Размещения, сочетания, перестановки | Материал по алгебре (10, 11 класс):
Опубликовано 05.11.2020 — 15:43 — Кобзева Ирина Алексеевна
Материал для практической работы: «Размещения, сочетания, перестановки»
Скачать:
Предварительный просмотр:
Практическая работа № 19 на тему:
«Размещения, сочетания, перестановки»
Задание 1. Вычислить значения выражений.
1. ; ; . 2. ; + . 3. ; + .
4. + . 5. ; 6. .
7. + . 8. + . 9. .
10. ++. 11. + + . 12. + + .
13. + . 14. ; 15. .
16. + . 17. + . 18. .
19. ++ . 20. + + . 21. + + .
22. + . 23. ; 24. .
25. .
Задание 2. Решить задачи, используя формулы комбинаторики.
1. В конкурсе участвуют 12 фирм, из которых жюри должно выбрать три фирмы на 1-е, 2-е и 3-е места.
Сколько вариантов решения жюри существует?
2. В соревнованиях по футболу принимают участие 8 команд. Сколько должно состояться матчей, чтобы команды встретились друг с другом по одному разу?
3. Сколькими способами можно распределить 6 пригласительных билетов в группе из 20 студентов?
4. В группе 5 студентов успешно занимаются по математике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 студента для участия в олимпиаде?
5. Членами кооператива являются 10 человек. Из них нужно выбрать руководителя и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Самостоятельная работа «Перестановки, размещения и сочетания»
Самостоятельная работа для проверки усвоения понятий «Перестановки, сочетания, размещения» при изучении комбинаторики….
Основные виды природных ресурсов, их размещение, крупнейшие месторождения и территориальные сочетания. Ресуросообеспеченность.
ОТКРЫТЫЙ УРОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНФОРМАЦИОННЫХ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ В 10 КЛАССЕ.
Цели и задачи:Выявить основные особенности размещения природных ресурсов по планете и их террито…
Занимательные размещения и перестановки.
Презентация подготовлена для курса «Наглядная геометрия» 5 класс…
Урок математики по теме: «Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания». 11 класс
Урок обобщения основных формул комбинаторики. Опорная таблица для решения задач на подсчет перестановок, сочетаний и размещений. Работа по учебнику Ш.А.Алимова….
Методическая разработка по теме: «Решение задач на размещения, сочетания и вероятность» (11 класс)
В методической разработке подобраны задачи на размещения, сочетания и вероятность….
занятие кружка по теме Замечательные перестановки и размещения
Познакомиться с приемами размещения и перестановок объектов…
Презентация на тему «Перестановки, сочетания и размещения»
Данный урок является обобщающим уроком на тему » Перестановки ,сочетания и размещения».Цель: закрепить основные понятия комбинаторики с помощью решения задач, показать применение комбинатори.
..
Поделиться:
перестановки, сочетания и размещения презентация, доклад
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ: ПЕРЕСТАНОВКИ, СОЧЕТАНИЯ И РАЗМЕЩЕНИЯ
Преподаватель математических дисциплин: Лихачева Екатерина Сергеевна
Комбинаторика – раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин «комбинаторика» был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, — всемирно известным немецким учёным.
ЗАДАЧИ НА ПЕРЕСТАНОВКИ
Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?
Это задача на перестановки
Комбинаторные задачи делятся на несколько групп:
Задачи на перестановки
Задачи на размещение
Задачи на сочетание
Запись n! читается так:«эн факториал»
Факториал — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n
Например, 4! = 1*2*3*4 = 24
n! = 1 · 2 · 3 · .
.. · n.
Факториалы растут удивительно быстро:
Задача. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.
Pn = 1 · 2 · 3 · … · n.
Pn=n!
Задача.
Квартет
Проказница Мартышка
Осёл,
Козёл,
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет
…
Стой, братцы стой! –
Кричит Мартышка, — погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть…
Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?
P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
ЗАДАЧИ НА РАЗМЕЩЕНИЯ
Задача: У нас имеется 5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги .
Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.
Это задача на размещения .
Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
Задача.
Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?
A49 = = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024
Решите самостоятельно:
В классе 27 учащихся.
Нужно отправить одного учащегося за мелом, второго дежурить в столовую, а третьего вызвать к доске. Сколькими способами можно это сделать?
ЗАДАЧИ НА СОЧЕТАНИЯ:
Задача. Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?
Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.
123 124 125 134 135 145
234 235 245
345 ответ: 10
Это задача на сочетания
Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов.
Задача.
В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
C72 = = 21
Решите самостоятельно:
В классе 7 учащихся успешно занимаются по математике. Сколькими способами можно выбрать двоих из них, чтобы направить для участия в математической олимпиаде?
Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать так, чтобы он начинался словами «Сколькими способами…» или «Сколько вариантов…»
Составим таблицу:
Решите самостоятельно задачи:
1.В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.
Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?
2.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены.
Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.
3. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Скачать презентацию
Концепции и формулы перестановок и комбинаций способностей
следующий → ← предыдущая 1) Факториал: Факториал можно определить как произведение числа (для которого мы должны найти факториал) на его последующее число, пока оно не достигнет единицы. Мы можем записать это как n! (Множитель n) = n (n-1) (n-2)…. 1 Например: Факториал 3: 3! = 3*2*1 = 6 Примечание. Факториал нуля (0) всегда равен 1, поскольку пустое множество может располагаться только одним способом. 2) Перестановка: Это относится к числу способов, которыми можно упорядочить конкретный набор, где порядок расположения имеет значение. Например: i) Пусть у нас есть три буквы a, b и c, и мы должны расположить по две буквы за раз. Таким образом, в этом случае перестановки двух букв = ab, ba, bc, cb, ac и ca. ii) Если нам нужно расположить все буквы (a,b,c) одновременно, перестановка будет: abc, acb, bac, bca, cab и cba. Формула для вычисления числа возможных перестановок r вещей из набора n за один раз выглядит следующим образом: )… (n — r + 1) = Например: я. 8 P 3 = = = (8*7*6) = 336 ii. 7 P 5 = = = 2520 iv. Количество перестановок или расстановок всех n вещей одновременно = n! (факториал n). 3) Комбинации: Это относится к количеству способов, которыми можно упорядочить конкретный набор, где порядок расположения не имеет значения, что означает, что для комбинации n предметов могут быть разные порядки. Формула для расчета возможной комбинации для r вещей из набора из n предметов за раз выглядит следующим образом: n C r = = Примечание:i) n C n = 1 ii) n C 0 = 1 iii) n C r = n C (n-r) Например: я. 8 С 3 = = = = (8*7) = 56 Или, 8 C 3 = 8 C (8-3) = 8 C ii. 7 С 5 = 7 С (7-5) = 7 С 2 = = 21 Примечание:
Примечание: xy и yx в комбинации совпадают.
Тестовая бумага для перестановок и комбинаций 1 Тестовая бумага для перестановок и комбинаций 2 Следующая тема Тестовая бумага для перестановок и комбинаций 1 ← предыдущая следующий → |
Перестановки и комбинации: примеры и различия
Когда дело доходит до аранжировки, это может быть довольно сложно. Представьте себе, что тренер пытается отобрать игроков на футбольный матч из своей команды. Сколькими возможными способами он может этого добиться? Или, может быть, учитель ищет лучшее сочетание девочек и мальчиков в своем классе, чтобы отправиться в путешествие, для которого требуется всего 7 учеников. Сколькими способами он может составить свою команду из 7 человек?
В этой статье мы узнаем о способах решения вопросов, подобных двум упомянутым выше, при определении перестановок и комбинаций .
Что такое перестановка?
Перестановка — это расположение объектов с помощью в соответствии с определенным порядком или образцом .
Произведенный упорядоченный выбор называется переставленным. У нас есть два вида перестановок: линейная перестановка и круговая перестановка.
Линейная перестановка
Когда расположение с порядком выполняется на прямой линии, это известно как линейная перестановка . Например, когда вам нужно найти количество способов, которыми можно расположить следующие 6 шаров по порядку. Такое расположение объектов по прямой можно увидеть на изображении ниже.
Изображение линейно расположенных шаров для линейной перестановки, StudySmarter Originals
Круговая перестановка
Однако, когда расположение с порядком выполнено круговым или изогнутым образом, оно известно как круговая перестановка . Пример можно увидеть, когда нужно расположить разноцветные камни на бусине. Рисунок ниже дает представление о круговых схемах.
Иллюстрация шаров, расположенных по кругу, StudySmarter Originals
В отличие от линейных перестановок, где элементы расположены по прямой линии, круговые перестановки располагаются по кругу, как показано выше.
В дальнейшем у вас будут дополнительные подробности и примеры циклических перестановок.
Что такое знак перестановки?
Несколько знаков используются для представления перестановок; это:
Типы линейной перестановки и соответствующие формулы
Существует два типа перестановки: перестановка с повторением и перестановка без повторения.
Перестановка с повторением
В таком случае расположения или выделения объект можно повторно использовать на всех этапах выделения. Это означает, что каждый компонент группы может использоваться всякий раз, когда делается выбор.
Например, если необходимо выбрать три буквы из алфавитов от A до Z, то буква A может быть выбрана в эти 3 раза, как AAA. То же самое относится к B и C и т. д. И т. д. Поскольку у нас есть 26 алфавитов, каждый раз у нас есть 26 вариантов! Таким образом, количество раз, которое будут выбраны три буквы, равно
, где основание 26 означает, что существует 26 алфавитов, а показатель степени 3 представляет количество алфавитов, которые необходимо выбрать.
Это означает, что для отбора с повторением по формуле
где n — количество объектов в наборе, а r — количество раз, когда делается выбор.
Перестановка без повторения
В этом случае нет повторения элемента набора, используемого при выборе. После того, как элемент используется, его нельзя использовать повторно, что снижает имеющиеся шансы.
Например, если нужно выбрать один алфавит и выбрать Z, после использования Z его нельзя будет использовать повторно, что снижает наши шансы с 26 до 25. Аналогичным образом, если нужно выбрать два алфавита и выбрать Z и Y, как только используются Z и Y, это еще больше уменьшает нашу вероятность с 26 до 24 и так далее. Таким образом, у нас остается:
Таким образом, в отличие от перестановки с повторением, которая позволяет заменять и повторно использовать элемент в наборах, перестановки без повторения не допускают замены и последующего использования любого однажды использованного элемента.
В каком порядке можно расположить буквы от A до F без повторения букв?
Решение:
В этом случае буква не может появляться более одного раза.
Таким образом, если А начинает набор или занимает первую позицию среди шести вакантных буквенных позиций, то А должна оставаться только в первой позиции, не появляясь снова в другой позиции, если только она не будет удалена из первой позиции и помещена в другую позицию. Это правило распространяется и на другие буквы в наборе. Кроме того, как только A начинает последовательность, она уменьшает следующую букву на одну цепочку. Таким образом, A представляет собой 6 цепочек возможностей, B имеет 5 и C имеет 4, пока F не имеет только цепочку, потому что она должна была повторяться во всех других цепочках.
Таким образом, число способов упорядочения от A до F равно:
В предыдущем примере выбираются и упорядочиваются все элементы чисел. А что произойдет, если некоторые из них будут выбраны из всех? Например, вам даны числа от 1 до 10, и вы должны выбрать 6.
Вспомните, мы можем расположить числа от 1 до 10 в
.
Однако, поскольку сейчас мы выбираем только 6 номеров, это означает, что у нас есть
Но.
Таким образом, мы можем вывести формулу перестановки:
, где n — количество объектов, r — количество объектов, из которых нужно выбрать.
Таким образом, чтобы решить вопрос заново, мы имеем
Что касается этой формулы, то она предполагает, что если выбрать и расположить все элементы множества, то r станет равным n. Таким образом, это выражается как
с
Использование перестановок в расположении букв
Вспомним, что для того, чтобы составить упорядоченное расположение без повторения всех членов множества из n элементов, мы имеем P(n,n) = n! способы.
Между тем, если некоторые члены, r , из множества, n , должны быть выбраны и расположены, мы имеем,
способов
Однако бывают случаи, когда член множества повторяется внутри множество. Например, в слове ПОБЕДИТЕЛЬ N повторяется дважды. Следовательно, для учета двойного N получается:
Обратите внимание, что перестановка всех элементов делится на количество повторений перестановки (в данном случае 2).
Итак, если бы N повторилось трижды, перестановка была бы разделена на P(3,3), что равно 3!.
Аналогичным образом, если у вас есть более одного повторяющегося элемента набора, перестановка всех элементов делится на произведение перестановки каждого повторяющегося элемента. Например, в слове LESSES у нас есть две E и три S, всего шесть алфавитов. Для этого используем:
Основываясь на этом знании, чтобы расположить буквы с одинаковым алфавитом, получается
, где n — общее количество букв, p и q — количество повторений алфавита.
Сколькими способами можно составить слово МИССИСИППИ?
Решение:
Слово MISSISSIPPI состоит из 11 букв, в которых I повторяется 4 раза, S повторяется 4 раза, а P повторяется 2 раза.
Поэтому применим формулу.
Однако в этом случае у нас есть 3 повторения, поэтому мы не останавливаемся на q, а добавляем s, чтобы нашу формулу можно было скорректировать до:
После применения мы имеем: формула перестановки
Мы рассмотрели перестановку объектов линейным образом, но иногда расположение выполняется по кругу или по кругу, как упоминалось ранее в этом исследовании.
Это требует другого подхода, потому что в отличие от прямой линии, которая начинается из точки и заканчивается в другой точке, окружность начинается в точке и заканчивается в той же точке. Это означает, что для n набор чисел, n повторяется, так что мы имеем:
Таким образом, перестановка в этом случае следует за использованием .
Джона попросили усадить 5 учеников за круглый обеденный стол. Сколькими способами он может этого добиться?
Решение:
Что такое комбинация?
Комбинация — это метод выбора, который не следует порядку. В отличие от перестановки, если бы нужно было выбрать три буквы из букв от A до E, ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA все были бы результатами, поскольку задействован порядок. Но в комбинации, где порядок не нужен, только одна азбука обозначает остальные, потому что все они являются повторениями, если порядок не задействован.
Результаты комбинации ниже, чем результаты перестановки, потому что при удалении порядка только один результат заменяет похожие порядки.
Например, вместо того, чтобы писать эти шесть результатов; ABC, ACB, BAC, BCA, CAB и CBA, вы пишете только одну ABC. уменьшая количество вариантов этой комбинации с 6 до 1.
Для расчета комбинаций мы используем:
Где
n означает общее количество элементов, которые необходимо выбрать, из
r означает количество выбранных элементов.
Что такое комбинированный знак?
Несколько знаков используются для представления перестановок; они таковы:
Для посещения музея нужно выбрать трех учеников из 8 класса, сколькими способами можно принять решение?
Решение:
Обратите внимание, что:
Таким образом, можно выбрать трех учеников из 8-ми классов для посещения музея 56 способами.
Комбинация нескольких событий
В комбинации с несколькими событиями из набора, содержащего более одной группы, делается более одного типа выбора.
Например, если в классе из 14 учеников 8 девочек и 6 мальчиков, и вы должны выбрать 4 мальчиков и 5 девочек, вам придется учитывать свой выбор в зависимости от пола.
Следовательно, становится выбор 4 мальчиков из 6 и 5 девочек из 8. Это означает, что:
и
следовательно,
Комбинации без повторения 9,00006
- порядок , но с повторением . Такая операция является комбинацией с повторением, и вы применяете формулу
- Перестановка — это расположение объектов или людей в соответствии с порядком или образцом.
- Перестановки могут быть с повторением или без него.
- Линейные перестановки рассчитываются с помощью, а круговые перестановки рассчитываются с помощью.
- Комбинация — это метод выбора, который не следует порядку.
- Комбинация рассчитывается с использованием
- Перестановка и комбинация различаются по важности и размещению в порядке, используемой терминологии и применяемой формуле.
где n — общее количество вещей, из которых можно выбрать, r — количество вещей, которые мы должны выбрать из n, и повторение разрешено без участия порядка.
У Дороти есть коллекция из шести бильярдных шаров разного цвета. Если Кохе, ее подруга, должна выбрать из них 4 шара, цвета которых повторяются несколько раз без порядка, сколькими способами это можно сделать?
Решение:
Здесь нет порядка и выбор определенного цвета можно повторить. Таким образом, это комбинация с проблемой повторения.
n (общее количество шаров) равно 6
r (количество выбираемых шаров) равно 4
Таким образом, используя:
Количество способов, которыми Коэ мог бы добиться этого:
Что разница между перестановкой и комбинацией?
Возникают вопросы о перестановке и комбинации.
Они действительно очень похожи в том, что оба имеют дело с возможными событиями. Однако они различаются по следующим основным параметрам:
Заказ
При перестановке расположение включает элементы, расположенные по порядку. Это означает, что положение предметов очень важно. А вот по совместительству подбор предметов без порядка. Поэтому порядок не имеет значения в комбинации.
Например, если буквы A, B, C нужно переставить без повторения, то мы имеем; АВ, ВА, АС, СА, ВС и СВ. Между тем, если A, B и C должны быть объединены без повторения, мы имеем; АВ, АС и ВС. Обратите внимание, что в перестановке AB и BA не совпадают, потому что в AB A предшествует B то же самое относится к BA и остальным результатам. Это на самом деле делает результаты перестановки больше, чем результаты комбинации.
Терминология
Некоторые люди допускают ошибки при использовании правильных терминов в отношении перестановок и комбинаций. В перестановке вы организуете или организуете , но в комбинации вы выбираете или выбираете .
Никогда не делайте ошибку, меняя эти термины местами, когда речь идет о перестановке или комбинации.
Формула
Очень важно и ясно заметить, что формула перестановки отличается от формулы комбинации. формула перестановки:
однако комбинация рассчитывается с помощью:
Разница в формуле равна r!, таким образом, мы можем создать математическое соотношение между перестановкой и комбинацией как:
Это снова подтверждает, почему результаты перестановки больше, чем комбинации, на мультипликативный коэффициент r !.
Другие примеры перестановок и комбинаций
Вам следует попробовать еще много задач, чтобы иметь представление о том, как вам могут быть поставлены задачи на экзамене. Несколько примеров здесь помогут вам.
Сколькими способами можно написать буквы слова ЗЛО, чтобы все согласные всегда стояли рядом?
Решение:
В слове MALICE 6 букв, среди которых 3 согласные M, L и C.
Расположить эти согласные в буквах так, чтобы все согласные буквы оставались вместе, значит, примером такого расположения может быть MLCAIE. Для этого возьмем все согласные буквы за одну букву, поскольку они появляются как группа в нескольких позициях. Это оставляет нам 4 позиции, которые включают A, I, E и группу согласных.
Затем найдите количество способов расстановки во всех четырех позициях.
Итак, теперь мы можем найти количество способов расположения этих согласных, даже если они остаются близко друг к другу.
Это означает, что общее количество способов, которыми буквы в слове MALICE можно расположить так, чтобы все согласные оставались близко друг к другу, равно
Набор столовых приборов состоит из 5 вилок, 3 ложек и 4 ножей. Мальчик выбирает 3 столовых прибора и должен выбрать хотя бы один нож, сколькими способами он может этого добиться?
Решение:
Если мальчик должен выбрать нож, у него есть три возможных варианта:
1.
Выбрать все 3 ножа
В этом случае он может добиться этого
2. Выберите 2 ножа и любой другой 1 столовый прибор
В этом случае он может добиться этого
3. Выберите 1 нож и любые другие 2 столовых прибора.
В этом случае он может добиться этого
Таким образом, количество способов, которыми он может выбрать хотя бы нож среди 3 столовых приборов, равно сумме всех возможных событий, равной
