Построить линии уровня функции онлайн: Построить график функции | Онлайн калькулятор

§9.2. Линии уровня функции двух переменных

 Линии на плоскости xOy, заданные уравнениями , где С – произвольная константа, называются линиями уровня функции .

Линии уровня являются линиями пересечения поверхности, заданной функцией и плоскости z = C, параллельной плоскости xOy. С помощью линий уровня можно изучать форму поверхности, заданной функцией .

Пример 9.2. Найти линии уровня и определить форму поверхности, заданной уравнением .

Решение. Уравнения линий уровня в данном случае имеют вид . При C < 0 уравнение дает пустое множество решений (следовательно, вся поверхность расположена выше плоскости xOy). При C = 0 уравнению линии уровня удовлетворяет только одна точка x = 0, y = 0 (с плоскостью xOy поверхность пересекается только вначале координат). При C > 0 линии уровня являются эллипсами , с полуосями и .

Линии уровня, соответствующие различным значениям С, изображены на рис. 9.3. Поверхность, заданная уравнением , называется эллиптическим параболоидом (рис. 9.4).

Рис.9.3 Рис. 9.4

§9.3. Частные производные первого порядка

Пусть в некоторой области D плоскости xOy задана функция , и пусть – некоторая точка области D.

 Частной производной функции в точке по переменной x (обозначается или ) называется

, (9.1)

если данный предел существует и конечен.

 Частной производной функции в точке по переменной y (обозначается или ) называется

, (9.2)

если данный предел существует и конечен.

 Частной производной функции

n переменных в точке по переменной x_i называется

, (9. 3)

если данный предел существует и конечен.

Как видно из формул (9.1) – (9.3), частные производные определяются аналогично тому, как определялась производная функции одной переменной. При вычислении предела приращение получает только одна из переменных, остальные переменные приращения не получают и остаются постоянными. Следовательно, частные производные можно вычислять по тем же правилам, что и обычные производные, обращаясь со всеми свободными переменными (кроме той, по которой производится дифференцирование) как с константами.

Пример 9.3. Найти частные производные функции

.

Решение. .

.

Пример 9.4. Найти частные производные функции .

Решение. При дифференцировании данной функции по переменной x мы пользуемся правилом дифференцирования степенной функции, а при нахождении частной производной по переменной y – правилом дифференцирования показательной функции:

,

.

Пример 9.5. Вычислить частные производные функции в точке .

Решение. Применяя правило дифференцирования сложной функции, найдем частные производные

,

,

.

Подставляя в частные производные координаты точки М, получим

,

,

.

§9.4. Градиент функции нескольких переменных. Производная по направлению

 Градиентом функции в точке называется вектор, составленный из частных производных данной функции, вычисленных в данной точке:

. (9.4)

 Если в точке градиент функции отличен от нулевого вектора, то он направлен в сторону наибольшего возрастания данной функции в точке М₀. Это означает, что существует такое достаточно малое число  > 0, что в точке , находящейся от точки на расстоянии r <  (), приращение функции будет максимальным, если направление вектора совпадает с направлением вектора .

 Производной функции в точке по направлению вектора называется проекция вектора градиента данной функции, вычисленного в точке М₀, на данное направление

. (9.5)

Из формулы (9.5) следует, что по знаку производной по направлению в точке М₀ можно определить поведение функции (возрастание или убывание) в данной точке и в данном направлении. Угол между векторами и острый (функция в данном направлении возрастает), тогда и только тогда, когда производная по направлению вектора в точке М₀ больше нуля. Угол между векторами и тупой (функция в данном направлении убывает), тогда и только тогда, когда производная по направлению вектора в точке М₀ меньше нуля.

Вычисляя проекцию вектора на вектор в соответствие с формулой (2.6) первой части пособия, получим

. (9.6)

Замечая, что , где  – угол, который вектор образует с осью OX, получим еще одну формулу для вычисления производной по направлению вектора

. (9.7)

Пример 9.6. Найти градиент функции в точке М₀(4; 2) и производную по направлению вектора

Решение. Найдем частные производные

Вычислим значения частных производных в точке М₀:

Градиент функции в точке М₀ найдем по формуле (9.4):

Производную функции в точке М₀ по направлению вектора найдем по формуле (9.6):

Пример 9.7. В точке М₀(0; 1) вычислить производную функции по направлению биссектрисы второго координатного угла и сделать вывод о поведении функции в данном направлении.

