограмм C, основание = b, высота = h.

Упражнение $\PageIndex{9}$

Согласны ли вы с каждым из этих утверждений? Объясните свои рассуждения.

Параллелограмм имеет шесть сторон.
Противоположные стороны параллелограмма параллельны.
Параллелограмм может иметь одну или две пары параллельных сторон.
Все стороны параллелограмма имеют одинаковую длину.
Все углы параллелограмма имеют одинаковую величину.

(из блока 1.2.1)

Упражнение $\PageIndex{10}$

Квадрат площадью 1 квадратный метр разложен на 9 одинаковых маленьких квадратов. Каждый маленький квадрат разбивается на два одинаковых треугольника.

Какова площадь шести треугольников в квадратных метрах? Если вы застряли, подумайте о том, чтобы нарисовать диаграмму.
Сколько нужно треугольников, чтобы составить область площадью $1\frac{1}{2}$ квадратных метров?

(из модуля 1.1.2)

Эта страница под названием 2.2: Основания и высоты параллелограммов распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Illustrative Mathematics посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
Иллюстративная математика
Лицензия
СС BY
Версия лицензии
4,0
Теги
1. источник!@https://access. openupresources.org/curricula/our6-8math/en/grade-6/index.html
2. источник@https://access.openupresources.org/curricula/our6-8math/en/grade-6/index.html

Параллелограммы. Свойства, формы, стороны, диагонали и углы — с примерами и рисунками

Интерактивный параллелограмм

Расчет параллелограмма

Классифицировать типы

Параллелограмм – это четырехугольник, составленный из двух пар пересекающихся параллельные линии. Существует несколько правил, связанных с:

углы параллелограмма
стороны параллелограмма
диагонали параллелограмма

Правило 1: Противоположные стороны параллельны Подробнее

Правило 2: Противоположные стороны конгруэнтны Подробнее

Правило 3: Противоположные углы равны Подробнее

Правило 4: Смежные углы являются дополнительными Подробнее

Правило 5: Диагонали делят друг друга пополам Подробнее

Интерактивный параллелограмм

Углы параллелограмма Стороны параллелограмма Диагонали параллелограмма

∠ А
∠ Б
∠ С
∠ Д

Показать сетку

Привязки к сетке

Перетащите точки для запуска демонстрации

Две пары параллельных линий

Чтобы создать параллелограмм, просто подумайте о двух разных парах параллельные линии пересекающиеся. ABCD — параллелограмм.

Нажмите на кнопку ниже, чтобы включить чистый параллельные линии в параллелограмм.

Углы параллелограмма

Противоположные углы равны

$$ \угол D \конг \угол B \\ \угол A \конг \угол C $$

Треугольники можно использовать для докажите это правило относительно противоположного угла.

Смежные углы являются дополнительными

Следующие пары уголков являются дополнительными

$$ \угол C $$ и $$ \угол D $$
$$ \угол C $$ и $$ \угол B $$
$$ \угол A $$ и $$ \угол B $$ 9{\circ} $$, так как он противоположен $$ \угол Z $$

Проблема 2

Какова мера x, y, z в параллелограмме ниже?

Стороны параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Треугольники можно использовать для докажите это правило относительно противоположных сторон.

Чтобы изучить эти правила, управляющие сторонами параллелограмма, используйте Math Warehouse. интерактивный параллелограмм.

Проблема 3

Какова длина стороны BD и стороны CD параллелограмма ABCD?

Проблема 4

Чему равен x в параллелограмме слева?

Проблема 5

Каково значение x и y в параллелограмме ниже?

Поскольку противоположные стороны конгруэнтны, вы можете составить следующие уравнения и решить их для $$x $$: $ \text{ Уравнение 1} \\ 2х — 10 = х + 80 \\ х — 10 = 80 \\ х = 90 $

Поскольку противоположные стороны конгруэнтны, вы можете составить следующие уравнения и решить для $$y $$: $ \text{ Уравнение 2} \\ 3у — 4 = у + 20 \\ 2у — 4 = 24 \\ 2г = 24 \\ у = 12 $

Диагонали

Диагонали параллелограмма делятся пополам.

АО = ОД
СО = ОБ

Чтобы изучить эти правила, управляющие диагоналями параллелограмма, используйте Math Warehouse. интерактивный параллелограмм.

Проблема 6

Что такое x и Y?

