Предел показательно степенной функции: 6.4. Вычисление предела степенно – показательной функции

6$$

ссылка

отвечен 7 Июн ’12 18:40

ASailyan
15.8k●1●15●35

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Содержание

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

регистрация »

отмечен:

пределы ×875

задан
7 Июн ’12 18:07

показан
11712 раз

обновлен
7 Июн ’12 18:40

Связанные вопросы

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Исследование простейших показательно-степенных функций

Автор(ы): Гибадуллин Артур Амирзянович
Рубрика: Физико-математические науки
Журнал: «Евразийский Научный Журнал №3 2016»

(март)
Количество просмотров статьи: 2772
Показать PDF версию Исследование простейших показательно-степенных функций

Гибадуллин А. А., студент НВГУ

Аннотация: в работе исследуются простейшие показательно-степенные функции.

Ключевые слова: показательно-степенная функция, сложно-показательная функция, факториал.

Показательно-степенной функцией называется функция вида y=[f(x)]^g⁽^x⁾, где f(x) и g(x) – функции от некоторой переменной x. То есть неизвестная содержится и в основании, и в показателе степени.

Существует общая формула для нахождения производных таких функций y’= (g’ ln f + f’ g / f) f^g

Она находится следующим образом

ln y = ln f^g

ln y = g ln f

(ln y)’ = (g ln f)’

(1/y) y’ = g’ ln f + (ln f)’ g

(1/y) y’ = g’ ln f + (1/f) f’ g

y’= (g’ ln f + f’ g / f) y

В работе исследованы следующие функции: x^x и x^1/^x.

Подставляя функции в основании и показателе, получаем значение производных:

(x^x)’= (ln x + 1) x^x

(x^1/x)’= ((-1/x²) ln^{x + 1/x² ) x^1/x = (1 – ln x) x^-2+1/x}

Для обеих функций невозможно найти неопределенный интеграл, выраженный через элементарные функции.

Интересно поведение функций при отрицательных значениях аргумента, так как в этом случае меняется их знак, значения функций могут уходить в комплексную область.

В положительной области обе функции имеют положительное значение. В единице графики функций пересекаются в точке (1,1).

Функция x^x

— предел при стремлении значения аргумента к нулю справа равен единице,

— возрастает на знакоположительной области,

— предел при стремлении к бесконечности равен бесконечности.

Функция x^1/^x

— предел при стремлении значения аргумента к нулю справа равен нулю,

— возрастает от нуля до e и убывает после,

— значение на знакоположительной области не превышает e^1/^e,

— предел при стремлении к бесконечности равен единице.

Если сравнить функцию x^x и x! при неотрицательных целых значениях аргумента, то обнаружим, что функция x

x возрастает быстрее. Также при x равном степени основания системы счисления, получается значение, которое легко записать в используемой системе счисления.

Например, 10¹⁰ = 10 000 000 000 в десятичной.

Литература

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. М.: Изд-во МГУ. Ч.1: 2-е изд., перераб., 1985. – С. 212-213

Пределы экспоненциальных функций на бесконечности

Важно оценить поведение экспоненциальных функций как вход в них становится большим положительным числом или большим отрицательным число. Это поведение отличается от поведения многочленов или рациональные функции, которые ведут себя одинаково для больших входных данных независимо от того, является ли ввод большим положительным или большим отрицательным . {-1}} = {1\over 1/a} = a$$ Это должно не удивлять, а скорее обнадеживать, что мы не будет делать ложных выводов такими манипуляциями. 9{r_i}$$ Мы должны были бы проверить, что это определение не случайно зависят от последовательности, приближающейся к $x$ (это не так), и что те же свойства до сих пор работают (работают).

Число $e$ не то, что могло бы появиться на самом деле элементарная математика, потому что причина ее существования на самом деле не элементарный. Во всяком случае, это примерно $$e = 2,71828182845905$$ но если бы это когда-либо имело значение, у вас был бы под рукой калькулятор, с надеждой.

Имея в виду определения, легче понять вопросы о 9х = \ влево \ {\ матрица { +\infty& \hbox{ если } & a>1 \cr 1& \hbox{ если } & a=1 \cr 0& \hbox{ если } & 01 \cr 1& \hbox{ если } & a=1 \cr +\infty& \hbox{ если } & 0

Чтобы запомнить, что есть что, достаточно использовать $2$ для $a>1$ и ${1\over 2}$ за $01$ и ${1\over 2}$ за $0

Пределы для тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических функций

по

Тригонометрические функции непрерывны во всех точках

Тангенс и секанс регулярно текут повсюду в своей области, которая является комбинацией всех точных чисел.

Пусть a — действительное число в области определения данной тригонометрической функции, тогда

$\lim _{x\to a}\sin x=\sin a$
$\lim _{x\ to a}\cos x=\cos a$
$\lim _{x\to a}\tan x=\tan a$
$\lim _{x\to a}\cot x=\cot a $
$\lim _{x\to a}\sec x=\sec a$
$\lim _{x\to a}\csc x=\csc a$

Особые случаи:

$\lim _{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
$\lim _{x\to 0}\frac{1-cos x}{x}=0$

Следовательно, вы можете получить

$\lim _{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=(\lim _{x\to 0}\frac {\ sin x} {x}) (\ lim _ {x \ to 0} \ frac {1} {\ cos x}) = (1) (1) = 1 $

Например:

Показательные функции непрерывны в каждой точке.

9{+}}\ln x=-\infty $, так как мы не можем помещать отрицательные значения x в функцию логарифмирования. Это означает, что нормальный предел не может существовать, потому что x справа и слева от рассматриваемой точки должны быть оценены, в то время как x слева от нуля отрицательны.