Первый признак равенства треугольников 7 класс задачи на готовых чертежах: Задачи на готовых чертежах по теме «Признаки равенства треугольников»

Содержание

Сборник УСТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ Признаки равенства треугольников | Презентация к уроку геометрии (7 класс) по теме:

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Составитель: Обухова Н.С,

учитель МОУ СОШ №17

г.Заволжья

Нижегородской области

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Литература

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Δ ВОС=Δ АОD

Задача 1

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Δ АВС=Δ АDС

Задача 2

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Δ АВD=Δ ВСD

Задача 3

Обухова Н. С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Задача 4

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

АВ=ВС

Задача 5

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

АО=СО

Задача 6

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

АВ=ВС

Задача 7

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Δ DВС=Δ DАС

Задача 8

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А=

Задача 9

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Найти равные треугольники

Задача 10

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Обухова Н. С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Задача 1

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

АО=СО

Задача 2

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

АВ=СD

Задача 3

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Р=

Задача 4

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Найти равные треугольники

Задача 5

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

АВ=СD

Задача 6

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

С=

Задача 7

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Найти равные треугольники

Задача 8

Обухова Н. С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

АК=СР

Задача 9

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Найти равные треугольники

Задача 10

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Найти равные треугольники

Задача 11

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Задача 1

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Δ АВD=Δ ВСD

Задача 2

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Р=

Задача 3

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г. Заволжья Нижегородской области

АН=НС

Задача 4

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

ВН=НD

Задача 5

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

АD=СВ

А=

Задача 5

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Найти равные треугольники

Задача 7

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

АОВ

Задача 8

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Найдите равные треугольники

Задача 9

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Найдите все пары равных треугольников

Задача 10

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г. Заволжья Нижегородской области

1.Ершова А.П., Голобородько В.В, Ершова А.С

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре

и геометриидля 7 класса.-М:Илекса, 2004.-176с.

2.Саврасова С.М.,Ястребинецкий Г.А.

Упражнения по планиметрии на готовых чертежах.-

М.: просвещение, 1987.-112 с.: ил.

3. Зив Б.Г. и др.

Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл.

общеобразоват.учреждений.-М.:Просвещение, 2000.-271 с.: ил.

4. Рабинович Е.М.

Сборник задач на готовых чертежах.-К.:1996.-56с.

5. Гаврилова Н.Ф.

Поурочные разработки по геометрии: 7 класс.-2-е изд.,

перераб. и доп.-М.: ВАКО,2009.-304 с.

Методическая разработка урока геометрии для учащихся 7 класса по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 40»,

г. Новоуральска Свердловской области

Методическая разработка урока геометрии для учащихся 7 класса по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников»

подготовила

учитель математики

Гуляева Светлана Валерьевна

г. Новоуральск

2014

Методическая разработка урока геометрии для учащихся 7 класса

Гуляева Светлана Валерьевна,

учитель математики

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа № 40»,

г. Новоуральска Свердловской области

Тема урока: Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Цели урока:

Дидактическая цель:

Образовательная цель:

Развивающая цель:

Воспитательная цель:

способствовать воспитанию положительного отношения к знаниям, к способности адекватно оценивать результаты своей работы.
воспитывать чувства ответственности, культуры диалога.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная, коллективная.

Оборудование: компьютер, плазменный экран, презентация, технологическая карта урока, раздаточный материал.

Компьютерное программное обеспечение: программа Microsoft Office PowerPoint 2010

Ход урока

I. Мотивация учебной деятельности (слайд 1)

На уроке вам понадобятся знания признаков равенства треугольников, умение отличать прямоугольный треугольник от произвольного, умение сравнивать чертежи и находить на них одинаковые элементы. Каждое задание, которое вы выполняете самостоятельно, будет оценено вами же. В конце урока мы подведем итоги с помощью технологической карты урока.

II. Актуализацию опорных знаний

Устная работа (в форме фронтальной беседы).

Какой треугольник называется прямоугольным?
Назовите элементы прямоугольного треугольника.
Какими свойствами обладают элементы прямоугольного треугольника?
Сформулируйте признаки равенства треугольников (слайды 2,3,4).

Работа с технологической картой.

Работа с индивидуальными карточками.

Задание 1. Начертите произвольный треугольник ABC и проведите в нем высоту BD . Заполните таблицу:

Треугольник

Задание 2. На индивидуальных карточках учащихся начерчены три прямоугольных треугольника.

На чертеже а) обозначьте гипотенузу буквами A и C.

На чертеже б) обозначьте катет буквами M и K.

На чертеже в) обозначьте малыми буквами гипотенузу a и катеты b и c.

Задание 3. Определите градусные меры острых углов α и β прямоугольного треугольника, если:

а) α = 20°, б) β = 45°

Работа с технологической картой (слайд5).

III. Постановка задачи

Используя признаки равенства треугольников, сформулируйте признаки равенства для прямоугольных треугольников.

На экране появляются два произвольных треугольника, равных по первому признаку. Затем — два прямоугольных треугольника, у которых выделены равные катеты; катет и прилежащий острый угол; катет и противолежащий острый угол.

Выяснить, будут ли равны эти треугольники.

Учащиеся самостоятельно обосновывают равенство таких треугольников и формулируют первый и второй признаки равенства прямоугольных треугольников.

В₁

С₁

А₁

Сформулируйте 1 признак равенства треугольников (слайд 6).

В₁

С₁

А₁

Докажите равенство треугольников и сформулируйте 1 признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (слайд 6).

В₁

С₁

А₁

Докажите равенство треугольников и сформулируйте 2 признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (слайд 6).

В₁

С₁

А₁

Докажите равенство треугольников и сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников.

Обязательно ли надо уточнять взаимное расположение катета и острого угла прямоугольного треугольника?

Ещё раз дать формулировку второго признака по катету и острому углу (слайд 6).

На экране появляются два произвольных треугольника, равных по второму признаку. Затем — два прямоугольных треугольника, у которых выделены равные гипотенуза и острый угол.

В₁

С₁

А₁

Сформулируйте 2 признак равенства треугольников (слайд 7).

В₁

С₁

А₁

Возникла проблема: будут ли равны прямоугольные треугольники по гипотенузе и острому углу?

Каким свойством обладают острые углы прямоугольного треугольника?

Обоснуйте признак равенства треугольников по гипотенузе и острому углу. Сформулируйте признак (слайд 7).

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету учащиеся формулируют по готовому чертежу (слайд 8).

В₁

С₁

А₁

Работа с технологической картой.

IV. Первичное закрепление новых знаний

Устно (в форме фронтальной беседы).

Выберите на чертежах пары равных треугольников и укажите признак, на основании которого можно утверждать, что треугольники равны.

Работа в парах

На каждую парту выдаются пять карточек с треугольниками. Нужно записать пары равных треугольников и указать, какой признак равенства был применен.

Работа с технологической картой.

V. Самостоятельная работа

Определите признак равенства треугольников.

Вариант 1

Вариант 2

Работа с технологической картой.

VI. Итог урока. Рефлексия.

Вопросы классу:

Отличаются ли признаки равенства треугольников произвольных и прямоугольных?
Сколько признаков равенства у каждого вида треугольников? Назовите их.

Заполняется технологическая карта урока, подводится итог и выставляется отметка за урок.

Домашнее задание: знать определение прямоугольного треугольника и его элементов, формулировки признаков равенства прямоугольных треугольников. Прочитать по учебнику и рассмотреть доказательства признаков.

Задача. Дано: Δ ABC — равносторонний, высоты AD и CE пересекаются в точке K. Докажите, что а) ΔADC= ΔАEC; б) ΔAKE = ΔCDK.

Закончим урок словами великого ученого Галилео Галилея: «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

КАРТА УРОКА

Учащийся ________________________________________________________

1. Я знаю признаки равенства треугольников

Мои баллы: __________

Максимальное кол-во баллов – 14

13 – 14 баллов — оценка «5»

10 – 12 баллов — оценка «4»

7 –9 баллов — оценка «3»

Менее 7 баллов — нужно прийти на консультацию, материал еще не усвоен.

Список использованной литературы

Геометрия, 7 – 9: учеб. для общеобразоват. учреждений /[ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]- 15-е изд.- М.:Просвещение, 2005. – 384 с.: ил.
Рабинович Е.М.. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7 – 9 классы. Геометрия. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998, — 56 с .
Изучение геометрии в 7 – 9 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. Для учителя / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. – 3 –е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 255 с.: ил.
Ершова А.П.; Голобородько В.В… Устные проверочные и зачетные работы по геометрии для 7-9 класса. – М.: Илекса, 2004, — 176 с

Гипотенуза	Катеты
ADB
DDC
	4		7
2		5		8
3		6		9
Баллы
Я сформулировал три признака равенства треугольников.	3
Я сформулировал два признака равенства треугольников.	2
Я сформулировал один признак равенства треугольников.	1
Я затрудняюсь сформулировать признаки равенства треугольников.	0
2. Я знаю названия сторон и свойство углов прямоугольных треугольников	Баллы
Я выполнил все задания верно.	3
Я верно записал только названия сторон прямоугольного треугольника.	2
Я верно использовал только свойство углов прямоугольного треугольника.	1
Я не справился с заданием.	0
3. Я могу сформулировать признаки равенства прямоугольных треугольников	Баллы
Я верно записал все признаки равенства прямоугольных треугольников.	4
Я верно записал три признака равенства прямоугольных треугольников.	3
Я верно записал два признака равенства прямоугольных треугольников.	2
Я верно записал один признак равенства прямоугольных треугольников.	1
Мне трудно выполнить задание самостоятельно.	0
4. Я могу применять признаки равенства прямоугольных треугольников при решении задач	Баллы
Я верно решил все задачи.	4
Я справился с двумя задачами.	3
Я верно решил одну задачу.	2
Я решил задачи с помощью учителя.	1
Я не справился с решением задач.	0

Тесты по геометрии для 7 класса онлайн

Окружность

Тест по теме «Смежные и вертикальные углы»
30. 07.2018 10945
Тест направлен на проверку знаний учащихся по теме «Смежные и вертикальные углы»
Начальные сведения из геометрии
27.08.2013 12861
вопросы содержат теоретический материал, служат проверкой первоначальных знаний по предмету
7 класс. Геометрия. Прямая и отрезок. Луч и угол.
27.02.2022 1725 0
Данный тест предназначен для повторения темы: «Прямая и отрезок. Луч и угол»
Прямая, луч, отрезок.
Геометрия 7 класс.
01.11.2021 240 0
Тест по теме «Прямая, луч, отрезок» проверяет умение находить длины отрезков, устанавливать пересекаются ли прямые, отрезки и лучи на рисунке.
7 класс Глава 1 Начальные геометрические сведения

04.10.2020 12253 0
7 класс геометрия учебник Л.С.Атанасян.
углы и их виды
10.02.2020 5459
Определение угла. Виды углов. Измерение углов. Сравнение углов.Построение углов.
7 класс.
Геометрия. Смежные и вертикальные углы №6
14.10.2016 5299
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Смежные и вертикальные углы».
Итоговый тест по геометрии для 7 класса
13.05.2020 9328
Итоговый тест по геометрии 7 класса за 2019/2020 учебный год по всем темам учебной программы
7 класс. Признаки равенства прямоугольных треугольников
10.04.2020 5323 0
Тест — тренинг на применение признаков равенства прямоугольных треугольников. Тест содержит 5 задач на готовых чертежах.

