как найти периметр. Периметр и площадь Как находится периметр фигур
Периметр фигуры это длина всех ее сторон. Не все фигуры имеют периметр, например, шар не имеет периметра.
Стандартное обозначение периметра в математике — буква P
Периметр квадрата
Пусть длина стороны квадрата равна a . Квадрат имеет четыре равных стороны, поэтому периметр квадрата есть P = a + a + a +a или:
Периметр прямоугольника
Пусть длины сторон прямоугольника равны a
иb
.
Длина всех его сторон есть P = a + b + a + b
или:
Периметр параллелограмма
Пусть длины сторон параллелограмма равны a
и b
Длина всех его сторон есть P = a + b + a + b
, поэтому периметр параллелограмма есть:
Как видно, периметр параллелограмма равен периметру прямоугольника.
Периметр равнобедренной трапеции
Пускай длины параллельных сторон трапеции a
и b
, а длины двух других сторон равна c
(Как известно, равнобедренная трапеция имеет две равные стороны).
Периметр равностороннего треугольника
Как известно, равносторонний треугольник имеет 3 равные стороны. Если длина стороны равна a , тогда формула нахождения периметра есть P = a + a + a
Периметр параллелепипеда
Параллелепипед есть призма, все стороны которой являются параллелограммами. (Прямоугольный параллелепипед это фигура, стороны которой — прямоугольники.)
Если стороны основания имеют длину a
и
b
тогда периметр основания есть P = 2a + 2b
.
Каждый параллелепипед имеет два основания, поэтому периметр двух оснований равен (2a + 2b).2 = 4a + 4b
.
Как мы знаем, параметр это сумма всех сторон. Таким образом, мы должны сложить четыре раза c
P = 4a + 4b + 4c
Периметр куба
Куб это параллелепипед, все стороны которого являются квадратами (все грани равны).
Тогда, периметр куба есть число сторон*длина.
Каждый куб имеет 12 сторон.
Тогда, формула нахождения периметра куба имеет вид:
Где a
— длина его стороны.
Как найти Периметр различных геометрических форм
Возникли проблемы в понимании того, как найти периметр различных геометрических фигур? Бизнес сайт приходит к вам на помощь посредством облегчения геометрии, чем когда-либо!Удовольствие FactThe периметру или окружности Земли составляет 24,901 миль, я. э. почти 40,075 км!В математике, геометрии рассматриваются формы, размеры, взаиморасположение, трехмерная ориентация фигур в пространстве. Она имеет дело с тремя основными измерениями фигур:площади, объема и периметра.
Площадь является мерой степени двумерной фигуры или формы; поверхность может быть описана как степень поверхности объекта. Это мера в трехмерном пространстве вблизи объекта.
По периметру можно просто охарактеризовать как длина пути, который окружает двумерной формы. Другими словами, это расстояние вокруг фигуры. Давайте теперь взглянем на Как найти периметр различных геометрических форм.
Индекс
Площадь
Прямоугольник
Круг
Полуокружность
Сектор
Треугольник
Трапециевидные
Полигон
Площадь
Квадрат-это четырехугольник, который имеет все четыре стороны и четыре угла равны (все 90°).
Пример: чтобы найти периметр квадрата со стороной 5 см, мы используем формулу, показанную на рис..
Р = А + А + А + А
Р = 5 + 5 + 5 + 5
Р = 20 см
Эта же формула может использоваться для вычисления периметра ромба..
Обратно в индекс
Прямоугольник
Прямоугольник-это четырехугольник, который имеет все четыре угла равны (все 90°). Противоположные стороны прямоугольника равны (тогда как на смежных сторонах нет).
Пример: чтобы найти периметр прямоугольника, мы используем формулу, показанную на рис..
л = 15 см
б = 25 см
Р = 2 (15 + 25)
Р = 2 (40)
Р = 80 см
Вы можете использовать ту же формулу, чтобы найти периметр параллелограмма.
Круг
Окружность может быть описана как множество точек, находящихся на равном расстоянии от определенной точки (известный как центр). Периметр окружности называется окружности, обозначается с.
Пример: найти длину окружности, мы используем формулу, показанную на рис.
.
Если C = 2πR и πд
С = 2 Х 3. 14 х 7 или 3. 14 х 14
С = 43. 96 см
Обратно в индекс
ПОЛУОКРУЖНОСТЬ
Полукольцом, проще говоря, наполовину окружность, его периметр будет половина этого круга.
Пример: чтобы найти периметр полукруга, мы используем формулу, показанную на рис..
р = 7 см или D = 14 см (д = р + р)
Р = πR и πд/2
Р = 2 Х 3. 14 х 7 или 3. 14 х 14/2
П = 21. 98 см
Обратно в индекс
Сектор
Сектор можно охарактеризовать как часть окружности.
Пример: чтобы найти периметр сектора, мы используем формулу, показанную на рис..
