Построение параметрических графиков: Построение графика функции, заданной параметрически online

Поскольку мы говорим о параметрических функциях, нас интересует оценка функции на последовательности вещественных значений в пределах интервала. Для этого мы используем функцию arange() в NumPy.

Функция np.arange(start, stop, step) создает массив NumPy со значениями в интервале (start,stop) с приращением шага, то есть мы идем от start до stop-1 с определенным шагом step.

Наш код будет выглядеть так:

interval = np.arange(0, 10, 1)
print(interval)
>>> array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

После создания массива интервалов нам нужно перебрать значения

О генераторах списков можно почитать в статье «Генераторы списков в Python для начинающих».

Функция subs() получает символ t (который мы сохранили в переменной t) и значение каждого из элемента в качестве параметров.

Выглядит это примерно следующим образом:

z_values = [function_z.subs(t, value) for value in interval]
print(z_values)
>>> [0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81]

Мы повторяем эту процедуру для значений x_values ​​и y_values

Наконец, с помощью библиотеки Matplotlib мы создаем график, соответствующий нашей параметрической кривой. В трехмерном случае, чтобы указать Matplotlib, что мы хотим сделать трехмерный график, мы используем следующий оператор:

ax = plt. axes(projection='3d')

Кроме того, мы можем заменить функции и интервал на новые и получить самые разные кривые. Давайте попробуем еще раз, но с другими значениями.

Например, напишем следующий код:

function_x = sp.sympify('2*t + 10')
function_y = sp.sympify('t**2')
function_z = sp.sympify('sin(t**2) + cos(t**2)')
interval = np.arange(-5, 5, 0.05)

Запустим наш код и получим такой график:

Немного поэкспериментируем

Давайте немного поэкспериментируем с нашим кодом: попробуем различные значения и посмотрим, что получится. С помощью параметрических кривых можно создать множество фигур. Некоторые комбинации могут генерировать кривые с уникальной симметрией и красотой.

Если вы хотите поиграть со скриптом самостоятельно, можете открыть эту ссылку и заменить значения для function_x, function_y, function_z и interval. 2') interval = np.arange(-10, 10, 0.1) x_values = [function_x.subs(symbol_x, value) for value in interval] y_values = [function_y.subs(symbol_x, value) for value in interval] z_values = [function_z.subs(symbol_x, value) for value in interval] fig = plt.figure(figsize=(10, 10)) ax = plt.axes(projection='3d') ax.plot(x_values, y_values, z_values) plt.show()

Запустив его, мы получим такой результат:

Поиграйтесь сами и посмотрите, какие удивительные параметрические кривые можно создать!

Построение 2D параметрических кривых

С некоторыми модификациями данный скрипт также можно использовать и для построения двумерных параметрических кривых.

Например, давайте построим двумерный график, полученный путем оценки выражения x = t − 1,6 ∗ cos(24 ∗ t) и y = t − 1,6 ∗ sin(25 ∗ t) на интервале I=[1.5,20.5].

Выглядеть это будет примерно следующим образом:

Для того, чтобы смоделировать параметрическую кривую, показанную выше, можно воспользоваться следующим скриптом:

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.
  pyplot as plt
t = sp.Symbol('t')
function_x = sp.sympify('t - 1.6*cos(24*t)')
function_y = sp.sympify('t - 1.6*sin(25*t)')
interval = np.arange(1.5, 20.5, 0.01)
x_values = [function_x.subs(t, value) for value in interval]
y_values = [function_y.subs(t, value) for value in interval]
plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.plot(x_values, y_values)
plt.show()

Давайте проверим наш код с другими функциями и новым интервалом. К примеру, возьмем следующие значения:

function_x = sp.sympify('4*sin(5*t)')
function_y = sp.sympify('5*cos(3*t)')
interval = np.arange(0, 6.5, 0.001)

Запустим наш скрипт и получим следующий график:

Теперь давайте проделаем это ещё раз, но уже с новыми значениями:

 function_x = sp. sympify('cos(16*t) + (cos(6*t) / 2) + (sin(10*t) / 3)')
function_y = sp.sympify('sin(16*t) + (sin(6*t) / 2) + (cos(10*t) / 3)')
interval = np.arange(0, 3.16, 0.01)

Тогда результат будет таким:

Удивительно! Не правда ли?

