Уравнение окружности
Прежде всего, давайте вспомним, формулу расстояния между двумя точками и еще, повторим, что уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии l, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии l и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Сегодня на уроке мы попробуем по геометрическим свойствам линии найти ее уравнение.
В качестве линии рассмотрим окружность радиуса с центром в точке .
Пусть центр
окружности имеет координаты . Возьмем на
окружности произвольную точку . Запишем формулу
расстояния между точками C и M.
Мы знаем, что длина отрезка, который соединяет любую точку на окружности с
центром окружности – это радиус. Поэтому можно записать, что MC
равно r. Возведем MC в квадрат
и получим уравнение MC2 = r2.
Заменим MC2 квадрат на выражение и получим, что если
точка лежит на окружности с радиусом r и центром в
точке C, то координаты этой точки удовлетворяют
уравнению .
Задача. Записать уравнение окружности с радиусом и центром в начале координат.
Решение.
Начало координат имеет координаты (0;0). Подставим их в уравнение окружности и получим, что уравнение окружности с радиусом r и центром в начале координат имеет вид
.
Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .
Решение.
Запишем общее
уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего,
определимся с координатами центра окружности. Это будут числа 5 и 3. Теперь
давайте определим величину радиуса окружности.
Поскольку в правой части формулы стоит квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень из 4. Получим 2.
Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами пять три и радиусом равным двум.
Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .
Решение.
Запишем общее уравнение окружности и проанализируем исходное уравнение. Прежде всего определимся с координатами центра окружности.
Это будут числа -4 и 2. Теперь давайте определим величину радиуса окружности.
Задача. Начертить окружность, заданную уравнением .
Решение. Уравнениями
такого типа описываются окружности с центром в начале координат. Теперь давайте
определим величину радиуса окружности. Поскольку в правой части формулы стоит
квадрат радиуса, то для того, чтобы найти радиус надо извлечь квадратный корень
из 9.
Значит наша формула задает окружность с центром в точке с координатами (0;0) и радиусом равным 3.
Теперь давайте попробуем решить задачу обратную данным.
Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.
Как и в предыдущих задачах мы начнем с определения координат центра окружности. Сделать это нетрудно. Центр этой окружности совпадает с началом координат, поэтому центр окружности имеет координаты (0;0).
Нетрудно заметить, что радиус окружности равен 4.
Запишем уравнение окружности и подставим найденные значения.
Ответ: .
Решим еще одну задачу.
Задача. Составить уравнение окружности, которая показана на рисунке.
Решение.
– центр окружности
– радиус окружности
Ответ:.
Задача. Составить
уравнение окружности, которая показана на рисунке.
Решение.
– центр окружности
– радиус окружности
Ответ:.
Решая задачи, мы с вами выполняли один и тоже порядок действий. Давайте еще раз повторим этот порядок.
Для того, что бы составить уравнение окружности и построить ее надо:
1. Найти координаты центра окружности.
2. Найти длину радиуса этой окружности.
3. Записать уравнение окружности.
4. Подставить полученные значения в уравнение окружности.
5. Построить окружность, если это требуется для решения задачи.
Рассмотрим еще одну задачу.
Написать уравнение окружности с диаметром эм эн, если точка эн имеет координаты два три, точка эм имеет координаты шесть три.
Задача. Написать уравнение окружности с диаметром , если , .
Решение.
Найдем координаты
центра окружности. Центр окружности является серединой диаметра.
Воспользуемся
формулами для нахождения координат середины отрезка.
Получим, что центр окружности имеет координаты .
Теперь определим радиус окружности. Для этого найдем расстояние от центра окружности до концов диаметра.
Запишем общее уравнение окружности и подставим в него найденные значения. Тогда получим, что уравнение данной окружности имеет вид:
Ответ: .
Подведем итоги урока.
На сегодняшнем уроке мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в точке С (x0; y0) и радиусом r.