Решение. Найдем частные производные функции :

,

.

Вычислим значения частных производных и градиент функции в точке М₀:

,

,

.

Производную функции в точке М₀ по направлению биссектрисы второго координатного угла (данное направление составляет с осью OX угол  = 135) найдем по формуле (9.7):

.

Так как прозиводная по данному направлению отрицательна, то, следовательно, в точке М₀ по выбранному направлению функция убывает.

Скалярное поле. Векторное поле. Основные понятия и задачи

• Понятие поля в математике
• Скалярное поле: определение, поверхности уровня и линии уровня
• Векторное поле: определение, векторные линии

Теория поля является разделом математики, однако понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. В общем случае говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины u, если в каждой точке пространства (или некоторой его части) определено значение этой величины. Так, например, при изучении потока газа приходится исследовать несколько полей: температурное поле (в каждой точке температура имеет определённое значение), поле давлений, поле скоростей и другие поля.

Поле величины u называется стационарным, (или установившимся), если u не зависит от времени t. В противном случае поле называется нестационарным (или неустановившимся). Таким образом, величина u есть функция точки M и времени t.

В задачах физики чаще всего приходится иметь дело со скалярными и векторными величинами. В соответствии с этим различают два вида полей: скалярные и векторные.

Пусть D — некоторая область на плоскости или в пространстве.

Определение скалярного поля. Если в области D каждой точке M(x,y,z) пространства или точке M(x,y) плоскости в каждый момент времени t по определённому закону ставится в соответствие значение скалярной величины u, то функция u(x,y,z,t) в случае пространства или u(x,y,t) в случае плоскости называется скалярным полем.

Понятия скалярного поля и функции, определённой в области D, совпадают.

Примером скалярного поля может служить поле температур воздуха в некотором помещении, если температуру рассматривать как функцию точки. В точках, расположенных ближе к источнику тепла, температура выше, чем в точках, расположенных дальше от источника тепла. Можно привести и такие примеры, как поле освещённости, поле плотности массы и тому подобные.

Для получения более полного представления о скалярном поле используется его графическое изображение — поверхности уровня в пространстве и линии уровня на плоскости.

Линии уровня широко используются при составлении топографических и метеорологических карт. На топографических картах линия уровня — линия, в точках которой отмечена одна и та же высота над уровнем моря. На метеорологических картах строят два вида линий уровня — изотермы (линии одинаковой температуры) и изобары (линии одинакового давления).

Определение. Поверхностью уровня скалярного поля

называется множество всех тех точек пространства, в которых скалярное поле постоянно.

Уравнение поверхности уровня скалярного поля u(x,y,z):

u(x,y,z) = C.

При постоянном изменении значения C поверхности уровня заполняют всю область пространства. Если поверхности уровня размещены плотно, скалярное поле изменяется быстро. Если же поверхности уровня расположены редко, скалярное поле изменяется медленно.

Определение. Линией уровня скалярного поля называется множество всех тех точек на плоскости, в которых скалярное поле постоянно.

Уравнение линии уровня скалярного поля u(x,y):

u(x,y) = C.

Пример 1. Определить поверхности уровня скалярного поля и их вид.

Решение. Уравнением поверхностей уровня данного скалярного поля является

или

.

Поверхностями уровня являются конусы с вершиной в начале координат и осью вращения Oy. Так как по области определения , то одновременно не может быть x = 0 и z = 0. Поэтому следует исключить вершину конусов.

Пример 2. Определить линии уровня скалярного поля и их вид.

Решение. Уравнением линий уровня данного скалярного поля является

.

Из этого уравнения выразим «игрек»:

.

