Полный дифференциал: Как найти полный дифференциал функции, примеры решений

Полный дифференциал | это… Что такое Полный дифференциал?

ТолкованиеПеревод

Полный дифференциал

Дифференциа́л в математике — линейная часть приращения функции или отображения. Это понятие тесно связанное с понятием производной по направлению.

Обычно дифференциал f обозначается df, а его значение в точке x обозначается d_xf.

Содержание 1 Неформальное описание 2 Определения 2.1 Для функций 2.2 Для отображений 3 Связанные определения 4 Свойства 5 Примеры 6 История 7 См. также

Неформальное описание

Рассмотрим гладкую функцию f(x). Проведем касательную к ней в точке x, и отложим на этой касательной отрезок, такой длины, чтобы его проекция на ось

x была равна Δx. Проекция этого отрезка на ось y называется дифференциалом функции f(x) в точке x от Δx. Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных x и Δx,

определяемой соотношением

в частности, разность приращения функции и её дифференциала — бесконечно малая величина:

f(x + Δx) = f(x) + d_xf(Δx) + o(Δx).

Определения

Для функций

Дифференциал гладкой вещественнозначной функции f определённой на M (M — область в или гладкое многообразие) представляет собой 1-форму и обычно обозначается df и определяется соотношением

где обозначает производную f по направлению вектора X в касательном расслоении M.

Для отображений

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие есть отображение между их касательными расслоениями, , такое что для любой гладкой функции имеем

где Xf обозначает производную f по направлению X. (В левой части равенства берётся производная в N функции g по dF(X) в правой — в M функции по X).

Это понятие естественно обобщает дифференциал функции.

Связанные определения

• Гладкое отображение называется субмерсией, если для любой точки , дифференциал сюръективен.
• Гладкое отображение называется гладким погружением, если для любой точки , дифференциал инъективен.

Свойства

• Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

  или

Примеры

• Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда df = f‘dx, где f‘ обозначает производную f, а dx является постоянной формой определяемой dx(V) = V.
• Пусть в открытом множестве задана гладкая функция . Тогда . Форма dx_i может быть определена соотношением dx_i(V) = v_i, для вектора .
• Пусть в открытом множестве задано гладкое отображение . Тогда
      d_xF(v) = J(x)v,
  где J(x) есть матрица Якоби отображения F в точке x.

История

Термин Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) введён Лейбницем. Изначально,

dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).

См. также

• Внешний дифференциал

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

• Полный Пэ (студия)
• Полный дуплекс

Полезное

2.2. Полный дифференциал функции двух и трех переменных.

Линеаризация функции двух и трех переменных. Использование полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Сведения из теории

Из теории функций двух переменных известно, что, если функция имеет в точке непрерывные частные производные и , то ее приращение , порожденное приращениями переменных и , представимо в виде .

Символ означает, что, если и стремятся к нулю, то слагаемое стремится к нулю еще быстрее. Если это слагаемое отбросить, то получится приближенное равенство

.

Выражение, которое осталось справа, называется полным дифференциалом функции двух переменных . Обозначение . Если символы и заменить символами и , называемые дифференциалами и , то полный дифференциал примет вид .

Из определения полного дифференциала следует, что для любой фиксированной точки разница между точным приращением функции , порожденным приращениями и , и дифференциалом , вычисленным в точке , есть величина бесконечно малая, т.е. . Отсюда следует цепочка приближенных равенств :



Если обозначить , , соответственно , , то приближенная формула примет вид

.

Поясним смысл этой формулы: исходная функция с произвольной формулой в окрестности точки заменяется на линейную функцию двух переменных вида . Главное достоинство последней функции  простота вычисления. Для этой замены есть название  линеаризация функции.

Геометрически линеаризация функции двух переменных означает замену ординаты поверхности, являющейся графиком функции , на ординату касательной плоскости, проведенной к графику функции, в точке .

Для функции трех переменных полный дифференциал имеет вид . Линеаризация функции трех переменных в окрестности точки задается следующим приближенным равенством

.

Рассмотрим на примере, как линеаризация функции используется для приближенного вычисления значений функции при «неудобных» значениях переменных.

Пример. Вычислить приближённо с помощью полного дифференциала значение выражения .

Решение. Прежде всего, нужно ввести функцию, частным значением которой является искомое выражение. В данном примере это будет функция трех переменных . Искомое выражение является ее значением при . Далее нужно подобрать значения , , такие, чтобы они, во-первых, были близки к , , и, во-вторых, значение функции вычислялось легко. Таковыми являются , , . Легко вычислить . Линеаризацию функции нужно проводить в окрестности точки . Для этого вычислим значения частных производных в точке .

;

;

Формула линеаризации функции имеет вид:

.

Тогда .

Ответ. .

