46. Признаки подобия треугольников (доказательство одного из них).
[П] Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Третий признак подобия треугольников: Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. [А] Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
47. Задача по теме «Прямоугольник».
Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из его сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника.
48. Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».
На диаметре окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность.
49. Деление отрезка пополам с помощью циркуля и линейки.
Дано: отрезок АВ. Построить точку О так, что АО = ОБ. Построение (рис. 52). Из точек В и А радиусом АВ проведем окружности и точки пересечения этих двух окружностей обозначим через С1 и С (постр. 2). Проведем прямую СХС и обозначим точку пересечения прямых CjC и п через О (постр. 3). Докажем, что точка О является серединой отрезка АВ. Треугольники СхАС и СхВС равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому AGO = BCO. Тогда треугольники AGO и ВСО равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что стороны АО и ВО равны. Следовательно, точка О является серединой отрезка АВ.
50. Теорема о средней линии треугольника.
[П] Средней линией треугольника
называется отрезок, соединяющий середины
двух его сторон.
Средняя линия треугольника, соединяющая
середины двух данных сторон, параллельна
третьей стороне и равна ее половине.
Дано: DE — средняя линия треугольника
ABC.
Доказательство. Проведем через точку
D прямую, параллельную стороне АВ. По
теореме Фалеса она пересекает отрезок
АС в его середине, т. е. содержит среднюю
линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна
стороне АВ (рис. 53).
Проведем теперь среднюю линию DF. Она
параллельна стороне АС. Четырехугольник
AEDF — параллелограмм. По свойству
параллелограмма ED = — AF, а так как AF = FB
по теореме Фалеса, то ED = АВ. Теорема
доказана.
51. Задача по теме «Ромб. Квадрат».
52. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».
На боковых сторонах
равнобедренного треугольника во внешнюю
сторону построены равносторонние
треугольники. Докажите, что отрезки,
соединяющие вершины равносторонних
треугольников (отличные от вершин
равнобедренных треугольников) с серединой
основания равнобедренного треугольника,
равны.
53. Свойство параллелограмма (формулировки и примеры).
I. Диагонали параллелограмма
пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам.
II. В параллелограмме противолежащие
стороны равны и противолежащие углы
равны.
Примеры.
1. В параллелограмме ABCD диагональ BD равна
12 см, О — точка пересечения диагоналей
параллелограмма. Чему равен отрезок DO
(рис. 55)?
Решение. По свойству диагоналей
параллелограмма
2. В параллелограмме ABCD постройте медиану
A BCD, проходящую через вершину С.
Построение. Проведем диагональ АС. Она
пересекает диагональ BD в точке О. Так
как диагонали параллелограмма в точке
пересечения делятся пополам, то ВО = OD,
значит, СО — медиана ABCD.
3. В параллелограмме сумма двух углов
равна 132°. Найдите градусную меру каждого
из этих углов.
Решение. Два данных угла не могут быть
прилежащими к одной стороне, так как в
этом случае их сумма была бы равна 180°:
Значит, эти углы противолежащие.
ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПРИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТАХ
XXXVIII городская научно-практическая конференция
Магнитогорского научного общества учащихся
«Искатели, мыслители XXI века»
Направление: математика, геометрия
«ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПРИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТАХ»
Учреждение: МОУ «СШИ №2», 8 класс
Автор
работы: Чепелевич Б.
Научный руководитель: Анненкова Т. Н., учитель математики МОУ «СШИ №2»
Магнитогорск
2018
Содержание
1.1 Исторические сведения о нахождении высоты предмета с недоступной точкой..5
1.2 Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников……………………..5
1.3 Задачи на определение высоты предмета…………………………………………..7
2.1 Задача на нахождение расстояния………………………………………………….17
2.2 Определение высоты новогодней ёлки с помощью зеркала………..……………17
Геометрию
можно считать одной из самых древних наук. Наука в начале своего развития для
человека несла практическую деятельность. Только лишь потом она сформировалась
как самостоятельная наука, которая изучает геометрические фигуры.