Также мы познакомились с формулой, которая задает окружность с центром в начале координат и радиусом r.
Мы рассмотрели задачи на составление уравнения окружности по рисунку и на построение окружности по заданному уравнению.
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | sin(30 град. ) | ||
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) | |
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
Уравнение окружности | Brilliant Math & Science Wiki
Праншу Габа, Эндрю Эллинор, Тарун Сингх, и
способствовал
Содержимое
- Общее уравнение окружности
- Стандартное уравнение окружности
92 + 2gx + 2fy + c = 0.
2\) .Если у нас есть точка \(O=(a,b)\) на плоскости и радиус \(r\), то мы можем построить единственный круг.
Мы находим геометрическое место точки, которая движется таким образом, что ее расстояние \(r\) от другой точки (\(a,b\)) всегда постоянно. Теперь, если \(P=(h,k)\) является любой точкой уникальной окружности с центром \(O\) и радиусом \(r\), расстояние от \(O=(a,b)\) до \(P=(h,k)\) должно быть \(r\).
Локус P 92. \]
Сравнивая со стандартным уравнением, мы видим, что \(a=b=0.\) Следовательно, центр окружности является началом координат , а его радиус равен \(5\)! \(_\квадрат\)
Каково значение \(k\) на рисунке ниже?
Рисунок
Поскольку это круг и он касается как оси \(x\), так и оси \(y\), его расстояние от обеих осей должно быть одинаковым.
Поскольку он находится в \(3\) единицах от оси \(x\), он должен быть в \(3\)-единицах от оси \(y\). Следовательно,\[k = 3.\ _\квадрат\]
Другим способом выражения уравнения окружности является диаметральная форма.
Предположим, что на окружности есть две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), такие, что они лежат на противоположных концах одного и того же диаметра, тогда уравнение окружности можно записывается как
\[(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y — y_2) = 0.\]
Предположим, что 2 точки на окружности \(A= (x_1, y_1)\) и \(B= (x_2, y_2)\) диаметрально противоположны, тогда для любой точки \(C= (x, y)\) на круг, \(\треугольник ABC\) будет прямоугольным треугольником с прямым углом в \(C\). Отсюда следует
\[\начать {выравнивание} AC &\perp BC\\ (m_{AC}) \cdot (m_{BC}) &= -1\\ \left(\dfrac{y — y_1}{x — x_1}\right) \cdot \left( \dfrac{y — y_2}{x — x_2}\right)&= -1. \конец{выравнивание}\]
Так как \(x\) может быть равно \(x_1\) и \(x_2\),
\[\начать {выравнивание} (y-y_1)(y — y_2 ) &= — (x — x_1) (x- x_2)\\ (x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y — y_2) &= 0.
\ _\квадрат
\конец{выравнивание}\]Найдите уравнение наименьшей возможной окружности, проходящей через точки \((2,6)\) и \((-4, 3).\)
Круг был бы наименьшим, если бы две точки были конечными точками диаметра круга.
Мы можем использовать диаметральную форму, чтобы получить
\[\начать {выравнивание} (х — 2) (х — (-4)) + (у — 6) (у — 3) &=0\\ (х — 2)(х + 4) + (у — 6)(у — 3) &=0. \ _\квадрат \конец{выравнивание}\]
Процитировать как: Уравнение круга. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/conics-circle-standard-equation/
Уравнение окружности (примеры вопросов)
Окружность — это множество всех точек на плоскости, равноудаленных от центральной точки. Радиус окружности — это отрезок, концы которого находятся в центре и в любой точке на окружности окружности.
Примеры вопросов по уравнениям окружности
Окружность на координатной плоскости имеет радиус 5 единиц, а ее центр находится в точке (0, 0).
2\) .
Поскольку он находится в \(3\) единицах от оси \(x\), он должен быть в \(3\)-единицах от оси \(y\). Следовательно,
\ _\квадрат
\конец{выравнивание}\]