Так как arcsinC — также константа, обозначим её C1. Тогда

Графиками этих линий являются параболы с вершиной в точках и ветвями вниз. На рисунке изображены линии уровня в трёх случаях: C1 = 1 — красная линия, C1 = 2 — зелёная линия, C1 = 3 — синяя линия.

Понятие векторного поля во многом аналогично понятию скалярного поля.

Определение векторного поля. Если в некоторой области пространства каждой точке M по определённому закону ставится в соответствие вектор , то векторная функция называется полем вектора или векторным полем.

Таким образом, векторным полем является векторная функция точки пространства

Примерами векторного поля являются поля скорости и ускорения в текущей жидкости или газе, поле силы гравитации, поле интенсивности электростатического поля и тому подобные. Вообще, примером векторного поля может служить поле сил любой природы.

Мы будем рассматривать только стационарные векторные поля, то есть поля, не зависящие от времени.

Проекции вектора , соответствующего точке M, на координатные оси обозначим P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z), R = R(x,y,z). Тогда векторное поле сможем задать через компоненты:

.

Таким образом, векторное поле можно определить тремя скалярными функциями P, Q, R. Пусть эти функции и их частные производные по переменным x,y,z являются непрерывными функциями.

Определение. Векторной линией называется линия, направление которой в каждой точке касательной совпадает с направлением вектора поля в этой точке (рисунок ниже).

Векторные линии поля силы обычно называют линиями силы, векторные линии поля скоростей потока жидкости или газа — векторами потока. У стационарного потока жидкости линии потока совпадают с траекториями частиц жидкости.

Уравнения векторных линий можно найти, решив систему дифференциальных уравнений

.

Пример 3. Найти линии вектора поля .

Решение. Так как , , , получаем систему дифференциальных уравнений

.

Из первого равенства получаем

где . Из последнего равенства следует . Таким образом, получаем

И получаем уравнения векторных линий данного векторного поля:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Поделиться с друзьями

Контурный плоттер | Academo.org — бесплатный, интерактивный, образовательный.

---

Вы можете использовать этот инструмент для создания контурных линий для любой функции, которую вы вводите.

Математика Геометрия Контур

---

---

---

Код контурных линий:

Если вы когда-либо смотрели на карту, особенно холмистой или гористой местности, вы, возможно, заметили такие группы линий:

Они известны как контурные линии, и каждая точка на линии находится на одной высоте. Однако контурные линии не ограничиваются тем, что дают нам информацию о горах, они могут помочь нам визуализировать поверхность, описываемую математической функцией. 92. Итак, если x = 2 и y = 2, z будет равно 4 — 4 = 0. Попробуйте навести курсор на точку (2,2) выше. На боковой панели вы должны увидеть, что индикатор (x,y,z) отображает (2,2,0).

Итак, это объясняет, почему мы видим контурную линию вдоль линии x = y. Потому что вдоль этой линии z всегда равно нулю. Попробуйте выбрать другую контурную линию и следуйте за ней с помощью мыши. Посмотрите, как значение z всегда остается неизменным.

Вы также можете заметить, что если у вас есть много контурных линий, расположенных близко друг к другу, если вы немного отклонитесь от линии, значение z быстро отклонится от значения z линии. Это связано с тем, что вы смотрите на очень крутую часть графика, и небольшое изменение x или y будет иметь большое влияние на значение z.

Нет ничего особенного в том, какие контурные линии отображаются, это просто вопрос выбора. Вы можете изменить значения, которые должны отображаться на контурных линиях, с помощью ползунков «Диапазон уровней контура» и «Количество уровней контура». По умолчанию они установлены на (-100,100) и 21 соответственно, так что это означает, что отображаемые уровни контура будут начинаться с -100 и увеличиваться до +100 включительно с интервалами в 20. Вы можете видеть, как линии контура соответствуют цвета в ключе чуть ниже графика.

Чтобы обновить функцию, отображаемую на графике, введите новую функцию в поле ввода и нажмите «Обновить».

В таблице ниже перечислены функции, которые можно ввести в поле выражения.