Геометрические знания активно применяются у людей в жизни, в науки, в быту, на
производстве. Мы должны уметь рассчитать количество обоев в комнату, посчитать
площадь квартиры и др. Кто-то с лёгкостью выполняет геометрические построения
при изготовлении технических чертежей, или определяет расстояние до предмета.
Геометрия всегда помогала решить те задачи, перед которыми её ставила жизнь[7].
Учение о
подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней
Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор.
Например, многие предметы, которые нам встречаются в быту среди детских игрушек
подобны предметам из взрослого мира, тоже можно сказать и про одежду, обувь.
Эти примеры можно продолжать и дальше. В конце концов, все люди подобны друг
другу. Мы уже знаем, что в геометрии фигуры одинаковой формы принято называть
подобными. В нашей работе по теме «Применение
подобия треугольников при измерительных работах» мы рассмотрим, как свойства подобных треугольников могут быть
использованы для проведения различных измерительных работ на местности [4,8].
Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы.
Цель: Изучение применения подобия треугольников при измерительной работе на местности.
Задачи:
1 Анализ литературы по проблеме исследования.
2 Исторический обзор вопроса по проблеме исследования
3 Рассмотреть подобие треугольников, признаки подобия треугольников
4 Подобрать различные задачи на определение расстояния предмета
5 Научиться применять признаки подобия треугольников при решении геометрических задач на местности
6 Выполнить практическую работу по определению высоты предмета на местности
Гипотеза: если использовать различные способы определения высоты предмета, то эти результаты будут близки к фактическому размеру предмета.
1.1 Исторические сведения о нахождении высоты предмета с недоступной точкой
Учение о подобии фигур было создано в Древней Греции в V – IV веке до н.
История практической геометрии тянулась от вавилонян и
древних египтян. Некоторые черты развития практической геометрии можно отметить
и в Древней Руси. Уже в XVI веке в России нужды землемерия,
строительства и военного дела привели к созданию рукописных руководств
геометрического содержания.
1.2 Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника (рис 1)[1].
Рисунок 1- Подобные треугольники
Коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников
— стороны, лежащие напротив равных углов (рис.
2)[1].
Рисунок 2 – Демонстрируются сходственные стороны
Признаки подобия треугольников
Первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны (рис. 3)[1].
Рисунок 3 – Первый признак подобия треугольников
Если ∠B=∠B1 и ∠C=∠C1, то ΔABC∼ΔA1B1C1
Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны (рис. 4)[1].
Рисунок 4 – Второй признак подобия треугольников
Если AB/A1B1=AC/A1C1 и ∠A=∠A1, то ΔABC∼ΔA1B1C1.
Третий признак подобия треугольников: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны (рис. 5)[1].
Рисунок 5 – Третий признак подобия треугольников
Если AB/A1B1=BC/B1C1=AC/A1C1, то ΔABC∼ΔA1B1C1.
Свойства подобных треугольников:
— Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
— Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия [7].
Рисунок 6 – Свойства подобных треугольников
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.
1.
3. Задачи
на определение высоты предметаЗадачи на нахождение расстояний всегда имели и имеют большое значение в военном деле. Многие задачи, требующие нахождения расстояния на местности решаются с помощью признаков подобия треугольников, но чаще всего применяется первый признак подобия треугольников по двум углам. Рассмотрим некоторые из них[2].
1 Задача на определение высоты предмета по длине его тени
Самый простой способ состоит в том, что в солнечный день можно пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции
. (рис. 7)
То есть высота дерева во столько раз больше вашей собственной высоты (или высоты шеста), во сколько раз тень дерева длиннее тени человека (или тени шеста)[3].
Это вытекает из геометрического подобия треугольников ABC и abc (по двум углам) (рис. 7).