ϴ = 60°
р = 7 см
Р = 60/360 Х 2 Х 3. 14 х 7
Р = 7. 33 см
Обратно в индекс
Треугольник
Треугольник-это многоугольник, который имеет три стороны и три вершины. Давайте учитывать три случая для того, чтобы определить его периметр.
один. Когда все три стороны известны.
Чтобы найти периметр треугольника, мы используем формулу, показанную на рис..
а = 14 см
б = 16 см
с = 15 см
Р = 14 + 16 + 15
Р = 45 см
б.
Для прямоугольного треугольника если его гипотенуза неизвестна.
Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, мы используем формулу, показанную на рис..
Б = 3 см
ч = 4 см
П = б + ч + √ Б2 + ч 2
П = 3 + 4 + √ 32 + 4 2
Р = 3 + 4 + 5
Р = 12 см
Если любой другой стороны неизвестно, можно использовать формулу Пифагора найти бок сначала, а потом вычислить периметр.
Прежде всего нам нужно найти длину стороны, используя закон косинусов,
Когда А, B и C длины сторон треугольника, а, b и C имеют противоположные углы сторонами A, B и C, соответственно, мы можем найти длину неизвестной стороны (скажем, с) по формуле:
С2 = а 2 + Б 2 — в 2. б потому что(с)
Например
А = 4 см
Б = 2 см
С2 = 4 2 + 2 2 — 2 4. 2 соѕ(45)
С2 = 16 + 4 — 2 (0. 876)
С2 = 20 — 1. 752
С2 = 18. 284
с = 4. 272 см
Р = А + В + С
Р = 4 + 2 + 4.
272
П = 10. 272 см
Обратно в индекс
ТРАПЕЦИЕВИДНЫЕ
Трапецией называется четырехугольник, по крайней мере одну пару параллельных линий. Параллельные линии называются основания трапеции, и с другой стороны не известно как ноги трапеции. Расстояние между параллельными линиями, называется высотой трапеции.
один. Когда всем сторонам известно.
А = 4 см
б = 16 см
с = 5 см
д = 8 см
Р = 4 + 16 + 5 + 8
Р = 33 см
б. Когда его стороны (ноги) неизвестны.
Чтобы найти периметр трапеции, мы используем формулу, показанную на рис..
б = 16 см
ч = 3 см
д = 8 см
П = б + д + ч
1
+
1
Грех(С)
Грех(А)
Р = 16 + 8 + 3
1
+
1
Грех(53)
Грех(45)
Р = 16 + 8 + 33. 3
П = 57. 3 см
с. Когда один из базовых и высота неизвестны.
Представьте, если бы мы должны были сократить трапецевидной с двух сторон таким образом, что длины оснований равны, и когда мы присоединяемся к вырезанной части, мы получим треугольник, как показано на рисунке.
Когда ∠и ∠с равны; все три угла по 60°. Этот треугольник-равносторонний треугольник, и, следовательно, когда длина стороны добавляется в базу, мы получим длину большего основания.
Когда углы равны; сумма углов вычитал на 180°.
Площадь этого треугольника можно рассчитать по формуле
А = ½ Х Х Х sin (Б)
Найти периметр трапеции,
А = 4 см
с = 6 см
д = 11 см
∠ а = 53°
∠ с = 65°
∠ Б = 78°
Площадь = ½ х 4 х 6 х sin 78
Площадь = 6. 12 см2
Основание треугольника=
Площадь
½ Х х грех(с)
База =
6. 12
½ Х 4 х sin(65)
База =
6. 12
2 х 0. 826
Основание = 3. 70 см
Основание трапеции = 11 + 3. 70 = 14. 70 см
Теперь у нас есть бока и основание трапеции, мы можем найти периметр.
Р = 14. 7 + 4 + 6 + 11
П = 35. 7 см
Обратно в индекс
Любая замкнутая фигура, где отрезки не пересекаются друг с другом приводит к полигону. Сумма внутренних углов многоугольника всегда 360°, и они названы в зависимости от количества сторон, которыми они обладают.
один. Правильный многоугольник имеет все равные стороны, так что когда число сторон и длину каждой стороны известен периметр многоугольника может быть рассчитана с использованием формулы, показанной на рис..
Пример: если шестигранник имеет стороны длиной 5 см, его периметр можно вычислить, как показано ниже.
н = 6 (шестиугольник имеет шесть сторон)
с = 5 см
Р = 6 х 5
Р = 30 см
б. При длине стороны многоугольника не известны, то его периметр может быть рассчитана с помощью формулы, приведенной ниже.
Х = 2 х х Тан (180/п)
Здесь a-apothem.
Apothem-это отрезок от центра многоугольника до середины боковой.
R-радиус.
Расстояние от центра правильного многоугольника на любую вершину.
Пример: на шестигранник apothem 4 см, его сторона может быть вычислена, как показано ниже.