Медиана, биссектриса и высота треугольника
12.11.2020 346 0
Проверочный тест по теме «Медианы биссектрисы и высоты треугольника»
Итоговый тест 7 класс геометрия ТЕОРИЯ тренировочный
12.05.2021 8618 0
7 класс геометрия учебник Л.С.Атанасян. Данный тест предназначен для повторения теории по курсу геометрии 7 класса. В тесте 40 вопросов, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий 80 вопросов. По завершении выставляется оценка. Критерии: «3» 50-69%, «4» 70-90%, «5» 91-100%.
7 класс. Геометрия. Параллельные прямые.
07.01.2016 24829
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Параллельные прямые.».

Итоги знаний за 7 классов.
25.09.2022 8
Данный тест предназначен для оценки знаний учащихся 7 и 8 классов. Состоит из 25 вопросов базового уровня. Целесообразно тестировать учащихся в конце учебного года 7 класса или вначале 8 класса, при повторении изученного материала.
7 класс.
Геометрия. Прямоугольный треугольник. Углы и их свойства.
20.02.2016 6749 0
Тест предназначен для учащихся 8 классов при отработке навыков решения задач по теме «Прямоугольный треугольник. Углы и их свойства.»
Треугольники. Обобщение 7 класс
19.07.2019 4749 0
Данный тест предназначен для проверки знаний учащихся по темам «Треугольники», «Равнобедренный треугольник и его свойства», «Прямоугольный треугольник»
Геометрия 7 класс. Итоговый тест №2
20.05.2020 203 0
Итоговый тест по теме «Признаки равенства треугольников. Медиана, биссектриса и высота треугольника»
ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ»
01.06.2020 962 0
С помощью этого теста можно проверить кругозор семиклассников по теме: «Признаки параллельности прямых»
7 класс. Геометрия. Смежные углы № 1 (диктант).

08.10.2016 1938
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков устного счёта при решении задач по теме «Смежные углы».
Тест по теме «Окружность» (геометрия, 7-8 класс)
16. 11.2016 16501
Тест предназначен для проверки знаний учащихся после изучения темы «Окружность». Основные тестируемые понятия: окружность, радиус, хорда, касательная
7 класс Геометрия

14.03.2019 25095
Данный тест предназначен для определения знания предмета «Геометрия» за курс 7 класса.
Геометрия. Итоговый тест.
04.05.2020 23069
Геометрия. 7 класс. Итоговый тест по геометрии за 2019 — 2020 учебный год.
Треугольники.
Сумма углов треугольника.
08.05.2020 104 0
Данный тест предназначен для проверки знаний учащихся 7 класса по темам «Треугольники», «Равнобедренный треугольник и его свойства», «Прямоугольный треугольник»
Первый признак равенства треугольников.
21.10.2020 3018
Тест седержит несколько интересных теоретических и практических вопросов по теме «Первый признак равенства теругольников».
Медиана, биссектриса и высота треугольника.
25.10.2020 9087
Данный тест будет полезным учителю для осуществления быстрого контроля на уроке, а также ребятам, которые желают проверить свои знания по данной теме.

Окружность.Начальные сведения.
22.11.2020 255 0
Данный тест будет полезным учителю для осуществления быстрого контроля на уроке, а также ребятам, которые желают проверить свои знания по данной теме.
Итоговый тест 7 класс геометрия ТЕОРИЯ
25.04.2021 1273 0
В тесте 30 вопросов, которые выбираются случайным образом из общей базы заданий. По завершении выставляется оценка. Критерии: «3» 50-69%, «4» 70-90%, «5» 91-100%.
Итоговый тест по геометрии за курс 7 класса
17. 12.2021 228 0
Тест состоит из пяти вопросов. В каждом вопросе один правильный ответ
7 класс. Геометрия. Прямые на плоскости.
11.04.2015 1027 0
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Прямые на плоскости.».
7 класс. Геометрия. Смежные углы. (диктант)
09.01.2016 1644
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Смежные углы.»
7 класс.
Геометрия. Смежные и вертикальные углы № 4 (диктант).
09.01.2016 1119
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Смежные и вертикальные углы.»
7 класс. Геометрия. Равнобедренный и равносторонний треугольники.
16.01.2016 9890
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Равнобедренный и равносторонний треугольники.»
7 класс. Геометрия. Смежные и вертикальные углы №5
14.10.2016 8862
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков устного счёта при решении задач по теме «Смежные и вертикальные углы».
Прямоугольные треугольники
16.04.2020 20573
Тест по теме «Прямоугольные треугольники» для 7 класса. Содержит 10 вопросов, расположенных в последовательности от простых к более сложным
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
22.04.2020 1896 0
Тест по теме «Прямоугольный треугольник. Элементы, признаки равенства»
Геометрия 7 класс
14.05.2020 81 0
Тестовая работа к ГЛАВЕ 1. Начальные геометрические сведения. Прямая. Отрезок. Измерение углов
Построение треугольника по трем элементам (проверочная работа)
24.05.2020 769 0
Обобщающий тест по теме «Построение треугольника по трем элементам». Состоит из 6 вопросов с выбором ответа и заполнением пропусков.

Годовая контрольная работа по геометрии 7 класс
10.07.2020 2663
Годовая контрольная работа по геометрии состоит из 11 заданий. с 1 по 5 — тестовые задания (от 1 до 4 правильных), с 6 по 7 нужно установить соответствие (1-4:А-Д), с 8 по 9 нужно вписать ответ (число), с 10 по 11 — вписать ответ. Время на контрольную – 60 мин.
Равнобедренный треугольник и его свойства
18.11.2020 8810
Проверочный тест по теме «Равнобедренный треугольник». Геометрия 7 класс.
Признаки равенства треугольников
26.11.2020 190 0
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Признаки равенства треугольников.»
Окружность и ее элементы — 7 класс
16. 12.2020 859 0
Тест предназначен для проверки усвоения учащимися 7 класса тем «Окружность», «Элементы окружности».
ГЕОМЕТРИЯ выбор верных утверждений 7 класс
12.04.2021 2643 0
Тест содержит 20 заданий. Задания в тест выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» 50-69%, «4» 70-90%, «5» 91-100%. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.
Треугольники и элементы. Признаки равенства треугольников (7 класс. Повторение)
27.10.2021 450 0
Тест на знание теоретического материала по теме «Треугольники» для 7 класса
Решение задач по теме «Параллельные прямые»
07. 02.2022 436 0
Тест предназначен для проверки заний по 3 главе. Удачи в прохождении!!!
7 класс. Геометрия. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей. (диктант)
09.01.2016 4290 0
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.».
7 класс. Геометрия. Треугольники.
09.01.2016 2279
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Треугольники. «
7 класс. Геометрия. Признаки равенства треугольников.
10.01.2016 11093
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Признаки равенства треугольников.»
7 класс. Геометрия. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника.
16.01.2016 23138
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков решения задач по теме «Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника.»
7 класс.
Геометрия. Смежные углы № 2 (диктант).
08.10.2016 891
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков устного счёта при решении задач по теме «Смежные углы».

7 класс. Геометрия. Смежные и вертикальные углы №3
14.10.2016 3028
Тест предназначен для учащихся 7 классов при отработке навыков устного счёта при решении задач по теме «Смежные и вертикальные углы».
Геаметрыя 7 клас. Трохвугольнікі.
28.11.2019 6 0
Тэст прызначаны для навучэнцаў 7 класаў пры адпрацоўцы навыкаў рашэня задач па тэме .
Геометрия 7 класс. Некоторые свойства прямоугольных треугольников
02.04.2020 1912 0
Тест по теме «Некоторые свойства прямоугольных треугольников»
Неравенство треугольника 7 класс
15.04.2020 7451 0
Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «Неравенство треугольника». Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи!!!
ГЕОМЕТРИЯ 7. Окружность.
16. 04.2020 5886 0
Тест по геометрии рассчитан на учащихся 7 классов для проверки знаний по теме: «Окружность». Время прохождения теста ограничено 30 минутами.
Прямоугольные треугольники. Вариант 2
16.04.2020 2463 0
Тест по теме «Прямоугольные треугольники» для 7 класса. Содержит 10 вопросов, расположенных в последовательности от простых к более сложным
Геометрия 7 класс (теоретический материал)
24.04.2020 9364
Тест на знание теоретического материала по геометрии 7 класса
Повторение.
Геометрия 7 класс
10.05.2020 866 0
Данный тест можно использовать на последних уроках геометрии. Обучающиеся выбирают верные ответы на каждый вопрос, по окончании тестирования получают оценку
Контрольный тест по теме «Окружность и круг. Геометрические построения» Вариант 1 (7 класс)
11.05.2020 389 0
Контрольная работа по теме «ОКружноть и круг. Геометрические построения», вариант 1. Всего вопросов 8. С выбором ответа — 4 вопроса; с кратким ответом — 3 вопроса; заполнить пропуски в тексте — 1 вопрос. Максимальное количестко баллов — 22 балла. Пятибальная система оценивания.
Контрольный тест по теме «Окружность и круг.
Геометрические построения» Вариант 2 (7 класс)
11.05.2020 342 0
Контрольная работа по теме «ОКружноть и круг. Геометрические построения», вариант 2. Всего вопросов 8. С выбором ответа — 4 вопроса; с кратким ответом — 3 вопроса; заполнить пропуски в тексте — 1 вопрос. Максимальное количестко баллов — 22 балла. Пятибальная система оценивания.
Математика 7 класс. Итоговая контрольная работа.
13.05.2020 423
Данный тест предназначен для проверки знаний по математике учащихся 7-х классов. Тест состоит из 16 заданий, рассчитан на 40 минут выполнения.
Сумма углов треугольника (I вариант)
27. 05.2020 1952 0
Тест по теме «Сумма углов треугольника» предназначен для учащихся 7 класса , содержит 10 задний с чертежами, по которым надо решить и записать ответ в окно теста.

