Алгебра. Учебник для 6-8 классов
Алгебра. Учебник для 6-8 классов
ОглавлениеГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ.  § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений.  § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ.  КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.§ 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 82. Решение задач. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90.  (1/3)§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений. |
Что можно посмотреть в майские праздники: 10 новых сериалов — 29 апреля 2023
Все новости«Показывали, как выходить»: участник из Ярославля рассказал о закулисье шоу «Музыкальная интуиция»
Кто сказал «мяу»? Отгадайте, из каких фильмов и сериалов эти 10 котиков
Мать в панике звала на помощь: история годовалой Василисы, которая умерла в больнице
«Уехала, забрав все деньги из кассы»: парни рассказали о некрасивых поступках девушек при расставании
В Ярославской области учительницу уволили за прогул ради больной мамы
Пять минусов китайских автомобилей. Обобщаем опыт езды на «чайнакарах» 2023 года
Козероги будут ревновать, а Львы станут сексуальнее. Любовный гороскоп на май от астролога
«Вышел весь в крови»: жительница Ярославля рассказала, что ее сын поранился в новом автобусе
«Да вы мужчинам зад показываете!»: бабушка трех внуков освоила пилон и не стесняется этого
Главный тренер ярославского «Шинника» покинул пост: что известно
«Я боюсь умереть каждый день».
Певец Андрей Губин в день рождения откровенно рассказал о болезни, любви и возвращении на сцену
Ни пером описать. Как семья променяла спокойную пенсию на павлинью ферму
«Лежал в машине без движения»: скончался водитель легковушки, попавшей под грузовик в Ярославском районе
Раньше не сбегал из дома: в Ярославле объявили в розыск 16-летнего подростка
«Алкаши пользуются тем, что скорая помощь бесплатная»: врачи рассказали, как им угрожали пациенты
Мэр Ярославля рассказал о судьбе брагинского велодрома
Даже фрукты нельзя? Три полезные привычки, которые на самом деле убивают печень
Дома до 8 этажей: мэрия Ярославля запланировала строительство нового микрорайона в Тверицах
«Запроса на «нового Кобзона» не было». Продюсеры и музыкальные критики — о феномене SHAMANа и секрете его популярности
Особняк миллиардера, дача художника и усадьба экс-мэра: обзор известных дач Ярославской области
Можно понаблюдать за Луной: топ-3 событий в Ярославле 30 апреля
Шесть соток: как правильно обустроить маленький дачный участок
Разруха и уныние: гуляем по району Ярославля, который напоминает трущобы
«Богатые люди нашли богатых девушек»: владелец бара «Ад» ответил активистам, обвинившим его в сатанизме
Севастополь атаковали беспилотники, Украина готова к контрнаступлению.
Новости СВО за 29 апреля
Водитель попал в больницу: в Ярославле столкнулись фура и легковушка
«Дресс-код — TOTAL SEX!»: активисты требуют закрыть ярославский бар «Ад» из-за пропаганды сатанизма
Как отметим Праздник Весны и Труда: афиша развлечений на 1 Мая в Ярославле и области
Пригрели змею? 5 самых опасных женских знаков зодиака — среди них много стерв и разлучниц
Родителям пришлось чинить лавку: в полиции нашли подростка, устроившего ДТП на спортплощадке в Ярославле
«Могут и 10 кг съесть»: семья кормит на своем балконе диких коршунов — смотрите впечатляющие кадры
«Одной нет, вторая деформирована»: история пациентки, которая перенесла 10 операций после уменьшения груди в частной клинике
Надо, Федя, надо! Хорошо ли вы помните «Приключения Шурика»?
Будет ходить до октября: публикуем расписание речного трамвайчика в Ярославле на всё лето
«Я никогда не была гадким утенком»: история нейрофизиолога, которая вышла на пенсию и стала моделью
Время моркови и свеклы: когда сажать популярные овощи и какие сорта выбрать
«Потребность падает»: врач из Ярославля рассказал, как мастурбация влияет на отношения в паре
Села за руль в 75: как 80-летняя пенсионерка прокатила губернатора на самодельном авто по сгоревшей деревне
«Сгорел на работе»: в Ярославле на Московском проспекте светофор превратился в факел.
