Почему число в нулевой степени равно 1: Число в первой и нулевой степени

Босов Андрей Витальевич — Что такое степень числа?

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4⁶ и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4⁶

 

Выражение 4⁶ называют степенью числа, где:

• 4 — основание степени;
• ⁶ — показатель степени.

В общем виде степень с основанием «a» и показателем «n» записывается с помощью выражения:

Запомните!

Степенью числа «

a» с натуральным показателем «n», бóльшим 1, называется произведение «n» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу «a».

 

Запись «aⁿ» читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».

Исключение составляют записи:

• a² — её можно произносить как «а в квадрате»;
• a³ — её можно произносить как «а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

• a² — «а во второй степени»;
• a³ — «а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0).

Запомните!

Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
a

1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a⁰ = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0ⁿ = 0

Единица в любой степени равна 1.
1ⁿ = 1

Выражение 0⁰ (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.

• (−32)⁰ = 1
• 0²⁵³ = 0
• 1⁴ = 1

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Пример. Возвести в степень.

5³= 5 · 5 · 5 = 125
2,5²= 2,5 · 2,5 = 6,25

 

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

Запомните!

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Запомните!

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть числоположительное.

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — числоотрицательное.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a² ≥ 0 при любом a.

• 2 · (−3)² = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2)³ = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5)⁴ и −5⁴ это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5)⁴ означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

(−5)⁴ = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

В то время как найти «−5⁴» означает, что пример нужно решать в 2 действия:

1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
   5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
   −5⁴ = −625

Пример. Вычислить: −6² − (−1)⁴

−6² − (−1)⁴ = −37

 

1. 6² = 6 · 6 = 36
2. −6² = −36
3. (−1)⁴ = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1)⁴ = −1
5. −36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Запомните!

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняютвовзведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».

Вся элементарная математика — Средняя математическая интернет-школа

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным

,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1.  При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

a ^m · a ⁿ =  a ^{m + n} .

2.  При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

3.  Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

(

abc … ) ⁿ = a ⁿ · b ⁿ · c ⁿ …

4.  Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b ) ⁿ = a ⁿ / b ⁿ .

5.  При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

( a ^m

) ⁿ = a ^{m n} .

П р и м е р .  ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2.

Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к

отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Т еперь формула a ^m : a ⁿ = a ^{m — n} может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m ,  меньшем, чем n .

П р и м е р . a ⁴ : a ⁷ = a ^{4 — 7} = a ^{— 3} .

Если мы хотим, чтобы формула a ^m : a ⁿ = a ^{m — n} была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы .  2 ⁰ = 1,   ( – 5 ) ⁰ = 1,   ( – 3 / 5 ) ⁰ = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

Случай 1.

где a ≠ 0 , не существует .

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

Случай 2.

— любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

Случай 3.

Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

0 ⁰ — любое число.

Действительно,

Р е ш е н и е .  Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

( Почему? ).

2)   при x > 0  получаем: x / x = 1,  т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3)   при x x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,

в этом случае нет решения.

Таким образом, x > 0.

Назад

Возведение в степень

. Почему любое ненулевое число в нулевой степени = 1?

_{Позвольте мне начать с того, что я не математик и что я буду использовать некоторые псевдоматематические термины, чтобы написать что-то более похожее на упрощенный английский, а не на точный математический жаргон.}

---

Вопрос как указано:

Почему любое ненулевое число в нулевой степени равно единице?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте сначала поговорим о том, что понимается под «нулевой» мощностью.

«нулевая степень» относится к возведению в степень. Чтобы понять, почему нулевая степень работает именно так, важно правильно определить возведение в степень.

Возведение в степень — это возведение числа в степень другого числа. На самом деле это не слишком полезно, потому что теперь вам нужно знать, что означает «возведение в степень».

…

Но сначала поговорим об умножении.

Умножение есть действие сложения числа ($a$) какое-то другое число ($b$) из умножить на ($a \times b$).

$$2 + 2 + 2 = 2 х 3$$

Все это хорошо, но когда мы говорим об умножении на $0$, нам нужно знать, какое число поставить в левой части:

$ $? = 2 \times 0$$

База для сложения $0$. Это аддитивная идентичность. Каждое уравнение сложения может неявно начинаться с $0$. Это означает, что два раза три на самом деле:

$$0 + 2 + 2 + 2 = 2 \times 3$$

В этой форме становятся понятными некоторые виды поведения:

$$0 + 2 + 2 + 2 = 2 \times 3$$ $$0 + 2 + 2 = 2 \умножить на 2$$ $$0 + 2 = 2 \× 1$$ $$0 = 2 \times 0$$

Отрицательные числа также имеют смысл, потому что вместо добавления чисел вы делаете обратное, вы отменяете (часто называемое «вычитанием»):

$$0 = 2 \times 0 $$ $$0 — 2 = 2 \times -1$$ $$0 — 2 — 2 = 2 \times -2$$

. ..Хорошо, учитывая все это, теперь пришло время взглянуть на возведение в степень.

9{-3}$$

iLearn, Inc.

Показатели: Определение

На этом уроке ученик знакомится с экспонентами. Когда число многократно используется как множитель при умножении, число может быть записано как показатель степени. Основание экспоненты определяется как многократно умноженное число. Показатель степени определяется как количество раз, когда он используется в качестве множителя.

Проиллюстрирован письменный формат и терминология для чтения и записи показателей. Числа, записанные с показателями степени, называются экспоненциальными числами. Размер показателя степени определяется как степень, в которую возведено основание.

Любое число, возведенное в степень единицы, и есть само число.

Любое число, возведенное в нулевую степень, равно 1.

В этом уроке есть два типа задач: 1) учащимся дается повторяющееся утверждение умножения, и они должны записать его в представлении степени, и 2) учащимся дается число в представлении степени, и они должны дать значение.

В этом уроке используются только положительные базовые числа.

Отрицательные числа, возведенные в степень

Когда основное число в числе, записанном в формате экспоненты, отрицательное, это означает, что отрицательное число многократно умножается. Отрицательное число используется как множитель, число раз равное показателю степени.

Когда отрицательное число возводится в степень единицы, результатом является само отрицательное число. Когда отрицательное число возводится в нулевую степень, результат равен 1. Ноль, возведенный в нулевую степень, не определен.

Когда отрицательное число возводится в четную степень, результатом будет положительное число. Когда отрицательное число возводится в нечетную степень, результатом будет отрицательное число. Каждый из них проиллюстрирован примерами.

Также проиллюстрирован важный момент, касающийся записи экспоненты с отрицательными числами. Правильная запись для возведения отрицательного числа в степень заключается в том, чтобы заключить отрицательное число в круглые скобки и поместить показатель степени вне круглых скобок. Когда это сделано, отрицательное число используется как основание и многократно умножается.

Когда отрицательное число возводится в степень без круглых скобок, это представляет другую ситуацию. В этом случае положительное число становится основанием, которое используется при повторном умножении. Затем с результатом связывается отрицательный знак, поэтому возведение отрицательного числа в степень без круглых скобок всегда приводит к отрицательному числу. Представлена ​​соответствующая терминология для каждой из этих ситуаций.

На этом уроке есть два типа задач: 1) учащимся дается повторяющееся утверждение умножения с отрицательными числами в качестве множителей, и они должны записать его в представлении степени, и 2) учащимся дается отрицательное число, возведенное в степень в представлении степени, и они должны дать значение числа. Во втором типе некоторые отрицательные числа записываются в круглых скобках, а некоторые нет.

В этом уроке в качестве оснований используются только отрицательные числа.