Входной тест Геометрия 7
21.07.2020 17 0
Входной тест по геометрии контролирующий освоение учениками темы измерение отрезков и углов.
Сумма углов в треугольнике
09.08.2020 56 0
Геометрия, 7 класс. Тест предназначен для закрепления материала «Сумма углов в треугольнике».
7 класс Глава 2 Треугольники
18.10.2020 9168 0
7 класс геометрия учебник Л.С.Атанасян. Данный тест предназначен для повторения Главы 2 «Труегольники». Вопросы двух типов — по теории и практические задания. В тест случайным образом выбираются 5 теоретических вопросов и 5 практических.
7 класс Медианы биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник. ТЕОРИЯ
19.10.2020 1849 0
7 класс геометрия учебник Л.С.Атанасян. Тест предназначени для повторения и закрепления теоретического материала по теме «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника». Содержит 17 заданий.
Свойства равнобедренного треугольника.
25.10.2020 2786 0
Данный тест будет полезным учителю для осуществления быстрого контроля на уроке, а также ребятам, которые желают проверить свои знания по данной теме.
Основные утверждения по геометрии. 7 класс.
05.11.2020 165 0
Тест предназначен для проверки теоретических знаний по геометрии 7 класса. Ориентирован на учебник Л. С. Атанасяна и др. «Геометрия 7-9 классы». Может быть использован для подготовки к ОГЭ по математике.
Равные треугольники.
Высота, медиана, биссектриса треугольника
26.11.2020 196 0
Тест составлен на основе учебника по геометрии за 7 класс авторы Мерзляк А.Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. 7 класс
20.12.2020 197
Ребята! Я предлагаю вам ответить на вопросы теста по теме «Виды треугольников». Будьте внимательны!
Геометрия 7 класс
02.03.2021 1986 0
Теоретический тест по теме «Параллельные прямые» 7 класс. Для урока обобщения изученного материала.
Параллельные прямые
27.03.2021 54 0
Тест по геометрии «Свойства параллельных прямых» состоит из десяти заданий с выбором правильного варианта ответа из числа предложенных. Он поможет семиклассникам вспомнить все изученное по этой важной теме, а старшеклассникам – повторить материал при подготовке к экзамену. Решить тест можно на нашем сайте онлайн.
Кері байланыс
04.11.2021 25
Рефлексия ______________________________________________________________________________________________________
Тест по теме «Свойства параллельных прямых.
Сумма внутренних углов треугольника.» (геометрии 7 класс)
31.01.2022 191
Тест по теме «Свойства параллельных прямых. Сумма внутренних углов треугольника.» (геометрии 7 класс)

Исчисление I — Связанные курсы

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-11: Связанные курсы

В этом разделе мы рассмотрим применение неявного дифференцирования. Большинство применений деривативов находится в следующей главе, однако есть несколько причин поместить их в эту главу, а не в следующую главу с другими приложениями. Первая причина заключается в том, что это применение неявного дифференцирования, поэтому размещение его сразу после этого раздела означает, что мы не забыли, как выполнять неявное дифференцирование. Другая причина просто в том, что после выполнения всех этих производных нам нужно напомнить, что действительно существуют приложения к производным. Иногда легко забыть, что на самом деле есть причина, по которой мы тратим все это время на деривативы.

Для этих проблем со связанными скоростями обычно лучше всего сразу перейти к некоторым проблемам и посмотреть, как они работают.

Пример 1 В шаровой баллон нагнетают воздух со скоростью 5 см ³ /мин. Определите скорость, с которой увеличивается радиус шарика, если диаметр шарика равен 20 см.

Показать решение

Первое, что нам нужно сделать, это определить, какую информацию мы получили и что мы хотим найти. Прежде чем мы это сделаем, давайте заметим, что и объем воздушного шара, и радиус воздушного шара будут меняться со временем и, следовательно, на самом деле являются функциями времени9.0007, то есть \(V\влево(t\вправо)\) и \(r\влево(t\вправо)\).

Мы знаем, что воздух нагнетается в баллон со скоростью 5 см ³ /мин. Это скорость, с которой увеличивается объем. Вспомним, что скорость изменения есть не что иное, как производная, и поэтому мы знаем, что

\[V’\влево( т \вправо) = 5\]

Мы хотим определить скорость изменения радиуса. Опять же, ставки являются производными, поэтому похоже, что мы хотим определить,

\[r’\left( t \right) = ?\hspace{0,25 дюйма}{\rm{when}}\hspace{0,25 дюйма}r\left( t \right) = \frac{d}{2} = 10\,{\rm{см}}\]

Обратите внимание, что нам нужно преобразовать диаметр в радиус.

Теперь, когда мы определили, что нам дано и что мы хотим найти, нам нужно связать эти две величины друг с другом. В этом случае мы можем связать объем и радиус с формулой объема сферы.

93}\]

Как и в предыдущем разделе, когда мы рассматривали неявное дифференцирование, мы, как правило, не будем использовать часть \(\left( t \right)\) в формулах, но поскольку мы впервые используем одну из них, мы будем делать это, чтобы напомнить себе, что они действительно являются функциями \(t\).

Теперь нам не нужна связь между объемом и радиусом. Чего мы действительно хотим, так это отношений между их производными. Мы можем сделать это, продифференцировав обе части по \(t\). Другими словами, нам нужно будет сделать неявное дифференцирование по приведенной выше формуле. Это дает 92}} \right)r’\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}r’ = \frac{1}{{80\pi }}\ ,{\rm{см/мин}}\]

Мы можем получить единицы измерения производной, вспомнив, что

\[r’ = \frac{{dr}}{{dt}}\]

Единицами производной будут единицы числителя (см в предыдущем примере), деленные на единицы знаменателя (мин в предыдущем примере).

Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 2 15-футовая лестница упирается в стену. Первоначально дно находится на расстоянии 10 футов от стены и подталкивается к стене со скоростью \({\textstyle{1 \over 4}}\) фут/сек. С какой скоростью верхняя часть лестницы движется вверх по стене через 12 секунд после того, как мы начали толкать?

Показать решение

Первое, что нужно сделать в этом случае, это набросать картинку, которая показывает нам, что происходит.

Мы определили расстояние от нижней части лестницы до стены как \(x\) и расстояние от верхней части лестницы до пола как \(y\). Также обратите внимание, что они меняются со временем, поэтому нам действительно следует писать \(x\left( t \right)\) и \(y\left( t \right)\). Однако, как это часто бывает со связанными задачами скоростей/неявного дифференцирования, мы не пишем часть \(\left( t \right)\), а просто пытаемся запомнить это в уме, когда будем решать задачу.

Далее нам нужно определить, что мы знаем и что хотим найти. Мы знаем скорость, с которой низ лестницы движется к стене. Это

\[x’ = — \frac{1}{4}\]

Также обратите внимание, что скорость отрицательна, так как расстояние от стены \(x\) уменьшается. Мы всегда должны быть осторожны со знаками с этими проблемами.

Мы хотим найти скорость, с которой верхняя часть лестницы удаляется от пола. Это \(у’\). Заметим также, что эта величина должна быть положительной, так как \(y\) будет возрастать. 92} = 225\]

Все, что нам сейчас нужно сделать, это продифференцировать обе части относительно \(t\), помня, что \(x\) и \(y\) на самом деле являются функциями \(t\), и поэтому мы нужно будет сделать неявное дифференцирование. Это дает уравнение, которое показывает взаимосвязь между производными.

\[\begin{уравнение}2xx’ + 2yy’ = 0\end{уравнение} \label{eq:eq1}\]

Далее, давайте посмотрим, какие из различных частей этого уравнения мы знаем и что нам нужно найти. Мы знаем \(x’\), и нас просят определить \(y’\), так что ничего страшного, что мы этого не знаем. Однако нам все еще нужно определить \(x\) и \(y\).

Определить \(x\) и \(y\) на самом деле довольно просто. Мы знаем, что первоначально \(x = 10\) и конец прижимается к стене со скоростью \({\textstyle{1 \over 4}}\) футов/сек, и что нас интересует, что произошло произошло через 12 секунд. Мы это знаем,

\[\ begin{align*}{\rm{distance}} = {\rm{rate}} \times {\rm{time}}\\ & = \left({\frac{1}{4}} \ вправо)\влево( {12} \вправо) = 3\конец{выравнивание*}\]

Итак, конец лестницы сдвинули на 3 фута, поэтому через 12 секунд мы должны получить \(x = 7\). Обратите внимание, что мы могли бы вычислить это за один шаг следующим образом:

\[x = 10 — \frac{1}{4}\left( {12} \right) = 7\]

Чтобы найти \(y\) (через 12 секунд), все, что нам нужно сделать, это повторно использовать теорему Пифагора со значениями \(x\), которые мы только что нашли выше. 2}} = \sqrt {225 — 49{7}/{}_{4}}{\sqrt{176}}=\frac{7}{4\sqrt{176}}=0,1319\,\,\text{фут/сек}\]

Обратите внимание, что мы получили правильный знак для \(y’\). Если бы мы получили отрицательное значение, мы бы знали, что допустили ошибку, и могли бы вернуться и поискать ее.

Прежде чем работать с другим примером, нам нужно сделать комментарий о постановке предыдущей задачи. Когда мы обозначили наш эскиз, мы признали, что гипотенуза постоянна, и поэтому просто назвали ее 15 футов. Распространенная ошибка, которую иногда допускают здесь студенты, состоит в том, что гипотенуза также обозначается буквой, скажем, \(z\), в данном случае . 92}\hspace{0,25 дюйма} \to \hspace{0,25 дюйма} 2xx’ + 2yy’ = 2zz’\]

Опять же, в этом нет ничего плохого, но это требует подтверждения значений еще двух величин, \(z\) и \(z’\). Потому что \(z\) — это просто гипотенуза, которая явно равна \(z = 15\). Проблема, с которой иногда сталкиваются некоторые студенты, заключается в определении значения \(z’\). В этом случае мы должны помнить, что, поскольку лестница и, следовательно, гипотенуза имеют фиксированную длину, ее длина не может меняться, и поэтому \(z’ = 0\).

Подстановка обоих этих значений в производную дает нам то же уравнение, которое мы получили в примере, но для его получения потребовалось немного больше усилий. Было бы проще просто обозначить гипотенузу 15 для начала и не беспокоиться о том, чтобы помнить, что \(z’ = 0\).

Обозначая фиксированную величину (длину лестницы в данном примере) буквой, иногда легко забыть, что это фиксированная величина и поэтому ее производная должна быть равна нулю. Если вы этого не помните, решить задачу становится невозможно, так как у вас будет две неизвестные величины, с которыми вам придется иметь дело. В любой проблеме, где количество является фиксированным и никогда не изменится в ходе решения проблемы, всегда лучше просто признать это и пометить его значением, а не буквой.

Конечно, если бы у нас была раздвижная лестница, длина которой могла изменяться, нам пришлось бы пометить ее буквой. Однако для такого рода задач нам также потребуется дополнительная информация в постановке задачи, чтобы действительно решить задачу. В практических задачах этого раздела есть несколько задач, в которых изменяются все три стороны прямоугольного треугольника. Вы должны проверить их и посмотреть, сможете ли вы с ними работать.

Пример 3 Два человека находятся на расстоянии 50 футов друг от друга. Один из них начинает двигаться на север с такой скоростью, что угол, показанный на диаграмме ниже, изменяется с постоянной скоростью 0,01 рад/мин. С какой скоростью изменяется расстояние между двумя людьми, когда \(\тета = 0,5\) радиан?

