Подобие треугольников задачи с решениями: Решение задач на подобие. Подобные треугольники.

alexxlab / / Разное

Практические приложения подобия треугольников

Сегодня мы будем говорить о том, где и как можно применять знания о подобии треугольников.

Для начала повторим всё, что мы знаем о подобии.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Выделяют три признака подобия треугольников: подобие по двум углам, подобие по двум сторонам и углу между ними, подобие по трём сторонам.

На уроках вы много раз сталкивались с задачами, где необходимо применить подобие треугольников. Сейчас мы с вами рассмотрим примеры решения задач на построение треугольников с применения подобия, то есть методом подобия.

Решение задач на построение треугольников методом подобия:

1.    Построение треугольника подобного искомому

2.    Построение искомого треугольника

Решим задачу на построение треугольника.

Задача. Построить треугольник, у которого два угла соответственно равны

двум данным углам, а биссектриса третьего угла равна данному отрезку

Построение.

1.

2.

3. биссектриса

4.

5.

Доказательство.

1.

2.

Получаем, что треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Стоит обратить внимание на то, что сумма двух данных углов должна быть меньше 180º.

Аналогичным образом выполняются задачи на построение треугольника по двум углам и медиане, а также по двум углам и высоте.

Задача 1. Построить треугольник, у которого два угла соответственно равны

двум данным углам, а медиана проведённая, из третьего угла, равна данному отрезку.

Задача 2. Построить треугольник, у которого два угла соответственно равны

двум данным углам, а высота, проведённая из третьего угла, равна данному отрезку.

Сначала выбираем произвольный отрезок.

На его концах строим углы равные данным. Получаем треугольник подобный искомому.

Проводим медиану или высоту из третьего угла.

От вершины C откладываем на них отрезки равные данному.

Проводим прямые, параллельные отрезку A1B1. Отмечаем точки пересечения полученной прямой со сторонами треугольника.

Искомые треугольники построены.

Сейчас мы рассмотрели примеры решения задач на построение треугольников методом подобия.

Также свойства подобных треугольников применяют при измерительных работах на местности. А именно: при определении высоты предмета и при определении расстояния до недоступной точки.

Рассмотрим примеры решения задач на определение высоты предмета.

Представим, что необходимо измерить высоту дерева, обозначим её

B1C1. Понятно, что ни линейкой, ни верёвкой это сделать не возможно, так как до верхушки дерева никак нельзя дотянуться.

Поступим следующим образом. Возьмём шест высотой BC с вращающейся планкой на одном из концов, и направим планку на верхушку дерева.

Отметим точкой А точку пересечения прямой BB1 с поверхностью земли.

Полученные треугольники ABC и AB1C1 подобны по двум углам, ведь угол А у них общий, а углы ACB и AC1B1 прямые:

 

Из подобия треугольников следует равенство отношений:

 

Допустим, . Тогда искомая высота дерева: .

Решим ещё одну задачу на определение высоты предмета.

Задача. Дерево отбрасывает тень длиной  м. А человек ростом  см отбрасывает тень длиной  см. Найдите высоту дерева.

Решение.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные объектами и их тенями.

Так как объекты находятся на одной географической широте, то угол падения солнечных лучей в обоих случая будет одинаковым. Углы C и C1 прямые.

Отсюда можем сделать вывод, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны по двум углам. Значит, их соответствующие стороны пропорциональны и имеет место такое равенство:

Перед тем как подставлять известные величины переведём их в метры.

Перейдём к следующей группе задач. Определение расстояния до недоступной точки.

Предположим, нам нужно найти расстояние от некоторого пункта А до недоступной точки B.

Для этого на местности выбираем точку C, провешиваем отрезок AC и измеряем его длину. Далее измеряем углы А и C в треугольнике ABC. В этом нам поможет астролябия.

Астролябия — это угломерный прибор, служивший до 18 века для определения широт и долгот в астрономии, а также горизонтальных углов при землемерных работах.

Например, для определения угла, под которым наблюдатель видит звезду, направляющую этого прибора нужно расположить так, чтобы она одним своим концом указывала на глаз наблюдателя, а другим — на звезду. При этом горизонтальная ось должна быть параллельна линии горизонта.

Итак, измерив углы А и C, изобразим треугольник A1B1C1 так, чтобы угол А1 был равен углу А и угол C1 был равен углу C.

Измеряем длины сторон A1B1 и А1C1.

    

Если, зная длину отрезка AC, изобразить A1C1, например, с масштабом 1:1000, то можно значительно упростить вычисления.

Допустим AC=130 метрам, тогда A1C1 изобразим длиной в 130 миллиметров. Измерив A1B1 в миллиметрах, мы сразу получим длину АБ, но уже в метрах.

Задача. Для определения расстояния от точки А до недоступной точки B на местности выбрали точку C и измерили отрезок AC, углы BAC и ACB. Затем построили на бумаге треугольник A1B1C1 подобный треугольнику ABC. Найдите AB, если AC равно семи метрам, A1C1 — 2,8 сантиметра, A1B1 — 3,4 сантиметра.

Из подобия треугольников следует равенство отношений. Отсюда выразим AB.

Подставим известные значения, переведя их предварительно в метры.

 , , .

Ответ:  

Подведём итоги урока.

Сегодня мы с вами знакомились с практическими приложениями подобия треугольников.

А именно рассмотрели примеры решения задач на построение треугольников методом подобия. Он состоит из двух этапов: построение треугольника подобного искомому и построение искомого треугольника.

А также познакомились с такими измерительными работами на местности как «определение высоты предмета» и «определение расстояния до недоступной точки».

Подобие треугольников. Третий признак подобия

В этом уроке, вы найдете решение задач по геометрии, которые используют правила подобия треугольников и являются интересными для решения. Я их размещаю здесь если они вызывают некоторые трудности при решении у школьников.

Задача

Треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Соотношение сторон теругольников 3:4 . Площадь одного из них больше площади другого на 14 см2. Найдите площади треугольников.

Решение

Для решения данной задачи будем руководствоваться основным свойством подобия треугольников — все размеры одного теругольника подобны размерам другого. Сначала опустим на сторону а каждого треугольника высоту h. Таким образом площадь первого треугольника будет выражаться формулой S1=1/2ah, а площадь второго треугольника формулой S2=1/2*3/4a*3/4h. Таким образом, можно определить соотношение площадей треугольников:

S1/S2 = 1/2 ah / ( 1/2 * 9/16 ah)

S1/S2 = ah / ( 9/16 ah)

S1/S2 = 16/9

Выше перечисленные преобразования мы могли бы не проводить, если нам известна теорема:

«площади подобных треугольников относятся как квадрат соотношения их сторон»

Выразим площадь одного треугольника через площадь другого:

S1=16S2/9

По условию задачи S1-S2=14, таким образом

16S2/9-S2=14

7/9S2=14

S2=18, следовательно S1 = 14+18=32

Ответ: 18 и 32

Задача

Стороны AB и DC трапеции ABCD продлили так, что прямые AB и DC пересеклись в точке E. Таким образом, продолжения сторон трапеции образовали треугольник площадью 98 квадратных сантиметров. Найти площадь трапеции, если ее основания относятся друг к другу как 5 к 7.

Решение


Начало решения.

Из условия задачи видно, что у нас получились треугольники EAD и EBC. Поскольку оба треугольника имеют общий угол E, а основания трапеции, являющиеся параллельными, согласно теореме Фалеса, отсекают на сторонах AE и DE пропорциональные отрезки отрезки, то треугольники EAD и EBC являются подобными.

Способ 1.

Опустим из вершины E высоту на основание AD. Она же будет высотой для основания BC, поскольку основания трапеции параллельны. Обозначим высоту для треугольника EAD как h1, а для треугольника EBC как h2.

Таким образом:
Площадь треугольника EAD будет равна SEAD=1/2*AD*h1.
Площадь треугольника EBC будет равна SEBC=1/2*BC*h2.

Поскольку треугольники подобны, то все стороны относятся друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия. Поскольку основания трапеции относятся дрцг к другу как 5:7, то и все остальные стороны относятся друг к другу с тем же соотношением. Из этого следует:

BC / AD = 5 / 7
BC = 5AD / 7

аналогично:
h2 / h1 = 5 / 7
h2  = 5h1 / 7

Таким образом:
SEBC=1/2*BC*h2.
Подставим значения сторон меньшего подобного треугольника через значения сторон большего подобного треугольника:
SEBC=1/2*(5AD / 7)*(5h1 / 7)
SEBC=1/2*AD*h1*25 / 49

Заметим, что по условию задачи площадь получившегося треугольника EAD равна 98 сантиметрам, одновременно SEAD=1/2*AD*h1.
Подставим вместо указанного выражения его значение:
SEBC = 98*25/49
SEBC = 50 см2

Способ 2.

Если нам известна теорема: «площади подобных треугольников относятся как квадрат соотношения их сторон», то площади подобных треугольников AED и BEC будут соотноситься как 52 : 72. То есть:
SEBC / SEAD = 52 / 72
SEBC / SEAD = 25 / 49
SEBC = SEAD * 25 / 49

Поскольку площадь треугольника EAD известна нам по условию и составляет 98 см2 , то
SEBC = 98 * 25 / 49
SEBC = 50 см2

Продолжение решения.

Площадь трапеции ABCD равна разности площадей треугольников AED и BEC. Таким образом, площадь трапеции равна 98 — 50 = 48 см2.

Ответ: 48 см2.