Рисунок 7 – Задача на определение высоты предмета по длине его тени
Этот способ называется способ Фалеса.
В
честь греческого мудреца Фалес Милетского, который научил египтян определять
высоту пирамиды по длине ее тени еще за шесть веков до нашей эры.
Преимущества способа Фалеса заключается в том, что не требуются вычисления.
Недостатки заключаются в том, что измерить высоту предмета невозможно при отсутствии солнца и, как следствия, отсутствия тени.
2 Задача на определение высоты предмета с помощью прямоугольного треугольника
Для того, чтобы измерить высоту дерева BD, нужно приготовить равнобедренный прямоугольный ∆АВ1C1 (∠А=45°) и, держа его вертикально, отойти на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ1, нужно увидеть верхушку дерева В (рис. 8)[3].
Рисунок 8 – Задача на определение высоты предмета с помощью прямоугольного треугольника
Так как ∠А общий для обоих треугольников, ∠АС1В1=∠АСВ=90о (по условию), тоrАС1В1иrАСВ– подобные (по признаку подобия о двух углах).
Тогда ∠АВ1C1=∠АВС=45о, =>ВС=АС, но к получившейся длине мы должны еще прибавить рост человека, то есть длина дерева BD=ВС+СD.
3 Задача на определение высоты предмета с помощью булавочного прибора
Можно воспользоваться свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника, обратившись к весьма простому прибору, который легко изготовить из дощечки и трех булавок. На дощечке любой формы намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника – и в них втыкают по булавке (рис. 9)[7].
Рисунок 9 – Задача на определение высоты предмета с помощью булавочного прибора
Если нет под рукой чертежного
треугольника для построения прямого угла, нет и циркуля для отложения равных
сторон, то можно перегнуть любой кусок бумаги один раз, а затем поперек первого
сгиба еще раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали, — получим прямой
угол. Та же бумага пригодится и вместо циркуля, чтобы отмерить равные
расстояния.
Отойдя от измеряемого дерева, нужно держать прибор так, чтобы один
из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можно пользоваться
ниточкой с грузиком, привязанным к верхней булавке. Приближаясь к дереву или
удаляясь от него, всегда можно найти такое место А(рисунок 9), из
которого, глядя на булавки, можно увидеть, что они покрывают верхушку С дерева:
это значит, что продолжение гипотенузы ас проходит через точку С.
Тогда, очевидно, расстояние аb=СВ, так как ∠а=45о.
Следовательно, измерив расстояние аВ(или на ровном месте, одинаковое с
ним расстояние АD)и прибавив BD,т.е. возвышение аА глаза над землей, получим искомую высоту дерева.
4 Задача на определение высоты предмета с помощью шеста
При отсутствии тени в пасмурную погоду можно воспользоваться способом измерения, который живописно представлен у Жюль Верна в известном романе «Таинственный остров» [3].
Необходимо воткнуть шест в землю.
Место
для шеста надо выбирать так, чтобы, лежа, как показано на рисунке 10, было
видно верхушку дерева на одной прямой линии с верхней
точкой шеста. Так как rABC– равнобедренный и
прямоугольный, то ∠A=45о и, следовательно, АВ=ВС, т.е. искомой высоте
дерева.
Рисунок 10 – Задача на определение высоты предмета с помощью шеста
Преимущества способа Жюль Верна: можно производить измерения в любую погоду; простота формулы. Недостатки: нельзя измерить, высоту предмета не испачкавшись, так как приходится ложиться на землю [4].
5 Задача на определение высоты предмета с помощью записной книжки и карандаша
В качестве прибора для приблизительной оценки недоступной
высоты можно использовать карманную записную книжку и карандаш. Она поможет
построить в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается
искомая высота [7].
Рисунок 11 – Задача на определение высоты предмета с помощью записной книжки и карандаша
Книжку надо держать возле глаз так, как показано на упрощенном рисунке 11. Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигаться над верхнем обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а видеть вершину В дерева покрытой кончиком b карандаша. Тогда вследствие подобия треугольников abc и аВС высота ВС определяется из пропорции
BC/bc=aC/ac [7].
Расстояние bc, ac и аС измеряются
непосредственно. К полученной величине ВС надо прибавить еще длину CD,т.е. – на ровном месте – высоту глаза над почвой. Так как ширина ас книжки неизменна, то если всегда становиться на одном и том же расстоянии от
измеряемого дерева, высота дерева будет зависеть только от выдвинутой части bc карандаша. Поэтому можно заранее вычислить, какая высота соответствует
тому или иному выдвижению, и нанести эти числа на карандаш.
6 Задача на определение высоты предмета с помощью зеркала
На некотором расстоянии (рис. 12) от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркальце верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ЕD), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния СD от зеркала до наблюдателя [3].
Рисунок 12 – Задача на определение высоты предмета с помощью зеркала
Способ основан на законе отражения света. Вершина А( рис. 13) отражается в точке А так что АВ=А’В. Из подобия же треугольников ВСА’ и CED следует, что A’B/ED=BC/CD.
В этой пропорции остается лишь заменить А’В равным ему АВ, чтобы обосновать указанное соотношение.
Преимущества способа: можно производить измерения в любую погоду; простота формулы. Недостатки: нельзя
измерить, высоту предмета в густом насаждении, применяется к одиноко стоящему дереву [7].
7 Задача на определение высоты предмета с помощью высотомера лесника
На рисунке 13 изображен высотомер лесника. Он представляет собой прямоугольную пластинку размером 10Х10 см с закрепленным в точке А отвесом, шкалой на стороне ВС и визирами в точках А и D.Наведя с помощью визиров сторону AD на вершину дерева Е и заметив деление шкалы, которое показывает отвес AF, лесник с помощью несложной формулы и находит высоту дерева [7].
Рисунок 13 — Задача на определение высоты предмета с помощью высотомера лесника
8 Задача на нахождение высоты здания
Найдите высоту здания (в метрах), длина тени которого равна
27 м, если тень человека ростом 1 м 60 см равна 2 м 40 см [1,6].
Рисунок 14 — Задача на нахождение высоты здания
Решение: Треугольники подобны (по двум углам), значит можно составить пропорцию:
тогда,
9 Задача на определение расстояния до недоступной точки
Для того, чтобы найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем измеряем углы А и С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник А1В1С1, у которого угол А1 равен углу А, угол С1 равен углу С, и измеряем длины сторон А1В1 и А1С1 этого треугольника. Так как треугольники АВС и А1В1С1 подобны, то из пропорциональности их сторон найдём АВ (рис. 15)[1].
Рисунок 15 – Задача на определение расстояния до недоступной точки
10 Задачи на нахождение расстояний
Задача «Неприятельская вышка». Открытый
участок дороги находится на полосе АВ шириной в 50 м; неприятельский
наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN=22 м. Какой высоты следует сделать
вертикальную маску КВ на расстоянии 500 м от колокольни, чтобы закрыть
дорогу от наблюдателя противника?
(рис.16) [3]
Рисунок 16 – Задачи на нахождение расстояний
Дано: AMN, АВ=50 м, MN=22м, BN=500 м.
Найти: КВ.
Решение:АКВ ~ АМN (по двум углам А – общий и АВК и AMN – прямые, а если треугольники подобны, то все его элементы тоже подобны).
То есть , а
Следовательно
11. Задачи на определение расстояния до кораблей в море
Первый способ. Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель в точке А.
Требуется определить расстояния КА. Построив в точке А прямой
угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка АВ=ВС. В точке
вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру
до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой
корабль К и точка были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольный
треугольники ВСD и ВАК равны,
следовательно, CD=AК, а отрезок CD можно непосредственно измерить [7].
Рисунок 17 – Задачи на определение расстояния до кораблей в море
Второй способ. Получил название — метод триангуляции, нашел применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных тел (рис. 18) [7].
Рисунок 18 – Метод триангуляции
Этот метод состоит из трех этапов:
1 Измерение углов 1 и 2 и расстояния АВ.
2 Построение А’В’К’ с углами 1 и 2 при вершинах А’ и В’ соответственно.
3 Учитывая подобие треугольников АВК, А’В’К’ и равенство отрезков AB, А’К’ и А’В’ легко найти длину отрезка АК.
.
2.1 Задача на нахождение расстояния
Эксперимент проводился в парке на
остановке Ручьёва в «Зимнем городке». Объектом измерения стала новогодняя ёлка
(рис. 19).
Рисунок 19 – Ёлка в «Зимнем городке»
Измерим высоту дерева с помощью полученных знаний о подобных треугольниках.
Определим высоту дерева с помощью зеркала.
Для измерения дерева нам понадобились: зеркало, рулетка (рис. 20).
Рисунок 20 – Зеркало и рулетка
Мы положили зеркало, после чего начали отходить от него до тех пор, пока не увидели отражение в зеркале верхушки ёлки. Затем измерили расстояние от зеркала до дерева и расстояние от зеркала до человека. Заранее мы измерила рост человека, который участвует в эксперименте до глаз (рис. 21).
Рисунок 21 – Определяем высоту дерева при помощи зеркала
Дано: ВС=6,35 м расстояние от зеркала до дерева, ВС1=0,75 м расстояние от зеркала до человека, А1С1=1,425 м рост человека до глаз.
Найти: АС высота дерева.
Решение:
Треугольники АСВ и А1С1В подобны по двум углам. Поэтому
Ответ: высота дерева 12,07 м, если мы его измерим с помощью зеркала.
Определим высоту дерева с помощью планшета
Для измерения дерева нам понадобится: планшет с изображением прямоугольного равнобедренного треугольника, нить с грузиком, рулетка. Катеты, изображенного в планшете прямоугольного равнобедренного треугольника, равны 10 см. Затем измерим расстояние от столба до человека рост которого мы заранее измерили (рис. 22).
С
B D
A E
Рисунок 22 – Чертёж определения высоты дерева при помощи планшета
Дано: BD=10,755 м расстояние от человека до дерева. DE=1,425 м рост человека до глаз.
Найти: AC высоту дерева.
Решение: Поскольку треугольник на планшете и треугольник BCD подобны, оба прямоугольные и равнобедренные, то BC=BD.
Следовательно, AC=BC+BA=BD+DE=10,755+1,425=12,18 (м).
Ответ: высота дерева 12,18 м, если мы его измерим с помощью планшета.
Определим высоту дерева с помощью книжки и карандаша.
Для измерения дерева нам понадобится: книга, карандаш, рулетка. Мы измерили ширину книги и выдвинули карандаш над книгой на расстоянии 7 см. Затем мы измерили расстояние от меня до столба. Так же нам понадобилось знать рост человека до глаз (рис. 23).
B D
A E
Рисунок 23 — Чертёж определения высоты дерева при помощи книжки и карандаша
Дано: KD=0,15 м ширина книги, IK=0,07 м расстояние на которое выдвинут карандаш над книгой, AE=23,1 м расстояние от человека до дерева, DE=1,425 м рост человека до глаз.
Найти: АС высота дерева.
Решение: треугольники CBD и IKD подобны по двум углам. Поэтому,
,
,
AC=BC+AB=BC+DE=10,78+1,425=12,20512,21(м).
Ответ: высота дерева 12,21 м, если мы его измерили с помощью карандаша и книги.
Получив три значения высоты новогодней ёлки, мы занесли полученные данные в таблицу 1. Также мы узнали, что высота этой ёлки 12 метров..
Таблица 1 – Сводная таблица измерений высоты дерева
Метод | Результат вычислений высоты дерева | Фактический размер дерева | Погрешность |
С помощью планшета | 12,18 м | 12 м | +0,18 |
С помощью зеркала | 12,07 м | 12 м | +0,7 |
С помощью книги и карандаша | 12,21 м | 12 м | +0,21 |
Из таблицы 1 видно, что метод
определение высоты дерева с помощью зеркала наиболее близок к фактической
высоте ели. Так же этим методом можно производить измерения в любую погоду и
вместо зеркала можно использовать лужу.
Определение сходства | Техасский шлюз
ВведениеПохожие фигурыИдентификация соотношений и пропорций соответствующих частей с соответствующими частямиКраткий обзор
Коэффициенты и соотношения могут использоваться для решения множества реальных задач.
Вы можете использовать ставки для определения цены на определенное количество фунтов фруктов.
Соотношения также могут помочь вам решить проблемы с процентами.
Вы также можете использовать коэффициенты для решения задач масштабирования.
В этом ресурсе вы расширите свои знания о соотношениях и пропорциях на геометрию и будете использовать соотношения и пропорции для описания двух фигур, которые являются фигурами в масштабе.
Соотношения можно использовать для демонстрации мультипликативной связи между двумя величинами. Когда два отношения эквивалентны, вы можете использовать пропорцию, чтобы связать отношения.
Две фигуры называются подобными, если они связаны пропорционально. В этом разделе вы исследуете взаимосвязь между соответствующими длинами сторон и соответствующими мерами углов подобных фигур. Из этого исследования вы сделаете формальное определение подобных фигур.
Используйте интерактив, чтобы начать исследование похожих фигур. В этом интерактивном примере треугольник ABC и треугольник DEF являются подобными треугольниками. Используйте флажки, чтобы показать или скрыть отношения длин соответствующих сторон, а также показать или скрыть меры соответствующих углов. Перемещайте вершины треугольника ABC , обращая особое внимание на закономерности в отношениях длин соответствующих сторон и на закономерности в мерах соответствующих углов.
Исследование похожих фигур
Нажмите и перетащите A , B или C , чтобы отрегулировать размер треугольника ABC .
Нажмите на поле Показать/скрыть отношения, чтобы показать или скрыть отношения длин соответствующих сторон.
Щелкните поле Показать/скрыть измерения углов, чтобы отобразить или скрыть измерения углов.
Нужны дополнительные указания?
Используйте интерактив, чтобы ответить на следующие вопросы.
1. Учитывая, что два треугольника подобны, что вы заметили об отношениях длин соответствующих сторон треугольника 9?0025 ABC и треугольник DEF ?
2. Учитывая, что эти два треугольника подобны, что вы заметили относительно величин соответствующих углов треугольника ABC и треугольника DEF ?
3. Используйте то, что вы заметили относительно отношений длин соответствующих сторон и мер соответствующих углов, чтобы написать определение подобных треугольников.
4. Как вы думаете, справедливо ли соотношение, которое вы заметили для треугольников, для четырехугольников и других многоугольников?
Теперь, когда у вас есть определение подобия, как вы можете проверить, подобны ли две фигуры?
В последнем разделе вы использовали характеристики соответствующих частей подобных фигур, чтобы определить сходство. Если фигуры ориентированы одинаково, относительно легко идентифицировать соответствующие части подобных фигур.
Например, на рисунке ниже четырехугольник ABCD подобен четырехугольнику JKLM .
Иногда идентифицировать соответствующие детали немного сложнее. В этом разделе вы будете практиковаться в использовании различных способов определения соответствующих частей похожих фигур.
На рисунке ниже воздушный змей ABCD аналогичен воздушному змею WXYZ . Сопоставьте каждую сторону или угол воздушного змея WXYZ с соответствующей частью воздушного змея ABCD , перетащив метку на соответствующее место.
1. Как можно использовать маркировку углов, чтобы сопоставить соответствующие углы?
2. Как можно использовать известные пары соответствующих углов для определения соответствующих сторон?
Как вы думаете, почему важно уметь идентифицировать соответствующие части подобных фигур?
В предыдущих разделах вы определили подобие и использовали похожие цифры для идентификации соответствующих частей. С таким опытом вы готовы использовать соответствующие стороны для решения проблем!
Рассмотрим следующую задачу.
На слайдах ниже показано, как Хоакин использовал подобные треугольники, чтобы написать пропорцию для решения этой задачи.
1. Какую другую пропорцию Хоакин мог бы использовать для решения задач о пальмах?
2. Предположим, у вас есть два подобных равнобедренных треугольника. Что бы вы знали об углах при основании, длинах катетов каждого треугольника и отношениях длин соответствующих катетов?
В этом ресурсе вы узнали, как похожие фигуры определяются двумя основными атрибутами.
- Печать
- Поделиться
Критерии подобия треугольников
Содержание
Этот пост также доступен в: हिन्दी (хинди)
Обычно два объекта похожи, если они похожи друг на друга. Говоря простым языком, предметы одинаковой формы, независимо от того, имеют они одинаковый размер или нет, обычно называют подобными. В математике все совсем иначе. В математике два объекта подобны, когда их форма одинакова, но их размеры различны.
Давайте разберемся, что такое подобие треугольников и критерии подобия треугольников на примерах.
СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО КАРТОЧКИ ПО МАТЕМАТИКЕ:
Красиво оформленные карточки для печати, которые помогут вам запомнить все важные математические понятия и формулы.
Что такое подобные треугольники?
Два треугольника будут подобны, если соответствующие углы равны, а соответствующие стороны находятся в одинаковом отношении или пропорции. Подобные треугольники могут иметь разные индивидуальные длины сторон треугольников, но их углы должны быть равны, и их соответствующее отношение длин сторон должно быть одинаковым. Если два треугольника подобны, значит,
- Все соответствующие пары углов треугольников равны.
- Все соответствующие стороны треугольников пропорциональны.
На приведенном выше рисунке два треугольника $\triangle \text{ABC}$ и $\triangle \text{XYZ}$ подобны. Мы используем символ ‘$\sim$’ для обозначения сходства. Итак, если два треугольника подобны, мы показываем это как $\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{XYZ}$.
Критерии подобия треугольников – Формула подобных треугольников
Есть два условия, с помощью которых мы можем проверить, является ли данный набор треугольников подобным или нет. Согласно этим условиям, два треугольника можно назвать подобными, если их соответствующие углы равны или конгруэнтны, или если их соответствующие стороны пропорциональны. Следовательно, два треугольника $\triangle \text{ABC}$ и $\triangle \text{XYZ}$ могут быть доказаны подобными $\left( \triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{XYZ} \right) $ с использованием любого условия из следующего набора формул подобных треугольников
- AA (Angle Angle): Если любые два угла треугольников равны, то говорят, что треугольники подобны.
- SAS (Side Angle Side): Если два треугольника имеют две пары сторон в одинаковом отношении и углы между ними также равны, то треугольники подобны.
- SSS (Side Side Side): Если два треугольника имеют три пары сторон в одинаковом отношении, то такие треугольники подобны.
AA (или AAA) или угол-угол Критерий сходства
Критерий подобия AA утверждает, что если любые два угла в треугольнике соответственно равны любым двум углам другого треугольника, то они должны быть подобными треугольниками. Правило подобия AA применяется, когда мы знаем только меру углов и не имеем никакого представления о длине сторон треугольника.
На приведенном выше рисунке, если известно, что $\angle \text{A} = \angle \text{D}$ и $\angle \text{B} = \angle \text{E}$.
Таким образом, мы можем сказать, что по критерию подобия AA $\triangle \text{ABC}$ и $\triangle \text{DEF}$ подобны или $\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{ABC }$.