Построение математических функций

Как только мы закончили написание скрипта для моделирования параметрических кривых, приходит осознание, что с помощью всего нескольких строк кода мы можем создать плоттер для математических функций как в двух, так и в трех измерениях! Невероятно! Это же так удобно!

К примеру, давайте рассмотрим скрипт для построения графиков математических функций в двух и трех измерениях в интервале от a до b. То есть, консоль запросит у пользователя как функцию, так и значения

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib. pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
symbol_x = sp.Symbol('x')
symbol_y = sp.Symbol('y')
def get_vector(a, b):
    return np.arange(a, b + 1, 0.1)
def plot_2d_function(function, a, b):
    # Create the sympy function f(x)
    f_x = sp.sympify(function)
    
    # Create domain and image
    domain_x = get_vector(a, b)
    image = [f_x.subs(symbol_x, value) for value in domain_x]
    
    # Plot the 2D function graph
    fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
    plt.plot(domain_x, image)
    plt.show()
def plot_3d_function(function, a, b):
    # Create sympy function f(x, y)
    f_xy = sp.lambdify((symbol_x, symbol_y), sp.sympify(function))
    
    # Create domains and image
    domain_x = get_vector(a, b)
    domain_y = get_vector(a, b)
    domain_x, domain_y = np.meshgrid(domain_x, domain_y)
    image = f_xy(domain_x, domain_y)
    
    # Plot the 3D function graph
    fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
    ax = plt.axes(projection='3d')
    ax.plot_surface(domain_x, domain_y, image, 
                    rstride=1, cstride=1, cmap='viridis')
    plt.  show()
    
function = input('>> Enter the function: ')
a_value = float(input('>> Enter the [a, ] value: '))
b_value = float(input('>> Enter the [, b] value: '))
if "x" and not "y" in function:
    plot_2d_function(function, a_value, b_value)
elif "x" and "y" in function:
    plot_3d_function(function, a_value, b_value)
    
else: 
    print("You must enter a function in terms of x and/or y")

Вы можете протестировать приведенный выше скрипт здесь. Запустите скрипт и введите свою конфигурацию функции и интервала.

Например, возьмем следующий код:

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
symbol_x = sp.Symbol('x')
symbol_y = sp.Symbol('y')
def get_vector(a, b):
    return np.arange(a, b + 1, 0.1)
def plot_2d_function(function, a, b):
    # Create the sympy function f(x)
    f_x = sp. sympify(function)
    
    # Create domain and image
    domain_x = get_vector(a, b)
    image = [f_x.subs(symbol_x, value) for value in domain_x]
    
    # Plot the 2D function graph
    fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
    plt.plot(domain_x, image)
    plt.show()
def plot_3d_function(function, a, b):
    # Create sympy function f(x, y)
    f_xy = sp.lambdify((symbol_x, symbol_y), sp.sympify(function))
    
    # Create domains and image
    domain_x = get_vector(a, b)
    domain_y = get_vector(a, b)
    domain_x, domain_y = np.meshgrid(domain_x, domain_y)
    image = f_xy(domain_x, domain_y)
    
    # Plot the 3D function graph
    fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
    ax = plt.axes(projection='3d')
    ax.plot_surface(domain_x, domain_y, image, rstride=1, cstride=1, cmap='viridis')
    plt.show()
    
function = "x*cos(5*x)"
a_value = 0
b_value = 10
if "x" and not "y" in function:
    plot_2d_function(function, a_value, b_value)
elif "x" and "y" in function:
    plot_3d_function(function, a_value, b_value)
    
else: 
    print("You must enter a function in terms of x and/or y")

Запустим его и получим следующий результат:

А теперь давайте поменяем значения на следующие:

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib. pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
symbol_x = sp.Symbol('x')
symbol_y = sp.Symbol('y')
def get_vector(a, b):
    return np.arange(a, b + 1, 0.1)
def plot_2d_function(function, a, b):
    # Create the sympy function f(x)
    f_x = sp.sympify(function)
    