Сведения из теории

Напомним, что экстремумы бывают двух типов максимумы и минимумы. Экстремумы характеризуют функцию локально, только в окрестности некоторой точки. Это вытекает из самого определения экстремума.

Определение. Говорят, что функция двух переменных имеет максимум ( минимум ) в точке , если существует окрестность этой точки, для всех точек которой выполняется неравенство (соответственно для минимума ).

Доказано, что функция может принимать максимум или минимум только в тех точках, в которых и или эти частные производные не существуют. Известно также, что условие еще не гарантирует наличие экстремума в точке . Для этого еще должны выполняться так называемые достаточные условия экстремума. Они формулируются в виде теоремы.

Теорема (достаточные условия экстремума)

Пусть в точке частные производные или эти частные производные не существуют. Вычислим для этой точки три числа: . По ним вычислим выражение . Тогда:

1. если , то экстремум есть, при этом, если число , то минимум, а если , то максимум;

2. если , то экстремума нет;

3. если , для исследования функции на экстремум нужны дополнительные исследования с использованием частных производных более высокого порядка.

Пример. Исследовать на экстремумы функцию .

Решение.

Прежде всего, найдем точки, в которых частные производные и равны нулю: . Система имеет два решения и .

Далее найдем формулы частных производных 2-го порядка.

.

Сначала исследуем достаточные условия для точки .

.

Вычислим , следовательно, в точке экстремума нет.

Теперь исследуем достаточные условия для точки .

.

Вычислим , следовательно, в точке экстремум есть. Так как , то минимум. Вычислим его

.

Ответ. .

Исчисление III — Дифференциалы

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.

е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 13.5: Дифференциалы

Это очень короткий раздел, и он здесь просто для того, чтобы признать, что точно так же, как у нас были дифференциалы для функций одной переменной, мы также имеем их для функций более чем одной переменной. Кроме того, как мы уже видели в предыдущих разделах, когда мы переходим к более чем одной переменной, все работает практически одинаково, но есть небольшие отличия.

Для заданной функции \(z = f\left( {x,y} \right)\) дифференциал \(dz\) или \(df\) определяется выражением,

\[dz = {f_x}\,dx + {f_y}\,dy\hspace{0.5in}{\mbox{or}}\hspace{0. 5in}df = {f_x}\,dx + {f_y}\, dy\]

Существует естественное расширение функций трех и более переменных. Например, для данной функции \(w = g\left({x,y,z} \right)\) дифференциал определяется как

\[dw = {g_x}\,dx + {g_y}\,dy + {g_z}\,dz\] 93}}}дс\]

Обратите внимание, что иногда эти дифференциалы называются общими дифференциалами .

многомерное исчисление — В чем именно разница между производной и полной производной?

Все ли согласны с тем, что плакат пришел к правильному ответу?

Люди пишут $$\frac{\partial}{\partial t}g(x(t),t)$$ или $$\frac{\text{d}}{\text{d} t}g( x(t),t)$$

Первое обычно используется для обозначения «производной функции $g$ по второму аргументу». Второй обычно означает «полная производная». Есть вариации на этот счет. Некоторые опускают аргументы и просто пишут, например, $\frac{\partial}{\partial t}g$

Так, например: если $x$ является скрытой функцией $t$, то обозначение $\frac{d}{dt}f(x,t)$ называется полной производной и является сокращением для ( производная с одной переменной) $g′(t)$, где $g(t)=f(x(t),t)$. При применении цепного правила к последнему выражению вам понадобится какой-то способ обозначить «производную от f по ее первому аргументу». Многие люди написали бы для этого $\frac{\partial}{\partial x}f$, но во многих случаях это сбивает с толку, как я объясню в примере ниже.

Широко распространенная здесь математическая нотация многих сбивает с толку, и я думаю, что в ней нет необходимости. Если вы хотите взять полную производную, явно создайте функцию (например, $g$ выше) и возьмите производную с одной переменной. В противном случае объяснение разницы между полными и частными производными потребует от вас таких призывов, как временная фиксация переменных или утверждение, что переменная фактически постоянна, или переключение между представлением о $x$ как о функции и как о выражении. Все это нечеткие вещи, которые вы можете успешно делать, когда уже чувствуете себя комфортно в том, что происходит. Но в противном случае стоит хорошенько подумать о том, что происходит на самом деле. 92$. В этом случае многие напишут

$\frac{\partial}{\partial x}w$ и

$\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)$

(которые эквивалент). В этом есть смысл. В обоих случаях справа от дифференциального оператора находится выражение, содержащее $x$ и $y$. То, что получается в результате применения этого оператора, также является выражением в тех же переменных. Это также относится к тому, что означает $\frac{d}{dx}$. Для конкретных выражений выше я бы просто использовал это. 92$. Переменные, фигурирующие в определении функции, строго говоря, невидимы для остального мира. Это просто удобный способ заявить, что «$f$ — это функция, которая принимает два аргумента. Она возводит в квадрат первый, возводит в квадрат второй и возвращает сумму квадратов». Вместо того, чтобы записывать это предложение (что люди должны были делать, прежде чем изобрести лучшую нотацию), вы можете вместо этого дать имена аргументам $f$, чтобы вы могли легко ссылаться на них при определении $f$.