Поскольку диагонали делят друг друга пополам, y = 16 и x = 22

Проблема 7

Что такое х?

$$ х + 40 = 2х + 18 \\ 40 = х +18 \\ 40 = х + 18 \\ 22 = х $$

Интерактивный параллелограмм

Расчет параллелограмма

Классифицировать типы

Объяснение

параллелограммных линий симметрии! — Мэшап Математика

Каждый урок или курс геометрии будет включать глубокое изучение свойств параллелограммов. В этом посте мы быстро рассмотрим ключевые свойства параллелограммов, включая их стороны, углы и соответствующие отношения.

Наконец, мы определим, имеет ли параллелограмм линейную симметрию. И, если параллелограмм имеет линейную симметрию, как будут выглядеть линии симметрии параллелограмма (в виде диаграммы).

Прежде чем мы ответим на эти ключевые вопросы, связанные с симметрией параллелограммов, давайте кратко рассмотрим свойства параллелограммов:

Что такое параллелограмм?

Определение: Параллелограмм — это особый вид четырехугольника (замкнутая четырехсторонняя фигура), в котором противоположные стороны параллельны друг другу и имеют одинаковую длину.

Кроме того, внутренние противоположные углы любого параллелограмма имеют одинаковую величину. А любая пара смежных внутренних углов в параллелограмме является дополнительной (в сумме они равны 180 градусам).

На следующей диаграмме показаны основные свойства параллелограммов:

Линии симметрии параллелограмма

Теперь, когда вы понимаете основные свойства и отношения углов параллелограмма, вы готовы исследовать следующие вопросы:

Имеют ли параллелограммы линейную симметрию?
Сколько осей симметрии в параллелограмме?
Если у параллелограмма нет осей симметрии, то почему у параллелограмма нет осей симметрии?

Для начала отметим, что линия симметрии — это ось или воображаемая линия, которая может проходить через центр фигуры (обращенной в любом направлении) таким образом, что она разрезает фигуру на две равные половины, которые являются зеркальными изображения друг друга.

Например, квадрат, прямоугольник и ромб имеют линейную симметрию , потому что по крайней мере одна воображаемая линия может быть проведена через центр фигуры, которая разрезает ее на две равные половины, являющиеся зеркальным отражением друг друга.

На самом деле фигура может иметь несколько линий симметрии. На приведенной ниже диаграмме видно, что квадрат имеет четыре оси симметрии, а прямоугольник и ромб — только две оси симметрии.

А параллелограмм?

Получается, что у параллелограмма , а не нет осей симметрии.

Но почему у параллелограмма нет осей симметрии? Потому что для любого параллелограмма невозможно построить линию симметрии (ось или воображаемую линию, проходящую через центр фигуры и разрезающую изображение пополам, где каждая сторона является зеркальным отражением другой).

Вы можете попытаться построить линию симметрии на любом параллелограмме, и вы увидите, что это невозможно.

На рисунке ниже показано, почему общее количество линий симметрии в параллелограмме равно нулю.

Имеет ли параллелограмм вообще какую-либо симметрию?

Хотя параллелограммы не имеют линейной симметрии, они обладают вращательной симметрией!

В геометрии вращательная симметрия относится к ситуации, когда фигура становится точно такой же, как ее прообраз после того, как она была повернута на несколько градусов.

Параллелограмм обладает вращательной симметрией, поскольку та же самая фигура появится после поворота оригинала или прообраза на 180 градусов.

На рисунке ниже показано, почему параллелограммы обладают вращательной симметрией.

Заключение

На сегодняшнем уроке мы исследовали линии симметрии параллелограмма, независимо от того, существуют ли они, и обладают ли параллелограммы вообще симметрией.

После рассмотрения свойств параллелограммов, а именно того, что они являются четырехугольниками, у которых противоположные стороны и противоположные углы равны, мы решили определить, обладают ли параллелограммы линейной симметрией.

Применяя определение линии симметрии, мы пришли к выводу, что, хотя такие фигуры, как квадраты и прямоугольники, действительно имеют линии симметрии, параллелограммы не имеют линий симметрии.

Параллелограммы имеют нулевые линии симметрии, потому что невозможно провести через центр любого параллелограмма линию, которая делит фигуру на две равные половины, являющиеся зеркальным отражением друг друга.

Однако, несмотря на то, что параллелограммы не имеют линейной симметрии, они обладают вращательной симметрией, поскольку любой параллелограмм после поворота на 180 градусов приведет к точно такому же изображению, с которого вы начали.

Поделитесь своими мыслями, вопросами и предложениями в разделе комментариев ниже!

(Никогда не пропустите блог Mashup Math — нажмите здесь, чтобы получать нашу еженедельную рассылку!)