Показать решение

Этот пример не так сложен, как может показаться на первый взгляд. Назовем расстояние между ними в любой момент времени \(x\), как указано выше. Затем мы можем связать все известные величины одной из двух тригонометрических формул.

\[\cos \theta = \frac{{50}}{x}\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}\sec \theta = \frac{x}{{50}}\]

Мы хотим найти \(x’\), и мы могли бы найти \(x\), если бы захотели, в рассматриваемой точке с помощью косинуса, поскольку мы также знаем угол в этот момент времени. Однако, если мы используем вторую формулу, нам не нужно знать \(x\), как вы увидите. Итак, давайте продифференцируем эту формулу.

\[\sec \theta \tan \theta \,\,\theta ‘ = \frac{{x’}}{{50}}\]

Как уже отмечалось, в этой формуле нет символов \(x\). Мы хотим определить \(x’\) и знаем, что \(\theta = 0,5\) и \(\theta ‘ = 0,01\) (вы согласны с тем, что оно положительно?). Итак, просто подключите и решите.

\[\left( {50} \right)\left( {0,01} \right)\sec \left( {0,5} \right)\tan \left( {0,5} \right) = x’\hspace{0,25in } \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}x’ = 0,311254\,\,{\rm{ft}}/\min \]

До сих пор мы видели три связанных проблемы со скоростью. Хотя каждый из них работал совершенно по-разному, процесс был в основном одинаковым. В каждой задаче мы определили, что нам дали и что мы хотели найти. Затем мы записали взаимосвязь между всеми различными величинами и использовали неявное дифференцирование, чтобы получить взаимосвязь между различными производными в задаче. Наконец, мы подставили известные величины в уравнение, чтобы найти искомое значение.

Итак, в общем смысле каждая задача решалась примерно одинаково. Единственная реальная разница между ними заключалась в установлении соотношения между известными и неизвестными величинами. Часто это самая трудная часть проблемы. Во многих задачах лучший способ установить взаимосвязь — это набросать диаграмму, показывающую ситуацию. Это часто кажется глупым шагом, но может иметь решающее значение в том, сможем ли мы найти отношения или нет.

Давайте решим еще одну задачу, в которой используются несколько иные идеи и показаны различные вещи, которые могут проявляться в задачах о связанных ставках. 9{3}{\rm{/час}}\). Базовый радиус резервуара составляет 5 футов, а высота резервуара — 14 футов.

С какой скоростью изменяется глубина воды в резервуаре, когда глубина воды составляет 6 футов?
С какой скоростью изменяется радиус поверхности воды в резервуаре, когда глубина воды составляет 6 футов?

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Хорошо, мы должны начать с быстрого наброска (возможно, не в масштабе) того, что здесь происходит. Мы также будем делать набросок, как если бы мы смотрели на танк прямо перед ним (и поэтому 3D танка не будет видно), так как это немного поможет увидеть, что происходит. Отображение трехмерной природы танка может только мешать. Итак, вот набросок бака с водой.

Как мы видим, вода в резервуаре на самом деле образует меньший конус/треугольник (в зависимости от того, на какое изображение мы смотрим) с тем же центральным углом, что и сам резервуар. Радиус «водяного» конуса в любой момент времени определяется как \(r\), а высота «водяного» конуса в любой момент определяется как \(h\). Объем воды в баке в любой момент времени \(t\) определяется выражением 92}ч\]

и нам дано, что \(V’ = — 2\).

а С какой скоростью изменяется глубина воды в резервуаре, если глубина воды составляет 6 футов? Показать решение

Для этой части нам нужно определить \(h’\) при \(h = 6\) и теперь у нас есть задача. Единственная формула, которая у нас есть, которая связывает объем с высотой, также включает радиус, и поэтому, если бы мы должны были дифференцировать это относительно \(t\), мы получили бы, 92}ч’\]

Итак, в этом уравнении мы знаем \(V’\) и \(h\) и хотим найти \(h’\), но не знаем \(r\) и \(r’\) . Как мы увидим, найти \(r\) не так уж и плохо, но на данный момент у нас просто недостаточно информации, которая позволила бы нам найти \(r’\) и \(h’\) одновременно.

Чтобы исправить это, нам нужно каким-то образом исключить \(r\) из формулы объема. На самом деле это проще, чем может показаться на первый взгляд. Если мы вернемся к нашему наброску выше и посмотрим только на правую половину резервуара, мы увидим, что у нас есть два подобных треугольника, и когда мы говорим «подобные», мы имеем в виду «подобные» в геометрическом смысле. Напомним, что два треугольника называются подобными, если их углы равны, что имеет место здесь. Если у нас есть два подобных треугольника, то отношения любых двух сторон будут равны. Для нашего множества это означает, что у нас есть 92}} \right)h’\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}h’ = \frac{{ — 98}}{{225\pi }} = — 0,1386\]

Итак, похоже, что высота уменьшается со скоростью 0,1386 фута в час.

b С какой скоростью изменяется радиус поверхности воды в резервуаре, когда глубина воды составляет 6 футов? Показать решение

В этом случае мы просим \(r’\) и есть простой способ выполнить эту часть и сложный (ну, во всяком случае, более сложный, чем простой…. ) способ сделать это. «Сложный» способ состоит в том, чтобы переделать работу в части (а) выше только на этот раз,

\[\frac{h}{r} = \frac{{14}}{5}\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}h = \ гидроразрыв{{14}}{5}г\]

, чтобы получить объем в терминах \(V\) и \(r\), а затем продолжить как раньше.

Это не очень сложно, но для этого нам нужно больше работы. Напомним из первой части, что у нас есть,

\[r = \frac{5}{{14}}h\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}r’ = \frac{5}{ {14}}ч’\]

Итак, как мы видим, если мы возьмем отношение, связывающее \(r\) и \(h\), которое мы использовали в первой части, и продифференцируем его, мы получим отношение между \(r’\) и \( час’\). На данный момент все, что нам нужно сделать, это использовать результат из первой части, чтобы получить

. \[r’ = \frac{5}{{14}}\left( {\frac{{ — 98}}{{225\pi }}} \right) = — \frac{7}{{45\pi }} = — 0,04951\]

Намного проще, чем переделывать всю первую часть. Обратите внимание, однако, что мы смогли сделать это только «более простым» способом, потому что он запрашивал \(r’\) точно в то же время, когда мы запрашивали \(h’\) в первой части. Если бы мы не использовали одно и то же время, у нас не было бы другого выбора, кроме как сделать это «сложным» способом.

Во второй части предыдущей задачи мы увидели важную идею в отношении связанных ставок. Чтобы найти запрашиваемую ставку, все, что нам нужно, — это уравнение, связывающее искомую ставку с уже известной нам ставкой. Иногда есть несколько уравнений, которые мы можем использовать, и иногда одно будет проще, чем другое.

Кроме того, эта задача показала нам, что часто у нас будет уравнение, содержащее больше переменных, о которых у нас есть информация, и поэтому в этих случаях нам нужно исключить одну (или несколько) переменных. В этой задаче мы исключили лишнюю переменную, используя идею подобных треугольников. Это не всегда будет так, как мы это делаем, но во многих из этих задач действительно используются подобные треугольники, поэтому убедитесь, что вы можете использовать эту идею. 9{3}\mbox{/sec}\). С какой скоростью изменится высота воды, если высота воды 120 см? С какой скоростью изменится ширина воды, если высота воды 120 см?

Показать решение

Обратите внимание, что равнобедренный треугольник — это просто треугольник, в котором две стороны имеют одинаковую длину. В нашем случае стороны бака имеют одинаковую длину.

Давайте добавим размеры воды к наброску сверху. 9{3}\mbox{/sec}\), и мы хотим определить \(h’\), когда \(h = 1,2\,{\rm{m}}\). Обратите внимание, что, поскольку \(V’\) выражается в метрах, нам также нужно преобразовать \(h\) в метры. Итак, нам нужно уравнение, которое свяжет эти две величины, и объем резервуара сделает это.

Объем такого резервуара легко вычислить. Объем — это площадь конца, умноженная на глубину. В нашем случае объем воды в баке равен

. \[\begin{align*}V &= \left( {{\mbox{Область конца}}} \right)\left( {{\rm{depth}}} \right)\\ & = \left( {{\ textstyle {1 \ over 2}} {\ rm {base}} \ times {\ rm {height}}} \ right) \ left ( {{\ rm {depth}}} \ right) \\ & = {\ textstyle {1 \ over 2}} hw \ left ( 8 \ right) \\ & = 4hw \ end {align *} \]

Как и в предыдущем примере, у нас есть лишняя величина \(w\), которая также меняется со временем, поэтому нам нужно исключить ее из задачи. Для этого мы снова воспользуемся идеей подобных треугольников. Если мы посмотрим на конец резервуара, то увидим, что у нас снова есть два подобных треугольника. Один для самого резервуара и один, образованный водой в резервуаре. Опять же, помните, что у подобных треугольников отношения сторон должны быть равны. В нашем случае мы будем использовать

. \[\frac{w}{5} = \frac{h}{2}\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}w = \frac{ 5}{2}ч\] 92}\]

Теперь мы можем дифференцировать это, чтобы получить

\[V’ = 20чч’\]

Наконец, все, что нам нужно сделать, это подключиться и найти \(h’\).

\[6 = 20\влево( {1,2} \вправо)h’\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}h’ = 0,25\,\, {\ гт {м/сек}} \]

Итак, высота воды поднимается со скоростью 0,25 м/сек.

Ответить на вторую часть этого вопроса не так уж и сложно.

Нам понадобится \(w’\), чтобы ответить на эту часть, и у нас есть следующее уравнение из подобного треугольника, которое связывает ширину с высотой, и мы можем быстро дифференцировать его, чтобы получить отношение между \(w’\) и \(час’\).

\[w = \frac{5}{2}h\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}w’ = \frac{5}{2} час’\]

Из первой части мы знаем значение \(h’\), поэтому все, что нам нужно сделать, это подставить его в это уравнение, и мы получим ответ.

\[w’ = \frac{5}{2}\left( {0,25} \right) = 0,625\,\,{\rm{м/сек}}\]

Следовательно, ширина увеличивается со скоростью 0,625 м/сек.

Пример 6 Свет находится на вершине столба высотой 12 футов, и человек ростом 5 футов 6 дюймов отходит от столба со скоростью 2 фута в секунду.

С какой скоростью кончик тени удаляется от шеста, когда человек находится на расстоянии 25 футов от шеста?
С какой скоростью кончик тени удаляется от человека, когда человек находится на расстоянии 25 футов от шеста?

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Давайте начнем с того, что поместим все соответствующие количества в эскиз сверху.

Здесь \(x\) — расстояние кончика тени от шеста, \({x_p}\) — расстояние человека от шеста и \({x_s}\) — длина тень. Также обратите внимание, что мы преобразовали рост человека в 5,5 футов, поскольку все остальные измерения указаны в футах.

Кончик тени определяется лучами света, только что прошедшими мимо человека, поэтому мы можем видеть, что они образуют набор похожих треугольников. Это пригодится в дороге.

а С какой скоростью кончик тени удаляется от шеста, когда человек находится на расстоянии 25 футов от шеста? Показать решение

В этом случае мы хотим определить \(x’\), когда \({x_p} = 25\), учитывая, что \({x’_p} = 2\).

