Передвижение графиков функций: параллельный перенос (сдвиг), отображение, растяжение, сжатие, отражение. Курсы по математике

Преобразование графиков элементарных функций

Основные элементарные функции в чистом виде без преобразования встречаются редко, поэтому чаще всего приходится работать  с элементарными функциями, которые получили  из основных  с помощью добавления констант и коэффициентов.  Такие графики строятся при помощи геометрических преобразований заданных элементарных функций.

Рассмотрим на примере квадратичной функции вида y=-13x+232+2, графиком которой является парабола y=x2, которая сжата втрое относительно Оу и симметрична относительно Ох, причем сдвинутую на 23 по Ох вправо, на 2 единицы по Оу вверх. На координатной прямой это выглядит так:

Геометрические преобразования графика функции

Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что  график изображается функцией вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b, когда k1>0, k2>0 являются коэффициентами сжатия при 0<k1<1, 0<k2<1 или растяжения при k1>1, k2>1 вдоль Оу и Ох. Знак перед коэффициентами k1 и k2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по Ох и по Оу.

Определение 1

Существует 3 вида геометрических преобразований графика:

• Масштабирование вдоль Ох и Оу. На это влияют коэффициенты k1 и k2 при условии не равности 1, когда 0<k1<1, 0<k2<1, то график сжимается по Оу, а растягивается по Ох, когда k1>1, k2>1, то график растягивается по Оу и сжимается по Ох.
• Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака «-» перед k1 симметрия идет относительно Ох, перед k2 идет относительно Оу. Если «-» отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
• Параллельный перенос (сдвиг) вдоль Ох и Оу. Преобразование производится  при  наличии коэффициентов a и b неравных 0. Если значение a положительное, до график сдвигается влево на |а|единиц, если отрицательное a, тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси Оу, что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном – вниз.

Степенная функция

Рассмотрим решения на примерах, начиная со степенной функции.

Пример 1

Преобразовать y=x23 и построить график функции y=-12·8x-423+3.

Решение

Представим функции таким образом:

y=-12·8x-423+3=-12·8x-1223+3=-2x-1223+3

Где k1=2, стоит обратить внимание на наличие «-», а=-12 , b=3. Отсюда получаем, что геометрические преобразования  производятся  с растяжения вдоль Оу вдвое, отображается симметрично относительно Ох, сдвигается вправо на 12 и вверх на 3 единицы.

Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что

при растягивании вдвое вдоль Оу имеем, что

Отображение, симметричное относительно Ох, имеет вид

а движение вправо на 12

движение на 3 единицы вверх имеет вид

Показательная функция

Преобразования показательной функции рассмотрим на примерах. 

Пример 2

Произвести построение графика показательной функции y=-1212(2-x)+8.

Решение.

Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что

y=-1212(2-x)+8=-12-12x+1+8=-12·12-12x+8

Отсюда видно, что получим цепочку преобразований y=12x:

y=12x→y=12·12x→y=12·1212x→→y=-12·1212x→y=-12·12-12x→→y=-12·12-12x+8

Получаем, что исходная показательная функция имеет вид

Сжимание вдвое вдоль Оу дает

Растягивание вдоль Ох

Симметричное отображение относительно Ох

Отображение симметрично относительно Оу

Сдвигание на 8 единиц вверх

Логарифмическая функция

Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y=ln(x).

Пример 3

Построить функцию y=lne2·-12×3 при помощи преобразования y=ln(x).

Решение

Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:

y=lne2·-12×3=ln(e2)+ln-12×13=13ln-12x+2

Преобразования логарифмической функции выглядят так:

y=ln(x)→y=13ln(x)→y=13ln12x→→y=13ln-12x→y=13ln-12x+2

Изобразим график исходной логарифмической функции

Производим сжимание строе по Оу

Производим растягивание вдоль Ох

Производим отображение относительно Оу

Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем

Для преобразования графиков тригонометрической функции

необходимо подгонять под схему решения вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b. Необходимо , чтобы k2 приравнивался к Tk2. Отсюда получаем, что 0<k2<1 дает понять, что график функции увеличивает период по Ох, при k1 уменьшает его. От коэффициента k1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

Преобразования y = sin x

Рассмотрим примеры решения заданий с преобразованиями y=sinx.