Автор: Энтони Персико0060 MashUp Math и советник кампании Amazon Education « With Math I Can ». Вы часто можете увидеть, как я с радостью разрабатываю анимированные уроки математики, которыми я делюсь на моем канале YouTube . Или проводить слишком много времени в тренажерном зале или играть на своем телефоне.

Вам также может понравиться…
Комментарий
Построение параллелограммов с заданным квадратом – легко
В вашем браузере деактивирован JavaScript.
Чтобы получить доступ ко всем функциям нашего веб-сайта,
активируйте JavaScript для вашего браузера.
Попробуйте 30 дней бесплатно
Узнайте, почему более 1,2 МИЛЛИОНА студентов выбирают диван-репетитор!
org/BreadcrumbList»>
Математика
Площади и формы
Четырехугольники
Построение параллелограммов с заданным квадратом
Рейтинг
Будьте первым, чтобы дать оценку!
Вы должны войти в систему, чтобы иметь возможность дать оценку.
Вау, спасибо!
Оцените нас и в Google! Мы с нетерпением ждем этого!
Перейти в Google
Авторы
Николай Васильевич
После этого урока вы сможете строить параллелограммы с помощью линейки, транспортира и угольника.
Урок начинается с демонстрации того, как строить отрезки и углы с помощью линейки и транспортира. Это приведет вас к тому, что вы узнаете, как можно использовать заданный квадрат для построения сегмента, параллельного данному сегменту, через определенную точку. Он завершается использованием заданного квадрата, чтобы проверить, параллельны ли две линии.
Узнайте о заданных квадратах и параллелограммах, помогая Бобу исправить геометрическую скульптуру!
Это видео включает в себя ключевые термины, такие как параллелограмм (четырехугольник с двумя парами параллельных сторон), линейка (для измерения или построения сегментов), транспортир (для измерения или построения углов) и заданный квадрат (прямоугольный треугольник, с которым мы можем связать линейка для построения параллельных линий).
Перед просмотром этого видео вы уже должны быть знакомы с углами, отрезками, лучами, прямыми, параллельными и перпендикулярными прямыми и параллелограммами.
После просмотра этого видео вы будете готовы научиться пользоваться линейкой, транспортиром и угольником для построения фигур в соответствии с заданными спецификациями.
Общий базовый стандарт(ы), в центре внимания: 7.G.A.2 Видео предназначено для учащихся 7 класса по математике. Рекомендуется для учащихся 12–13 лет
Стенограмма
Построение параллелограммов с заданным квадратом
Боб долгое время ухаживал за территорией Полигон-парка. Обычно он носится вокруг, кося идеально параллельными линиями. Но сегодня он немного не в себе, и жертва — одна из многочисленных скульптур в парке. Чтобы исправить повреждение, прежде чем кто-либо заметит, и сохранить свою работу, Бобу нужно построить параллелограммы с заданным квадратом. Скульптура, которую сломал Боб, была сделана из сотен параллелограммов. Это означает, что ему придется построить параллелограммы с нуля, которые соответствуют тем, которые используются в скульптуре. Давайте посмотрим, какие инструменты есть в распоряжении Боба, чтобы убедиться, что у него есть все необходимое для выполнения работы. Во-первых, у нас есть линейка для измерения длины и построения прямых отрезков. Во-вторых, у нас есть транспортир для измерения и построения углов. Наконец, у нас есть заданный квадрат, который иногда называют треугольником. На самом деле форма заданного квадрата — прямоугольный треугольник. С помощью линейки можно построить параллельные линии или проверить, параллельны ли две заданные линии. У нас есть измерения двух сторон и угла параллелограмма. Чтобы начать наше построение, мы начнем с точки, которую мы назовем «А». Отсюда мы отмерим нашу самую длинную сторону, 8 дюймов, и отметим еще одну точку, которую назовем «В». Это одна из сторон параллелограмма. Теперь мы построим угол 70 градусов в точке «В». Какой инструмент лучше всего использовать при построении углов заданной меры? Транспортир! Поместите центр транспортира на ‘B’, а затем поставьте точку под углом 70 градусов. С помощью линейки проведите луч через точку «В» и эту точку. Этот луч будет другой стороной параллелограмма размером 5 дюймов. Давайте воспользуемся нашей линейкой, чтобы отмерить 5 дюймов от точки «В» вдоль этого луча и назовем эту точку «С». Теперь у нас есть две стороны параллелограмма и один угол. Поскольку мы строим параллелограмм, что мы знаем о двух других сторонах? Каждая из них параллельна существующей стороне. Итак, давайте сначала построим отрезок, параллельный «BC», проходящий через точку A. Для этого нам понадобится наш угольник и линейка. Выровняйте одну сторону установленного квадрата с «BC», а линейку с другой стороной установленного квадрата. Отрезок BC теперь перпендикулярен линейке, что делает этот угол прямым. Теперь держите линейку на месте и сдвиньте квадрат вдоль линейки. Любая новая линия, которую мы проводим вдоль этой стороны заданного квадрата, будет перпендикулярна линейке, что дает нам еще один прямой угол. Поскольку эти два угла являются соответствующими углами и равны, эта новая линия, образованная на этой стороне установленного квадрата, будет параллельна «BC». Теперь нам просто нужно убедиться, что параллельная линия пересекает точку «А», поэтому мы сдвинем установленный квадрат дальше по линейке до точки «А». Построив луч из точки «А» вдоль заданного