Видео
Все новости
Майских выходных хватит, чтобы посмотреть хотя бы парочку из этих сериалов
Коллаж: Виталий Калистратов / Городские порталы
Поделиться
Уже придумали, чем будете заниматься в майские праздники? Хоть они в этом году и разделены рабочей неделей, но времени на отдых всё равно хватит. Если еще не знаете, чем заняться, предлагаем провести время за сериалами. Принесли вам 10 новинок — не только российских, но и зарубежных. Выбирайте, что больше по вкусу!
Дата выхода: 13 апреля
Где смотреть: Start
Жанр: триллер
Продолжительность: 8 серий по 47 минут (1-й сезон)
Рейтинг на «Кинопоиске»: 6.2
«Жить жизнь» — это психологический триллер от создателей «Содержанок», снятый по одноименному роману Анны Богинской. Главная героиня — 30-летняя Аня (Любовь Аксенова), которая после смерти мужа увлекается красавчиком-хирургом Матвеем (Роман Васильев), но со временем понимает, что он сознательно манипулирует ее чувствами.
Девушка решает выяснить причины такого поведения и дать отпор манипулятору.
Еще чуть-чуть и видео загрузится
Видео: START / YouTube.com
В чувственном сериале с элементами детектива снялись Дарья Мороз (она же выступила шоураннером проекта), а также Евгений Шварц и Юрий Чурсин.
Дата выхода: 14 апреля
Где смотреть: Apple TV+
Жанры: триллер, драма, детектив
Продолжительность: 7 серий по 45 минут (1-й сезон)
Рейтинг на «Кинопоиске»: —
Рейтинг на IMDb: 6.90
Сериал снят по бестселлеру Лоры Дейв — адаптацией сценария занимались сама писательница, а также ее муж, обладатель «Оскара» (за лучший оригинальный сценарий к фильму «В центре внимания») Джош Сингер. Триллер спродюсировала компания актрисы Риз Уизерспун Hello Sunshine, которая занималась производством таких сериалов, как «Большая маленькая ложь» и «Утреннее шоу».
Еще чуть-чуть и видео загрузится
Видео: В Рейтинге / YouTube.
com
Главная героиня сериала — Ханна (Дженнифер Гарнер) — живет в идеальном браке с мужем Оуэном (Николай Костер-Вальдау) и падчерицей Бейли (Энгаури Райс). Однажды Оуэн пропадает, а женщина получает загадочную записку со словами «Защити ее». Пока Ханна пытается разобраться с тем, куда пропал ее муж, все вокруг твердят, что он был не тем, за кого себя выдавал.
Дата выхода: 6 апреля
Где смотреть: Okko
Жанры: драма, фантастика
Продолжительность: 8 серий по 45 минут (1-й сезон)
Рейтинг на «Кинопоиске»: 6.8
Фантастическую драму, вдохновленную повестью братьев Стругацких «Понедельник начинается в субботу», сняла Мария Агранович, режиссер сериала «The Телки». История рассказывает о простом парне Андрее (Павел Деревянко), который просыпается и понимает, что его жизнь начинает идти в обратном направлении. За 22 октября следует 21-е, а затем 20-е. Загадочная девушка (Кристина Асмус) подсказывает паникующему герою, что ему нужно понять, какую ошибку он совершил в прошлом, и исправить ее.
Еще чуть-чуть и видео загрузится
Видео: Онлайн-кинотеатр Okko / YouTube.com
Дата выхода: 27 апреля
Где смотреть: HBO Max
Жанры: триллер, драма, криминал, детектив, биография, история
Продолжительность: 7 серий по 57 минут
Рейтинг на «Кинопоиске»: —
Рейтинг на IMDb: 8.00
Драматический мини-сериал от шоураннера «Большой маленькой лжи» Дэвида Э. Келли. «Любовь и смерть» основан на реальной истории: в 1980-х годах в Техасе примерная домохозяйка завела роман с мужем лучшей подруги, а позже зарубила женщину топором. Главные роли исполнили Элизабет Олсен и Лили Рэйб, а их экранных мужей сыграли Джесси Племонс и Патрик Фьюджит. Дело, которое вызвало большой резонанс в США, не забывают: в 2022 году об этом инциденте сняли сериал «Кэнди» с Джессикой Бил в главной роли.