    # Create domain and image
    domain_x = get_vector(a, b)
    image = [f_x.subs(symbol_x, value) for value in domain_x]
    
    # Plot the 2D function graph
    fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
    plt.plot(domain_x, image)
    plt.show()
def plot_3d_function(function, a, b):
    # Create sympy function f(x, y)
    f_xy = sp.lambdify((symbol_x, symbol_y), sp.sympify(function))
    
    # Create domains and image
    domain_x = get_vector(a, b)
    domain_y = get_vector(a, b)
    domain_x, domain_y = np.meshgrid(domain_x, domain_y)
    image = f_xy(domain_x, domain_y)
    
    # Plot the 3D function graph
    fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
    ax = plt.axes(projection='3d')
    ax.plot_surface(domain_x, domain_y, image, rstride=1, cstride=1, cmap='viridis')
    plt. show()
    
function = "x**2 + cos(y**2)"
a_value = -3
b_value = 3
if "x" and not "y" in function:
    plot_2d_function(function, a_value, b_value)
elif "x" and "y" in function:
    plot_3d_function(function, a_value, b_value)
    
else: 
    print("You must enter a function in terms of x and/or y")

Если мы это запустим, то получим такой график:

Заключение

Что ж, вот вы и дошли до конца этой статьи, поздравляем! Сегодня мы обсудили, как построить математический график на Python всего за 10 минут. Мы поговорили про построение различных параметрических кривых в двумерном и трёхмерном пространстве и разобрали процесс построения на примерах. Теперь вы видите, какой завораживающей на самом деле может быть математика! Кроме того, построение параметрических кривых, как вы понимаете, не такой уж и сложный процесс.

Надеемся, данная статья была вам полезна! Успехов в написании кода!

Перевод статьи «How to Plot Mathematical Functions in 10 Lines of Python».

Параметрические кривые

Класс 6.

Задание по чтению на среду, 8 октября

• Стюарт 9.1 и 11.7
• Ознакомьтесь с инструкцией по Лаборатория 4.М (Написание букв с использованием параметризованных кривых)
• Эта веб-страница

Параметрическое представление кривых

1. Сорвиголова Боб мчался на своем мотоцикле по пустыне все быстрее и быстрее. По отношению к его автофургону (и с расстояниями, измеряемыми в милях) его положение в качестве функция времени была дана

   х = 2 cos(1 + t ² ) (восток-запад),

   y = 2 sin(1 + t ² ) (север-юг).

   Он стартовал в полдень ( t = 0 ). В t = sqrt(2*Pi - 1) он очутился в исходной точке и ударил по тормозам. Мы видим, что путь Боба удовлетворяет

   х ² + у ² = 4 ,

   и что, следовательно, это круг с радиусом 2 мили (окружность 4*пи миль).

2. В память о подвиге Боба служба парка построила асфальтированную дорогу вдоль его маршрут. Когда необходимо заполнить выбоины, передовая бригада записывает свои действия. местоположение, отметив их расстояние по дороге от начальной точки. Точка на расстоянии s находится в

   = .

   Областью определения этой вектор-функции является интервал с между 0 и 4*Пи. (Те же уравнения использовались геодезистами при строительстве дороги в первое место.)

3. Сестра Боба, Сара, осталась дома, изучая математический анализ. В одной задаче она встретила круг с уравнением

   х ² + у ² = 4 .

   Она увидела, что невозможно решить y как функция от x , потому что при выборе знака квадратного корня она потеряет половину круга. По той же причине круг не может быть представлен цифрой 9.0002 x как один функция y . Сара поняла, что хороший способ представить круг — это рассматривать x . и y поровну, записав каждое из них как функцию угла, и , по кругу.

   х = 2 cos(u) , у = 2 sin(u) .

Здесь следует отметить несколько концептуальных моментов.