Но когда вы пишете $\frac{\partial}{\partial x} f$, вы используете некоторое знание того, как вы определили $f$ — что вы выбрали имя $x$ для первого аргумент. Может быть полезно иметь имена для аргументов функции, а не просто ссылаться на их позицию (первый, второй и т. д. аргумент), поэтому частичная нотация сохранилась, но я думаю, что для этого нотация должна быть улучшена.

Когда пишут $\frac{\partial}{\partial x} f$, обычно имеют в виду «функцию, которая принимает два аргумента и возвращает чувствительность $f$ к первому аргументу». Итак, если вы в какой-то момент $(a,b)$ или $(x,y)$ или что-то еще, и вы качаете первый аргумент $a$ или $x$, насколько сильно колеблется вывод $f$ ? Это вопрос, на который должен ответить градиент функции. Вероятно, это то, что кто-то имеет в виду, когда говорит «нормальная производная». Они думают только об одной функции, возможно, с несколькими аргументами. И они пытаются сделать объект, который говорит вам, насколько чувствителен вывод функции к изменению каждого из входов.

Общая производная от обычно означает, что где-то вы неявно определили какие-то новые функции. В этом случае вы составили функции $x(r,\theta) = r \sin(\theta)$ и $y(r,\theta) = r \cos(\theta)$, и вы можете скомпоновать эти функции , создавая новую функцию: $$g(r,\theta) = f(x(r,\theta),y(r,\theta))$$

Еще раз обратите внимание, что $r$ и $\theta$ выбраны только для того, чтобы дать человеческая информация о значении этой функции. Если бы мы обрабатывали вещи чисто символически, то определение $g$ могло бы также быть

$$g(input_1,input_2) = f(x(input_1,input_2),y(input_1,input_2))$$

Итак, когда задача попросила вас найти $\frac{\partial}{\partial r} w$ есть две, в итоге идентичные, интерпретации того, что это значит. Либо создайте функцию $g$, как я сделал выше, и сообщите ее чувствительность по отношению к первому аргументу. ИЛИ подставьте выражения для $x$ и $y$ в выражение для $w$. Теперь у вас есть выражение для $w$ через $r$ и $\theta$. Я предпочитаю подход, который думает о функциях. Вот как мы организуем код, и я думаю, что именно так мы должны организовать математику. Когда вы имеете дело с выражениями, у вас фактически есть тонна глобальных переменных.

Так как же нам вычислить $\partial_1 g$, что является просто обозначением для «создать функцию с той же арностью (количеством входных данных), что и $g$, так, чтобы она вычисляла производную функции $g$ относительно его первого аргумента»? Это просто цепное правило.

$$[\partial_1 g](r,\theta) = [\partial_1 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 x](r,\theta ) + [\partial_2 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 y](r,\theta)$$

Мы можем понять, почему, размышляя о вещах в этом способ не популярен! Но это самый ясный, самый механический способ думать об этом. В противном случае вы полагаетесь на неявный каламбур $x$ как функции и выражения. Выберите один и придерживайтесь его! 92$ и, следовательно,

• $[\partial_1 f](x,y) = 2x$
• $[\partial_2 f](x,y) = 2y$

$x(r,\theta) = r\sin(\theta)$ и, следовательно,

• $[\partial_1 x](r,\theta) = \sin(\theta)$

аналогично

• $[\partial_1 y](r,\theta) = \cos(\theta)$

ДАЛЕЕ, хотя в данный момент нам это не нужно

• $[\partial_2 x](r,\theta) = r\cdot \cos(\theta)$
• $[\partial_2 y](r,\theta) = -r\cdot \sin(\theta)$

Итак, снова функция

$$[\partial_1 g](r,\theta) = [\partial_1 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\ partial_1 x](r,\theta) + [\partial_2 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 y](r,\theta)$$

подстановка функции, которые мы только что вычислили:

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2x(r,\theta) \cdot \sin(\theta) + 2y(r,\theta) \cdot \cos( \theta)$$

и подставив $x$ и $y$

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2r\sin(\theta) \cdot \sin(\theta) + 2r\ cos(\theta) \cdot \cos(\theta)$$

, что после использования той самой триггерной идентификации, которую вы использовали, равно

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2r$$

Еще один способ сделать то же самое:

Когда вы видите обозначение $g'(x)$, вы можете сгруппировать это как $[g’](x)$.