Уравнение, которое нам понадобится здесь,

\[х = {х_р} + {х_с}\]

, но нам нужно исключить \({x_s}\) из уравнения, чтобы получить ответ. Для этого мы снова можем использовать тот факт, что два треугольника подобны, чтобы получить

\[\frac{{5,5}}{{12}} = \frac{{{x_s}}}{x}\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}{\rm{Примечание: }}\frac{ {5. 5}}{{12}} = \frac{{{\textstyle{{11} \over 2}}}}{{12}} = \frac{{11}}{{24}}\]

Из этого мы можем быстро увидеть, что

\[{x_s} = \frac{{11}}{{24}}x\]

Затем мы можем подставить это в уравнение выше и найти \(x\) следующим образом.

\[x = {x_p} + {x_s} = {x_p} + \frac{{11}}{{24}}x\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма} x = \frac{{24 }}{{13}}{x_p}\]

Теперь все, что нам нужно сделать, это продифференцировать это, подставить и найти \(x’\).

\[x’ = \frac{{24}}{{13}}{x’_p}\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}x’ = \frac{{24}}{{13}}\left( 2 \right) = 3,6923 {\ rm { фут / сек}} \]

Затем кончик тени удаляется от полюса со скоростью 3,6923 фута/сек. Заметьте также, что нам никогда не приходилось использовать тот факт, что \({x_p} = 25\) для этой задачи. Это будет происходить в редких случаях.

b С какой скоростью кончик тени удаляется от человека, когда человек находится на расстоянии 25 футов от шеста? Показать решение

Эта часть на самом деле довольно проста, если у нас есть ответ из (а), что мы, конечно же, делаем. В этом случае мы знаем, что \({x_s}\) представляет собой длину тени или расстояние от кончика тени до человека, поэтому похоже, что мы хотим определить \({x’_s}\), когда \({x_p} = 25\).

Опять же, мы можем использовать \(x = {x_p} + {x_s}\), однако, в отличие от первой части, теперь мы знаем, что \({x’_p} = 2\) и \(x’ = 3,6923{\ rm{ ft/sec}}\), так что в этом случае все, что нам нужно сделать, это продифференцировать уравнение и подставить все известные величины.

\[\begin{align*}x’ &= {{x’}_p} + {{x’}_s}\\ 3,6923 &= 2 + {{x’}_s}\hspace{0,5in}{{x ‘}_s} = 1,6923{\rm{фут/сек}}\end{выравнивание*}\]

Затем кончик тени удаляется от человека со скоростью 1,6923 фута/сек.

Пример 7 Прожектор находится на земле в 20 футах от стены, и человек ростом 6 футов идет к стене со скоростью 2,5 фута в секунду. Как быстро меняется высота тени, когда человек находится на расстоянии 8 футов от стены? Тень увеличивается или уменьшается в высоту в это время?

Показать решение

Ниже приведена копия эскиза в условии задачи со всеми добавленными соответствующими величинами. Верх тени будет определяться световыми лучами, проходящими над головой человека, и поэтому мы снова получаем еще один набор подобных треугольники.

В этом случае мы хотим определить \(y’\), когда человек находится на расстоянии 8 футов от стены или \(x = 12{\rm{ футов}}\). Кроме того, если человек движется к стене со скоростью 2,5 фута в секунду, то он должен удаляться от прожектора со скоростью 2,5 фута в секунду, и поэтому мы также знаем, что \(x’ = 2,5\).

Во всех предыдущих задачах, в которых использовались подобные треугольники, мы использовали подобные треугольники, чтобы исключить одну из переменных из уравнения, с которым мы работали. Однако в этом случае мы можем получить уравнение, связывающее \(x\) и \(y\) непосредственно из двух подобных треугольников. В этом случае мы будем работать с уравнением 9.2}}}\влево({2,5}\вправо) = — 2,0833{\rm{фут/сек}}\]

Затем высота тени уменьшается со скоростью 2,0833 фута/сек.

Итак, мы уже решили несколько задач, связанных с подобными треугольниками в той или иной форме, так что убедитесь, что вы можете решать такие задачи.

Пришло время решить задачу, которая хотя и похожа на некоторые из задач, которые мы решали до этого момента, но в то же время достаточно отличается, чтобы вызвать проблемы, пока вы не увидите, как ее решить.

Пример 8 Два человека на велосипедах находятся на расстоянии 350 метров друг от друга. Человек А начинает двигаться на север со скоростью 5 м/с, а через 7 минут человек Б начинает двигаться на юг со скоростью 3 м/с. С какой скоростью изменится расстояние, разделяющее двух людей, через 25 минут после того, как человек А начал движение?

Показать решение

Здесь с этой проблемой можно многое переварить. Давайте начнем с наброска ситуации, которая показывает местонахождение каждого человека через некоторое время после того, как оба человека начали кататься.

Теперь мы ищем \(z’\) и знаем, что \(x’ = 5\) и \(y’ = 3\). Мы хотим узнать \(z’\) после того, как человек А проехал 25 минут, а человек Б проехал \(25 — 7 = 18\) минут. После преобразования этого времени в секунды (поскольку все наши скорости выражены в м/с) это означает, что в интересующее нас время, когда каждый из велосипедистов проехал,

\[x = 5\left( {25 \times 60} \right) = 7500{\rm{m}}\hspace{0,25in}\hspace{0,25in}y = 3\left({18\times 60} \справа) = 3240{\rm{m}}\] 92}} = 10745,7015\,\,{\rm{m}}\]

отдельно.

Чтобы определить скорость, с которой два всадника удаляются друг от друга, все, что нам нужно сделать, это продифференцировать \(\eqref{eq:eq2}\) и подставить все известные нам величины, чтобы найти \(z’\) .

\[\begin{align*}2zz’ & = 2\left( {x + y} \right)\left( {x’ + y’} \right)\\ 2\left( {10745. 7015} \right)z ‘& = 2\left( {7500 + 3240} \right)\left( {5 + 3} \right)\\ z’ & = 7,9958{\rm{м/сек}}\end{align*}\]

Итак, два всадника разъезжаются со скоростью 7,9958 м/сек.

Каждая задача, над которой мы работали до сих пор, сводилась к необходимости геометрической формулы, и нам, вероятно, следует быстро решить задачу, которая не является геометрической по своей природе.

Пример 9 Предположим, что у нас есть два резистора, соединенных параллельно, с сопротивлениями \({R_{\,1}}\) и \({R_{\,2}}\), измеряемыми в омах (\(\Омега \)). Тогда полное сопротивление \(R\) определяется выражением \[\frac{1}{R} = \frac{1}{{{R_{\,1}}}} + \frac{1}{{{R_{\,2}}}}\]

Предположим, что \({R_{\,1}}\) увеличивается со скоростью 0,4 \(\Omega \)/мин, а \({R_{\,2}}\) уменьшается со скоростью 0,7\(\Омега\)/мин. С какой скоростью изменяется \(R\), когда \({R_{\,1}} = 80\,\Omega \) и \({R_{\,2}} = 105\,\Omega \)?

Показать решение

Хорошо, в отличие от предыдущих задач, здесь особо нечего делать. 2}}}{{R’}_{\,2}}} \right)\end{align*}\] 92}}}\влево( { — 0,7} \вправо)} \вправо) = — 0,002045\]

Получается, что \(R\) уменьшается со скоростью 0,002045\(\Omega \)/мин.

В этом разделе мы рассмотрели довольно много проблем со связанными тарифами, которые охватывают широкий спектр возможных проблем. В мире существует еще много различных типов проблем связанных ставок, но те, которые мы рассмотрели здесь, должны дать вам довольно хорошее представление о том, как, по крайней мере, начать большинство проблем, которые вы можете запустить. в.

Эссе 2: Построение правильных многоугольников

Шон Д. Бродерик

Правильные многоугольники представляют собой замкнутые плоские фигуры, состоящие из ребер одинаковой длины и вершин одинакового размера. Простейшим правильным многоугольником является равносторонний треугольник, который состоит из трех ребер одинаковой длины и трех углов между каждой парой ребер по 60 градусов. Три ребра — это наименьшее количество ребер для построения многоугольника, потому что два ребра образуют угол, а одно ребро — это сегмент. Многоугольники — замкнутые фигуры. Правильный многоугольник из четырех ребер – это квадрат. Пять ребер составляют пятиугольник, а шесть — шестиугольник.

Мы рассмотрим, как строить правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки, а не с помощью программы динамической геометрии, такой как Geometer’s Sketchpad.

Сначала рассмотрим построение равностороннего треугольника с помощью линейки и циркуля. Это простейший правильный многоугольник на плоскости. Он состоит из трех сторон. Начнем с произвольной точки A. наша точка B в конечном итоге будет.

3. Не отрывая циркуля от бумаги, ведем кончик карандаша вверх и к середине и делаем еще одну отметку. Это будет то место, куда в конечном итоге пойдет точка C.

4. Теперь пометим нашу точку B в любом месте на отметке. (Почему мы можем отметить его в любом месте на линии и при этом сохранить определенную длину?)

5. Теперь поместите острие компаса в точку B и сделайте отметку вверх и до середины, пересекая это место. куда пойдет точка С.

6. Отметьте пересечение как точка C.

7. Используя линейку, нарисуйте первую сторону треулеуля от A до B.

039

0399

03999

039

мо

8. Опять же, используя линейку, начертите вторую сторону треугольника от B до C. На этом мы закончили построение равностороннего треугольника.

ЭКВИЛАТЕРИЧЕСКИЙ ТРИУНТИРОВАНИЕ

Теперь мы будем сравнить этот процесс с процессом, который можно использовать для построения равенного треугольника в GSP:

777777777 гг. . Это будет одна из сторон нашего треугольника.

2. Обозначим точки A для левой точки и B для правой точки.

3. Теперь построим окружность, используя точку B в качестве центра и точку A в качестве края.

4. Затем мы делаем еще один круг, используя точку A в качестве центра и точку B в качестве края.

5. Построим их пересечение и обозначим его точкой С.

7. Построим отрезок BC.

8. Если мы спрячем круги, у нас получится равносторонний треугольник.

Вопросы:

1. Почему эти конструкции работают?

2. Что делает этот треугольник равносторонним в любой среде?

3. Мы что-то теряем или приобретаем, если учим студентов делать это с помощью одного, другого или обоих средств?

Ответы:

1 (и часть 2). В классе мы обсуждали, что эти равносторонние треугольники работают, потому что две окружности, которые построены, или отметки из двух окружностей, мы увидим, что сегменты треугольника являются радиусами окружностей. Если окружности одного размера, то и радиусы одинаковые и их положение таково, что они пересекаются в трех точках (центрах окружностей и их пересечении). Вот диаграмма, которая может помочь:

Мы начали с одного круга и построили два радиуса. Затем мы отразили круг через линию, чтобы получилось два круга.

Мы выберем один круг и объединим его с другим, чтобы показать, как радиусы образуют равносторонний треугольник.

По мере приближения мы видим, что радиусы образуют треугольник.

Поскольку круги слились и теперь имеют общий радиус, который образует основание, мы можем видеть, что, поскольку все радиусы равны, если они перекрываются, образуя основание, а два других соединяются вверху, мы должны иметь равносторонний треугольник.

