Степени сравнения прилагательных и их структура в английском языке
Elementary
Сравнительная и превосходная степень
Один из родственников совершенно не говорит по-английски, но зато щеголяет одной-единственной фразой – the best of the best! И он даже не в курсе, что за ней стоит целое правило английского языка и даже исключение из него.
Это правило касается формирования сравнительной и превосходной степеней прилагательных. Но нужно сначала разобраться, что вообще обозначают сравнительная и превосходная степень. В теме нашего урока говорится о степенях СРАВНЕНИЯ прилагательных. А это значит, что эти формы прилагательных проявляют себя когда вы сравниваете что-нибудь. Естественно, при сравнении, например, двух предметов, оказывается что один в большей степени обладает каким-либо качеством (красотой, долготой, широтой, умом и т.
д.), нежели другой предмет. Соответственно этот первый предмет описывается прилагательным (красивый, долгий, широкий, умный и т.д.) в сравнительной степени.А бывает такое, что при сравнении нескольких предметов один из них обладает каким-либо качеством больше всех. И тогда он описывается прилагательным в превосходной степени.
Есть еще положительная или нулевая степень – это само прилагательное в своей обычной (начальной) форме. Итак, суммируем:
Таблица 1. Сравнительная и превосходная степени сравнения английских прилагательных
Положительная степень
Сравнительная степень
Превосходная степень
красивый
красивее
самый красивый
умный
умнее
самый умный
большой
больше
самый большой
спелый
спелее
самый спелый
Конечно, такие изменения изначального прилагательного не остаются невидимыми в английском переводе.
Сравнительная степень В сравнительной степени русского языка явно заметно прибавление суффикса «–е(е)», а в превосходной дополнительного слова – «самый». Соответственно, в английском языке в сравнительной степени мы прибавляем почти такой же суффикс –er, a в превосходной – сочетание the most. Ho обо всем по порядку.Как уже мы говорили, образуется с помощью суффикса
- Slow – slower
- Difficult – more difficult
- Clever – more cleverer – cleverer
Образуется по тому же принципу: с помощью суффикса –est для прилагательных длиной до 2-х слогов.
Если же прилагательное более длинное, то вместо –est в конце мы добавляем частицу the most (=наиболее) в начале. Помните, что здесь действует правило либо-либо, т.е. к одному слову нельзя одновременно приклеивать –est в конце и the most в начале.- Slow – the slowest
- Difficult – the most difficult
- Clever – the most cleverest – the cleverest
Перед прилагательным в превосходной степени всегда ставится the.
В самом начале мы говорили об исключениях. Так вот, есть прилагательные, которые полностью меняют свою форму, чтобы образовать сравнительную и превосходную степени. Как ни странно, это наиболее употребляемые прилагательные в английском языке, поэтому их формы нужно знать на зубок.
Таблица 2. Степени сравнения английских прилагательных . Исключения
good
(хороший)better
(лучше)the best
(самый лучший, наилучший)bad
(плохой)worse
(хуже)the worst
(самый плохой, наихудший)little
(маленький, мало)less
(меньше)the least
(наименьший)much, many
(много)more
(больше)the most
(наибольший)
д.), нежели другой предмет. Соответственно этот первый предмет описывается прилагательным (красивый, долгий, широкий, умный и т.д.) в сравнительной степени.
В сравнительной степени русского языка явно заметно прибавление суффикса «–е(е)», а в превосходной дополнительного слова – «самый». Соответственно, в английском языке в сравнительной степени мы прибавляем почти такой же суффикс –er, a в превосходной – сочетание the most. Ho обо всем по порядку.
Если же прилагательное более длинное, то вместо –est в конце мы добавляем частицу the most (=наиболее) в начале. Помните, что здесь действует правило либо-либо, т.е. к одному слову нельзя одновременно приклеивать –est в конце и the most в начале.
practice.grammar
Для этой статьи есть интерактивные упражнения на грамматику английского языка. Рекомендуем их пройти, чтобы легче усвоить тему «Степени сравнения прилагательных. Структура. Degrees of comparison. Structure.»