0  

 Подобие треугольников. Первый признак подобия | Описание курса | Подобие треугольников. Использование в задачах 

   

Глаза в глаза — Задача на похожие треугольники

Вот распространенная задача на похожие треугольники, которая фигурирует в большинстве учебников для средних и старших классов. На землю между двумя объектами кладут зеркало, в котором показаны два треугольника с заданной кучей измерений, и мы должны найти высоту одного из объектов.

Типичный подход к демонстрации того, как эта задача моделируется с помощью подобных треугольников, состоит в том, чтобы показать учащимся полное решение.

 

В уроке 1 из серии видеороликов, которыми Кайл Пирс и я поделились, чтобы сделать математические моменты важными в вашем классе, мы обрисовываем, как, почему и как мы можем изменить наши уроки, чтобы сделать их более любопытными. Если вы еще не смотрели серию видеороликов, посмотрите видео прямо сейчас!

 Давайте возьмем эту задачу с похожим треугольником и переделаем ее так, чтобы она следовала Пути любопытства, чтобы мы могли стимулировать осмысление учащихся с помощью подобных треугольников.

Вспомните, что первая часть изменения проблемы, чтобы включить больше любопытства, состоит в том, чтобы определить, как вы можете утаить информацию, чтобы вызвать предвкушение.

Вот моя попытка сделать это для наших учеников.

Пусть ваши ученики настроят свои страницы или доски, чтобы записывать то, что они заметили и что им интересно после просмотра этого очень короткого видеоклипа.

После обсуждения того, что ученики замечают и удивляются, выразите удивление (если ваши ученики еще этого не сделали) — Будут ли они смотреть друг другу в глаза через зеркало?

Позвольте вашим учащимся еще раз проанализировать видео и предсказать, смогут ли они сойтись во взглядах. Затем поразите их этими тремя изображениями по одному.

Для каждого изображения попросите их предсказать ответ на вопрос: Могут ли Даниэль и Дилан сходиться во взглядах? На каком изображении легко увидеть, что эти двое не могут сойтись во взглядах? Какой образ сложнее? Почему на одном изображении проще, чем на другом? Пусть ваши ученики нарисуют картинку, чтобы показать вам, почему Даниэль и Дилан не могут сойтись во взглядах на втором изображении? Чтобы немного продвинуть студентов по пути любопытства и углубить их вклад в эту проблему, попросите их предсказать, где ДОЛЖЕН стоять Дилан, чтобы они могли видеть глаза в глаза.

Какую информацию полезно знать? Выслушивание идей ваших учеников в этот момент является топливом для вашей формирующей оценки их понимания и их способности решать проблемы. Когда студент спрашивает расстояние Даниэль от зеркала, спросите: «Что бы вы сделали с этой информацией, если бы я дал ее вам?» Внимательно выслушайте ответ на этот вопрос. Вы довольно быстро обнаружите, кто предвидит возможные стратегии и обоснованность этих стратегий, а чьи стратегии нуждаются в некоторой помощи. Подумайте о том, чтобы указать расстояние Даниэль от зеркала, чтобы уточнить их прогноз.

Вы можете раскрывать информацию по запросу учащихся.

Теперь, когда мы развили любознательность учеников, ведя их по пути любопытства, мы подходим к развилке дороги, которую мы описали в видео 2 и 3 нашей серии. Мы можем либо спешить с алгоритмом, либо продолжать идти по пути к тому, чтобы сделать математический момент важным.

В этом упражнении мы можем подстегнуть учащихся к осмыслению, дав учащимся возможность увидеть, каково это — смотреть с глазу на глаз. Студенты могут имитировать то, что они видели в видео, чтобы увидеть, как далеко партнер должен отстоять от зеркала, чтобы два партнера смотрели друг другу в глаза.

Учащиеся выстраиваются, как показано в раздаточном материале, определяют, на каком расстоянии должен стоять один партнер, чтобы видеть друг друга в зеркале, а затем проверяют это расстояние, чтобы увидеть, действительно ли они видят друг друга! Учащиеся будут сотрудничать, оценивать друг друга и проводить самооценку, быть активными и заниматься целенаправленной практикой.

Наконец, учащиеся повторно посещают три сценария, представленные в начале урока, чтобы определить, сходятся ли взгляды Даниэль и Дилана. По сути, они докажут, подобны треугольники или нет.

Альтернативная или дополнительная задача, над которой могут работать учащиеся, звучит так: «Где мы должны поместить зеркало, чтобы они могли видеть друг друга с глазу на глаз?

Загрузить


ВСЕ ФАЙЛЫ УРОКОВ

Возьмите раздаточный материал, изображения и видеофайлы для своего класса!

Да, я хочу файлы.

ПОДЕЛИТЕСЬ ЭТОЙ АКЦИЕЙ!