1. В третьем сценарии мы начали с кривой (геометрического объекта) и нашел его параметрическое представление. В первой истории мы начали с параметризации, возникшей как описание движения и вывести из него кривую (или «орбиту»). (Второй сценарий можно рассматривать в любом случае, в зависимости от того, строить дорогу или ремонтировать ее.)
2. Для заданной кривой параметрическое представление не является уникальным. Мы видели три разные пары параметрических уравнений, которые все описывают тот же круг. Вторая и третья параметризации кажутся более простыми и естественными, но первый подходил к конкретной физической задаче. (Параметр расстояния s называется длина дуги и является геометрически естественный способ параметризации произвольной кривой, для которой "угол" не имеет значения. )
3. В первом сценарии параметр имел физическое значение время , такая же "реальная" переменная, как координаты x и y сами себя. В остальных случаях параметр вводился более произвольно, т.е. в основном как инструмент для описания кривой. Наша интуиция движения настолько сильна, что часто используется язык точка, «движущаяся» по кривой даже в более абстрактных ситуациях, когда кривая не имеет механической интерпретации (точно так же, как мы говорим о скалярной ценная функция «изменяется», даже если независимая переменная не является временем).
4. Во втором рассказе мы записали параметризацию как векторнозначную функция параметра, а в двух других случаях мы писали два отдельных скалярные уравнения. Свобода выбора любой из этих точек зрения ценность, как мы увидим ниже при обсуждении скорости.

Легко записать простые параметрические уравнения, такие как

х = т ² ,     у = т ⁵ ,

, которые описывают не очень знакомые кривые. И наоборот, есть знакомые кривые, такие как гиперболы, для которых параметризация может быть не сразу очевидной. В домашнем задании вы увидите множество примеров параметризованных кривых. и в лаборатории 6.М (Полет бейсбольного мяча). Однако наш главный интерес находится в (а) параметризованных кривых абстрактно, как общие двумерные движения в физике; и (б) самые простые случаи, прямые и круги. Мы, наверное, уже достаточно сказали о кругах.

Линия имеет параметрические уравнения

х = х ₀ + v _х т, у = у ₀ + v _у т,

, где x ₀ , y ₀ , v _x , и v _y — константы. Если t меняется через все действительные числа, кривая изображения — вся линия; меньшие интервалы для t сегменты линии доходности. Приятной особенностью параметрического представления является то, что вертикальные линии не следует рассматривать как отдельный случай: это как раз те, для которых v _x = 0 . Два параметрических уравнения могут быть объединены в векторное параметрическое уравнение уравнение

r = r ₀ + v t .

При таком выборе обозначений должно быть ясно, что эта формула описывает движение свободной частицы с начальным положением г ₀ = 0, у ₀ > и скорость v = x, v _y > .

Касательные векторы; векторная скорость и ускорение

В приведенном выше примере вектор скорости v , точки вдоль линии. (В лабораторный раздаточный материал он был построен путем вычитания координат одной точки на линии от чужого.) Отметим также, что его компоненты могут быть получены дифференцированием параметрические уравнения:

v _x = dx/dt, v _y = dy/dt.

Эти производные являются константами (одинаковы для всех т ) в этом особом случае.

Производные более общей системы параметрических уравнений имеют аналогичный значение. Для примера

х = т ² , у = т ⁵ ,

находим

dx/dt = 2t, dy/dt = 5t ⁴ .

Мы можем объединить их в вектор

v (t) = d r /dt = 4> .

Построим кривую и прикрепим вектор против (0,8) в точке r (0,8).

[Вставить чертеж.] (временный скрин с обоими рисунками)

Мы видим, что вектор касается кривой (и точек на направление увеличения параметра). В целом это верно, потому что можно показать (см. стр. 554 (раздел 9.2) Стюарта) что наклон вектора v (t) совпадает с наклоном кривой в точке р (т) :

(dy/dt)/(dx/dt) = dy/dx.

(Этот факт будет легче понять после того, как мы изучим «цепное правило» на следующей неделе.)

Примечание: Если dx/dt = 0 и dy/dt не равно нулю, тогда касательная и касательный вектор вертикальны, а наклон кривая не определена (бесконечна) в этой точке. Если обе производные равны нулю (как при t = 0 на нашей примерной кривой), касательный вектор не имеет четко определенного направления; с физической точки зрения это означает, что движущаяся точка «замедлилась» до остановка во время т . Затем следует выбрать лучшую параметризацию (см. ниже), чтобы получить более полезный касательный вектор.

Касательный вектор v (t) = d r /dt также называется производная вектор-функции r (t) . Вместо того, чтобы собирать его из производных скалярнозначной координаты функции x(t) и y(t) , можно определить его непосредственно как предел разностного отношения (см. стр. 727 Стюарта).

Касательный вектор к кривой в точке не уникален; это зависит от параметризации. Касательный вектор Сары к окружности в точке под углом u , вычисляется из ее параметризации

г = ,

есть

v = .

Параметризация ее брата

г = 2), 2 sin(1 + t ² )> .

Использование Maple или заглядывание вперед в чтение на следующей неделе, чтобы изучить цепочку правило, мы видим, что его касательный вектор равен

v = 2), 4t cos(1 + t ² ))> .

Даже после того, как Сара подставила в нее u = 1 + t ² формула (чтобы она и Боб одинаково помечали точки), их формулы разные. Два касательных вектора указывают в одном направлении, но имеют разные длины. Параметризация длины дуги дорожной бригады дает тангенс единицы . вектор, один с длиной 1; этот выбор является предпочтительным для некоторых целей.

[Вставить чертеж] (временный скрин с обоими рисунками)

С другой стороны, касательный вектор Боба равен скорости его физическое движение. (В более общем случае всякий раз, когда параметризация кривой не произвольна, а имеет какое-то собственное значение, то то же самое относится и к соответствующему касательный вектор. ) Поскольку вектор скорости сам является функцией t , можно снова дифференцировать его, чтобы получить вектор ускорения , компонентами которого являются (скалярные) ускорения в х и и направлений.

На самом деле, с точки зрения Сорвиголовы Боба, вектор ускорения самое главное, так как это то, что он контролирует с помощью педали акселератора (и руль). В механике нам обычно дают ускорение и нужно найти скорость и положение (второй закон Ньютона). В векторной ситуации это означает, что мы начинаем с векторнозначного функция a (t) и в итоге параметрическая кривая описывая движение. [пример]

Подробнее о параметрических уравнениях

Параметрические уравнения обеспечивают полезный способ просмотра двух графиков одновременно. Предположим, у вас есть две функции: f(t) и g(t) . Тогда обычный способ их графического отображения - использовать два графика, f(t) против t и г(т) против т . Но параметрическое построение позволяет скрыть t , чтобы показать количества, представленные f и г построены в одной системе координат.

Например, популяция F лисиц в районе может меняться в зависимости от года примерно как F = 50 + 20 sin(t) , а население H зайцев в этом районе может варьироваться как H = 500 + 300 cos(t) . Затем, построение эти функции как одна параметрическая кривая в плоскости F-H (кстати, это эллипс с центром в точке (F,H) = (50500) ) дает дополнительный способ визуализации взаимодействия лисы и зайца. Это может предположить причинно-следственную связь между ними, например, больше лис привести к сокращению популяции зайцев, в то время как меньшее количество зайцев вызывает сокращение в популяции лисиц.

Пример 4 в лабораторный раздаточный материал построил прямоугольник как четыре параметризованных отрезка линии, каждый с область параметров $0 [вставить уравнения] (временный экран с обоими наборами уравнений)

Такой способ вполне адекватен и стандартен для компьютерной графики Приложения. Однако иногда может быть важно учитывать весь прямоугольник как единую параметризованную кривую. Эта ситуация возникнет автоматически, если прямоугольник является путем движущееся тело. (Начинается в углу с координатами (1,1), движется по первому отрезку к (3/2,1), затем по четвертому отрезку до (3/2,3/2), затем по третьему отрезку в обратном направлении до (1,1/2), затем по второму отрезку в обратном направлении к (1,1).) В этом случае параметрический уравнения включают две кусочно-определенные функции вместо восьми простых функции. Мы можем легко построить новые параметрические уравнения из старых. помня о «смещении и изменении масштаба» первых двух недель этого курс. Прежде всего обратите внимание, что для движения в обратном направлении вдоль сегмента параметризовано 0 , нам просто нужно заменить т по 1 - т в формулах. Сдвиг каждого интервала длины на 1/4, чтобы он начинался с t = 0 а затем масштабируя на 4, чтобы сделать его длиной 1, мы получаем следующие формулы:

[вставить уравнения] (временный экран с обоими наборами уравнений)

Конечно, эти выражения можно упростить, но мы оставили их в форма, которая делает более ясным, как они возникли из исходных параметризаций из четырех сегментов линии.