с = 2 х 4 х Тан (180/6)
х = 8 х Тан (30)
ы = 8 х 0. 58
ы = 4. 62 см
Р = 6 х 4. 62 = 27. 71 см
Для шестиугольника радиусом 4 см, его сторона может быть вычислена, как показано ниже.
х = 2 х 4 х sin (180/6)
ы = 8 х sin (30)
ы = 8 х 0. 5
ы = 4. 00 см
Р = 6 х 4. 00 = 24 см
с. Для неправильного многоугольника, если все его стороны равны, мы можем вычислить его периметр, просто добавив длины всех его сторон.
Пример: неправильного многоугольника из шести сторон
С1 = 8 см
С2 = 6 см
С3 = 4 см
С4 = 7см
С5 = 5 см
С6 = 4 см
Р = С1 + С2 + С3 + С4 + С5 + С6
П = 8 + 6 + 4 + 7 + 5 + 4
Р = 36 см
Обратно в индекс
Умение находить периметр прямоугольника очень важно для решения многих геометрических задач . Ниже приведена по нахождению периметра разных прямоугольников.
Как найти периметр обычного прямоугольника
Обычный прямоугольник — четырехугольник, у которого параллельные стороны равны и все углы = 90º.
Для нахождения его периметра существует 2 способа:
Складываем все стороны.
Вычислите периметр прямоугольника, есть его ширина равна 3 см., а длина — 6.
Решение (последовательность действий и рассуждения):
- Так как нам известны ширина и длина прямоугольника, найти его периметр не составит труда. Ширина параллельна ширине, а длина длине. Таким образом, в обычном прямоугольнике 2 ширины и 2 длины.
- Складываем все стороны (3 + 3 + 6 + 6) = 18 см.
Ответ: P = 18 см.
Второй способ заключается в следующем:
Нужно сложить ширину и длину, и умножить на 2. Формула этого способа имеет следующий вид: 2×(a + b), где a — ширина, b — длина.
В рамках данной задачи получим такое решение:
2×(3 + 6) = 2×9 = 18.
Ответ: P = 18.
Как найти периметр прямоугольника — квадрат
Квадрат является правильным четырехугольником. Правильным потому, что все его стороны и углы равны. Для нахождения его периметра так же существует два способа:
- Сложить все его стороны.
- Умножить его сторону на 4.
Пример: Найти периметр квадрата, если его сторона = 5 см.
Знания о том, как найти периметр, учащиеся получают еще в начальной школе . Потом эта информация постоянно используется на протяжении всего курса математики и геометрии.
Общая для всех фигур теория
Стороны принято обозначать латинскими буквами. Причем их можно обозначать как отрезки. Тогда букв потребуется по две для каждой стороны и записанные большими. Или ввести обозначение одной буквой, которая обязательно будет маленькой.
Буквы всегда выбирают по алфавиту. Для треугольника они будут первыми тремя. У шестиугольника их будет 6 — от а до f. Это удобно для введения формул.
Теперь о том, как найти периметр. Он является суммой длин всех сторон фигуры. Количество слагаемых зависит от ее вида. Обозначается периметр латинской буквой Р. Единицы измерения совпадают с теми, которые даны для сторон.
Формулы периметров разных фигур
Для треугольника: Р=а+в+с.
Если он равнобедренный, то формула преобразуется: Р=2а+в. Как найти периметр треугольника, если он равносторонний? Поможет такая: Р=3а.
Для произвольного четырехугольника: Р=а+в+с+d. Его частным случаем является квадрат, формула периметра: Р=4а. Есть еще прямоугольник, тогда требуется такое равенство: Р=2(а+в).
Как быть, если неизвестна длина одной или нескольких сторон треугольника?
Воспользоваться теоремой косинусов, если среди данных есть две стороны и угол между ними, который обозначается буквой А. Тогда до того, как найти периметр, придется посчитать третью сторону. Для этого пригодится такая формула: с² = а² + в² — 2 ав cos(А).
Частным случаем указанной теоремы является сформулированная Пифагором для прямоугольного треугольника. В ней значение косинуса прямого угла становится равным нулю , а значит, последнее слагаемое просто исчезает.
Бывают ситуации, когда узнать, как найти периметр треугольника, можно по одной стороне. Но при этом известны еще и углы фигуры.
Здесь на помощь приходит теорема синусов, когда отношения длин сторон к синусам соответствующих противолежащих углов равны.
В ситуации, когда периметр фигуры нужно узнать по площади, пригодятся другие формулы. Например, если известен радиус вписанной окружности, то в вопросе о том, как находить периметр треугольника, пригодится следующая формула: S=р*r, здесь р — полупериметр. Его нужно вывести из данной формулы и умножить на два.
Примеры задач
Условие первой. Узнать периметр треугольника, стороны у которого 3, 4 и 5 см.