Это означает, что $\frac{\text{AB}}{\text{DE}} = \frac{\text{BC}}{\text{EF}} = \frac{\text{CA}}{\ text{FD}}$ и $\angle \text{C} = \angle \text{F}$.
SAS или Критерий подобия стороны-угла-стороны
Критерий подобияSAS гласит, что если любые две стороны первого треугольника находятся в точной пропорции к двум сторонам второго треугольника, а угол, образованный этими двумя сторонами отдельных треугольников, равен, то они должны быть подобными треугольниками. Это правило обычно применяется, когда мы знаем только меру двух сторон и угол, образованный между этими двумя сторонами в обоих треугольниках соответственно.
На приведенном выше рисунке, если известно, что $\frac{\text{AB}}{\text{DE}} = \frac{\text{CA}}{\text{FD}}$, и $\angle \text{A} = \угол \text{D}$.
И мы можем сказать, что по критерию подобия SAS $\triangle \text{ABC}$ и $\triangle \text{DEF}$ подобны или $\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{DEF }$.
SSS или Критерий подобия Side-Side-Side
Критерий подобия SSS утверждает, что два треугольника будут подобны друг другу, если соответствующее отношение всех сторон двух треугольников равно. Этот критерий обычно используется, когда у нас есть только мера сторон треугольника и меньше информации об углах треугольника.
На приведенном выше рисунке, если известно, что $\frac{\text{AB}}{\text{DE}} = \frac{\text{BC}}{\text{EF}} = \frac{\text {CA}}{\text{FD}}$, то можно сказать, что по критерию подобия SSS $\triangle \text{ABC}$ и $\triangle \text{DEF}$ подобны или $\triangle \ текст{ABC} \sim \triangle \text{DEF}$.
Разница между подобными треугольниками и конгруэнтными треугольниками
Подобие и конгруэнтность — два разных свойства треугольников. Ниже приведены различия между подобными треугольниками и конгруэнтными треугольниками.
| Подобные треугольники | Конгруэнтные треугольники |
| Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но могут быть разными по размеру. Они накладываются друг на друга при увеличении или уменьшении. | Конгруэнтные треугольники одинаковы по форме и размеру. Они накладываются друг на друга в своей первоначальной форме. |
| Они обозначаются символом $’\sim’$. Например, подобные треугольники $\text{ABC}$ и $\text{XYZ}$ будут представлены как $\triangle \text{ABC} \sim \triangle \text{XYZ}$. | Они обозначаются символом $’\cong’$. Например, конгруэнтные треугольники $\text{ABC}$ и $\text{XYZ}$ будут представлены как $\triangle \text{ABC} \cong \triangle \text{XYZ}$. |
| В подобных треугольниках отношение всех соответствующих сторон равно. Это общее отношение также называется «масштабным коэффициентом» в подобных треугольниках. | Отношение соответствующих сторон равно 1 для конгруэнтных треугольников. |
Ключевые выводы
Если два треугольника подобны или доказаны подобными по любому из вышеприведенных критериев, то они обладают немногими свойствами подобных треугольников. Ниже приведены свойства подобных треугольников
.- Подобные треугольники имеют одинаковую форму, но разные размеры.
- В подобных треугольниках соответствующие углы равны.
- Соответствующие стороны подобных треугольников находятся в одинаковом отношении.
- Отношение площадей подобных треугольников равно отношению квадратов любой пары их соответствующих сторон.
Практические задачи
- Что означает сходство цифр в математике?
- Что означает подобие треугольников?
- Объясните критерий сходства AA.
- Объясните критерий сходства SAS.
- Объясните критерий подобия SSS.
Часто задаваемые вопросы
Что понимают под подобными треугольниками в геометрии?
Подобные треугольники в геометрии — это треугольники, имеющие одинаковую форму, но не равные по размеру.