12. Понятие вектора
Существуют величины, которые характеризуются помимо своей величины ещё и направленностью. Это скорость, ускорение, сила, смещение материальной точки и т. п. Можно абстрагироваться от конкретной физической величины и считать, что вектор — это направленный отрезок. Определение: вектор — это направленный отрезок.
Будем обозначать вектор AB. А — начало вектора, В — конец вектора.
— означает длина вектора (символ модуля).
Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.
Важное свойство векторов — коллинеарность. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Теперь сформулируем понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Два нулевых вектора считаются равными.
равные неравные
Из определения равенства векторов следует, что мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения.
Определим линейные операции над векторами.
Сложение. Суммой двух векторов Называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало приложено к концу вектора .
Геометрически это можно изобразить правилом треугольника:
Правило сложения векторов обладает теми же четырьмя свойствами, что и правило сложения вещественных чисел:
1. (переместительное свойство).
2. (сочетательное свойство).
3. Существует нулевой вектор, такой, что .
4. Для каждого существует такой что .
Эти свойства доказываются геометрическими построениями. К примеру свойство 1:
Эти свойства позволяют оперировать с векторами так же как и с вещественными числами.
Определим, наконец, операцию умножения вектора на вещественное число.
Произведением называется вектор, коллинеарный , имеющий длину и имеющий направление, совпадающее с если И противоположное, если .
Геометрический смысл умножения — вектор растягивается в раз.
Операция умножения обладает тремя свойствами:
5. (распределительное свойство относительно суммы векторов).
6. (распределительное свойство относительно суммы чисел).
7. (сочетательное свойство).
Доказываются эти свойства тоже графически.
Рассмотрим Теорему 1. Если вектор Коллинеарен вектору , то существует такое вещественное число , что .
Совместим И . В силу коллинеарности они окажутся на одной прямой. Т. е.
O
(*)
Докажем, что . Т. е. что длины их равны, направления совпадают, коллинеарны.
Коллинеарность вытекает из определения произведения И коллинеарности И , равенство длин непосредственно из определения произведения и (*). Наконец, опять из определения произведения следует, что если , направления совпадают, и если , то И — противоположно направлены.
Определение 1. Линейной комбинацией n векторов мы называем сумму вида
Где — вещественные числа.
Определение 2. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство:
Если все , то такие векторы называются линейно независимыми.
Докажем Теорему 2. Если среди N Векторов хотя бы один нулевой, то эти векторы являются линейно зависимы. Доказательство: пусть для определённости . Тогда выполняется равенство:
Где .
И по определению линейной зависимости эти векторы линейно зависимы.
Теорема номер три: если среди П Векторов Какие либо (П-1) линейно зависимы, то и все П являются линейно зависимы.
Действительно: линейная зависимость (П-1) векторов означает:
Добавим сюда равное 0 слагаемое и получим ,
Где не все равны нулю, т. е. теорема доказана.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Векторы: определение и основные понятия
Онлайн калькуляторы
На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.
Справочник
Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!
Заказать решение
Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!
Главная Справочник Векторы
Графически вектор изображается в виде направленного отрезка прямой определенной длины. Вектор, начало которого находится в точке , а конец – в точке , обозначается как (рис. 1). Также вектор можно обозначать одной маленькой буквой, например, .
Если в пространстве задана система координат, то вектор можно однозначно задать набором своих координат. То есть под вектором понимается объект, который имеет величину (длину), направление и точку приложения (начало вектора).
Начала векторного исчисления появились в работах в 1831 году в работах немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Иоганна Карла Фридриха Гаусса (1777-1855).
Длина (модуль) вектора
Основные виды векторов
Нулевым вектором называется вектор , у которого начальная точка и конечная точка совпадают. Длина нулевого вектора равна нулю.
Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называют 
2).
Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.
На рисунке 2 – это векторы и . Сонаправленность векторов обозначается следующим образом: .
Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если их направления противоположны.
На рисунке 3 – это векторы и . Обозначение: .
Три вектора, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называют компланарными (рис. 3).
Два вектора и называются равными, если они являются сонаправленными и их длины равны (рис. 4):
Единичным вектором или ортом называется вектор единичной длины.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Лидерство — векторные концепции
Leadershipsite.
dev2022-04-08T08:13:23-05:00
Тим Уоткинс
Совладелец, президент
Тим Уоткинс, основатель и президент Vector Concepts, имеет более чем 40-летний опыт работы в индустрии напольных покрытий. и более 31 года руководил собственной компанией. Он начал свою карьеру в индустрии медицинского оборудования, но принял судьбоносное решение заняться напольными покрытиями, когда встретил Терри Эдвардса и начал продавать ковровые покрытия Edwards Carpet Services, которые занимались исключительно коммерческой укладкой. В 19В 91 году Тим и его племянник Джоди Скаггс совершили предпринимательский прыжок веры и открыли двери Vector Concepts. Тим и Джоди были концептами компании Vector, и у них есть забавные воспоминания о том, как демонстрировали полы посреди ночи на стройплощадках до того, как их установщики прибыли утром.