Решение. Нужно воспользоваться равенством, которое указано выше, и просто подставить в него данные в задаче значения. Расчеты легки, они приводят к числу 12 см.
Ответ. Периметр треугольника равен 12 см.
Условие второй. Одна сторона треугольника равна 10 см. Известно, что вторая на 2 см больше первой, а третья в 1,5 раза больше первой. Требуется вычислить его периметр.
Решение . Для того чтобы его узнать, потребуется сосчитать две стороны.
Вторая определится как сумма 10 и 2, третья равна произведению 10 и 1,5. Потом останется только сосчитать сумму трех значений: 10, 12 и 15. Результатом будет 37 см.
Ответ. Периметр равняется 37 см.
Условие третьей. Имеются прямоугольник и квадрат. Одна сторона прямоугольника равна 4 см, а другая на 3 см больше. Нужно вычислить значение стороны квадрата, если его периметр меньше на 6 см, чем у прямоугольника.
Решение. Вторая сторона прямоугольника равна 7. Зная это, легко вычислить его периметр. Расчет дает 22 см.
Чтобы узнать сторону квадрата, нужно сначала вычесть 6 из периметра прямоугольника, а потом разделить полученное число на 4. В результате имеем число 4.
Ответ. Сторона квадрата 4 см.
Определение периметра и площади геометрических фигур — важная задача, которая возникает при решении многих практических или бытовых задач. Если вам требуется поклеить обои, установить забор, рассчитать расход краски или кафеля, то вам обязательно придется иметь дело с геометрическими расчетами.
Для решения перечисленных бытовых вопросов вам потребуется работать с самыми разными геометрическими фигурами . Мы представляем вам каталог онлайн-калькуляторов, которые позволяют вычислить параметры наиболее популярных плоских фигур. Рассмотрим их.
Круг
Частные случаи
Четырехугольник с одинаковыми сторонами. Параллелограмм становится ромбом в случаях, если его диагонали пересекаются под углом 90 градусов и являются биссектрисами своих углов.
Это параллелограмм с прямыми углами. Кроме того, параллелограмм считается прямоугольником, если его стороны и диагонали отвечают условиям теоремы Пифагора.
Это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны. Диагонали квадрата полностью повторяют свойства диагоналей прямоугольника и ромба, что делает квадрат уникальной фигурой, которая характеризуется максимальной симметрией.
Многоугольник
Правильный полигон — это выпуклая фигура на плоскости, которая имеет равные стороны и равные углы .
2 × ctg(pi/n).
Подставляя соответствующее n, мы можем подобрать формулу для любого правильного многоугольника, к которым также относятся равносторонний треугольник и квадрат.
Многоугольники имеют большое распространение в реальной жизни. Так форму пятиугольника имеет здание министерства обороны США — Пентагон, гексагона — пчелиные соты или кристаллы снежинки, октагона — дорожные знаки. Кроме того, многие простейшие, например радиолярии, имеют форму правильных полигонов.
Примеры из реальной жизни
Давайте рассмотрим пару примеров использования нашего калькулятора в реальных расчетах.
Покраска забора
Покраска поверхностей и расчет краски — это одни из самых очевидных бытовых задач, в которых требуются минимальные математические расчеты. Если нам нужно покрасить забор, высота которого составляет 1,5 метра, а длина 20 метров, то сколько потребуется банок краски? Для этого нужно узнать суммарную площадь забора и расход лакокрасочных материалов на 1 квадратный метр.
Мы знаем, что расход эмали составляет 130 грамм на метр. Теперь определим площадь забора, используя калькулятор для вычисления площади прямоугольника. Она составит S = 30 квадратных метров . Естественно, что забор мы будем красить с обеих сторон, поэтому площадь для покраски увеличится до 60 квадратов. Тогда нам понадобится 60 × 0,13 = 7,8 килограмм краски или три стандартных банки по 2,8 килограмма.
Отделка бахромой
Пошив одежды — еще одна отрасль, в которой необходимы обширные геометрические познания. Пусть нам надо отделать бахромой платок, который представляет собой равнобедренную трапецию со сторонами 150, 100, 75 и 75 см. Для вычисления расхода бахромы нам потребуется узнать периметр трапеции. В этом нам и пригодится онлайн-калькулятор. Введем эти данные ячейки и получим ответ:
Таким образом, нам понадобится 4 м бахромы для отделки платка.
Заключение
Плоские фигуры составляют реальный мир вокруг. Мы часто задавались в школе вопросом, пригодится ли нам геометрия в будущем? Выше приведенные примеры показывают, что математика постоянно используется в повседневной жизни .
И если площадь прямоугольника для нас привычна, то вычислить площадь додекагона может оказаться трудной задачей . Используйте наш каталог калькуляторов для решения школьных заданий или бытовых вопросов.