Выражение	Описание
грех(х)	Синус x в радианах
кос(х)	Косинус x в радианах
желтовато-коричневый(х)	Тангенс x в радианах
асин(х), акос(х), атан(х)	Обратное значение трех тригонометрических функций, перечисленных выше
кв. (х)	Квадратный корень из х (только для положительного х)
журнал(х)	Натуральный логарифм x
пау(х, у)	Сила х в у

Контурные линии могут быть немного сложными для понимания, поэтому, если у вас возникли проблемы, вам может пригодиться плоттер 3D-поверхности, который помогает визуализировать фактическую форму 3D-поверхности.

Включите JavaScript для просмотра комментариев с помощью Disqus.

Help Online — Tutorials — Contour Plots and Color Mapping

Все книгиКниги, не связанные с программированием　Руководство пользователя　Учебники　Быстрая справка　Справка OriginКниги по программированию　X-Function　Origin C　LabTalk Programming　Python　Python (внешний)　Automation Server　LabVIEW VI　Приложения　Разработка приложений　Code Builder　Лицензия OrgMOCA0004
Содержание 1 Краткое описание 2 Чему вы научитесь 3 Создание контурного графика из матрицы 4 Настройка уровней, линий и цветовой карты 5 Создание контурного графика из данных XYZ 6 Показать сетку триангуляции 7 Применить пользовательскую границу Резюме Origin предлагает прямоугольные, полярные и троичные контурные графики. Для прямоугольные контурные графики , данные могут быть либо в матрице, либо на рабочем листе в формате XYZ. Полярные контурные графики могут быть созданы из трех столбцов данных на рабочем листе, организованных либо как R Z, либо как R Z. Тройные контурные графики могут быть созданы из данных рабочего листа, организованных в формате X Y Z Z, где 2-й Z-столбец содержит 4-й параметр которое является значением высоты в данной точке XYZ в троичном пространстве. Доступно множество опций для настройки контурных диаграмм, таких как установка различных основных и второстепенных уровней изолиний, отображение контурных линий только на основных уровнях, применение цветовых палитр, а также контроль пользовательской границы в случае контурных диаграмм, созданных непосредственно из рабочий лист. Чему вы научитесь Этот туториал покажет вам, как: Установка значений в матрице и создание контурного графика Настройка уровней, линий и сопоставления цветов Извлечение данных из горизонталей Создание контурного графика непосредственно из данных XYZ Использовать пользовательскую границу Создать контурный график из матрицы Чтобы создать новую матрицу, нажмите кнопку Новая матрица . Переместите курсор в левый верхний угол матрицы, пока форма указателя не изменится, как на следующем изображении, и щелкните, чтобы выбрать всю матрицу. Чтобы установить размеры, щелкните правой кнопкой мыши и выберите Set Matrix Dimension/Labels в контекстном меню. На вкладке XY Mapping измените настройку, как показано ниже. Введите данные в матрицу, выделив ее и щелкнув правой кнопкой мыши. Выберите Set Matrix Values ​​ в контекстном меню, чтобы открыть диалоговое окно Set Values ​​. Введите i*sin(x) — j*cos(y) в поле редактирования Formula и щелкните OK 9Кнопка 0124 для генерации данных. Матрица должна выглядеть так: Каждая точка данных в матрице соответствует двум различным типам индексов. Один из них — индексы столбцов и строк. Другой — координаты X и Y. Выберите View: Show X/Y в главном меню, чтобы увидеть координаты X, Y: Вы также можете выбрать View: Image Mode , чтобы показать форму изображения матрицы: Выберите View: Data Mode , чтобы выйти из режима изображения. Создайте контурный график, активировав матрицу и выбрав Plot > Contour: Contour — Color Fill . График должен выглядеть так, как показано ниже: Настройка уровней, линий и цветовой карты Origin позволяет легко настроить каждый аспект контурного графика, включая цветовую шкалу и добавление меток: Активный График2 и выберите Graph: Speed ​​Mode меню, чтобы открыть диалоговое окно. Установите Speed ​​Mode = Off и нажмите OK»‘ Нажмите на график Contour в Graph2 , а затем нажмите кнопку Set Levels на всплывающей мини-панели инструментов. В диалоговом окне Set Levels