Подробнее
Они контролировали все аспекты деятельности компании, и она начала быстро расти. Теперь он наблюдает за всеми операциями компании, а также проверяет каждый проект на предмет успешного удовлетворения клиентов и прибыльности.
Тим очень любит ходить на работу каждый день, и семья Векторов значит для него целый мир. Тим уроженец Далласа, штат Техас, но также жил в Хьюстоне в начале 19-го века.80-е годы. Тим и его сыновья всегда увлекались экстремальными видами спорта, и Тим начал строить и летать на радиоуправляемых моделях своих мальчиков, когда они были малышами. Его магазин хобби всегда был самой важной комнатой в его доме. Он также любит путешествовать, Кабо-Сан-Лукас является одним из его любимых мест отдыха. Он также любит исторические места. Его семейное время в конечном счете является самым важным для него; проводить выходные у бассейна летом — одно из его любимых занятий с женой Келли, которой 41 год, и сыновьями Чейзом и Кэмероном. Тим также любит играть в гольф и кататься на велосипеде. Тим является одним из первых членов правления и основателем молитвенной комнаты Колливилля, а также много лет является членом церкви Gateway. Его вера стоит на первом месте и совершенно очевидна в его лидерстве, а также в его участии в жизни общества.
Тим является решительным сторонником любимых благотворительных организаций Vector, а также поддерживает Light of Light International и Индийскую евангельскую миссию, которая обеспечивает образование и проповедует Евангелие в Центральной Америке и Индии.
Джоди Скаггс
Совладелец, вице-президент, секретарь и казначей
Джоди Скаггс выступает в качестве вице-президента, секретаря и казначея, но на самом деле он является соучредителем Vector Concepts. Его блестящая карьера в области напольных покрытий началась в апреле 1983 года. После работы в различных компаниях, производящих напольные покрытия, Джоди стал партнером Тима Уоткинса и открыл Vector в 1991 году. Ранней работой Джоди в Vector было планирование рабочей силы и складские обязанности. Джоди искренне верит, что его основная роль как владельца заключается в обеспечении того, чтобы у тех, кто работает в венчурном капитале, были инструменты для достижения успеха в своей работе.
Подробнее
Сегодня он готовит сметы, выступает в качестве менеджера проекта, закупает товары и сотрудничает с отделами операций, продаж и спорта компании Vector.
Он всегда готов протянуть руку помощи или свои знания тому, кто в этом нуждается. Его характерный смех можно услышать в любое время в стенах Вектора. Он любит в шутку предупреждать сотрудников, если они стоят высоко на складских стеллажах, вилочных погрузчиках или даже на своих столах: вы упадете — вас уволят еще до того, как вы упадете на землю! Джоди особенно благодарен за то, что он может работать со своими друзьями. В свободное от «Вектора» время Джоди наслаждается своим местом на озере Царство Поссумов, тихо сидит на заднем дворе, читает и часами наблюдает за колибри или играет в гольф со своими приятелями. Его любимое времяпрепровождение на выходных — тусоваться у бассейна или на берегу озера со своими близкими, держа в руке любимый напиток. Настоящий уроженец Далласа, штат Техас, Джоди живет со своей женой Терри и любит проводить время со своими двумя дочерьми и двумя сыновьями. У них тоже 9внуки: 6 девочек и 3 мальчика. Он любит все виды спорта и является большим поклонником команд DFW.
Как лидер, Джоди по-прежнему сосредоточен на Божьем плане для него. Семья Скаггсов посещает церковь Gateway в Норт-Ричленд-Хиллз и поддерживает благотворительную организацию «Семейное наследие», организацию «Заинтересованные женщины для Америки», «Дети во всем мире» и другие организации, которые приходятся по сердцу ему и Терри.
Билл Остин
Вице-президент по продажам и маркетингу
Билл является руководителем отдела продаж с большим опытом работы в области продаж, тренингов по продажам, переговоров по контрактам, маркетинга и развития бизнеса. Он был особенно эффективен в демонстрации положительного увеличения доли рынка, увеличения прибыльности и роста доходов при одновременном управлении затратами. Г-н Остин оттачивал эти навыки на протяжении всей своей разнообразной карьеры.
Подробнее
В течение последних двадцати с лишним лет Билл занимал различные руководящие должности, последние 16 лет он работал в компании Vector Concepts в должности вице-президента по продажам и маркетингу.