Еще чуть-чуть и видео загрузится
Видео: В Рейтинге / YouTube.com
Дата выхода: 7 апреля
Где смотреть: Wink, «Кинопоиск»
Жанры: драма, триллер
Продолжительность: 8 эпизодов по 50 минут (1-й сезон)
Рейтинг на «Кинопоиске»: 7.
1
Промозглый триллер о попытке бросить вызов системе сняла режиссер фильма «Доктор Лиза» Оксана Карас. Главная героиня Лариса (Светлана Ходченкова) живет в приморском северном городке и работает в такси вместе с женихом Максимом (Антон Филипенко). Когда в городе находят труп изнасилованной девушки, столичный следователь (Юрий Чурсин) решает, что к убийству причастен Максим. Лариса изо всех сил стремится вытащить своего возлюбленного из тюрьмы, но для этого ей нужно найти настоящего маньяка.
Еще чуть-чуть и видео загрузится
Видео: Wink Russia / YouTube.com
Дата выхода: 7 апреля
Где смотреть: «Амедиатека»
Жанр: комедия
Продолжительность: 5 серий по 25 минут
Рейтинг на «Кинопоиске»: 6.9
Рейтинг на IMDb: 7.50
Новозеландская версия известного британского сериала «Дрянь». Сценарий написала актриса Симоне Натан (также была автором сценария сериала «Наш флаг означает смерть»), она же сыграла и главную роль — молодую женщину по имени Лулу, которая слишком сильно привязана к своей еврейской семье.
Несмотря на постоянное давление, девушка пытается понять, кто она такая и чего хочет в этой жизни. Для этого ей нужно проделать большую работу — научиться отстаивать личные границы и слушать свой внутренний голос. Этот путь не всегда будет приятным!
Еще чуть-чуть и видео загрузится
Видео: Amediateka / YouTube.com
Дата выхода: 24 апреля
Где смотреть: Start
Жанр: комедия
Продолжительность: 8 серий по 22 минуты
Рейтинг на «Кинопоиске»: —
Восьмисерийная версия одноименного фильма, вышедшего в прокат в феврале. Герои «Квартета И» в далеком 2019 году встретились субботним утром, чтобы выпить шампанского, и всё закончилось путешествием по глубинам мужского подсознания. В сериале будет еще больше характерных квартетовских афоризмов, а также Дмитрий Нагиев и Гарик Харламов.
Еще чуть-чуть и видео загрузится
Видео: START / youtube.com
Дата выхода: 12 апреля
Где смотреть: ENA, Genie TV
Жанры: мелодрама, комедия
Продолжительность: 14 серий по 70 минут (1-й сезон)
Рейтинг на «Кинопоиске»: —
Корейский ромком о писательнице под псевдонимом Дебора (Ю Ин-на), которая дает одиноким людям советы, как найти вторую половинку.
Однако личная жизнь самой Деборы полна проблем, которые только усугубляются после встречи с Ли Су-хёком (Юн Хён-мин) — сотрудником издательства, который не верит в любовь.
Дата выхода: 27 апреля
Где смотреть: Premier
Жанр: комедия
Продолжительность: 10 серий по 30 минут (1-й сезон)
Рейтинг на «Кинопоиске»: —
Главный герой — 28-летний Степа (Данил Тябин), который попадает в заварушку, едва выйдя из тюрьмы. Его бабушка умерла, и теперь он должен выплатить ее долг коррумпированному полицейскому. К тому же старый деревянный дом, в котором живет Степа, хочет снести застройщик, чтобы построить на его месте торговый центр. Молодой человек придумывает авантюру: обещает застройщику выселить всех жильцов, а тот в ответ должен выплатить его долг. Но неожиданно для себя парень становится борцом за справедливость и права жильцов.
Еще чуть-чуть и видео загрузится
Видео: Онлайн-кинотеатр PREMIER / YouTube.com
Дата выхода: 26 апреля
Где смотреть: Hulu
Жанры: триллер, драма, детектив
Продолжительность: 8 серий по 45 минут
Рейтинг на «Кинопоиске»: —
Рейтинг на IMDb: 6.
30
«Остров Сент-Икс» — психологический триллер от продюсера Лейлы Герштейн («Рассказ служанки»), снятый по одноименному бестселлеру Алексис Шайткин. Он рассказывает историю девушки Клэр (Алисия Дебнем-Кери). Когда Клэр было семь лет, она вместе с семьей отдыхала на Карибских островах. Безоблачный отпуск закончился трагедией: старшая сестра Клэр была найдена мертвой. Спустя годы девушка стремится узнать подробности ее смерти и найти убийцу.
По теме
23 февраля 2023, 10:00
Вы такого не ожидали! 12 фильмов с неожиданной развязкой — посмотрите их в праздники04 ноября 2022, 10:00
Успеешь за вечер: 10 мини-сериалов, которые можно посмотреть за выходные08 марта 2023, 14:00
От нового Пушкина до старых панков: 7 новых российских сериалов, за которые не стыдно02 января 2023, 12:00
Ешь и смотри: 13 классных фильмов на все каникулы23 апреля 2023, 13:00
Приготовьтесь залипнуть: 10 фильмов, которые вы пропустили в 2022 году (с высоким рейтингом!)
Виктор Старцев
Журналист национальной редакции
СериалыМайские праздникиНовинки
- ЛАЙК0
- СМЕХ1
- УДИВЛЕНИЕ0
- ГНЕВ0
- ПЕЧАЛЬ0
Увидели опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter
КОММЕНТАРИИ3
Читать все комментарии
Гость
Войти
Новости СМИ2
Новости СМИ2
Начертить линию с использованием наклона и точки пересечения по оси y
Чтобы построить линию с использованием ее наклона и точки пересечения по оси y , нам нужно убедиться, что уравнение линии находится в форме «Наклон-пересечение»,
Из В этом формате мы можем легко считывать как значения наклона, так и точки пересечения по оси y.
Наклон — это просто коэффициент переменной x, который равен m, а точка пересечения y — это постоянный член b.
Вот небольшая диаграмма, иллюстрирующая эту идею.
Когда эти две части информации будут идентифицированы, мы гарантированно успешно построим уравнение прямой.
- Постройте точку пересечения оси y \left( {0,b} \right) по оси xy. Помните, что эта точка всегда лежит на вертикальной оси y.
- Начиная с точки пересечения y, найдите другую точку, используя наклон. Наклон содержит направление движения от одной точки к другой.
Числитель говорит вам, сколько шагов нужно пройти вверх или вниз (подъем), а знаменатель говорит вам, на сколько единиц нужно пройти влево или вправо (выполнить).
- Соедините две точки, образованные пересечением оси Y и наклоном, используя линейку (линейку), чтобы получить график линии.
Примеры построения графика с использованием наклона и точки пересечения с осью Y
Пример 1: Нарисуйте линию ниже с использованием ее наклона и точки с точкой пересечения с осью Y.
Сравните y = mx + b с данным уравнением \large{y = {3 \over 4}x — 2}. Ясно, что мы можем идентифицировать как наклон, так и точку пересечения с осью y. Пересечение по оси y — это просто b = — 2 или \left( {0,2} \right), а наклон \large{m = {3 \over 4}}.
Поскольку наклон положительный, мы ожидаем, что линия будет возрастать, если смотреть слева направо.
- Шаг 1: Давайте построим первую точку, используя информацию, предоставленную нам точкой пересечения по оси y, которая является точкой \left({0, — 2} \right).
- Шаг 2: От точки пересечения y найдите другую точку, используя наклон. Наклон m = {3 \over 4}, значит, мы поднимаемся на 3 единицы вверх и двигаемся вправо на 4 единицы.
- Шаг 3: Соедините две точки, чтобы построить линию.
Пример 2: Постройте линию ниже, используя ее наклон и точку пересечения по оси Y.
Я знаю, что наклон \large{m = {{ — 5} \over 3}}, а точка пересечения по оси y равна b = 3 или \left( {0,3} \right).
Поскольку наклон отрицательный, окончательный график линии должен уменьшаться, если смотреть слева направо.
- Шаг 1: Начните с построения точки пересечения по оси y заданного уравнения, равного \left({0,3} \right).
- Шаг 2: Используйте наклон \large{m = {{ — 5} \over 3}}, чтобы найти другую точку, используя точку пересечения с ординатой в качестве точки отсчета. Наклон говорит нам опуститься на 5 единиц вниз, а затем переместиться на 3 единицы вправо.
- Шаг 3: Нарисуйте линию, проходящую через точки.