квадрата, продлеваем его любым прямым ребром. Например, заданный квадрат. Мы построили сторону, параллельную «BC». Какой стороне будет параллельна наша последняя сторона? Он будет параллелен ‘АВ’ и пройдет через точку С. Положите одну из сторон заданного квадрата на ‘АВ’… а на другую положите линейку. Линия «АВ» перпендикулярна линейке, так как заданный квадрат является прямоугольным треугольником. Теперь держите линейку на месте и двигайте угольник вдоль линейки, пока он не достигнет точки «С». Держите линейку крепко, чтобы она не соскользнула! Постройте луч из точки «С». Поскольку этот луч также перпендикулярен линейке, он должен быть параллелен «АВ». Теперь растяните этот луч с помощью линейки. Точка пересечения этого луча и этого луча является последней вершиной нашего параллелограмма, которую мы обозначим буквой «D». Так как противоположные стороны параллельны, это параллелограмм. Хорошо сделано! Пока Боб работает над реконструкцией скульптуры, давайте рассмотрим важный шаг в построении нашего параллелограмма: построение стороны, параллельной другой стороне. Здесь нам даны две стороны параллелограмма, и мы хотим построить третью сторону, параллельную одной из них. Сначала мы выравниваем одну сторону квадрата с заданной стороной… а другую сторону квадрата с помощью линейки. Затем мы двигаем установленный квадрат вдоль линейки, пока не достигнем конечной точки другой стороны. Наконец, мы рисуем нашу новую сторону. Обе эти линии перпендикулярны линейке, а значит, параллельны друг другу. После долгого рабочего дня Боб наконец закончил реконструкцию скульптуры. Будем надеяться, что никто не заметил, что он сломался! Может быть, есть какие-то параллели между работой садовника и созданием великих скульптур.
Компания
Наша команда
Цены
Вакансии
Платформа
Как это работает
Обучающие видео
Упражнения
Диван-герой
Рабочие листы
Чат
Справка
Часто задаваемые вопросы
Дайте нам отзыв
Юридический
Условия
Право на отзыв
Политика конфиденциальности
Свяжитесь с нами
Не продавать мою личную информацию
Есть вопросы? Свяжитесь с нами!
help@sofatutor. com
дивантутор.com
диван-репетитор.ch
диван-репетитор.ат
дивантутор.com
ru.sofatutor.co.uk
Есть вопросы? Свяжитесь с нами!
[email protected]
Математика, 7 класс, Построения и углы, Характеристики параллелограммов#GoOpenNC
Обзор
Учащиеся больше узнают о характеристиках параллелограмма, складывая бумагу и измеряя углы параллелограмма. С помощью линейки и транспортира учащиеся рисуют параллелограммы с заданными свойствами. Затем учащиеся с помощью линейки и транспортира рисуют прямоугольник.
Противоположные углы параллелограмма равны.
Смежные углы параллелограмма являются дополнительными.
Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
Диагонали прямоугольника равны.
Доступ к предварительным знаниям о параллелограммах.
Поймите, что сумма углов любого четырехугольника равна 360°.
Понимать соотношение углов и диагоналей параллелограмма.
Понимать соотношение углов и диагоналей в прямоугольнике.
Предложите учащимся просмотреть начальную фигуру и обсудить вопросы: «Что делает это параллелограммом?» и «Что вы заметили в параллелограмме?»
ELL: Покажите любые конгруэнтные стороны и углы фигуры, закрасив соответствующие конгруэнтные стороны одним цветом и используя «галочки», чтобы учащиеся могли четко определить конгруэнтные стороны. Отметьте параллельные линии «стрелками», чтобы обозначить линии, которые параллельны друг другу.
Учащиеся должны обратить внимание на следующее:
Фигура является параллелограммом, поскольку противоположные стороны конгруэнтны и параллельны.
Кроме того, противоположные углы кажутся конгруэнтными, а диагонали кажутся разделенными на два конгруэнтных сегмента.
Открытие
В первый день этого модуля вы сложили бумагу, чтобы сделать этот параллелограмм.
Обсудите следующее со своими одноклассниками.
Что делает эту фигуру параллелограммом?
Что вы заметили в параллелограмме?
Обсудить задание по математике. Студенты изучат отношения углов и диагональные отношения в параллелограммах.
Отверстие
Исследуйте соотношения углов и диагоналей в параллелограммах.
Раздайте учащимся транспортиры и листы бумаги размером 8½ x 11 дюймов. Предложите учащимся поработать с партнером и поделиться своими результатами со своей группой или за столом.
SWD: Учащимся с ограниченными возможностями может потребоваться повторение и закрепление основных навыков и понятий, рассмотренных в этом уроке. Предложите учащимся использовать это время как возможность повторить и закрепить, как точно измерить угол с помощью транспортира.
ELL: Моделирование того, как складывать карты, очень важно для ELL. Это помогает им прояснить сложные концепции и/или направления. Это также дает учащимся возможность задавать вопросы, а инструктору — моделировать эффективные стратегии обучения.
Показанный прямоугольник является примером того, как может выглядеть сложенный лист бумаги. Он помечен, чтобы упростить обращение к конкретным углам.
Фигура представляет собой параллелограмм. Противоположные стороны кажутся параллельными и имеют одинаковую длину. Противоположные стороны бумаги параллельны и при складывании вместе создают параллельные сгибы. Эти параллельные складки образуют фигуру.
Размеры углов различаются. Учащиеся должны заметить, что противоположные углы конгруэнтны (углы 1 и 4, углы 2 и 3), а смежные углы являются дополнительными (углы 1 и 2, углы 2 и 4, углы 3 и 4, углы 1 и 3).