Остальные 2. Мы видели, что делает равносторонний треугольник в GSP, но что касается построения карандашом и бумагой, мы видим, что они одинаковы, но вместо того, чтобы использовать круги, чтобы показать конгруэнтность радиусов, компас (открытость которого остается постоянной) используется для создания конгруэнтных радиусов.

3. Мы можем немного проиграть с построением карандашом и бумагой, потому что круги полностью проиллюстрированы в GSP, а с карандашом и бумагой мы видим только дуги окружностей, а равномерное расстояние, создаваемое компасом, скрыто. Тем не менее, я чувствую, что оба типа конструкций полезны для того, чтобы иметь более полное представление о конструкциях у студентов.

Давайте посмотрим, как построить квадрат. Снова начинаем с построения циркулем и линейкой:

1. Отмечаем точку А, устанавливаем наш циркуль на определенную длину и делаем отметку. Нам нужно сохранить эту длину, так что не потеряйте ее.

2. Отметим точку на отметке компаса B.0003

4. С помощью компаса при текущих настройках делаем отметки слева от точки А и справа от точки В. квадрат, нам нужно построить перпендикулярные линии, идущие вверх из точек A и B. Итак, чтобы сделать это, нам нужно немного расширить циркуль от нашей произвольной длины. Затем мы помещаем точку на самое левое пересечение и делаем дугу, как показано выше. Затем мы помещаем точку компаса в точку B и делаем еще одну дугу вокруг точки A, чтобы они пересеклись, как показано на рисунке. Повторите этот процесс, чтобы сделать аналогичные дуги вокруг точки B. Начните с точки компаса в точке A и нарисуйте дугу вокруг B. Затем поместите точку компаса на самое правое пересечение и сделайте дугу, соединяющую другую , охватывающая точку B.

6. Сначала сделайте две отметки над точками A и B, используя исходную произвольную длину компаса. Они будут обозначать высоту квадрата. Он будет точно такой же длины, как и от А до В, следовательно, это будет квадрат. Далее нам нужно выяснить положение вершины квадрата. Вот почему мы сделали дуги. Используя линейку, проведите линию от А вверх через две дуги вокруг А и пересеките ее с отметкой сверху. На иллюстрации показано, как это могло бы теперь выглядеть.

7. Теперь закончим построение, проведя перпендикулярную линию вверх от B к отметке и обозначив точку пересечения C. Наконец, мы соединим точку D и точку C, чтобы закончить квадрат.

Квадрат

Теперь проиллюстрируем, как можно построить квадрат с помощью GSP:

1. Построить отрезок произвольной длины.

2. Постройте круг, используя A в качестве центра и B в качестве края. Теперь в верхней части круга мы отметили расстояние, равное расстоянию от A до B.

3. Итак, теперь мы проведем перпендикуляр через A к отрезку AB. Пересечение этой линии через вершину окружности обозначим как точку D.

4. Теперь проведем перпендикуляр через точку D к прямой AD.

5. Далее строим еще один перпендикуляр, на этот раз через точку B к прямой AB.

6. Обозначим эту точку С.

7. Если мы скроем наши объекты, которые помогли нам построить квадрат AB.

Комментарий:

Кажется, причина, по которой это работает, аналогична объяснению равностороннего треугольника. Вот несколько набросков:

Здесь мы имеем тот же тип построения, что и в случае с треугольником. Теперь наши радиусы перпендикулярны и имеют одинаковую длину. Это похоже на атрибуты квадрата.

Теперь выберем две точки на одном круге и объединим их с другим.

Как только они объединятся, мы увидим квадрат. Просто соединяем верхние точки и у нас получится наш квадрат.

Обратимся теперь к построению пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Сначала я понятия не имел, как это сделать, поэтому мне нужно было использовать Интернет. Есть много разных способов построить пятиугольник. Цель этого эссе — показать, как это сделать, и обсудить, почему этот подход работает. Какая математика стоит за этим?

1. Пятиугольник построен из круга. Каждая из вершин будет пересекаться с краем окружности. Итак, сначала мы строим круг с помощью компаса. Затем мы проводим линию по центру круга, разделяя его пополам.

2. Нам нужно построить еще одну линию, делящую левую половину круга пополам. На рисунке мы сделали это, разделив пополам угол в 180 градусов, который проходит по середине круга. Для этого устанавливаем компас на определенную точку открытия. Помещаем острие компаса в центр круга и делаем отметки на обоих лучах на произвольном расстоянии. Затем мы помещаем острие компаса на сделанные отметки и делаем еще одну отметку в области, где будет проходить бисекция угла. Создает X, пересечение которого находится там, где должен пройти луч круга. Проведите биссектрису угла с помощью линейки.

3. Следующей задачей является построение середины только что нарисованного отрезка. Для этого мы открываем компас на произвольное расстояние, которое чуть больше приблизительной середины отрезка. Ставим острие компаса в центр круга и делаем отметку дуги, как на фото. Затем мы сохраняем измерение компаса как есть и помещаем точку компаса на пересечение сегмента и края круга и делаем аналогичную отметку. Если компас открыт достаточно далеко, то дуги должны пересекаться, как показано на рисунке. Если эти новые пересечения соединены, пересечение обоих сегментов является средней точкой сегмента.

4. Затем соедините середину найденного отрезка с вершиной круга и с пересечением разделительной линии и края круга. Наша следующая цель — разделить пополам угол, образованный отрезком, от центра к краю и от середины к краю, как показано на рисунке. Используем те же методы, что и в начале. Открываем циркуль на произвольную длину, которая меньше длины отрезков угла. Поместив острие циркуля в вершину угла, делаем отметки на отрезках угла. Затем мы немного закрываем компас и помещаем острие компаса на сделанные отметки и делаем новые отметки по направлению к центру угла. Эти отметки должны пересекаться на биссектрисе угла. Проведена биссектриса угла от вершины угла через Х и до линии, которая делит окружность на две равные части. (На самом деле, как показано на следующем рисунке, вам нужно продолжить биссектрису угла за вертикальную линию.)

5. Следующая задача – построить прямую, параллельную горизонтальному отрезку в точке пересечения вертикального отрезка и биссектрисы угла. Для этого поместите острие циркуля в вершину угла, разделенного пополам, и отметьте угол дугой, как показано на рисунке. Там, где биссектриса угла пересекает вертикальный отрезок, поместите точку компаса и сделайте еще одну дугу, как раньше. Затем мы открываем компас ровно настолько, чтобы переходить от сегмента угла к сегменту угла по сделанной вами отметке. Затем сделайте еще одну отметку вниз от дуги, которую вы сделали выше, и это пересечение будет точкой, где параллельная линия может быть проведена через пересечение биссектрисы угла и вертикальной линии. Иди и сделай это.

6. Соедините пересечение нового отрезка и края круга с верхним пересечением вертикальной линии и краем круга, и мы построили первую сторону нашего пятиугольника.

7. Теперь нам нужно повторить весь этот процесс, чтобы построить еще три стороны. Мы можем соединить четвертую сторону с пятой, не делая конструкции. Однако мы все равно делаем его, чтобы проверить, правильно ли построена фигура. Теперь нам просто нужно определиться с местом для начала. Поскольку мы построили сторону, начинающуюся сверху и наклоненную вниз влево, мы делаем наш сегмент, который проходит через центр круга, начиная с последней точки, которую мы только что построили.

8. Повторим этот процесс еще раз.

9. Повторяем этот процесс еще раз.

10. Теперь закончим построением последней стороны, хотя в этом нет необходимости. Теперь у нас есть пятиугольник ABCDE.

Мне также любопытно, что существуют математические побочные продукты построения пятиугольника, которые можно наблюдать. Это большой круг снаружи конструкции, прежде чем мы его спрячем. Тогда внутри пятиугольника также есть маленький круг, если бы дуги, определяющие середину отрезка, были немного более последовательными. Внутри большого тоже есть маленький пятиугольник. Однако регулярно ли? пропорциональна большому пятиугольнику? Если бы конструкция была нарисована идеально, был бы маленький пятиугольник правильным? Означает ли это, что большой пятиугольник не совсем правильный?

Теперь мы покажем этот же процесс с помощью GSP:

1. Мы строим окружность произвольной длины. Затем мы строим линию по центру круга.

2. Далее строим перпендикуляр к вертикальной линии, проходящей через центр круга. Мы делаем сегмент с линией, которую мы только что создали, от центра к левому краю. Затем мы строим середину этого отрезка.

3. Оттуда проводим линию, соединяющую среднюю точку с вершиной круга. Это создает и угол, а затем мы строим биссектрису угла.

4. Строим параллельную предыдущей горизонтальной линии, а пересечение новой линии с ребром окружности является точкой для построения первой стороны нашего пятиугольника. Теперь рисуем эту сторону. Этот процесс будет повторяться с разными цветами, начиная с боковой точки, которую мы только что построили.

5. Теперь повторим этот процесс для второй стороны темно-бордового цвета.

6. Повторяем этот процесс еще раз с оранжевым цветом.

7. Мы повторяем этот процесс с розовым или фуксией, каким бы ни был этот цвет. На данный момент мы можем просто соединить две последние стороны, но поскольку меня интересовала внутренняя геометрия, я повторил процесс еще раз, чтобы посмотреть, поможет ли точность GSP.

8. Кажется, что в середине этой конструкции происходит много всего. Однако пятиугольник, который, как я думал, будет находиться прямо внутри, не так идеально расположен, как я думал.

9. Если скрыть все тонкие линии, то можно будет увидеть наш пятиугольник.

Вопрос:

Почему это работает?

Ответ:

В классе мы обсуждали использование золотого сечения. В пятиугольнике

отношение длины красной диагонали к длине стороны равно специальному числу.

Мы будем использовать эту демонстрацию, чтобы показать, что приведенная выше конструкция является пятиугольником. Теперь создадим круг с радиусом в одну единицу длины стороны:

Затем мы нанесем несколько меток для облегчения обсуждения:

Во-первых, мы заметим, что треугольник ABF подобен треугольнику AEB . Из этого можно сделать вывод, что:

Тогда у нас есть следующее путем замены:

Что дает:

Мы знаем, что фи является золотым сечением. Таким образом, мы имеем утверждение, что отношение длины диагонали правильного пятиугольника к длине его стороны есть золотое сечение. Теперь посмотрим на нашу конструкцию:

Чтобы обсудить, почему эта конструкция является пятиугольником, мы используем приведенные выше обозначения. Наша цель доказать, что отношение диагонали пятиугольника (EF) к стороне (AE) равно фи, или золотому сечению, тогда доказывается, что фигура является пятиугольником. Изображенная выше конструкция — это та же самая конструкция, которую мы использовали, за исключением того, что я построил сегмент EO, чтобы облегчить вычисление EF.