Вас также могут заинтересовать:
Три способа построения графика
Построение графика с использованием таблицы значений
Построение графика с использованием точек пересечения X и Y
3.2 Графики линейных уравнений с двумя переменными – Бизнес/Техническая математика
3. Уравнения и их графики
Ожидается, что к концу этого раздела вы сможете:
- Распознавать взаимосвязь между решениями уравнения и его графиком.
- Постройте график линейного уравнения, нанеся точки.
- График вертикальных и горизонтальных линий.
В предыдущем разделе мы нашли несколько решений уравнения . Они перечислены в таблице ниже. Итак, упорядоченные пары , и являются некоторыми решениями уравнения . Мы можем построить эти решения в прямоугольной системе координат, как показано на (рис. 1).
| 0 | 3 | |
| 2 | 0 | |
| 1 |
Заметили, что точки идеально совпадают? Соединяем точки линией, чтобы получить график уравнения.
См. (Рисунок 2). Обратите внимание на стрелки на концах каждой стороны линии. Эти стрелки указывают, что линия продолжается.
Каждая точка на прямой является решением уравнения. Кроме того, каждое решение этого уравнения является точкой на этой прямой. Точки , а не на прямой не являются решениями.
Обратите внимание, что точка с координатами находится на линии, показанной на (Рисунок 3). Если вы подставите и в уравнение, вы обнаружите, что это решение уравнения.
Рисунок .3Итак, точка является решением уравнения. (Фраза «точка, координаты которой» часто сокращают до «точки».)
Итак, это не решение уравнения. Следовательно, точка не на линии. См. (Рисунок 2). Это пример поговорки: «Картинка стоит тысячи слов». Строка показывает вам всех решений уравнения. Каждая точка на прямой является решением уравнения. И каждое решение этого уравнения находится на этой прямой.
Эта линия называется графиком уравнения.
График линейного уравнения представляет собой линию.
- Каждая точка на прямой является решением уравнения.
- Каждое решение этого уравнения является точкой на этой прямой.
Показан график.
Для каждой упорядоченной пары решите:
а) Является ли упорядоченная пара решением уравнения?
б) Находится ли точка на прямой?
A B C D
Решение
Подставьте значения x – и y – в уравнение, чтобы проверить, является ли упорядоченная пара решением уравнения.
a)
b) Нанесите точки A , B , C и D .
Точки , , и лежат на прямой , а точка не лежит на прямой.
Точки, являющиеся решениями, находятся на прямой, но точка, не являющаяся решением, не находится на прямой.
Используйте график, чтобы решить, является ли каждая упорядоченная пара:
- решением уравнения.
- на линии.
а) б)
Показать ответа) да, да б) да, да
Существует несколько методов построения графика линейного уравнения. Метод, который мы использовали для построения графика, называется построением точек или методом построения точек.
Как построить уравнение по точкам
Построить график уравнения по точкам.
Решение
Нарисуйте уравнение по точкам: .
Показать ответШаги, которые необходимо предпринять при построении графика линейного уравнения с помощью точек, приведены ниже.
- Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Организуйте их в виде таблицы.
- Нанесите точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают. Если их нет, внимательно проверьте свою работу.
- Проведите линию через три точки. Расширьте линию, чтобы заполнить сетку, и поставьте стрелки на обоих концах линии.
Это правда, что для определения линии требуется всего две точки, но использование трех точек является хорошей привычкой. Если вы нанесете только две точки, и одна из них неверна, вы все равно сможете нарисовать линию, но она не будет представлять решения уравнения. Это будет неправильная линия.
Если вы используете три точки, а одна неверная, точки не совпадут. Это говорит о том, что что-то не так, и вам нужно проверить свою работу. Посмотрите на разницу между частью (а) и частью (б) на (рис. 4).
Рисунок .4Давайте сделаем еще один пример. На этот раз мы покажем последние два шага на одной сетке.
Нарисуйте уравнение .
Решение
Найдите три точки, являющиеся решениями уравнения. Здесь, опять же, проще выбрать значения для . Вы понимаете, почему?
Мы перечисляем точки в таблице ниже.
The second row is a header row and it labels each column. The first column header is x, the second is y and the third is (x, y). Under the first column are the numbers 0, 1, and negative 2. Under the second column are the numbers 0, negative 3, and 6. Under the third column are the ordered pairs (0, 0), (1, negative 3), and (negative 2, 6).»> Нанесите точки, убедитесь, что они совпадают, и нарисуйте линию.
Нарисуйте график уравнения, нанеся точки: .