Учащиеся должны увидеть, например, что углы 1 и 6 и углы 5 и 7 являются вертикальными углами и поэтому равны. Они должны увидеть, что углы 6 и 7, углы 1 и 7, углы 1 и 5, углы 5 и 6 являются дополнительными. Поскольку на каждом пересечении параллелограмма есть две пары дополнительных углов, сумма четырех углов будет равна 360 °. Другими словами, сумма трех углов, не содержащихся в параллелограмме на каждом пересечении, будет равна 360° минус мера угла, содержащегося в параллелограмме. Обладая этими знаниями, они могут легко найти меры угла.
Учащиеся должны увидеть, что углы 1 и 10 и углы 2 и 5 равны. Это объясняет, почему последовательные углы являются дополнительными: углы 1 и 5 являются дополнительными, а угол 5 равен углу 2, поэтому углы 1 и 2 являются дополнительными. Студенты также могут заметить, что углы 6 и 12 и углы 9 и 15 равны. Конгруэнтные углы демонстрируют свойства параллелограмма и взаимосвязь между внутренними углами и внешними углами. Углы являются дополнительными или равными в результате того, что параллелограмм образован парами параллельных прямых.
Рабочее время
Начните с листа бумаги. Сложите левый край к центру под наклоном. Затем сложите правый край к центру так, чтобы правый край совпадал с левым краем. Развернуть.
Повторите описанные выше шаги, используя верхний и нижний края.
Посмотрите на заштрихованную центральную фигуру, очерченную складками.
Что это за фигура? Откуда вы знаете? Как вы думаете, почему фигура такого типа образовалась в результате складывания бумаги так, как это сделали вы?
Измерьте каждый из четырех углов внутри фигуры и запишите измерения на бумаге. Что ты заметил?
Для каждого из четырех измеренных вами углов есть три угла, которые имеют одну и ту же вершину, но лежат вне фигуры. Чему равна сумма этих трех углов? Откуда вы знаете?
Какие равные углы вы видите? Что эти углы говорят вам о фигуре?
Предложите учащимся продолжить работу с партнером и поделиться своими результатами со своей группой или за столом.
Учащийся неправильно следует указаниям по рисованию параллелограмма.
Чему равна сумма дополнительных углов?
Какова мера каждого угла, который вы рисуете?
Поскольку первый угол острый, каким будет второй угол?
Длина стороны 4 дюйма.
Фигура является параллелограммом, поскольку противоположные стороны имеют одинаковую длину. Кроме того, смежные углы являются дополнительными, а противоположные углы равны.
Два сегмента каждой диагонали имеют одинаковую длину.
Рабочее время
На новом листе бумаги нарисуйте четырехугольник, выполнив следующие действия:
Начертите горизонтальную линию длиной 4 дюйма.
На левой стороне отрезка постройте острый угол, открывающийся вправо, начертив отрезок, пересекающий левый конец горизонтальной линии. Сделайте линию длиной 3 дюйма.
На правой стороне горизонтального сегмента постройте угол, который является дополнительным углом к первому углу и который открывается влево, начертив отрезок, пересекающий правый конец горизонтальной линии. Сделайте линию длиной 3 дюйма.
Нарисуйте линию, чтобы соединить концы двух 3-дюймовых линий.
Используйте готовый четырехугольник, чтобы сделать следующее.
Измерьте длину последней нарисованной стороны. Как долго это?
Измерьте каждый из углов. Какую фигуру вы нарисовали? Откуда вы знаете?
Проведите две диагонали (отрезки от одной вершины до противоположной). Диагонали пересекутся, и пересечение «разделит» каждую диагональ на два отрезка. Измерьте длину двух сегментов каждой диагонали. Что ты заметил?
Подсказка:
Как связаны углы на этом рисунке?
Чему равна сумма углов?
Предложите учащимся продолжить работу с партнером и поделиться своими результатами со своей группой или за столом.
Ученик не знает, как нарисовать прямоугольник.
Что вы знаете о прямоугольниках?
Какова мера угла в прямоугольнике?
[общая ошибка] Студент не видит прямоугольник как параллелограмм, потому что стороны не наклонены.
Каковы характеристики параллелограмма?
Каковы характеристики прямоугольника?
Чем они похожи? Насколько они разные?
Большинство учащихся выбирают две длины сторон и рисуют прямой угол с помощью транспортира. Третья сторона будет под прямым углом, а четвертая сторона соединит концы противоположных сторон.
Учащиеся должны увидеть, что отрезки каждой диагонали имеют одинаковую длину. Затем они должны увидеть, что все четыре сегмента диагоналей имеют одинаковую длину, что приводит к выводу, что диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину.
Рабочее время
На новом листе бумаги с помощью транспортира и линейки начертите прямоугольник.
Какие шаги вы предприняли, чтобы нарисовать прямоугольник? Как узнать, что ваша фигура прямоугольник?
Проведите две диагонали (отрезки от одной вершины до противоположной). Измерьте длину двух сегментов каждой диагонали. Что ты заметил?
Подсказка:
Как связаны углы в прямоугольнике?
Чему равна сумма углов прямоугольника?
Ищите ответы такого типа, чтобы поделиться ими во время обсуждения «Пути мышления».
Найдите учащихся, которые
Сложили лист параллельно сторонам, образовав прямоугольник.
Определите различные пары равных углов вокруг параллелограмма.
Обратите внимание, что смежные углы являются дополнительными.
Обратите внимание, что существует бесконечное количество параллелограммов с длинами сторон 3″ и 4″.