Геометрия, если не ошибаюсь, в мое время изучалась с пятого класса и периметр был и есть одним из ключевых понятий. Итак, периметр — это сумма длин всех сторон (обозначается латинской литерой P) . Вообще, трактуют данный термин по разному, например,
- общая длина границы фигуры,
- длина всех ее сторон,
- сумма длин ее граней,
- длина ограничивающей фигуру линии,
- сумма всех длин сторон многоугольника
Для различных фигур существуют свои формулы определения периметра. Чтобы понять сам смысл, предлагаю самостоятельно вывести несколько несложных формул:
- для квадрата,
- для прямоугольника,
- для параллелограмма,
- для куба,
- для параллелепипеда
Периметр квадрата
Для примера возьмем самое простое — периметр квадрата.
Все стороны квадрата равны. Пусть одна сторона носит название «a» (также, как и остальные три), тогда
P = a + a + a + a
или более компактная запись
Периметр прямоугольника
Усложним задачу и возьмем прямоугольник. В данном случае уже нельзя сказать, что все стороны равны, поэтому пусть длины сторон прямоугольника будут равны a и b.
Тогда формула будет иметь следующий вид:
P = a + b + a + b
Периметр параллелограмма
Аналогичная ситуация будет и с параллелограммом (см. периметр прямоугольника)
Периметр куба
Что же делать, если мы имеем дело с объемной фигурой? Например, возьмем куб. Куб имеет 12 сторон и все они равны. Соответственно, периметр куба можно вычислить следующим образом:
Периметр параллелепипеда
Ну, и для закрепления материала вычислим периметр параллелепипеда. Тут необходимо немного поразмышлять. Давайте делать это вместе. Как мы знаем, прямоугольный параллелепипед представляет собой фигуру, сторонами которой являются прямоугольники.
У каждого параллелепипеда есть два основания. Возьмем одно из оснований и посмотрим на его стороны — они имеют длину a и b. Соответственно, периметр основания есть P = 2a + 2b. Тогда периметр двух оснований есть
(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b
Но ведь у нас есть еще и сторона «c». Значит формула для вычисления периметра параллелепипеда будет иметь следующий вид:
P = 4a + 4b + 4c
Как видно из примеров выше, всё, что необходимо сделать для определения периметра фигуры — найти длину каждой из сторон, а затем их сложить.
В заключение хочется отметить, что не всякая фигура имеет периметр. К примеру, у шара периметра нет.
Одним из базовых понятий математики является периметр прямоугольника. На эту тему существует множество задач, при решении которых не обойтись без формулы периметра и навыков его вычисления.
Основные понятия
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны и параллельны.
В нашей жизни многие фигуры имеют форму прямоугольника, например, поверхность стола, тетрадь и прочее.
Рассмотрим пример: по границам земельного участка необходимо поставить забор. Для того чтобы узнать длину каждой из сторон необходимо их измерить.
Рис. 1. Земельный участок формой прямоугольника.
Земельный участок имеет стороны длиной 2 м., 4 м., 2 м., 4 м. потому чтобы общую узнать длину забора необходимо сложить длины всех сторон:
2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 м.
Именно эта величина в общем случае и называется периметром. Таким образом, для нахождения периметра необходимо сложить все стороны фигуры. Для обозначения периметра используют букву P.
Для вычисления периметра прямоугольной фигуры не нужно разделять её на прямоугольники, нужно измерить линейкой (рулеткой) лишь все стороны данной фигуры и найти их сумму.
Периметр прямоугольника измеряется в мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одинаковую систему измерения.
Периметр прямоугольника измеряется в различных единицах: мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одну систему измерения.
Формула периметра фигуры
Если принять к вниманию тот факт, что противоположные стороны прямоугольника равны, то можно вывести формула периметра прямоугольника:
$P = (a+b) * 2$, где а, b – стороны фигуры.
Рис. 2. Прямоугольник, с обозначенными противоположными сторонами.
Существует и другой способ найти периметр. Если в задание дано лишь одну сторону и площадь фигуры, можно использовать выразить другую сторону через площадь. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
$P = {{2S + 2a2}\over{a}}$, где S – площадь прямоугольника.
Рис. 3. Прямоугольник с сторонами a, b .
Задание : Вычислить периметр прямоугольника, если его стороны равны 4 см. и 6 см.
Решение:
Используем формулу $P = (a+b)*2$
$P = (4+6)*2=20 см$
Таким образом, периметр фигуры $P = 20 см$.
Так как периметр – это сумма все сторон фигуры, то полупериметр это сумма только одной длины и ширины. Чтобы получить периметр необходимо полупериметр умножить на 2.
Площадь и периметр – это два основных понятия измерения любой фигуры. Их нельзя путать, хоть они и связаны между собой. Если увеличить, либо уменьшить площадь, то, соответственно, увеличится либо уменьшится его периметр.
Что мы узнали?
Мы узнали, как найти периметр прямоугольника. А также ознакомились с формулой его вычисления. С этой темой можно столкнуться не только при решении математических задач, но и в реальной жизни.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.5 . Всего получено оценок: 363.
Знания о том, как найти периметр, учащиеся получают еще в начальной школе. Потом эта информация постоянно используется на протяжении всего курса математики и геометрии.
Общая для всех фигур теория
Стороны принято обозначать латинскими буквами.
Причем их можно обозначать как отрезки. Тогда букв потребуется по две для каждой стороны и записанные большими. Или ввести обозначение одной буквой, которая обязательно будет маленькой.
Буквы всегда выбирают по алфавиту. Для треугольника они будут первыми тремя. У шестиугольника их будет 6 — от а до f. Это удобно для введения формул.
Теперь о том, как найти периметр. Он является суммой длин всех сторон фигуры. Количество слагаемых зависит от ее вида. Обозначается периметр латинской буквой Р. Единицы измерения совпадают с теми, которые даны для сторон.
Формулы периметров разных фигур
Для треугольника: Р=а+в+с. Если он равнобедренный, то формула преобразуется: Р=2а+в. Как найти периметр треугольника, если он равносторонний? Поможет такая: Р=3а.
Для произвольного четырехугольника: Р=а+в+с+d. Его частным случаем является квадрат, формула периметра: Р=4а. Есть еще прямоугольник, тогда требуется такое равенство: Р=2(а+в).
Как быть, если неизвестна длина одной или нескольких сторон треугольника?
Воспользоваться теоремой косинусов, если среди данных есть две стороны и угол между ними, который обозначается буквой А.
Тогда до того, как найти периметр, придется посчитать третью сторону. Для этого пригодится такая формула: с² = а² + в² — 2 ав cos(А).
Частным случаем указанной теоремы является сформулированная Пифагором для прямоугольного треугольника. В ней значение косинуса прямого угла становится равным нулю, а значит, последнее слагаемое просто исчезает.
Бывают ситуации, когда узнать, как найти периметр треугольника, можно по одной стороне. Но при этом известны еще и углы фигуры. Здесь на помощь приходит теорема синусов, когда отношения длин сторон к синусам соответствующих противолежащих углов равны.
В ситуации, когда периметр фигуры нужно узнать по площади, пригодятся другие формулы. Например, если известен радиус вписанной окружности, то в вопросе о том, как находить периметр треугольника, пригодится следующая формула: S=р*r, здесь р — полупериметр. Его нужно вывести из данной формулы и умножить на два.
Примеры задач
Условие первой. Узнать периметр треугольника, стороны у которого 3, 4 и 5 см.
Решение. Нужно воспользоваться равенством, которое указано выше, и просто подставить в него данные в задаче значения. Расчеты легки, они приводят к числу 12 см.
Ответ. Периметр треугольника равен 12 см.
Условие второй. Одна сторона треугольника равна 10 см. Известно, что вторая на 2 см больше первой, а третья в 1,5 раза больше первой. Требуется вычислить его периметр.
Решение . Для того чтобы его узнать, потребуется сосчитать две стороны. Вторая определится как сумма 10 и 2, третья равна произведению 10 и 1,5. Потом останется только сосчитать сумму трех значений: 10, 12 и 15. Результатом будет 37 см.
Ответ. Периметр равняется 37 см.
Условие третьей. Имеются прямоугольник и квадрат. Одна сторона прямоугольника равна 4 см, а другая на 3 см больше. Нужно вычислить значение стороны квадрата, если его периметр меньше на 6 см, чем у прямоугольника.
Решение. Вторая сторона прямоугольника равна 7. Зная это, легко вычислить его периметр.
Расчет дает 22 см.
Чтобы узнать сторону квадрата, нужно сначала вычесть 6 из периметра прямоугольника, а потом разделить полученное число на 4. В результате имеем число 4.
Ответ. Сторона квадрата 4 см.
Математика для блондинок: Прямоугольный параллелепипед
Вновь поступил вопрос про прямоугольный параллелепипед. И вопрос этот не простой, смотрите сами:
Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите площадь его поверхности. Подскажите, как это переварить?
Вопрос, конечно, не простой — что такое прямоугольный параллелепипед, как и с чем его едят? В частности, как найти рецепт приготовления площади поверхности этого то ли фрукта, то ли овоща? Так, для начала давайте посмотрим, что это вообще такое — прямоугольный параллелепипед? Вот картинка прямоугольного параллелепипеда.
Как видите, прямоугольный параллелепипед — это, собственно, обыкновенный кирпич.
Кстати, если бы Ньютону на голову упала не сфера в виде яблока, а прямоугольный параллелепипед в виде кирпича, то в школе мы вряд ли бы учили его законы. Прямоугольная комната — это тоже прямоугольный параллелепипед, который позволяет вам совершить обзорную экскурсию по его достопримечательностям прямо изнутри. Если вы хотите произвести внешний осмотр достопримечательностей сего математического чуда, тогда возьмите в руки коробку из-под обуви и можете вертеть её, сколько душе угодно.
И так, прямоугольный параллелепипед на картинке дает нам возможность увидеть вершины, ребра и диагонали. Вершины мы можем потрогать пальцем, ребра мы можем измерять, диагональ можем высчитать. Нам сейчас диагональ не нужна. Закон движения учеников в классе знаете? Если леди-учитель покидает класс, класс движется быстрее. Закон решения задач очень похож: чем меньше всякой ерунды нам нужно искать, тем проще задача.
Первая проблема, с которой мы сталкиваемся в задаче, это проблема сленга. Задача сформулирована на бытовом сленге, а все формулы и определения в математике формулируются на математическом сленге.
Поэтому нам самим предстоит выполнить перевод. Приступаем к поэтапному переводу, по фразам.
«Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины …» — собственно, здесь говорится о тех ребрах, которые позволяют нам определить размеры прямоугольного параллелепипеда и на основании этих размеров выполнить все необходимые вычисления. На картинке это ребра a, b и c. Кто бы сомневался, что именно эти три ребра нам дадут по условию, но только не я. Ни один математик вам этого не скажет (не потому, что они этого не знают, а из боязни нарваться на очень неудобные вопросы), но если в условии задачи дать две длины параллельных ребер и одного перпендикулярного им, то нашу задачу в принципе решить будет невозможно. В прямоугольном параллелепипеде из любой вершины всегда выходит три взаимно перпендикулярных ребра. Вот по этому в нашей задаче прямо говорится об этом. Если верить Священным Писаниям разных религий, то именно из одного такого ребра сотворены все прямоугольные параллелепипеды, задачи о которых решает вся прекрасная половина человечества.
Следующая фраза «… равны 1, 2, 3» обозначает, что нам не нужно искать этот злополучный прямоугольный параллелепипед и свою линейку, чтобы измерить длины его граней, как это показано на рисунке. Тот, кто эту задачу придумал, уже сам всё измерил (или выдумал эти размеры, что в данном случае принципиального значения не имеет). Кто есть кто в этом списке чисел? Где длина, ширина, высота нашего параллелепипеда? Нам это без разницы. Как бы мы этот прямоугольный параллелепипед не крутили, площадь его поверхности всегда будет оставаться неизменной. Предыдущие поколения математиков этот факт не единожды проверили. Когда мы доберемся до решения, мы сами в этом убедимся.
Теперь вопрос, в чём же конкретно измеряется наш прямоугольный параллелепипед и площадь его поверхности? В каких единицах измерения? Ответ довольно прост — в любых единицах измерения длины. Англичане и американцы любят дюймы, футы, мили. Мы предпочитаем сантиметры, метры, километры. В чем измеряют длину инопланетяне? Мы вообще не знаем.
Да нам эти единицы измерения и не важны. В чем бы мы не измеряли длину граней, циферки возле длин и площади будут одинаковыми. Циферки остаются, единицы измерения меняются. Вот два способа получения результата в математике.
разные числа + одинаковые единицы измерения = разный результат
одинаковые числа + разные единицы измерения = разный результат
Приблизительно, как в этом счетчике. Крутим одно колесико — меняются числа. Крутим другое колесико — меняются единицы измерения. Так устроена настоящая математика, маленький кусочек которой мы сейчас рассматриваем.
Это уже не детская математика, придуманная специально для того, чтобы мучить нас задачками. Это взрослая математика, одинаковая для всех.
В нашей задаче мы измеряем всё в абстрактных единицах измерения длины. Соответственно, полученная нами площадь будет измеряться в этих же единицах измерения, возведенных в квадрат.
Теперь нам осталось только достать из глубокого кармана шпаргалку с формулами для прямоугольного параллелепипеда и посмотреть, чего полезного для нас там имеется.
Что вообще есть в этой шпаргалке? Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда, формула объема. Есть несколько формул для площади поверхности: полная, основания, боковая. Вот одна из этих формул нам как раз нужна. Разберемся в площадях на примере коробки для обуви. Площадь основания — это площадь донышка или крышки коробки. Площадь боковой поверхности — это боковые стеночки коробки без донышка и крышки. Полная площадь — это боковые стеночки вместе с донышком и крышкой.
Теперь смотрим в условие задачи и определяем, «чё тебе надобно, старче?». А надобно ему (ей, им) «площадь поверхности». Если уточнений типа «боковой» или «основания» нет, значит искать нужно полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Длины трех граней у нас есть, формула тоже, можно произвести расчет. Заморачиваться с основаниями и боками нам нет смысла.
Как видим, полная площадь поверхности нашего прямоугольного параллелепипеда получилась равной 22 единицы в квадрате. Какие именно единицы? А какие вам не жалко или какие вы больше всего любите.