2 комментария
наверх
| Качественные имена прилагательные и наречия образа действия в английском языке, так же как и в русском, имеют три степени сравнения: положительную, сравнительную и превосходную.
Многосложные прилагательные и наречия, а также большинство двусложных (кроме оканчивающихся на -y, -e, -er, -ow) образуют сравнительную степень при помощи слова more более, а превосходную степень — при помощи слова most самый, наиболее, которые ставятся перед прилагательным или наречием в форме положительной степени.
Кроме того, существует ряд прилагательных и наречий, которые образуют степени сравнения от других корней.
* Остальные наречия, оканчивающиеся на -ly, образуют степени сравнения с помощью слов more и most, например: correctly правильно — more correctly более правильно — most correctly правильнее всего.
| | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Односложные прилагательные и наречия, а также двусложные, оканчивающиеся на -y, -e, -er, -ow, образуют сравнительную степень путем прибавления к положительной степени суффикса -er, а превосходную степень — с помощью суффикса -est. 
е. оно подразумевается)
Ваш дом не такой большой, как наш.
youtube.com/embed/yFWVbV3fd3I?rel=1&theme=light&color=white&showinfo=0&hd=1″ frameborder=»0″ allowfullscreen=»»> Объяснение урока: степенное правило производных
В этом объяснении мы узнаем, как использовать степенное правило производных и производную суммы функций для нахождения производных многочленов и общих степенных функций.
Начнем с определения производной.
Определение: производная функции
Производная функции 𝑓 определяется как 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ→lim в точках, где существует предел.
Использование такого определения для вычисления производных может быть довольно утомительным. Поэтому мы хотели бы
найти некоторые правила, которые мы можем использовать, чтобы упростить нахождение производных функций.
В этом объяснителе
мы рассмотрим некоторые ключевые правила, которые позволят нам различать
целый набор функций.
Начнем с рассмотрения одной из простейших категорий функций: постоянные функции.
Пример 1: производная константы
Найдите dd𝑦𝑥, если 𝑦=−60.
Ответ
Вспомним определение производной для общей функции 𝑦=𝑓(𝑥): ddlim𝑦𝑥=𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ.→
Подставляя в 𝑓(𝑥)=−60, имеем ddlimlim𝑦𝑥=−60−(−60)ℎ=0=0.→→
Следовательно, производная от 𝑦=−60 равна нулю для всех значений 𝑥.
Последний пример продемонстрировал общее правило производных, что производная константы равна нулю.
Правило: постоянное правило
Для постоянного 𝑐, дд𝑥(𝑐)=0.
Теперь мы можем рассмотреть функции вида 𝑓(𝑥)=𝑥.
Пример 2. Степенное правило для положительных целых чисел
- Найдите производную от 𝑓(𝑥)=𝑥 по первым принципам.
- Найдите производную от 𝑓(𝑥)=𝑥 из первых принципов.
- Найдите производную от 𝑓(𝑥)=𝑥 из первых принципов.
- Рассмотрев шаблон, какова производная от 𝑓(𝑥)=𝑥?
Ответ
Часть 1
Напомним определение производной для общей функции 𝑦=𝑓(𝑥): 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ.→lim
Используя функцию 𝑓(𝑥)=𝑥, имеем 𝑓(𝑥)=𝑥+ℎ−𝑥ℎ=ℎℎ.→→limlim
Поскольку ℎ≠0, мы можем сократить общий множитель ℎ из числителя и знаменателя, чтобы получить 𝑓(𝑥)=1=1.→lim
Часть 2
Используя функцию 𝑓(𝑥)=𝑥 и определение производной, имеем 𝑓(𝑥)=(𝑥+ℎ)−𝑥ℎ.→lim
Раскрывая скобки в числителе, имеем 𝑓(𝑥)=𝑥+2ℎ𝑥+ℎ−𝑥ℎ=2ℎ𝑥+ℎℎ.→→limlim
Так как ℎ≠0, общий множитель ℎ из числителя и знаменателя, чтобы получить 𝑓(𝑥)=(2𝑥+ℎ)=2𝑥.→lim
Часть 3
Используя функцию 𝑓(𝑥)=𝑥 и
определение производной, мы имеем
𝑓(𝑥)=(𝑥+ℎ)−𝑥ℎ.