До того, как присоединиться к Vector, он провел часть своей карьеры с несколькими крупными производителями как в мире спортивных, так и коммерческих напольных покрытий, найдя то, что кажется нишей карьеры после игры в баскетбол в колледже. Его уникальная формула успеха и стремление помочь сделать Vector поставщиком решений в отрасли способствовали расширению, росту и известности компании. Твердо убежденный в том, что «воля к победе важна, но воля к подготовке жизненно важна», он разрабатывает планы и стратегии развития бизнеса при достижении целей компании. Билл стремится создать культуру успеха для постоянного бизнеса и достижения целей, а также обеспечить лидерство и координацию продаж компании, обеспечивая прибыльный рост. Он направляет и координирует функции продаж и маркетинга компании, а также анализирует эффективность продаж, методы, затраты и результаты. Он тесно сотрудничает с высшим руководством, отделом развития бизнеса венчурного капитала, операционным отделом и обоими отделами продаж в коммерческом и спортивном подразделениях.
Родившийся и выросший в Северной Каролине, Билл сейчас проживает в МакКинни со своей женой Джейн. У них три дочери Энсли, Руби и Мэгги, а также двое внуков Кэролайн Грейс и Остин. Билл любит играть в гольф, путешествовать, рыбачить и охотиться.
Майк Харрис
CPA, вице-президент и финансовый директор
В качестве финансового директора Майк работает с владельцами, чтобы обеспечить финансовую целостность компании. В его обязанности входят корпоративное управление, управление рисками, банковское дело, управление персоналом, бухгалтерский учет и финансы. Майк имеет степень по управлению бизнесом Техасского университета и является лицензированным дипломированным бухгалтером. Его опыт включает десять лет в области слияний и поглощений и прогрессивной финансовой ответственности в промышленных, производственных, дистрибьюторских, строительных и сервисных компаниях. Организации, в которых он работал, включают конгломераты стоимостью 6 миллиардов долларов и стартапы венчурного капитала.
Подробнее
Родом из Оклахомы, Майк в настоящее время живет в Бедфорде, штат Техас, со своей женой Кимберли. У него двое взрослых детей, Крис и Аманда, и внук Логан. Майк жил в Талсе, Филадельфии, Хьюстоне, Остине и когда-то в Абу-Даби. Майку повезло, что он много путешествовал по Азии, Австралии, Новой Зеландии, Южной и Центральной Америке. Он работал на форуме преподавателей TSCPA и в качестве волонтера CPA Jobs Workshop. Проводя время со своими детьми, Майк был индейским гидом YMCA, офицером племени индийских принцесс и лидером нации. Он также является спонсором и волонтером многочисленных благотворительных организаций. Майк остается заядлым скалолазом и искателем приключений. Он является членом Access Fund и Американского альпийского клуба; он участвовал во многих командных видах спорта и боевых искусствах. Он шутит: «Жизнь научила меня никогда не запускать бензопилу, держа на руках кошку… но я все равно иногда это делаю. Просто спроси у моей жены».
Билли Дотсон
Директор по коммерческим операциям
Билли Дотсон недавно отметил 28-летие работы в Vector.
Можно сказать, индустрия напольных покрытий у него в крови. Билли начал работать со своим отцом еще до того, как стал достаточно взрослым, чтобы ходить в школу; повзрослев, он продолжал работать, изучая ремесленные приемы, и, став взрослым, сам стал подрядчиком по укладке полов. Его отец был установщиком напольных покрытий, который в 1919 году перевез свою семью из Далласа в Восточный Техас.71 и открыл магазин напольных покрытий. Билли встретил Бренду, девушку своей мечты, в 1978 году; они поженились в 1979 году и провели последние 43 с лишним года, наслаждаясь множеством благословений в своей жизни. Семья вернулась в Даллас в 1980 году и продолжала укладывать все виды напольных покрытий, в конечном итоге специализируясь на спортивных напольных покрытиях.
Подробнее
Билли неосознанно прокладывал курс, который должен был привести к Vector Concepts. В 1989 году Билли познакомился с Тимом Уоткинсом и Джоди Скаггсом и начал устанавливать для них. Когда Тим и Джоди основали Vector Concepts в 19В 91 году Билли присоединился к ним и стал первым штатным координатором установки/кладовщиком.