Показать ответКогда уравнение включает в себя дробь в качестве коэффициента , мы все еще можем заменить любое число на . Но математика упрощается, если мы делаем «хороший» выбор значений . Таким образом, мы избежим дробных ответов, которые трудно точно изобразить в виде графика.
Нарисуйте уравнение .
Решение
Найдите три точки, являющиеся решениями уравнения. Так как это уравнение имеет дробь в качестве коэффициента, мы будем тщательно выбирать значения. Мы будем использовать ноль в качестве одного варианта и числа, кратные 2, для других вариантов. Почему числа, кратные 2, являются хорошим выбором для значений ?
Баллы указаны в таблице ниже.
Under the first column are the numbers 0, 2, and 4. Under the second column are the numbers 3, 4, and 5. Under the third column are the ordered pairs (0, 3), (2, 4), and (4, 5).»> Нанесите точки, убедитесь, что они совпадают, и нарисуйте линию.
Нарисуйте уравнение .
Показать ответДо сих пор все уравнения, которые мы построили, были представлены в терминах . Теперь мы нарисуем уравнение с и на той же стороне. Давайте посмотрим, что происходит в уравнении. Если какова стоимость?
Эта точка имеет дробную часть для координаты x , и, хотя мы можем изобразить эту точку на графике, трудно изобразить точные дроби. Помните, в примере мы тщательно выбирали значения для, чтобы вообще не отображать дроби в графике. Если мы решим уравнение для , будет легче найти три решения уравнения.
Решения для , и показаны в таблице ниже. График показан на (рис. 5).
Under the second column are the numbers 3, 1, and 5. Under the third column are the ordered pairs (0, 3), (1, 1), and (negative 1, 5).»>Рисунок .
5Можете ли вы найти точку , которую мы нашли, пуская, на линии?
Нарисуйте уравнение .
Решение
| Найдите три точки, являющиеся решениями уравнения. | |
| Сначала решите уравнение для . |
Примем за 0, 1 и найдем 3 точки. Упорядоченные пары показаны в таблице ниже. Нанесите точки, убедитесь, что они совпадают, и нарисуйте линию. См. (Рисунок 6).
Рисунок .6Нарисуйте уравнение .
Показать ответЕсли вы можете выбрать любые три точки для построения линии, как вы узнаете, соответствует ли ваш график графику, показанному в ответах в книге? Если точки, в которых графики пересекают оси x и y , совпадают, графики совпадают!
Уравнение в (примере 5) было записано в стандартной форме, с обеими и с одной и той же стороны. Мы решили это уравнение всего за один шаг.
Но для других уравнений в стандартной форме это не так просто решить при , поэтому мы оставим их в стандартной форме. Мы все еще можем найти первую точку для построения, пуская и решая для . Мы можем построить вторую точку, позволив, а затем найдя . Затем мы нанесем третью точку, используя другое значение для или .
Нарисуйте уравнение .
Решение
| Найдите три точки, являющиеся решениями уравнения. | |
| Сначала пусть . | |
| Решите для . | |
| Теперь пусть . | |
| Решите для . | |
| Нам нужна третья точка. Помните, мы можем выбрать любое значение для или . Ну, давайте . | |
| Решите для . |
Заказанные пары указаны в таблице ниже. Нанесите точки, убедитесь, что они совпадают, и нарисуйте линию. См.
(Рисунок 7).
| 0 | ||
| 3 | 0 | |
| 6 | 2 |
7Нарисуйте уравнение .
Показать ответМожем ли мы построить уравнение только с одной переменной? Только и нет, или только без? Как мы составим таблицу значений, чтобы получить точки для построения?
Рассмотрим уравнение . Это уравнение имеет только одну переменную, . Уравнение говорит, что всегда равно , поэтому его значение не зависит от . Независимо от того, что есть, значение всегда равно .
Чтобы составить таблицу значений, запишите все значения. Затем выберите любые значения для . Поскольку не зависит от , вы можете выбрать любые числа. Но чтобы разместить точки на нашем графике координат, мы будем использовать 1, 2 и 3 для и -координаты. См. таблицу ниже.
Нанесите точки из таблицы и соедините их прямой линией. Обратите внимание, что на (Рисунок 8) мы начертили вертикальную линию .
Рисунок .8 Вертикальная линия – это график уравнения вида .