→lim
Раскрывая скобки в числителе, имеем 𝑓(𝑥)=𝑥+3ℎ𝑥+3ℎ𝑥+ℎ−𝑥ℎ=3ℎ𝑥+3ℎ𝑥+ℎℎ.→→limlim
Так как ℎ≠0, мы можем отменить общий множитель ℎ из числителя и знаменателя, чтобы получить 𝑓(𝑥)=3𝑥+3ℎ𝑥+ℎ=3𝑥.→lim
Часть 4
Сопоставляя ответы первых трех частей вопроса, имеем dddddd𝑥(𝑥)=1,𝑥𝑥=2𝑥,𝑥𝑥=3𝑥.
Мы можем видеть, что когда мы берем производную степени 𝑥, мощность уменьшается на единицу. Вдобавок к этому мы находим, что существует константа, равная исходной мощности. Следовательно, дд𝑥(𝑥)=𝑛𝑥.
Предыдущий пример приводит нас к общему правилу дифференцирования степеней 𝑥; мы называем это правилом мощности.
Правило: Степенное правило для положительных целых чисел
Для любого положительного целого числа 𝑛, dd𝑥(𝑥)=𝑛𝑥.
Чтобы доказать правило степени для положительных целых чисел, нам нужно будет использовать
биномиальная теорема.
Напомним, что
биномиальная теорема позволяет нам расширять биномы, возведённые к любому положительному
целочисленная мощность, в частности:
(𝑎+𝑏)=𝑎+𝑛1𝑎𝑏+𝑛2𝑎𝑏+⋯+𝑛𝑛−1𝑎𝑏+𝑏.0003
Пусть 𝑓(𝑥)=𝑥; используя определение производной, имеем 𝑓(𝑥)=(𝑥+ℎ)−𝑥ℎ.→lim
Используя биномиальную теорему, мы можем разложить (𝑥+ℎ) следующим образом: 𝑓 (𝑥) = 𝑥+𝑥ℎ+𝑥ℎ+⋯+𝑥ℎ+ℎ−𝑥ℎ = 𝑥ℎ+𝑥ℎ+⋯+𝑥ℎ+ℎℎ. → → limlim
, так как ℎ ≠ 0, мы можем отменить общий множитель ℎ из числителя и знаменателя, чтобы получить 𝑓 (𝑥) = 𝑛1𝑥+𝑛2𝑥ℎ+⋯+𝑛𝑛 -1𝑥ℎ+ℎ. → lim
предел при ℎ→0, единственный член без положительного сила ℎ в нем 𝑛1𝑥. Следовательно, 𝑓(𝑥)=𝑛1𝑥=𝑛𝑥.
Обратите внимание, что если мы установим 𝑛=0, у нас будет постоянная функция
и правило мощности говорит нам, что
производная равна нулю в соответствии с нашим исходным правилом относительно
производные постоянных функций.
Хотя это мощное правило позволяет нам рассматривать производные из гораздо более широкого класса функций, это все еще довольно ограничивает, поскольку мы не можем использовать это для различать функции, состоящие из нескольких терминов например полиномы. Поэтому мы хотели бы знать правила о том, как дифференцировать функции, умноженные константами и функциями, образованными как сумма двух более простых функций. Мы будем начать с рассмотрения производная функции 𝑓(𝑥)=𝑐𝑔(𝑥), где 𝑐 — константа, а 𝑔 — дифференцируемая функция.