Благодаря обаятельному характеру Билли и его способностям решать проблемы, в 1995 году Тим убедил его заняться продажами и управлением проектами. Затем в 2010 году Билли был выбран для наблюдения за всеми аспектами операционной стороны бизнеса. Если есть проблема, работа Билли — организовать решение. Когда Билли не выступает в роли «Фиксатора» в «Векторе», он и Бренда любят путешествовать, смотреть гонки Sprint Car и бродить по антикварным торговым центрам. Их семья пополняется детьми Бадом и Эмбер, невесткой Ким, 3 внуками (Колби, Джексон и Тафф) и 1 внучкой (Лэндри). Билли сразу же говорит: «Я счастлив, что провел последние 33 с лишним года, каждый день узнавая все больше об индустрии напольных покрытий под руководством Тима и Джоди, двух величайших людей, которых я когда-либо знал».
Concepts App • Flexibel zeichnen ohne Grenzen
Concepts App • Flexibel zeichnen ohne GrenzenDownload Lernen
Große Ideen zeichnen, planen, beatebeiten und teilen.
Empfohlen von führenden Kreativen bei:
Der Beginn eines jeden Projektes
Alles ist geplant.
Unsere Häuser und Krankenhäuser, Mobiltelefone und Websites, unsere Videospiele und Jetpacks … все unsere Ideen beginnen als Konzepte, die mit der Zeit wachsen.
Concepts (die App) ist eine erweiterte Version des Skizzenpapiers, bei der natürliche Werkzeuge auf Vektor-Manipulation treffen, so dass Ideen sich ändern und wachsen können, wie Sie es tun.
Als Produktdesigner benötige ich ein Werkzeug mit der Flexibilität eines Traditionalellen Skizzenbuchs, aber mit der Geschwindigkeit und Vielseitigkeit eines digitalen Zeichenwerkzeugs. Понятия ermöglicht es mir, schneller zu wiederholen und dabei flexibel und kreativ zu bleiben.
Даниэль Амара, дизайнер
Unabhängig von der Auflösung
Concepts wird von unserer Hybrid-Vektor-Raster-Fluid-Engine der Nächsten Generation der Nächsten Generation betrieben — 64-Bit-Präzision mit Multi-Thread-Rendering, eine unendliche in Zoom Stcharfand mit s -Stufe und von Grund auf mobil.
Auf Leistung getrimmt
Optimiert für leistungsstarke 120-Hz-Displays und Eingabestifte mit extrem niedrigen Latenzzeiten, wie der Apple Pencil und Surface Pen, ist Conceptsreaktionsschneller als jedes andere Zeichenprogramm.
Genau wie Papier, nur besser.
Skizzieren ohne Verpflichtung
Machen Sie schnelle Iterationen oder erkunden Sie glückliche Zufälle — Concepts ist flexibel bis ins Mark. Nehmen Sie alles, was Sie je gezeichnet haben, mit einem Tippen-und-Halten auf, kopieren Sie es, vermessen Sie es, ändern Sie das Werkzeug oder die Linienstärke oder die Farben oder werfen Sie es einfach weg. Es ist die Schönheit Traditionaleller Werkzeuge mit der Leistungsstärke von Vektoren.
Узнайте больше о том, что делает Concepts уникальным >
Die Fähigkeit, mit einem Tool wie Concepts auf dem iPad mit echter Genauigkeit zeichnen zu können, hat meinen Arbeitsfluss grundlegend verändert. Jetzt leben sowohl die ersten Skizzen als auch die ausgefeilteren Produkte Seite an Seite в плотном Dokumenten, und ich kann von Freihand zu hochtechnischen Zeichnungen wechseln, ohne auch nur zu einem neuen Dokument wechseln zu müssen.
Тимони Уэст, главный дизайнер Unity Technologies
Der Einstieg in Concepts ist einfach, unabhängig von Ihrem Budget und Ihren Bedürfnissen.
iOS и iPadOS
Concepts 6.x
Windows, Android и Chrome OS
Concepts 2022.x
Die Grundlagen
Создавайте собственные кисти, манипулируйте чем угодно с помощью расширенных преобразований, используйте точные инструменты и формы , Экспортируйте как в векторные форматы, так и в форматы высокого разрешения, такие как SVG, DXF или PSD.
Die Grundlagen
Манипулируйте чем угодно, используйте бесконечные слои, точные инструменты и формы, импортируйте изображения и экспортируйте как в векторные форматы, так и в форматы высокого разрешения, такие как SVG, DXF или PSD.
Pinsel- und Objektpakete
Beschleunigen Sie Ihren Prozess mit unserer professionalellen Bibliothek lizenzfreier Pinsel und Objekte.
Pinselpaket
Verleihen Sie mit unserer professionalellen Pinselbibliothek schnell Stil.
Erstellen Sie Ihre eigenen Objekte
Benutzerdefinierte Drag-and-Drop-Bibliotheken gestalten wiederkehrende Abläufe schnell und zuverlässig.