Поймите, что в параллелограмме диагонали делят друг друга пополам.
Поймите, что прямоугольник является параллелограммом, поэтому диагонали делят друг друга пополам, а диагонали имеют одинаковую длину.
Математическая практика 3: Создание убедительных аргументов и критика рассуждений других.
Ищите учащихся, которые могут строить предположения и делать обобщения о свойствах параллелограммов на основе множества случаев, которые они видели.
Математическая практика 6: Следите за точностью.
Ищите учащихся, которые понимают важность точного измерения углов и длин. Учащиеся, не следящие за точностью, могут не сделать правильных выводов; например, если лист сложен неаккуратно и неправильно, диагонали не будут разделены пополам, и учащиеся не смогут сделать такой вывод.
Математическая практика 5: Стратегически используйте соответствующие инструменты.
Ищите опытных студентов, которые понимают ограничения инструментов, которые они используют.
Математическая практика 8: Ищите и выражайте регулярность в рассуждениях.
Ищите учащихся, которые связывают свойства диагоналей параллелограмма со свойствами диагоналей прямоугольника.
Ответ
Учащимся необходимо применить свойство, состоящее в том, что диагонали прямоугольника делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Учащиеся решают задачу-задачу, рисуя два отрезка одинаковой длины, которые делят друг друга пополам. Они соединяют концы сегментов, образуя прямоугольник.
Рабочее время
Объясните, что вы узнали о параллелограммах, их диагоналях и углах. Поддержите свое мышление примерами своей работы.
Можете ли вы нарисовать прямоугольник, используя метод, отличный от того, который вы только что использовали? Если да, объясните свой метод.
Организуйте обсуждение, чтобы помочь учащимся понять математику урока. Задайте вопросы, например, следующие:
Какие углы на вашем листе бумаги равны? Как можно назвать эти равные углы? Как вы думаете, всегда ли это будет верно для параллелограммов?
Какие углы являются дополнительными? Как можно назвать эти дополнительные углы? Как вы думаете, всегда ли это будет верно для параллелограммов?
Чему равна сумма углов параллелограмма?
Если бы у вас была линейка и транспортир, как бы вы могли провести параллельные линии?
Как вы думаете, диагонали параллелограмма всегда делят друг друга пополам? (Вы можете неофициально ввести термин пополам .)
Чем прямоугольник похож на параллелограмм? Чем прямоугольник отличается от параллелограмма? (Убедитесь, что обсуждаются диагонали. )
Какие еще свойства параллелограммов вам известны?
Как [ученики] по-разному организовали свои мысли? Что имеет больше смысла для вас? Что выявило структуру математики?
Как [учащиеся] поняли задачи?
Можете ли вы указать, что [ученики] сказали по-другому?
Performance Task
Делайте заметки о том, как ваши одноклассники объясняют углы и диагонали в параллелограммах.
Подсказка:
В присутствии одноклассников задайте такие вопросы, как:
Почему противоположные углы равны, а смежные углы смежны? Как вы думаете, всегда ли это будет верно для параллелограммов?
Чему равна сумма углов параллелограмма?
Как вы думаете, диагонали параллелограмма всегда делят друг друга пополам?
Как прямоугольник связан с параллелограммом? Как это отличается?
В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Противолежащие углы равны, а смежные углы смежны. Диагонали параллелограмма делят друг друга на два равных отрезка. В прямоугольнике они конгруэнтны; в квадрате они и перпендикулярны, и конгруэнтны. Сумма углов любого четырехугольника равна 360°.
SWD: Обобщая свойства параллелограммов и их диагоналей, приведите диаграмму со всеми мерами углов, включенными в диаграмму. Убедитесь, что вы предоставили определения, и пусть все учащиеся запишут эту информацию.
Формирующее оценивание
Напишите краткое изложение углов и диагоналей параллелограмма.
Подсказка:
Проверьте свое резюме:
Объясните ли вы соотношение между противоположными углами и смежными углами в параллелограмме?
Скажите, какова сумма углов в параллелограмме?
Объясните соотношение диагоналей в параллелограмме?
Вы объясните разницу между прямоугольником и параллелограммом?
Пусть каждый учащийся напишет краткое размышление перед окончанием урока. Просмотрите размышления, чтобы узнать, что учащиеся узнали об углах и диагоналях параллелограммов и прямоугольников.
Эл.: ELL может нуждаться в поддержке, поскольку они письменно отвечают на вопросы об углах и диагоналях параллелограммов и прямоугольников. Позвольте им делать наброски диаграмм или говорить с другими учащимися на их родном языке. Делайте акцент на содержании их письма, а не на проблемах с грамматикой, орфографией или пунктуацией. Обращаясь к этим областям, выберите только один вопрос.
Рабочее время
Напишите размышления об идеях, обсуждавшихся сегодня в классе. Используйте приведенный ниже образец предложения, если он окажется вам полезным.
Что меня интересует в параллелограммах …
Что такое параллелограмм? [Факты и примеры определения]
Что такое параллелограмм?
Параллелограмм — это особый тип четырехугольника, у которого обе пары противоположных сторон параллельны и равны.
На данном рисунке изображен параллелограмм ABCD, у которого AB II CD и AD II BC. Кроме того, AD = BC и AB = CD.
Непример:
Трапеция не является примером параллелограмма.