Линия проходит через ось x в точке .
Нарисуйте уравнение .
Решение
Уравнение имеет только одну переменную, и всегда равно 2. Мы создаем таблицу ниже, где всегда 2, а затем вводим любые значения для . График представляет собой вертикальную линию, проходящую через x — ось 2. См. (рис. 9).
| 2 | 1 | |
| 2 | 2 | |
| 2 | 3 |
9Нарисуйте уравнение.
Показать ответЧто делать, если в уравнении есть, но нет ? Нарисуем уравнение. На этот раз y – значение является константой, поэтому в этом уравнении не зависит от . Заполните 4 для всех в таблице ниже, а затем выберите любые значения для . Мы будем использовать 0, 2 и 4 для координат x .
| 0 | 4 | |
| 2 | 4 | |
| 4 | 4 |
График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке 4.
См. (рис. 10).
Горизонтальная линия – это график уравнения вида .
Линия проходит через ось y в точке .
График уравнения
Решение
Уравнение имеет только одну переменную, . Значение является постоянным. Все упорядоченные пары в таблице ниже имеют одинаковые и -координата. График представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось y в точке , как показано на (Рисунок 11).
Рисунок .11Нарисуйте уравнение .
Показать ответУравнения для вертикальных и горизонтальных линий очень похожи на уравнения типа В чем разница между уравнениями и ?
В уравнении есть и , и . Значение зависит от значения . Координата y изменяется в зависимости от значения . Уравнение имеет только одну переменную. Значение является постоянным. y -координата всегда равна 4.
Не зависит от значения . См. таблицы ниже.
| 0 | 4 | |
| 2 | 4 | |
| 4 | 4 |
The first row is a title row with the equation y equals 4. The second row is a header row and it labels each column. The first column header is x, the second is y and the third is (x, y). Under the first column are the numbers 0, 2, and 4. Under the second column are the numbers 4, 4, and 4. Under the third column are the ordered pairs (0, 4), (2, 4), and (4, 4).»>
12Обратите внимание, что на (Рисунок 12) уравнение дает наклонную линию, а дает горизонтальную.
График и в той же прямоугольной системе координат.
Раствор
Обратите внимание, что в первом уравнении есть переменная , а во втором нет. См. таблицы ниже. Два графика показаны на (Рисунок 13).
The first column header is x, the second is y and the third is (x, y). Under the first column are the numbers 0, 1, and 2. Under the second column are the numbers negative 3, negative 3, and negative 3. Under the third column are the ordered pairs (0, negative 3), (1, negative 3), and (2, negative 3).»>
13График и в той же прямоугольной системе координат.
Показать ответ- График линейного уравнения по точкам
- Найдите три точки, координаты которых являются решениями уравнения. Организуйте их в виде таблицы.
- Нанесите точки в прямоугольной системе координат. Убедитесь, что точки совпадают. Если их нет, внимательно проверьте свою работу!
- Проведите линию через три точки. Расширьте линию, чтобы заполнить сетку, и поставьте стрелки на обоих концах линии.
- график линейного уравнения
- График линейного уравнения представляет собой прямую линию. Каждая точка на прямой является решением уравнения. Каждое решение этого уравнения является точкой на этой прямой.
- горизонтальная линия
- Горизонтальная линия – это график уравнения вида . Линия проходит через ось y в точке .
- вертикальная линия
- Вертикальная линия — это график уравнения вида . Линия проходит через x — ось в .
В следующих упражнениях для каждой заказанной пары определите:
а) Является ли упорядоченная пара решением уравнения? б) Находится ли точка на прямой?
В следующих упражнениях постройте график по точкам.
В следующих упражнениях постройте график каждого уравнения.
В следующих упражнениях постройте график каждой пары уравнений в одной и той же прямоугольной системе координат.
- и
- и
- Стоунчайлдс арендовали дом на колесах на неделю, чтобы поехать в отпуск. Аренда дома на колесах обошлась им в 594 доллара плюс 0,32 доллара за милю, поэтому линейное уравнение дает стоимость миль, пройденных за проезд. Рассчитайте стоимость аренды за проезд в 400, 800 и 1200 миль, а затем нарисуйте линию.
- да; №
- нет; №
- да; да
- да; да
- да; да
- да; да
- да; да
- нет; №
| 3.
| 4. |
| 5. | 6.
|
7. |