Пример 4

Построить график y=-3sin12x-32-2 с помощью преобразований функции y=sinx.

Решение

Необходимо привести функцию к виду ±k1·f±k2·x+a+b. Для этого:

y=-3sin12x-32-2=-3sin12(x-3)-2

Видно, что k1=3, k2=12, a=-3, b=-2. Так как перед k1 имеется «-», а перед k2 — нет, тогда получим цепочку преобразований вида:

y=sin(x)→y=3sin(x)→y=3sin12x→y=-3sin12x→→y=-3sin12x-3→y=-3sin12(x-3)-2

Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды y=sin(x) получаем, что наименьшим положительным периодом считается T=2π. Нахождение максимума в точках π2+2π·k; 1, а минимума — -π2+2π·k; -1, k∈Z.

Производится растягивание по Оу втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в 3 раза. T=2π — это наименьший положительный период. Максимумы переходят в π2+2π·k; 3, k∈Z , минимумы — -π2+2π·k; -3, k∈Z.

При растягивании по Ох вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в 2 раза и равняется T=2πk2=4π. Максимумы переходят в π+4π·k; 3, k∈Z, минимумы – в -π+4π·k; -3, k∈Z.

Изображение производится симметрично относительно Ох. Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется T=2πk2=4π. Переход максимума выглядит как -π+4π·k; 3, k∈Z,  а минимума – π+4π·k; -3, k∈Z.

Производится сдвижение графика вниз на 2 единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки -π+3+4π·k; 1, k∈Z, минимумов — π+3+4π·k; -5, k∈Z.

На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.

Преобразование функции y = cos x

Рассмотрим подробное преобразование функции y=cosx.

Пример 5

Построить график функции y=32cos2-2x+1 при помощи преобразования функции вида y=cosx.

Решение

По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду ±k1·f±k2·x+a+b. Тогда получаем, что

y=32cos2-2x+1=32cos(-2(x-1))+1

Из условия видно, что k1=32, k2=2, a=-1, b=1, где k2 имеет «-», а перед k1 он отсутствует.

Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:

y=cos(x)→y=32cos(x)→y=32cos(2x)→y=32cos(-2x)→→y=32cos(-2(x-1))→y=32cos-2(x-1)+1

Пошаговое преобразование  косинусоиды с графической иллюстрацией.

При заданной графике y=cos(x) видно, что наименьший общий период равняется T=2π. Нахождение максимумов в 2π·k; 1, k∈Z, а минимумов π+2π·k; -1, k∈Z.

При растягивании вдоль Оу в 32 раза происходит возрастание амплитуды колебаний в 32 раза.T=2π является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в 2π·k; 32, k∈Z, минимумов в π+2π·k; -32, k∈Z.

При сжатии вдоль Ох вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число  T=2πk2=π. Производится переход  максимумов в π·k; 32, k∈Z,минимумов — π2+π·k; -32, k∈Z.

Симметричное отображение относительно Оу. Так как график нечетный, то он не будет изменяться.

При сдвигании графика на 1. Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода T=π. Нахождение максимумов в π·k+1; 32, k∈Z, минимумов — π2+1+π·k; -32, k∈Z.

При сдвигании на 1 наименьший положительный период равняется T=π и не изменен. Нахождение максимумов в π·k+1; 52, k∈Z, минимумов в π2+1+π·k; -12, k∈Z.

Преобразования функции косинуса завершено.

Преобразования y = tgx

Рассмотрим преобразования на примере y=tgx.

Пример 6

Построить график функции y=-12tgπ3-23x+π3 при помощи преобразований функции y=tg(x).