Начну с того, что у нас есть данные, что отрезки AO, BO и EO имеют длину 2 единицы. Отрезки ВС и СО имеют длину в одну единицу, так как С является серединой ВО. Если АО равно 2, а СО равно единице, то АС равно:

Теперь мы можем найти угол АСО с помощью тригонометрии. Следовательно, угол ACO равен:

. Таким образом, угол DCO по определению составляет половину от этого:

. Отрезок DO/1 равен:

. используйте теорему Пифагора, чтобы найти ED. Таким образом, ЭД ² + ДО ² = ЭО ² . Итак, имеем:

Следовательно, ED =

Умножаем это выражение на 2, чтобы получить длину EF. Итак, EF =

Теперь мы на полпути к нашей цели. Помните, что мы идем по отношению длины стороны нашей фигуры к длине диагонали. У нас есть диагональ EF. Теперь ищем длину стороны, скажем, AE. Наш план состоит в том, чтобы использовать теорему Пифагора, чтобы найти AE. Мы будем использовать уравнение AE ² = ED ² + AD ² . Мы знаем ED и можем найти AD с выражением 2 – DO. Таким образом, мы решаем:

Когда мы находим AE и используем наш калькулятор, чтобы получить десятичную аппроксимацию, мы имеем AE = 2,35114100917. Десятичное приближение для EF = 3,80422606518. Тогда EF/AE = 1,61803398875. Десятичное приближение для золотого сечения — это точно то же самое, что и мое приближение для EF/AE. Следовательно, это построение дает правильный многоугольник.

Теперь перейдем к разделу построения шестиугольника с помощью линейки и циркуля:

1. Начнем с построения окружности произвольного размера.

2. Делаем отметку на краю круга с правой стороны. Сохраняя первоначальный произвольный размер компаса, ставим острие компаса на эту отметку и отмечаем пересечения окружности сверху и снизу.

3. Теперь мы проводим диаметр круга от верхнего пересечения кругов через центр и продолжаем через противоположный край внизу с нашей линейкой.

4. То же самое делаем для противоположного перекрестка.

5. Теперь мы можем начать строить стороны шестиугольника. Наша первая сторона — от правой точки, которую мы отметили, до верхнего пересечения круга.

6. Наша вторая сторона соединяет верхние перекрестки. Но подождите, куда пойдет наша третья сторона?

7. Изготовим третью сторону, построив линию, соединяющую отметки центров наших двух окружностей. Если мы продолжим эту линию через другую сторону, у нас будет пересечение слева, которое отмечает точку, где заканчивается наша третья сторона. Теперь мы можем построить эту третью сторону.

8. Мы рисуем четвертую сторону, начиная с только что сделанного пересечения и заканчивая нижним левым перекрестком.

9. Наша пятая сторона строится путем соединения нижних пересечений.

10. Мы закончили построение сторон шестиугольника, соединив точки пересечения снизу справа до крайней правой отметки.

11. Шестиугольник у нас есть!

Хм… Похоже, верх немного кривоват… Не знаю, почему так получилось. Снова мы спрашиваем, как эта конструкция производит шестиугольник. Связано ли это с возможностью построения внутренних или дополнительных углов?

Выполняем этот процесс в GSP:

1. Сначала мы строим круг произвольного размера.

2. Затем мы строим горизонтальную линию из центра круга через край.

3. Затем мы строим еще один круг, используя край первого в качестве центра и центр первого в качестве края.

4. Далее строим линию через центр первого круга и верхнее пересечение обоих кругов.

5. Далее строим еще одну линию через центр первого круга, которая проходит через нижнее пересечение кругов.

6. Теперь мы готовы нарисовать стороны нашего шестиугольника. Первая сторона начинается на нижнем пересечении обоих кругов и идет к центру второго круга.

7. Вторая сторона идет от нижнего пересечения двух кругов до нижнего пересечения первой линии, которую мы нарисовали, и первого круга.

8. Третья сторона идет от нижнего пересечения первого круга и первой линии до левого пересечения горизонтальной линии и первого круга.

9. Четвертая сторона идет от пересечения первого круга и горизонтальной линии до верхнего пересечения первого круга и второй линии.

10. Пятая сторона идет от верхнего пересечения первого круга и второй линии до верхнего пересечения обоих кругов.

11. Шестая сторона соединяет пятую сторону с первой стороной, и у нас есть наш шестиугольник.

12. Когда мы скроем линии и пометим вершины, мы получим четкое изображение нашего построенного шестиугольника.

Теперь мы подошли к тому, как построить семиугольник. Невозможно построить идеально правильный семиугольник, используя только линейку и циркуль, как мы делали раньше. Итак, мой вопрос, почему это так?

Из-за этой невозможности я считаю, что пришло время закончить это эссе.

Биссектрисы | Построение геометрических фигур

В этой главе вы научиться строить или рисовать различные линии, углы и формы. Вы будете использовать инструменты для рисования, такие как линейка, чтобы рисовать прямые линии, транспортир для измерения и рисования углов, и циркуль для рисования дуг на определенном расстоянии от точка. Через различные конструкции вы будете исследовать некоторые свойства треугольников и четырехугольников; в Другими словами, вы узнаете больше о том, что всегда верно обо всех или некоторых типах треугольников и четырехугольников.

Биссектрисы

Когда мы строим или рисуем геометрические фигуры, нам часто нужно разделить линии или углы пополам. Биссект означает разрезать что-либо на две равные части. Есть различные способы деления отрезка пополам.

Разделение отрезка линейкой пополам

Прочтите следующее шаги.
Шаг 1: Нарисуйте линию отрезок АВ и определить его середину.
Шаг 2: Нарисуйте любой отрезок через середину.
Мелкие метки на АФ и FB показывают, что AF и FB равны.

CD называется биссектриса , потому что она делит AB пополам. АФ = ФБ.

Используйте линейку для рисования и разделите пополам следующие отрезки: AB = 6 см и XY = 7 см.

В 6 классе вы научились пользоваться циркуль для рисования кругов и части кругов, называемые дугами. Мы может использовать дуги, чтобы разделить отрезок пополам.

Разделение отрезка пополам с помощью циркуля и линейки

Прочитайте следующее шаги.
Этап 1
Поместите компас на одну конечную точку отрезка. (точка А). Нарисуйте дугу выше и ниже линии. (Обратите внимание, что все точки на дуге выше и ниже линии находятся на одинаковом расстоянии от точки А.)
Этап 2
Не меняя ширины компаса, поместите компас в точке B. Нарисуйте дугу выше и ниже линии так, чтобы что дуги пересекают первые две. (две точки где дуги пересекаются на одинаковом расстоянии от пункта А и из пункта Б.)
Этап 3
Используйте линейку, чтобы соединить точки, где дуги пересекаются с .Эта линия отрезок (CD) является биссектрисой AB.
Пересечение означает пересекаться или встречаться.
А перпендикулярно это линия, пересекающая другую прямую под углом 90°.

Обратите внимание, что компакт-диск также перпендикулярно к AB. Так его еще называют перпендикулярная биссектриса .

Работа в свою тетрадь. Используйте компас и линейку для тренировки проведение серединных перпендикуляров к отрезкам.
Попробуйте это!
Поработайте в тетради. Использовать только транспортир и линейка, чтобы провести серединный перпендикуляр к прямой сегмент. (Помните, что мы используем транспортир для измерения углы.)

Построение перпендикулярных линий

Перпендикулярная линия из заданной точки

Прочитайте следующее шаги.
Этап 1
Поместите компас на заданная точка (точка P). Нарисуйте дугу через линию на с каждой стороны данной точки. Не настраивайте компас ширина при рисовании второй дуги.
Этап 2
С каждой дуги на линию, нарисуйте еще одну дугу на противоположной стороне линии от заданной точки (P). Две новые арки будут пересекаются.
Этап 3
Используйте свою линейку, чтобы присоединиться данной точки (P) до точки, где дуги пересекаются (Q).
PQ перпендикулярно АБ. Мы также пишем это так: PQ ¥ AB.
Используйте свой компас и линейка, чтобы провести перпендикулярную линию из каждой заданной точки к отрезок:

Перпендикулярная линия в данной точке на прямой

Прочитайте следующее шаги.
Этап 1
Поместите компас на данная точка (P). Нарисуйте дугу через линию на каждом стороне заданной точки. Не настраивайте компас ширина при рисовании второй дуги.
Этап 2
Откройте свой компас, чтобы шире, чем расстояние от одного из дуги в точку P. Поместите компас на каждую дугу и нарисуйте дугу выше или ниже точки P. Две новые дуги будут пересекаться.
Этап 3
Используйте свою линейку, чтобы присоединиться заданную точку (P) и точку, где дуги пересекаются (Q).
PQ ¥AB
Используйте свой компас и линейку, чтобы на каждую прямую провести перпендикуляр в данной точке:

Биссектрисы

Углы образованы при пересечении любых двух линий. Мы используем градусы (°) для измерять углы.

Измерение и классификация углов

На рисунках ниже каждый угол имеет число от 1 до 9.

Используйте транспортир, чтобы Измерьте размеры всех углов каждой фигуры. Написать свой ответы на каждую фигуру.
Используйте свои ответы, чтобы заполнить размеры уголков ниже. 9{\circ}\)
Рядом с каждым ответом выше напишите какой это вид угла, а именно острый, тупой, правый, прямой, рефлекторный или оборотный.

Биссектрисы без транспортира

Прочитайте следующее шаги.
Этап 1
Поместите компас на вершина угла (точка B). Нарисуйте дугу через каждое плечо угла.
Этап 2
Поместите компас на точка, где одна дуга пересекает руку, и нарисуйте дугу внутри угла. Не изменяя ширину компаса, повторите для другую руку так, чтобы две дуги пересеклись.
Этап 3
Используйте линейку, чтобы соединить вершину до точки пересечения дуг (D).
DB — это биссектриса \(\hat{ABC}\).
Используйте свой компас и линейку, чтобы делим нижние углы пополам.
Вы можете измерить каждый из углы с помощью транспортира, чтобы проверить, разделили ли вы пополам заданный угол правильно.

Построение специальных углов без транспортира

Построение углов и

Прочтите следующее шаги.
Шаг 1
Нарисуйте отрезок (JK). Установив компас в точку J, проведите дугу через JK и вверх над точкой J.
Этап 2
Без изменения ширины компаса, переместите компас в точку, где дуга пересекает JK, и нарисуйте дугу, пересекающую первую один.
Шаг 3
Присоединить точку J к точке где встречаются две дуги (точка P). \(\шляпа{PJK}\) = 60°
Когда вы узнаете больше о свойства треугольников позже вы поймете почему описанный выше метод создает угол 60°. Или же Вы уже можете решить это сейчас? (Подсказка: что вы знаете о равнобедренные треугольники?)
1. Постройте угол 60° в точке B ниже.
2. Разделить угол пополам вы построили.
3. Вы заметили, что угол, разделенный пополам, состоит из двух углов по 30°?
4. Удлинить линию отрезок от BC до A. Затем измерьте угол, прилегающий к угол 60°.
  Смежный означает «следующий к».
  Каков его размер?
5. Угол 60° а прилежащий к нему угол в сумме

Построение углов и

Построение угла 90° в точке A. Вернитесь к разделу 10.2, если вам нужно помощь.
Разделить пополам Угол 90°, чтобы создать угол 45°. Идти вернитесь к разделу 10.3, если вам нужна помощь.

Вызов

Поработайте в тетради. Пытаться построить следующие углы, не используя транспортир: 150°, 210° и 135°.

Построение треугольников

w3.org/1999/xhtml»> В этом разделе вы узнаете, как для построения треугольников. Вам понадобится карандаш, транспортир, линейка и компас.