Используя определение производной, имеем 𝑓(𝑥)=𝑐𝑔(𝑥+ℎ)−𝑐𝑔(𝑥)ℎ.→lim
Вынося общий множитель 𝑐, имеем 𝑓(𝑥)=𝑐𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)ℎ.→lim
Учитывая, что 𝑔 дифференцируемо, мы можем использовать правила конечные пределы, чтобы переписать это как 𝑓(𝑥)=𝑐𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)ℎ=𝑐𝑔(𝑥).→lim
Правило: константа Множественное правило
Для константы 𝑐,
дддд𝑥(𝑐𝑓(𝑥))=𝑐𝑥𝑓(𝑥).
Теперь мы рассмотрим производную функции, определяемой как сумма двух дифференцируемые функции. Пусть 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥); то, используя определение производной, имеем 𝐹(𝑥)=𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥)ℎ=𝑓(𝑥+ℎ)+𝑔(𝑥+ℎ)−(𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥))ℎ=𝑓(𝑥+ ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ+𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)ℎ.→→→limlimlim
Поскольку и 𝑓, и 𝑔 дифференцируемы, имеем 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ+𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)ℎ=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥).→→ limlim
Используя это правило в сочетании с постоянным множественным правилом, мы можем увидеть дддд𝑥(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))=𝑥(𝑓(𝑥)+(−1)𝑔(𝑥)).
Используя правило сумм, имеем дддддд𝑥(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))=𝑥𝑓(𝑥)+𝑥(−1)𝑔(𝑥).
Теперь мы можем использовать постоянное множественное правило, чтобы получить ддддддддд𝑥(𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥))=𝑥𝑓(𝑥)+(−1)𝑥𝑔(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)−𝑥𝑔(𝑥).
Мы суммируем эти результаты ниже.
Правило: правило суммы и разности
Для двух дифференцируемых функций 𝑓 и 𝑔, дддддд𝑥(𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥))=𝑥𝑓(𝑥)±𝑥𝑔(𝑥).
Теперь мы знаем необходимые инструменты для дифференцирования многочленов.
Пример 3: производные полиномов
Учитывая, что 𝑓(𝑥)=−𝑥+𝑚𝑥+1, определить 𝑚 если 𝑓(3)=1.
Ответ
Поскольку мы знаем значение производной в определенный момент, мы следует начать с поиска выражения для производной. Используя правило суммы и разности, имеем 𝑓(𝑥)=𝑥−𝑥+𝑥(𝑚𝑥)+𝑥(1).dddddd
Теперь мы можем использовать правило множественных констант, чтобы получить 𝑓(𝑥)=−𝑥𝑥+𝑚𝑥(𝑥)+𝑥(1).dddddd
Теперь мы можем применить правило мощности, дд𝑥(𝑥)=𝑛𝑥, к каждому термину следующим образом: 𝑓(𝑥)=−2𝑥+𝑚.
Поскольку 𝑓(3)=1, имеем 1=−2(3)+𝑚=−6+𝑚.
Следовательно, 𝑚=7.
В последнем примере показано, как правильно применять сумму, разность,
и постоянные множественные правила. В общем, нам не нужно будет давать полную информацию о применении этих правил.
при дифференциации функций. В последующих примерах мы не будем использовать тот же уровень детализации при применении этих правил.
В следующем примере мы рассмотрим, обобщается ли правило мощности на включают отрицательные силы.
Пример 4. Дифференцирование отрицательных степеней
Найдите производную от 𝑓(𝑥)=𝑥.
Ответ
Используя определение производной 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ→lim с 𝑓(𝑥)=𝑥 имеем 𝑓(𝑥)=1ℎ1𝑥+ℎ−1𝑥.→lim
Мы можем выразить это в виде одной дроби следующим образом: 𝑓(𝑥)=1ℎ𝑥−(𝑥+ℎ)𝑥(𝑥+ℎ)=1ℎ−ℎ𝑥+𝑥ℎ.→→limlim
Так как ℎ≠0, мы можем исключить его из числителя и знаменатель следующим образом: 𝑓(𝑥)=−1𝑥+𝑥ℎ.→lim
Используя законы конечных пределов, имеем 𝑓(𝑥)=−1𝑥+𝑥ℎ=−1𝑥+𝑥ℎ.→→limlim
Принимая предел как ℎ→0, мы имеем 𝑓(𝑥)=−1𝑥.
Из предыдущего примера мы видели, что dd𝑥𝑥=−1𝑥.
Это также можно записать как
дд𝑥𝑥=(−1)𝑥
что является той же формой, что и правило мощности, если мы установим 𝑛=−1.
Это не случайность;
и на самом деле правило степени распространяется на все целые числа.
Правило: Степенное правило для целых степеней
Для любого целого числа 𝑛, dd𝑥(𝑥)=𝑛𝑥.
Мы не будем сейчас доказывать эту версию правила степени. Однако доказать это просто как только мы познакомились с более продвинутыми правилами дифференциации. В следующем примере рассмотрим, имеет ли мощность правило обобщается дальше, чтобы включить дробные показатели.
Пример 5. Дифференцирование дробных степеней
Найдите производную от 𝑓(𝑥)=√𝑥.
Ответ
Используя определение производной 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)ℎ→lim с 𝑓(𝑥)=𝑥 имеем 𝑓(𝑥)=√𝑥+ℎ−√𝑥ℎ.→lim
Поскольку этот предел стремится к 00, мы можем использовать
алгебраический метод
умножение числителя и знаменателя на сопряженное число
числитель для управления этой дробью
в форму, где мы можем оценить предел.
Следовательно,
𝑓(𝑥)=√𝑥+ℎ−√𝑥ℎ×√𝑥+ℎ+√𝑥√𝑥√𝑥+ℎ+√𝑥=𝑥+ℎ−𝑥ℎ√𝑥+ℎ+√𝑥𝑥=ℎℎ=ℎℎ ℎ+√𝑥.→→→limlimlim
Так как ℎ≠0, мы можем исключить его из числителя и знаменатель следующим образом: 𝑓(𝑥)=1√𝑥+ℎ+√𝑥.→lim
Теперь мы можем применить правила конечных пределов, чтобы получить 𝑓(𝑥)=1√𝑥+ℎ+√𝑥=1√𝑥+ℎ+√𝑥.→→limlim
Поскольку lim→√𝑥+ℎ=√𝑥, имеем 𝑓(𝑥)=12√𝑥.
Предыдущий пример показал нам, что дд𝑥√𝑥=12√𝑥.
Мы можем переписать это, используя обозначение индекса как дд𝑥𝑥=12𝑥, именно такую формулу мы получили бы, если бы установили 𝑛=12 в правило власти. Это еще раз не случайно. На самом деле не только правило мощности обобщить на рациональное силы, но также обобщается на любую реальную власть.
Правило: Степенное правило для общих полномочий
Для любого действительного числа 𝑟, dd𝑥(𝑥)=𝑟𝑥.
Мы не будем доказывать здесь эту наиболее общую форму степенного правила.
Генерал
версию правила мощности будет легко доказать, как только мы введем
метод логарифмического дифференцирования.
В последних двух примерах мы применим правило степени и сумму, разность и постоянные множественные правила для нахождения производных более общих функций.
Пример 6. Использование степенного правила для дифференцирования
Учитывая, что 𝑦=15−1𝑥+13𝑥, найти 𝑦.
Ответ
Используя свойства производных, мы можем дифференцировать каждый член независимо следующим образом: 𝑦=𝑥(15)−𝑥1𝑥+13𝑥𝑥.dddddd
Теперь мы можем применить правило мощности, дд𝑥(𝑥)=𝑛𝑥, к каждому термину следующим образом: 𝑦=0−(−6)𝑥+13(20)𝑥=6𝑥+203𝑥.
Пример 7. Использование степенного правила для дифференцирования
Учитывая, что 𝑦=3𝑥+4𝑥+𝑥−2√𝑥, найти 𝑦.
Ответ
Прежде чем мы попытаемся дифференцировать эту функцию, мы должны упростить
выражение.
Поскольку
знаменатель состоит из одного члена, мы можем использовать правила степеней
упростить выражение следующим образом:
𝑦=3𝑥𝑥+4𝑥𝑥+𝑥𝑥−2𝑥=3𝑥+4𝑥+𝑥−2𝑥.