Решение

Для начала необходимо привести заданную функцию к виду ±k1·f±k2·x+a+b, после чего получаем, что

y=-12tgπ3-23x+π3=-12tg-23x-π2+π3

Отчетливо видно, что k1=12, k2=23, a=-π2, b=π3, а перед коэффициентами k1 и k2 имеется «-». Значит, после преобразования тангенсоиды получаем

y=tg(x)→y=12tg(x)→y=12tg23x→y=-12tg23x→→y=-12tg-23x→y=-12tg-23x-π2→→y=-12tg-23x-π2+π3

Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.

 Имеем, что исходный график – это y=tg(x). Изменение положительного периода равняется T=π. Областью определения считается -π2+π·k; π2+π·k, k∈Z.

Сжимаем  в 2 раза вдоль Оу. T=π считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид -π2+π·k; π2+π·k, k∈Z.

Растягиваем вдоль Ох в 32 раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся T=πk2=32π. А область определения функции с координатами -3π4+32π·k; 3π4+32π·k, k∈Z , меняется только область определения.

Симметрия идет по сторону Ох. Период не изменится  в этот момент.

Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение Ох и Оу, тогда преобразуем до исходной функции.

При движении вправо на π2 видим, что наименьшим положительным периодом является  T=32π. А изменения происходят внутри области определения -π4+32π·k; 5π4+32π·k, k∈Z.

При сдвигании графика на π3 получаем, что изменение области определения отсутствует.

Преобразование тангенса завершено.

Тригонометрическая функция вида y=arccosx

Рассмотрим на примере тригонометрической функции вида y=arccosx.

Пример 7

Построить график функции y=2arcsin13(x-1) при помощи преобразования y=arccosx.

Решение

Для начала необходимо перейти от арккосинуса к арксинусу при помощи обратных тригонометрических функций arcsin x+arcocos x=π2. Значит, получим, что arcsinx=π2-arccosx.

Видно, что y=arccosx→y=-arccosx→y=-arccosx+π2.

Поэтапное преобразование арккосинуса и графическое изображение.

График, данный по условию

Производим отображение относительно Ох

Производим движение вверх на π2.

Таким образом, осуществляется переход от арккосинуса к косинусу. Необходимо произвести геометрические преобразования арксинуса и его графика.

Видно, что k1=2, k2=13, a=-1, b=0, где отсутствует знак «-» у  k1 и k2.

Отсюда получаем, что преобразования y=arcsinx примет вид:

y=arcsin(x)→y=2arcsin(x)→→y=2arcsin13x→y=2arcsin13(x-1)

Поэтапное преобразование графика арксинуса и графическое изображение.

График y=arcsinx имеет область определения  вида x∈-1; 1, тогда интервал y∈-π2; π2 относится к области значений.

Необходимо растянуть вдвое по Оу, причем область определения останется неизменной x∈-1; 1, а область значений y∈-π; π.

Растягивание по Ох строе. Происходит расширение области определения x∈-3; 3, но область значений остается неизменной y∈-π; π.

Производим сдвигание вправо на 1, причем область определения становится равной x∈-2; 4. Без изменений остается область значений y∈-π; π.

Задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершена. Если по условию имеются сложные функции, тогда необходимо прибегнуть к полному исследованию функция.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Движение графиков функций

ГБОУ «Гимназия «Диалог»

• учитель математики Джигкаева Т.З.

Движения графиков функций

y

y=f(x)

Данная презентация может быть использована при проведении уроков в 8-ом классе по теме «Построение графика квадратичной функции с использованием движения графиков», а также для самостоятельного изучения данного материала.

Презентация может быть использована как полностью, так и частично в зависимости от желания преподавателя.

В предлагаемой работе показано пошаговое построение графика функции с использованием некоторых видов движения графиков, что дает возможность учащемуся самостоятельно разобраться с данным материалом.

Также присутствуют задания для самостоятельной работы трех уровней.

Предполагается дальнейшая разработка данной презентации для учащихся старших классов с использованием показательной, логарифмической и тригонометрических функций.

х

o

Рассмотрим некоторые виды движения графиков функций.

Пусть y=f(x) – исходная функция.

f(x) f(x + а )

f(x) f(x) + b

f(x) — f(x)

f(x) f(  x  )

f(x)  f(x) 

Задания для самостоятельной работы

f(x) f(x+a)

Сдвиг графика исходной функции вдоль оси ОХ на | а | единиц:

• вправо, если а  0,
• влево, если а  0.

Рассмотрим пример:

Построить график функции у = ( x- 3 ) 2

y

1) y = x 2 – исходная функция;

y=x 2

у=( x -3) 2

2 ) Сдвигаем каждую точку графика функции у = x 2 на 3 единицы вправо вдоль оси ОХ;

•

• 

• 

•

3 ) Через полученные точки проводим параболу;

4 ) График функции у = ( x -3) 2 построен.

•

•

• 

• 

•

• 

о

х

3

1

f(x) f(x) + b

Сдвиг графика исходной функции вдоль оси О Y на | b | единиц:

• вверх, если b  0,
• вниз, если b  0.

Построить график функции у = x 2 — 3

Рассмотрим пример:

y

1) y = x 2 – исходная функция;

y=x 2

у= x 2 — 3

2 ) Сдвигаем каждую точку графика функции у = x 2 на 3 единицы вниз вдоль оси О Y ;

•

•









3 ) Через полученные точки проводим параболу;

•

•

•

•









•





о

х

4 ) График функции у = x 2 — 3 построен.

1

•

•

•

-3

f(x) — f(x)

Симметричное отображение графика исходной функции относительно оси ОХ.

Рассмотрим пример:

Построить график функции у = — x 2 + 4

y

1) y = x 2 — 4 – исходная функция;

y=x 2 — 4

• 

2 ) Симметрично отображаем каждую точку графика функции у = x 2 — 4 относительно оси ОХ, при этом точки пересечения графика с осью ОХ остаются на месте;

• 









4

•



•

•

•









•

•

о

х

1

3 ) Через полученные точки проводим параболу;

4 ) График функции у = x 2 — 3 построен.

-4

•

•

у = — x 2 + 4

f(x) f( | x | )

Симметричное отображение части графика исходной функции, построенной при х  х 0 , относительно прямой х=х 0 , где х 0 – точка смены знака модуля.

Построить график функции у = x 2 — 4 | х |

Рассмотрим пример:

y

1) y = x 2 – 4х – исходная функция, построим ее график при х  0;

у = x 2 – 4х

 ————————————— •

•

2 ) Симметрично отображаем каждую точку части графика функции у = x 2 – 4х, построенной при х  0, относительно прямой х=0;

о

х

2

4

-2

-4

3 ) Через полученные точки проводим кривую;

4 ) График функции у = x 2 – 4х построен.

 ——————— •

•

 — •

•

•

 ————— •

-4

f(x) | f(x) |

Симметричное отображение части графика исходной функции, лежащей под осью ОХ, относительно этой оси.

Рассмотрим пример:

Построить график функции у = | x 2 – 2х – 3 |

1) y = x 2 – 2х – 3 – исходная функция;

y

у = x 2 – 2х – 3

2 ) Симметрично отображаем каждую точку части графика функции у = x 2 – 2х – 3, лежащей под осью ОХ,относительно этой оси;

•

4



•

•

•









•

•

•

•

о

х

3 ) Через полученные точки проводим кривую;

3

-1

4 ) График функции у = x 2 – 2х – 3 построен.

-4

Вам предлагается выполнить построение графиков функций с использованием движения графиков

1 уровень

2 уровень

3 уровень

1 уровень

Постройте график функции с использованием движения графиков:

• y =(x+2) 2 ( f(x)  f(x+a) )
• y = x 2 +1 ( f(x)  f(x) + b )
• y = -x 2 ( f(x)  — f(x) )
• y = | x 2 — 4 | ( f(x)  f(x) + b , f(x)  | f(x) | )

2 уровень

Постройте график функции с использованием движения графиков:

• y = — (x — 1 ) 2 ( f(x)  f(x+a) , f(x)  — f(x) )
• y = | x 2 — 3 | — 1 ( f(x)  f(x) + b , f(x)  — f(x) , f(x)  f(x) + b)
• y = x 2 – 4х + 5

3 уровень

Постройте график функции с использованием движения графиков:

• y = | — ( 3 — x) 2 + 1 |
• y = | x 2 + 4 | х | + 3 |

операций над функциями: переводы | SparkNotes

Переводы

График функции можно перемещать вверх, вниз, влево или вправо, добавляя или вычитание из вывода или ввода.

Добавление к выходу функции перемещает график вверх. Вычитание из вывода функции сдвигает график вниз. Вот графики y = f ( x ), y = f ( x ) + 2 и y = f ( x ) — 2. Примечание что если ( x , y ₁ ) точка на графике f ( x ), ( x , y _{2 ) 9003 точка на 0 график f ( x ) + 2, а ( x , y 3 ) является точкой на графике f ( x ) — 2, затем у 2 = у 1 + 2 и у 3 = y 1 — 2. Например, (1, 2) на графике f ( x ), (1, 4) находится на графике f ( x ) + 2, и (1, 0) находится на графике f ( x ) — 2. Графики f ( x ), f ( x ) + 2 и f ( x ) — 2}

При добавлении ко входу функция увеличивается в направлении y , добавляя к вход уменьшает функцию в x направление. Это потому что функция должна компенсировать добавленный ввод. Если функция выводит «7» когда вводится «3», и мы вводим x + 2, функция выводит «7», когда х = 1.

Таким образом, добавление к входу функции перемещает график влево, и вычитание из ввода функции сдвигает график вправо. Вот графики y = f ( x ), y = f ( x + 2), и х = f ( х — 2). Примечание что если ( x ₁ , y ) является точкой на графике f ( x ), ( x ₂ , y 9000) является точкой на график f ( x + 2), а ( x ₃ , y ) является точкой на графике f ( x — 2), тогда х ₂ = х ₁ — 2 и x ₃ = x ₁ + 2. Например, (1, — 2) находится на график f ( x ), (- 1, — 2) находится на графике f ( x + 2), а (3, — 2) находится на график f ( x — 2). Графики f ( x ), f ( x + 2) и f ( x — 2)

Сдвиг графика вверх, вниз, влево или вправо без изменения формы, размера, или размеры графа, называется переводом.

Примеры : Если f ( x ) = x ² + 2 x , то каким уравнением будет уравнение, если график перешел:

a) 4 единицы вверх
b) 4 единицы вниз
c) 4 единицы влево
d) 4 единицы вправо

Решения:

а) f ₁ ( x ) = f ( x ) + 4 = x ² + 2 x + 4
б) ф ₂ ( x ) = f ( x ) — 4 = x ² + 2 x — 4
в) f ₃ ( х ) = f ( х + 4) = ( х + 4) ² + 2(

7 х 0 4 0 4 + 4 )

² +8 х + 16 + 2 х + 8 = х ² + 10 х + 24
г) ф ₄ ( х ) = ф ( х — 4) = ( х — 4) ² +2( х — 4) = х ² -8 х + 16 + 7 0 — 8 х 0 ² — 6 х + 8

Преобразование функций

Как и в преобразованиях в геометрии, мы можем перемещать и изменять размеры графиков функций

Начнем с функции, в данном случае это f(x) = x ² , но это может быть что угодно:

f(x) = x ²

Вот несколько простых вещей, которые мы можем сделать, чтобы переместить или масштабировать его на графике:

Мы можем переместить его вверх или вниз, добавив константа для значения y:

gif»> g(x) = x ² + C

Примечание: чтобы переместить линию вниз , мы используем отрицательное значение для C.

• C > 0 перемещает вверх
• C < 0 перемещает его вниз

 

Мы можем перемещать ее влево или вправо, добавляя константу к значению x:

g(x) = (x+C) ²

Добавление C перемещает функцию на влево (отрицательное направление).

Почему? Представьте, что вы унаследуете состояние, когда ваш возраст=25 . Если вы измените это на (возраст + 4) = 25 , то вы получите его, когда вам будет 21 год. Добавление 4 сделало это раньше.

• C > 0 перемещает влево
• C < 0 перемещает вправо

НО мы должны добавить C везде, где x встречается с в функции (мы заменяем x+C на x).

Пример: функция v(x) = x

³ — x ² + 4x

Чтобы переместить C пробелов влево, прибавьте C к x везде, где x появляется :

w(x) = (x + C) ³ − (x + C) ² + 4(x + C)

 

Простой способ запомнить, что происходит с графиком, когда мы добавляем константу:

добавить к y чтобы перейти высокий
добавить к x , чтобы перейти влево

 

Мы можем растянуть или сжать его в направлении Y, умножив всю функцию на константу.

g(x) = 0,35(x ² )

• C > 1 растягивает
• 0 < C < 1 сжимает его

 

Мы можем растянуть или сжать его в направлении x, умножив x на константу.

g(x) = (2x) ²

• C > 1 сжимает
• 0 < C < 1 растягивает

Обратите внимание, что (в отличие от направления Y) большие значения вызывают большее сжатие .

 

Мы можем перевернуть ее, умножив всю функцию на −1:

g(x) = −(x ² )

Это также называется отражением относительно оси x ( ось, где y=0)

Мы можем комбинировать отрицательное значение с масштабированием:

Пример: умножение на -2 перевернет его вверх дном И растянет в направлении y.

 

Мы можем перевернуть его влево-вправо, умножив значение x на −1:

gif»>

g(x) = (−x) ²

Это действительно переворачивает его влево и вправо! Но вы этого не видите, потому что x ² симметрично относительно оси Y. Итак, вот еще один пример использования √(x):

g(x) = √(−x)

Это также называется отражением относительно оси Y (ось, где x=0)

Итог

y = f(x) + C	C > 0 перемещает вверх C < 0 перемещает его вниз
y = f(x + C)	C > 0 перемещает влево C < 0 перемещает вправо
у = Cf(x)	C > 1 растягивает его в направлении Y 0 < C < 1 сжимает его
у = f(Сх)	C > 1 сжимает его в направлении x 0 < C < 1 растягивает
у = -f(х)	Отражает его вокруг оси X
у = f(-x)	Отражает вокруг оси Y

 

Примеры

Пример: функция g(x) = 1/x

Вот что мы можем сделать:

Сдвинуться на 3 клетки вниз: h(x) = 1/x − 3

Сдвинуться на 4 позиции вправо: h(x) = 1/(x−4) graph

Переместить на 5 делений влево: h(x) = 1/(x+5)

Растянуть на 2 в направлении y: h (x) = 2/x

Сжать на 3 в направлении x: h(x) = 1/(3x)

Перевернуть вверх дном: h(x) = −1/x

Пример: функция v(x) = x

³ − 4x

Вот что мы можем сделать:

Переместиться на 2 пробела вверх: w(x) = x ³ − 4x + 2

Сдвинуться на 3 позиции вниз: w(x) = x ³ − 4x − 3

Сдвинуться на 4 позиции вправо: w(x) = (x−4) ³ − 4(x−4)

Переместить на 5 мест влево: w(x) = (x+5) ³ − 4(x+5)   graph

Растянуть на 2 в направлении y: w(x) = 2 (x ³ − 4x)
         = 2x ³ − 8x

Сжать на 3 в направлении x: 27x ³ − 12x

Перевернуть вверх дном: w(x) = −x ³ + 4x

Все в одном .

No related posts.