По просьбе учащихся добавляю картинку про сумму длин ребер прямоугольного параллелепипеда.
| Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда |
Сумму длин всех ребер параллелепипеда я обозначил через букву «P», поскольку она очень похожа на периметр прямоугольника. Кстати, в формуле длин всех ребер я этого не записал, но если мы возьмем три фигурообразующие грани прямоугольного параллелепипеда, которыми являются прямоугольники, то сумма длин всех ребер параллелепипеда будет равна сумме периметров этих прямоугольников.
Спонсор страницы: был, да сплыл.
Периметр параллелограмма — Открытый справочник по математике
Периметр параллелограмма — Открытый справочник по математикеОткрытый справочник по математике
Главная Контакт О Тематический указатель
Определение: Общее расстояние вокруг внешней стороны параллелограмм
Попробуйте это
Перетащите любую оранжевую точку, чтобы изменить размер параллелограмма.
Периметр вычисляется по мере перетаскивания.
Перетащите точку D, чтобы изменить базовую длину.
Как найти периметр параллелограмма
Как и у любого многоугольника, периметр — это общее расстояние вокруг внешней стороны, которое можно найти, сложив длины каждой стороны. В случае параллелограмма каждая пара противоположных сторон имеет одинаковую длину, поэтому периметр равен удвоенному основанию плюс удвоенная длина стороны. Или как формула:
| периметр = 2(ш+в) | |
| где: | |
| с | — длина основания параллелограмма | .
| ч | это длина стороны |
На рисунке выше перетащите любую оранжевую точку, чтобы изменить размер параллелограмма. По показанным длинам сторон рассчитайте периметр и убедитесь, что ваш результат соответствует формуле в верхней части диаграммы.
Другие темы полигонов
Общий
- Общее определение многоугольника
- Четырехугольник
- Правильный многоугольник
- Неправильный многоугольник
- Выпуклые многоугольники
- Вогнутые многоугольники
- Диагонали полигонов
- Многоугольные треугольники
- Апофема правильного многоугольника
- Центр полигона
- Радиус правильного многоугольника
- Вписанная окружность правильного многоугольника
- В центре правильного многоугольника
- Окружность многоугольника
- Параллелограмм, вписанный в четырехугольник
Типы многоугольника
- Квадрат
- Диагонали квадрата
- Прямоугольник
- Диагонали прямоугольника
- Золотой прямоугольник
- Параллелограмм
- Ромб
- Трапеция
- Медиана трапеции
- Воздушный змей
- Вписанный (вписанный) четырехугольник
- Вписанные внутренние углы четырехугольника
- Площадь вписанного четырехугольника
- Диагонали вписанного четырехугольника
Площадь полигонов различных типов
- Площадь правильного многоугольника
- Область неправильного многоугольника
- Площадь ромба
- Кайт-площадка
- Область прямоугольника
- Площадь квадрата
- Площадь трапеции
- Площадь параллелограмма
Периметр различных типов полигонов
- Периметр многоугольника (правильного и неправильного)
- Периметр треугольника
- Периметр прямоугольника
- Периметр квадрата
- Периметр параллелограмма
- Периметр ромба
- Периметр трапеции
- Периметр воздушного змея
Углы, связанные с многоугольниками
- Внешние углы многоугольника
- Внутренние углы многоугольника
- Соотношение внутренних и внешних углов
- Центральный угол многоугольника
Именованные полигоны
- Тетрагон, 4 стороны
- Пятиугольник, 5 сторон
- Шестигранник, 6 сторон
- Семиугольник, 7 сторон
- Октагон, 8 сторон
- Нонагон Эннеагон, 9 сторон
- Десятиугольник, 10 сторон
- Undecagon, 11 сторон
- Додекагон, 12 сторон
(C) 2011 Copyright Math Open Reference.
Все права защищены
Найдите периметр параллелограмма со сторонами 9 см и 5 см.
Ответ
Проверено
169.8k+ views
Подсказка: Предположим, что длина параллелограмма равна 9 см, обозначим его буквой «l», а ширину параллелограмма — 5 см и обозначим буквой «b». Используйте формулу: — периметр параллелограмма = 2(l + b) и подставьте данные значения, чтобы упростить и получить ответ.
Полный пошаговый ответ:
Здесь нам даны стороны параллелограмма равные 9см и 5 см. Нас просят найти периметр треугольника.
Теперь мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны, и нам даны стороны с двумя разными измерениями, что означает, что даны измерения смежных сторон параллелограмма. Нарисуем приблизительную схему данной ситуации.
Приняв 9 см за длину параллелограмма, обозначенную буквой «l», и 5 см за ширину параллелограмма, обозначенную буквой «b», мы имеем две стороны, измеряемые «l», и две стороны, измеряемые «b», поэтому периметр будет суммой мер всех этих четырех сторон.