Давайте повторим несколько важных понятий из этого объяснения.
Ключевые моменты
- Правило степени дифференцирования гласит, что для любого действительного числа 𝑟 dd𝑥(𝑥)=𝑟𝑥.
- Правило суммы и разности утверждает, что для двух дифференцируемых функции 𝑓 и 𝑔, дддддд𝑥(𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥))=𝑥𝑓(𝑥)±𝑥𝑔(𝑥).
- Правило кратности констант утверждает, что для константы 𝑐 дддд𝑥(𝑐𝑓(𝑥))=𝑐𝑥𝑓(𝑥).
- Используя эти правила дифференцирования, можно найти производные широкого класса функций.
Цепное правило: Общее правило мощности — Концепция
Общее правило мощности является частным случаем цепного правила.
Это полезно при нахождении производной функции, возведенной в энную степень. Общее правило мощности гласит, что эта производная в n раз больше функции, возведенной в (n-1)-ю степень, умноженной на производную функции.
цепная линейка составные функции силовые функции силовое правило дифференциация
Цепное правило — одна из самых сложных тем в исчислении, поэтому не расстраивайтесь, если у вас возникли проблемы с ним. Поскольку это так сложно, я разделил цепное правило на несколько подтем, и я хочу разобраться с рядом частных случаев цепного правила, и этот случай будет называться общим правилом мощности. Мы вернемся к этому через секунду, вызов с цепным правилом — это метод дифференциации составных функций, таких как f от g от x, и у меня есть привычка кодировать свои составные функции цветом, чтобы внутренняя часть была синий, а внешняя часть красная.
В любом случае, это цепное правило, которое я хочу познакомить вас с тем, что я называю общей степенной функцией, поэтому h от x является общей степенной функцией, если ее можно записать как некоторую функцию g от x любой функции, возведенной в n-ю степень. Так как же отличить одно из них? Мы собираемся использовать версию цепного правила, которую я называю правилом общей мощности. Таким образом, производная g от x к n равна n, умноженной на g от x до n минус 1, умноженная на производную от g от x.
Это всего лишь частный случай цепного правила, так что давайте попробуем его на этой функции h от x равняется этой функции 2x в кубе плюс 3x-1, возведенной в отрицательную 7-ю степень. И поэтому, чтобы быть абсолютно ясным, я собираюсь закодировать эту функцию цветом, чтобы мы могли видеть, что такое внутренняя функция и какая внешняя функция. Обычно лучший способ отличить внутреннее от внешнего — подумать о вычислении значений. Например, если бы я собирался подставить 5 в эту функцию, я бы возвел 5 в третью степень, умножил бы на 2, добавил 3, умноженное на 5, и я бы работал над этой частью функции.
Итак, это внутренняя функция, так что equals, а внешняя функция — это возведение в минус 7, это внешняя функция, а внутри я сделаю синий 2x в кубе плюс 3x-1. Таким образом, в соответствии с этим правилом, h простое число будет производным от этого, и поэтому я беру это n, вытягивая экспоненту вперед, поэтому я получаю отрицательное значение, умноженное на 7, умноженное на 2x в кубе плюс 3x-1.
И новый показатель степени будет равен старому показателю минус 1, поэтому отрицательное число 7-1 будет отрицательным в 8 раз, а затем производная внутренней функции, и это будет 6x в квадрате плюс 3. Я положу это сюда и вашему учителю. может захотеть, чтобы вы упростили это. Итак, давайте сделаем замечание, что эта величина здесь, потому что у меня отрицательный показатель степени 8, она окажется в знаменателе. Итак, у меня есть дробь, и у меня будет 2x в кубе плюс 3x-1 в восьмой степени. И в числителе у меня будет минус 7 умножить на 6x в квадрате плюс 3. Это минус 42 x в квадрате упс минус, потому что я должен распределить минус 7 на эти 2 члена, так что минус 7 умножить на 3 будет минус 21 и это мой ответ.