Предел функции с корнями
Среди примеров пределов функции часто встречаются функции с корнями, которые не всегда понятно как раскрывать. Проще когда есть пример границе с корневой функцией вида
Решение подобных пределов просто и понятно каждому.
Трудности возникают если есть следующие примеры функций с корнями.
Пример 1. Вычислить предел функции
При прямой подстановке точки x = 1 видно что и числитель и знаменатель функции
превращаются в ноль, то есть имеем неопределенность вида 0/0.
Для раскрытия неопределенности следует умножить выражение, содержащее корень на сопряженное к нему и применить правило разности квадратов. Для заданного примера преобразования будут следующими
Предел функции с корнями равен 6. Без приведенного правила ее трудно было бы найти.
Рассмотрим подобные примеры вычисления границы с данным правилом
Пример 2. Найти предел функции
Убеждаемся что при подстановке x = 3 получаем неопределенность вида 0/0.
Ее раскрываем умножением числителя и знаменателя на сопряженное к числителю.
Далее числитель раскладываем согласно правилу разности квадратов
Вот так просто нашли предел функции с корнями.
Пример 3. Определить предел функции
Видим, что имеем неопределенность вида 0/0.
Избавляемся ирациональносьти в знаменателе
Предел функции равна 8.
Теперь рассмотрим другой тип примеров, когда переменная в переделе стремится к бесконечности.
Пример 4. Вычислить предел функции
Много из Вас не знают как найти предел функции. Ниже будет раскрыта методика вычислений.
Имемем предел типа бесконечность минус бесконечность. Умножаем и делим на сопряженный множитель и используем правило разности квадратов
Границ функции равна -2,5.
Вычисление подобных пределов фактически сводится к раскрытию иррациональности , а затем подстановке переменной
Пример 5. Найти предел функции
Предел эквивалентен — бесконечность минус бесконечность
.
Умножим и разделим на сопряженное выражение и выполним упрощение
Пример 6. Чему равен предел функции?
Имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность
Выполняем преобразования с корневыми функциями
предел функции равен -2.
Хорошо ознакомьтесь с методикой раскрытия неопределенностей, алгоритм достаточно прост и поможем найти сложную границу функции.
Пределы с корнями: примеры с решением
Поиск значений пределов с корнями мало чем отличается от каких-либо других пределов.
Замечание 1
Основная цель в данном случае — это избавление от знака корня с помощью тождественных преобразований.
Например, если необходимо иметь дело с дробью с корнем в знаменателе, можно домножить всё выражение на такой множитель, который позволит получить в знаменателе разность квадратов.
Такой способ хорош если приходится иметь дело с неопределённостями вида $[\frac00]$.2-4x} + x}=-\frac{4}{\sqrt{1-\frac{4}{x}} + 1} = -\frac{4}{\sqrt{1-0}+1} = -2$.
как понять, вычислить, подробное объяснение с решением
Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.
В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Понятие предела в математике
Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:
Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.
Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.
Звучит громоздко, но записывается очень просто:
Lim — от английского limit — предел.
Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.
Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.
Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3
Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.
В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:
Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.
Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!
Неопределенности в пределах
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность
Пусть есть предел:Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?
Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:
Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Еще один вид неопределенностей: 0/0
В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:
Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:
Сократим и получим:
Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.
Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:
Правило Лопиталя в пределах
Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?
Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.
Наглядно правило Лопиталя выглядит так:
Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.
А теперь – реальный пример:
Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:
Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.
Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.
определение, формулы и примеры решения
Содержание:
Определение
При вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено.{0}\right]$
Все другие выражения не являются неопределенностями и принимают какое-то конкретное конечное или бесконечное значение.
Раскрытие неопределенностей
Для раскрытия неопределенностей используют следующее:
Основные пределы
1. Первый замечательный предел: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$
Пример
Задание. Вычислить предел $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\arcsin 7 x}$
Решение. Получим неопределенность, сделаем замену. При $x \rightarrow 0$: $\sin x \sim x$, $\arcsin x \sim x$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\arcsin 7 x}\left[\frac{0}{0}\right]=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x}{7 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3}{7}=\frac{3}{7}$
Ответ. $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{\arcsin 7 x}=\frac{3}{7}$
2. Второй замечательный предел: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$
Слишком сложно?
Основные неопределенности и способы их раскрытия не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Пример
Задание.{2}-5 x+6}=-4$
Читать дальше: понятие непрерывности функции в точке.
2.13. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей
Правило. Для вычисления предела функции в точкеили принадо применить теоремы о пределах и подставить предельное значение аргумента.
Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство
.
Примеры
Найти пределы функций:
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
При вычислении пределов функций формальная подстановка вместо х предельного значения часто приводит к неопределенным выражениям вида:,,,,,,.
Например, или.
Выражения вида ,,,,,,называютсянеопределенностями.
Вычисление предела функции в этих случаях называют раскрытием неопределенности.
Рассмотрим правила раскрытия таких неопределенностей.
Неопределенность вида
Если ипри(), то говорят, что их частноепредставляет собой неопределенность вида.
Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степеньх.
Например,
.
Рассмотрим дробно−рациональную функцию
(),
представляющую собой отношение двух многочленов относительно х степеней m и n соответственно, и исследуем поведение этой функции при .
При нахождении предела данной функции при могут иметь место три варианта ответа:
1. | , если ; |
2. | , если ; |
3. | , если . |
Из этого следует, что предел отношения двух многочленов при во всех случаях равен пределу отношения их старших членов.