Треугольник имеет три стороны и три угла. Мы можно построить треугольник, зная некоторые его измерения, то есть его стороны, его углы или некоторые из его сторон и углы.

Построение треугольников

Построение треугольников по трем сторонам дано

Прочитать следующие шаги. Они описывают, как построить \( \треугольник ABC\) со сторонами 3 см, 5 см и 7 см.
Этап 1
Нарисуйте одну сторону треугольник с помощью линейки. Часто легче начать с самой длинной стороны.
Шаг 2
Установите ширину компаса на 5 см. Проведите дугу на расстоянии 5 см от точки А. Третья вершина треугольника будет где-то вдоль этого дуга.
Этап 3
Установите ширину компаса на 3 см. Нарисуйте дугу из точки B. Обратите внимание, где эта дуга пересекает первую дугу. Это будет третья вершина треугольник.
Этап 4
Используйте свою линейку, чтобы присоединиться точек A и B до точки пересечения дуг (С).
Работа в упражнении книга. Выполните шаги, описанные выше, чтобы построить следующее треугольники:
1. \( \треугольник ABC\) со сторонами 6 см, 7 см и 4 см
2. \(\треугольник KLM\) со сторонами 10 см, 5 см и 8 см
3. \(\треугольник PQR\) с стороны 5 см, 9 см и 11 см

w3.org/1999/xhtml»> Построение треугольников при определенных углах и стороны даны

Используйте грубые наброски в пунктах (a)–(c) ниже, чтобы построить точные треугольники, используя линейка, циркуль и транспортир. Выполните построение рядом с каждым набросок.
- Пунктир линии показывают, где вы должны использовать компас, чтобы измерить длина стороны.
- Используйте транспортир для измерения величины заданных углов.
1. Построение \( \треугольник ABC\), с двумя углы и одна сторона дана .
2. Построить \(\треугольник KLM\), с два стороны и угол, заданный .
3. Построить прямоугольный \(\треугольник PQR\), с гипотенузой и одной другой стороной, равной .
Мера недостающие углы и стороны каждого треугольника в 3 (a) до (c) на предыдущая страница. Напишите замеры по завершенному конструкции.
Сравнить каждый из построенных вами треугольников в 3(a)–(c) с треугольники одноклассников. Точно такие же треугольники? 9{\circ}\) , \(XY = 8 \text{см}\) и \(XZ = 7 \text{см}\).

Сможете ли вы найти более одного решения для каждого приведенного выше треугольника? Объясните свои выводы однокласснику.

Свойства треугольников

Углы треугольника могут быть того же размера или разных размеров. Стороны треугольника могут быть одинаковой длины или разной длины.

Свойства равносторонних треугольников

1. Построить \( \треугольник ABC\) рядом с его грубым наброском ниже.
2. Измерьте и пометьте размеры всех его сторон и углов.
Измерьте и запишите размеры сторон и углов \({\triangle}DEF\) ниже.
Оба треугольника в вопросы 1 и 2 называются 9{\circ}\).
Измерьте и промаркируйте все стороны и углы каждого треугольника.

Оба треугольника сверху называются равнобедренными треугольниками . Обсудить с одноклассником верно ли для равнобедренного треугольника следующее:

Только два стороны равны.
Только два углы равны.
Двое равные углы лежат против двух равных сторон.

Сумма углов треугольника

Посмотрите на построенные вами треугольники \({\triangle}\text{ABC},~{\triangle}\text{DEF} \) и \({\triangle}\text{JKL}\) выше и на предыдущей странице. Что это сумма трех углов каждый раз?
Вы обнаружили, что сумма внутренних углов каждого треугольника равна 180°? Выполните следующие действия, чтобы проверить, верно ли это для других треугольники. 9{\circ}\)

Мы можем сделать вывод, что сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°.

Свойства четырехугольников

Четырехугольник — любая замкнутая фигура с четырьмя прямыми сторонами. Мы классифицируем четырехугольники по к их сторонам и углам. Отмечаем, какие стороны параллельны, перпендикулярны или равны. Также отметим, какие углы равный.

Свойства четырехугольников

Измерьте и запишите размеры всех углов и длины всех сторон каждый четырехугольник ниже.
Квадрат
Прямоугольник
Параллелограмм
Ромб
Трапеция
Воздушный змей

Используйте свои ответы в вопрос 1. Поставьте Ã¢ÂÂ в правильное поле ниже, чтобы показать, какое свойство является правильным для каждого форма.


Только одна пара сторон параллельна
Противоположные стороны параллельны
Противоположные стороны равны
Все стороны равны
Две пары смежных сторон равны
Противоположные углы равны
Все углы равны

w3.org/1999/xhtml»> Сумма углов четырехугольника

Сложите четыре угла каждого четырехугольника на предыдущей странице. Что ты заметил о сумме углов каждого четырехугольника?
Вы обнаружили, что сумма внутренних углов каждого четырехугольника равна 360°? Выполните следующие действия, чтобы проверить, верно ли это для другие четырехугольники.
1. На чистом листе бумаги используйте линейку построить любой четырехугольник.
2. Обозначьте углы A, B, C и D. Вырежьте четырехугольник.
3. Аккуратно оторвите углы от четырехугольника и подогнать их друг к другу.
4. Что вы заметили?

Мы можем сделать вывод, что сумма внутренних углов четырехугольника всегда равна 360°.

Построение четырехугольников

Вы научились строить перпендикулярные линии в разделе 10.2. Если вы знаете, как построить параллельные линии, вы должны уметь строить любые четырехугольник точно.

Построение параллельных линий для рисования четырехугольников

Прочитайте следующее шаги.
Этап 1
От отрезка AB, отметьте точку D. Эта точка D будет находиться на линии которая будет параллельна АВ. Нарисуйте линию от А через д.
Этап 2
Нарисуйте дугу из точки А, пересекает AD и AB. Сохраняйте ту же ширину компаса и рисуйте дуга из точки D, как показано.
Этап 3
Установить компас ширина к расстоянию между двумя точками, где первая дуга пересекает AD и AB. От точку, где вторая дуга пересекает AD, начертите третья дуга, чтобы пересечь вторую дугу.
Этап 4
Проведите линию от D через точку пересечения двух дуг. округ Колумбия параллельно АВ.
Практика рисования параллелограмм, квадрат и ромб в тетради.
Используйте транспортир, чтобы попытаться нарисовать четырехугольники хотя бы с одним набором параллельных линий.

Выполните следующую конструкцию в свою тетрадь.
1. Используйте циркуль и линейку, чтобы постройте равносторонний \( \треугольник ABC\) со стороной 9 см.
2. Без использования транспортира, разделить пополам \(\шляпа{B}\). Пусть биссектриса пересекается АС в точке D.
3. Используйте транспортир для измерения \(\hat{ADB}\). Запишите измерение на Рисунок.
Назовите следующие типы треугольники и четырехугольники.
Какой из следующие четырехугольники соответствуют каждому приведенному ниже описанию? (В каждом случае может быть несколько ответов.)
параллелограмм; прямоугольник; ромб; площадь; воздушный змей; трапеция
1. Все стороны равны и все углы равны.
2. Две пары соседних сторон равны.
  No related posts.

Сборник УСТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ Признаки равенства треугольников | Презентация к уроку геометрии (7 класс) по теме:

Методическая разработка урока геометрии для учащихся 7 класса по теме «Признаки равенства прямоугольных треугольников»

способствовать воспитанию положительного отношения к знаниям, к способности адекватно оценивать результаты своей работы.

воспитывать чувства ответственности, культуры диалога.

Тесты по геометрии для 7 класса онлайн

Тест по теме «Смежные и вертикальные углы»

Начальные сведения из геометрии

(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({}); 7 класс. Геометрия. Прямая и отрезок. Луч и угол.

Прямая, луч, отрезок.

7 класс Глава 1 Начальные геометрические сведения

углы и их виды

7 класс.

Итоговый тест по геометрии для 7 класса

7 класс. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Итоговый тест 7 класс геометрия ТЕОРИЯ тренировочный

7 класс. Геометрия. Параллельные прямые.

Итоги знаний за 7 классов.

Треугольники. Обобщение 7 класс

(adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({}); (adsbygoogle=window.adsbygoogle||[]).push({}); Геометрия 7 класс. Итоговый тест №2

ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ»

7 класс. Геометрия. Смежные углы № 1 (диктант).

Тест по теме «Окружность» (геометрия, 7-8 класс)

7 класс Геометрия

Геометрия. Итоговый тест.

Треугольники.

Первый признак равенства треугольников.

Медиана, биссектриса и высота треугольника.

Окружность.Начальные сведения.

Итоговый тест 7 класс геометрия ТЕОРИЯ

Итоговый тест по геометрии за курс 7 класса

7 класс. Геометрия. Прямые на плоскости.

7 класс. Геометрия. Смежные углы. (диктант)

7 класс.

7 класс. Геометрия. Равнобедренный и равносторонний треугольники.

7 класс. Геометрия. Смежные и вертикальные углы №5

Прямоугольные треугольники

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Геометрия 7 класс

Построение треугольника по трем элементам (проверочная работа)

Годовая контрольная работа по геометрии 7 класс

Равнобедренный треугольник и его свойства

Признаки равенства треугольников

Окружность и ее элементы — 7 класс

ГЕОМЕТРИЯ выбор верных утверждений 7 класс

Треугольники и элементы. Признаки равенства треугольников (7 класс. Повторение)

Решение задач по теме «Параллельные прямые»

7 класс. Геометрия. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей. (диктант)

7 класс. Геометрия. Треугольники.

7 класс. Геометрия. Признаки равенства треугольников.

7 класс. Геометрия. Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника.

7 класс.

7 класс. Геометрия. Смежные и вертикальные углы №3

Геаметрыя 7 клас. Трохвугольнікі.

Геометрия 7 класс. Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Неравенство треугольника 7 класс

ГЕОМЕТРИЯ 7. Окружность.

Прямоугольные треугольники. Вариант 2

Геометрия 7 класс (теоретический материал)

Повторение.

Контрольный тест по теме «Окружность и круг. Геометрические построения» Вариант 1 (7 класс)

Контрольный тест по теме «Окружность и круг.

Математика 7 класс. Итоговая контрольная работа.

Сумма углов треугольника (I вариант)

Входной тест Геометрия 7

Сумма углов в треугольнике

7 класс Глава 2 Треугольники

7 класс Медианы биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник. ТЕОРИЯ

Свойства равнобедренного треугольника.

Основные утверждения по геометрии. 7 класс.

Равные треугольники.

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. 7 класс

Геометрия 7 класс

Параллельные прямые

Кері байланыс

Тест по теме «Свойства параллельных прямых.

Исчисление I — Связанные курсы

Раздел 3-11: Связанные курсы

Эссе 2: Построение правильных многоугольников

Биссектрисы | Построение геометрических фигур

7 класс. Геометрия. Прямая и отрезок. Луч и угол.

Геометрия 7 класс. Итоговый тест №2

w3.org/1999/xhtml»> Сумма углов четырехугольника