нажмите кнопку Find Min/Max и установите Major Levels на 8 и Minor Levels на 32 . Нажмите кнопку OK . Нажмите на график Contour, а затем нажмите кнопку Palettes на всплывающей мини-панели инструментов. Затем выберите палитру Rainbow из раскрывающегося списка. Дважды щелкните контурную линию (два отдельных одиночных щелчка), чтобы выбрать все линии на этом уровне. Измените цвет на Зеленый с помощью кнопки Цвет линии/границы на панели инструментов Шрифт . Измените ширину на 3 с помощью кнопки Line/Border Width на той же панели инструментов. Убедитесь, что выбрана только одна контурная линия (не все контурные линии на этом уровне), и щелкните правой кнопкой мыши выбранную контурную линию. Выберите Добавить метку контура , чтобы добавить метку. Дважды щелкните контурную линию, чтобы выделить ее, щелкните правой кнопкой мыши и выберите Извлечь контурные линии . Origin извлечет данные для этой контурной линии на рабочий лист. На следующем изображении показана часть данных на листе: Создание контурного графика из данных XYZ Origin может создавать контурные графики непосредственно из данных XYZ на рабочем листе без необходимости использования промежуточной матрицы. Триангуляция Делоне используется для вычисления и рисования горизонталей. Начните с пустого рабочего листа. Выберите Help: Open Folder: Sample Folder… , чтобы открыть папку «Samples». В этой папке откройте подпапку Matrix Conversion and Gridding и найдите файл 3D XYZ.dat . Перетащите этот файл на пустой рабочий лист, чтобы импортировать его. Выделите третий столбец и щелкните его правой кнопкой мыши, чтобы выбрать Установить как: Z . Выберите Plot > Contour: Contour — Color Fill , чтобы создать график, как показано на следующем рисунке: Показать сетку триангуляции Показать сетку триангуляции, которая используется для создания контурного графика из данных. Отдельные точки данных расположены в узлах или вершинах сетки. Начните с пустого рабочего листа. Выберите Help: Open Folder: Sample Folder… , чтобы открыть папку «Samples». В этой папке откройте подпапку Matrix Conversion and Gridding и найдите файл XYZ Random Gaussian. dat . Перетащите этот файл на пустой рабочий лист, чтобы импортировать его. Выделите третий столбец и щелкните его правой кнопкой мыши, чтобы выбрать Установить как: Z . Выберите Plot > Contour: Contour — Color Fill , чтобы создать график. Дважды щелкните контурный график, чтобы открыть диалоговое окно Подробности графика . На вкладке Colormap/Contours щелкните заголовок Line , чтобы открыть диалоговое окно Contour Lines . Снимите флажок Показывать только на основных уровнях и выберите Скрыть все , чтобы скрыть все контурные линии. Нажмите OK , чтобы закрыть это диалоговое окно. Затем установите флажки Показать линии сетки и Показать точки данных . Нажмите OK , чтобы закрыть диалоговое окно Сведения о графике. Контурный график с наложенной сеткой должен выглядеть следующим образом: Применить пользовательскую границу Пользовательская граница может быть применена к контурным графикам, созданным непосредственно из данных XYZ, где пользователь предоставляет точки данных для границы в дополнительных столбцах того же рабочего листа. Эта функция полезна при наличии определенных граничных данных, определяющих контур объекта, например профиль двигателя, где контур показывает температуру двигателя. Продолжайте использовать рабочий лист и контурный график, созданный с помощью XYZ Random Gaussian.dat в предыдущем примере. В рабочей книге XYZRandomGaus дважды нажмите кнопку Добавить новые столбцы , чтобы добавить два столбца. Выделите два столбца и щелкните по ним правой кнопкой мыши. Выберите Установить как: XY XY из контекстного меню и введите четыре строки данных, как показано ниже: 12 10 18 12 16 18 14 16 Дважды щелкните контурный график, чтобы открыть диалоговое окно Подробности графика . Выберите вкладку Contouring Info на правой панели. Установите диалоговое окно, как на следующем изображении, чтобы настроить границу контурного графика. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт