Вычисление первообразной функции — что это такое?
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
Какие ассоциации вызывает у вас понятие «первообразная»? Пожалуй, таким званием можно наградить супергероиню из популярного сериала: эта характеристика внушает трепет и уважение. Только представьте: «Первообразная, Королева дифференциалов из Дома Интегрированных, Властительница Констант и Производных». 👑
Поговорим мы сегодня именно об этой прекрасной даме: узнаем, что такое первообразная, как она связана с интегралами и производными, и что самое важное, как её рассчитать без особого труда.
Дифференцирование и интегрирование
Если проанализировать все математические действия, то большинству из них будет соответствовать какое-то обратное:
сложение обратно вычитанию,
умножение — делению,
возведение в степень — извлечению арифметического корня.
С производной то же самое: мы можем продифференцировать функцию, а можем произвести обратный процесс — интегрирование.
Дифференциация — операция взятия полной или частной производной функции.
Интегрирование — процесс поиска интеграла; восстановление функции по её производной.
Нахождение производной от функции обозначается знаком
Чтобы взять производную от функции, мы воспользуемся таблицей производных и правилами дифференцирования.
Функция f (x) | Производная f’ (х) |
|---|---|
С (т. | 0 |
х | 1 |
xn | nxn-1 |
√x | 1/(2√x) |
sin x | |
cos x | -sin x |
tg x | 1/cos2(х) |
ctg x | -1/sin2x |
ex | ex |
ax | ax * ln a |
ln x | 1/x |
logax | 1/(x * ln a) |
е. константа, любое число)Правила дифференцирования
(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′
(u + v)′ = u′ + v′
(u — v)′ = u′ — v′
(u ⋅ v)′ = u′v + v′u
(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2
u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).
У интегрирования тоже есть своё обозначение — ∫. То есть если мы хотим взять интеграл от функции f(x), мы запишем это так: ∫f(x) dx.
Внимательные заметили в записи интегрирования непривычное для нас «dx». Что это такое? Зачем добавлять эти буквы в выражение для интеграла? Сейчас во всём разберёмся!
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Дифференциал
Разберём буквы dx по отдельности:
d — это дифференциал,
х — функция, по которой будет произведено дифференцирование.
Так, если мы дифференцируем функции y, f, m, то их дифференциалы запишем соответственно как dy, df, dm.
Дифференциал в математике (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.
То есть это понятие родственно производной — но для чего его записывать рядом с интегралом?
Для понимания важности дифференциала в записи рассмотрим рисунок:
Геометрический смысл интеграла — это площадь фигуры под кривой функции. Если поместить график в декартову систему координат OХY, то эту площадь можно рассчитать относительно и оси ОХ, и оси ОУ, и именно дифференциал вносит ясность в выбор.
Понятие дифференциала в математике очень важное, глубокое, имеет множество нюансов использования, но сейчас нам важно понимать две вещи:
дифференциал показывает, какую конкретно функцию мы будем интегрировать;
его обязательно нужно записывать рядом с интегралом!
Что такое первообразная?
Пришло время познакомиться с её величеством первообразной! Начнём с определения.
Первообразная для функции f(x) — это такая функция F(x), производная которой равна f(x). То есть выполняется равенство F'(x) = f(x).
Пример 1: мы знаем, что ускорение является производной от скорости. Тогда по нему можно найти скорость, восстановив функцию и найдя его первообразную.
Пример 2: производная функции –sin(x). Посмотрим внимательно в таблицу производных: cos'(x) = –sin(x). Тогда первообразная функции sin(x) будет равна –cos(x) + С с учётом постоянной величины.
Константа
Зачем добавлять константу к первообразной?
Представьте, что нам необходимо найти производную функций:
−cos(x) + 3,
−cos(x) + 5,
−cos(x) − 6.
Тогда производная будет равна sin(x) для всех трёх вариантов, так как производная любого числа равна нулю:
(−cos(x) + 3)’ = sin (x),
(−cos(x) + 5)’ = sin (x),
Выходит, что получить исходную функцию в первозданном виде невозможно, но учесть дополнительное слагаемое в виде числа нам нужно. Именно поэтому в первообразной добавляют константу «+ С». Выражение, которое имеет общий вид F(x) + С, называется множеством первообразных функции.
Отсюда вытекает свойство первообразной: любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга не более чем на постоянную величину C.
Правила нахождения первообразной
Нахождение первообразной функции технически связано с поиском неопределённого интеграла функции.
Неопределённый интеграл — это интеграл, для которого не задан промежуток интегрирования.
Важный момент: если продифференцировать можно любую функцию, то найти первообразную функции можно не всегда.
Об этом говорит достаточное условие интегрируемости: если на некотором промежутке функция непрерывна, то она интегрируема на нём.
Каким образом можно найти первообразную функцию? Всё просто! Как и в случае с производной, мы можем воспользоваться готовой таблицей первообразных и свойствами неопределённого интеграла!
«Высокий» логарифм:
«Длинный» логарифм:
Свойства неопределённого интеграла
Свойства неопределённого интеграла можно назвать правилами интегрирования — основываясь на них, мы сможем находить первообразную сложных функций, сводя их к лёгким.
Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
Константу можно вынести из-под знака интеграла: то есть, если , то .
Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов:
Примеры решения заданий
Задание 1
Найди первообразную функции
Записываем неопределённый интеграл:
Применяем свойство неопределённого интеграла об алгебраической сумме функций:
Выносим константы за знак интеграла:
Проводим интегрирование согласно таблице первообразных:
Задание 2
Вычисли неопределенный интеграл
Раскрываем скобку по формуле квадрата суммы и вносим х в скобку:
Воспользуемся свойством неопределенного интеграла об алгебраической сумме функций, выносим константы за знак интеграла и находим первообразную:
Интегрирование и нахождение первообразной — одна из самых сложных, но одновременно интересных тем алгебры.