Примеры параллелограмма из реальной жизни
Когда мы оглядываемся вокруг, мы можем видеть множество параллелограммообразных форм и объектов в виде зданий, плиток или бумаги.
Здания : Многие здания построены в форме параллелограмма. Знаменитой реальной иллюстрацией является офисное здание Dockland в Гамбурге, Германия.
Плитка : Плитка бывает разных форм и размеров. Одной из наиболее часто встречающихся форм плитки является параллелограмм.
Ластик : Всем знаком классический ластик. Ластики тоже бывают разных форм и размеров, один из них имеет форму параллелограмма. Грани этого ластика имеют форму параллелограмма.

Свойства параллелограммов
Противоположные стороны параллелограмма параллельны друг другу. Здесь АБ || компакт-диск и переменный ток || БД.
Противоположные стороны параллелограмма равны по длине. Здесь AB = CD и AC = BD
Противоположные углы параллелограмма равны. Здесь ∠A = ∠C и ∠B = ∠D
Как и у всех других четырехугольников, сумма всех углов параллелограмма равна 360°.
Смежные или прилежащие углы параллелограмма в сумме дают 180°. Следовательно, ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°, ∠C + ∠D = 180° и ∠D + ∠A = 180°.
Диагонали параллелограмма делятся пополам. Здесь OB = OD, а OA = OC.
Диагонали AC и BD на рисунке делят параллелограмм на два равных треугольника.

Типы параллелограммов
Существует три уникальных вида параллелограммов:
Ромб: Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Здесь АВ = ВС = CD = DA. ABCD — ромб.
Квадрат: Квадрат представляет собой параллелограмм, у которого все стороны и диагонали равны. Углы прямые. Здесь AB = BC = CD = DA и ∠A = ∠B =∠C =
∠D = 90 градусов, а также AD = BC. АВСD — квадрат.
Прямоугольник: Прямоугольник представляет собой параллелограмм, в котором все углы равны 90°, а диагонали равны. Противоположные стороны имеют одинаковую длину. Здесь все углы прямые. Диагонали PN и OM равны. MNOP — прямоугольник.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма определяется по формуле A = bh , где b — длина основания, а «h» — высота.
Периметр параллелограмма
Периметр параллелограмма равен сумме длин четырех сторон. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, его периметр также может быть выражен как удвоенная сумма смежных сторон, т. е. 2 (AB + BC)
SplashLearn преобразует образование для детей начальной школы от детского сада до 5 класса. SplashLearn мотивирует детей изучать математику с помощью увлекательных и персонализированных программ. Доступный на всех цифровых платформах, он был использован более чем 40 миллионами детей по всему миру. Чтобы узнать больше о параллелограммах, нажмите здесь.
Решенные примеры
Пример 1
На рисунке ниже ABCD представляет собой параллелограмм, где ∠DAB = 75° и ∠CBD = 60°. Вычислите ∠BDC.
Решение:
Как известно, противоположные углы параллелограмма равны. Следовательно, ∠DCB = ∠DAB = 75°.
Мы также знаем, что сумма углов треугольника равна 180°. Теперь рассмотрим
∆ BCD. Здесь ∠BDC + ∠DCB + ∠CBD = 180°
Мы знаем, что ∠DCB = ∠DAB = 75°. Следовательно,
∠НМТ + ∠МЦБ + ∠ЦБР = 180°
⇒ ∠НМТ + 75° + 60° = 180°
⇒ ∠НМТ + 135° = 180°
⇒ = 180°НМТ °
Следовательно, ∠BDC = 45°
Пример 2
Найдите площадь этого параллелограмма с основанием 15 см и высотой 6 см.
Решение:
A = b × h
A = (15 см) × (6 см)
A = 90 см ²
и 3 см. Найдите его периметр.
Решение:
Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны.
Предположим, что у нас есть параллелограмм ABCD, тогда:
AB = CD = 5 см и
BC = AD = 3 см
Периметр параллелограмма = 2 (AB + BC) = 2 (5 + 3) см
= 16 см
Практические задачи
40M
20M
4M
30M
Правильный ответ: 40M
Пересоруженные из них). 40м
Прямоугольник
Ромб
Квадрат
Трапеция
Правильный ответ: Трапеция
У параллелограмма обе противоположные стороны параллельны и равны, тогда как у трапеции есть только одна пара параллельных сторон и нет равных сторон.
140°
130°
120°
110°
Правильный ответ: 120°
Противоположные углы параллелограмма равны. Итак, ∠A = ∠C = 60°, а также ∠B = ∠D
Кроме того, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
60° + ∠B + 60° + ∠D = 360°
120° + ∠B + ∠D = 360°
∠B + ∠D = 240° и ∠B = ∠D
Следовательно, ∠D = 120°
Часто задаваемые вопросы
Является ли трапеция параллелограммом?
Нет, трапеция не является параллелограммом, потому что у параллелограмма две пары параллельных сторон, а у трапеции только одна пара параллельных сторон.
No related posts.