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2. ;
3. .
Неопределенность вида
Если требуется найти , гдеи− бесконечно малые функции при(), т.е., то в этом случае вычисление предела называют раскрытием неопределенности вида .
Рассмотрим возможные приемы раскрытия такой неопределенности.
Выделение критического множителя
Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель и сократить на него дробь.
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2. ;
Преобразование иррациональных выражений
Правило. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель, или тот и другой иррациональны, надо:
− перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель, домножив дробь на сопряженные выражения,
− либо сделать замену переменной.
Замечание.
Если под знаком предела делается замена переменной, то все величины, входящие под знак предела, должны быть выражены через эту новую переменную. Из равенства, выражающего зависимость между старой переменной и новой, должен быть определен предел новой переменной.
Примеры
Найти пределы функций:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
.
Применение первого замечательного предела
Правило. Для раскрытия неопределенности вида , содержащей тригонометрические выражения, используют первый замечательный предел:
или ,
где и.
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2. ;
4. .
Применение эквивалентных бесконечно малых величин
Правило. Для раскрытия неопределенности вида можно и числитель и знаменатель заменить величинами им эквивалентными (п.2.12).
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2. ;
3. ;
4.
.
Неопределенности вида и
Если ипри, то их разностьпредставляет собой неопределенность вида .
Если ипри, то их произведение− это неопределенность вида .
Правило. Неопределенности вида ираскрываются путем их преобразования и сведения к неопределенностям видаили.
Примеры
Найти пределы функций:
.
Неопределенности вида ,,
Пусть функция имеет вид:
.
Если при ,, а, то имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности применяют второй замечательный предел:
; ;
или
; .
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2. ;
3. ;
Если при ,, а, то имеем неопределенность вида .
Если ипри, то имеет место неопределенность .
Для раскрытия неопределенностей вида иих преобразуют и сводят к неопределенности видаследующим образом:
.
Примеры
Найти пределы функций:
1. ;
2. ;
В заключение отметим, что в дальнейшем будут рассмотрены более эффективные методы вычисления пределов функций, основанные на использовании понятия производной.
Упражнения
Односторонние пределы. Найти пределы:
1. ; Ответ:;
; Ответ: ;
2. ; Ответь:;
; Ответ: 0.
Непосредственное вычисление пределов. Найти пределы:
3. ; Ответ: 15;
4. ; Ответ:.
5. ; Ответ: 0.
Раскрытие неопределенности . Найти пределы:
6. ; Ответ: 0;
7. ; Ответ: -2;
8. ; Ответ:;
9. ; Ответ:.Раскрытие неопределенности . Найти пределы:
10. ; Ответ:;
11. ; Ответ: -2;
12. ; Ответ:;
13. ; Ответ:;
14. ; Ответ: -12;
15. ; Ответ:.
16. ; Ответ:;
17. ; Ответ:;
18. ; Ответ:;
19. ; Ответ:;
20. ; Ответ:.
Раскрытие неопределенностей . Найти пределы:
21. ; Ответ:;
22. ; Ответ:;
23. ; Ответ: 0;
24. ; Ответ: 1.
Раскрытие неопределенности. Найти пределы:
25. ; Ответ:;
26. ; Ответ:;
27. ; Ответ:;
28. ; Ответ:.
3. Основные свойства пределов | Контрольные работы по математике и дру
2. Если , то , где – бесконечно малая последовательность.
3. Если последовательность имеет предел, то она ограничена, т. е. если , то , где – некоторое положительное число.
4. Если последовательность имеет предел, то он один.
5. Предел суммы двух последовательностей равен сумму их пределов, если предел каждого слагаемого существует, т. е.
,
Если пределы справа существуют.
Следствие. Предел суммы конечного числа последовательностей, имеющих предел, равен сумме их пределов.
6. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов, т. е.
,
Если пределы справа существуют.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.
.
Следствие 2. Предел произведения конечного числа сходящихся последовательностей равен произведению пределов сомножителей.
Следствие 3. Предел степени последовательности, имеющей предел, равен степени предела последовательности, т. е.
,
Если существует и – конечное число.
Следствие 4. Предел корня из сходящейся последовательности равен корню той же степени из предела последовательности, т. е.
,
Если предел справа существует (предполагается также, что корни слева и справа существуют, т. е. если корни являются корнями четной степени, то подкоренные выражения неотрицательны).
7. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, если предел делителя не равен нулю, т. е.
,
Если пределы справа существуют и .
В тех случаях, когда пределы отдельных последовательностей, над которыми производятся действия, не существуют, то это еще не означает, что не существует общий предел (предел результата действий). Последний может существовать, только он не может быть найден с помощью указанных свойств пределов; его следует находить в каждом отдельном случае особыми приемами.
То же самое можно сказать и о пределе частного, когда пределы делимого и делителя равны нулю.
Рассмотрим примеры на нахождение пределов последовательностей.
Пример 7. Дана последовательность . Доказать, что .
Доказательство. Пусть задано . Найдём разность
.
По определению предела должно выполняться неравенство
,
Откуда
.
Следовательно, , если . Поэтому .
Находить пределы последовательностей, пользуясь непосредственно определением предела, нецелесообразно. Рассмотренный предел можно найти, применяя свойства пределов:
.
Обычно все промежуточные выкладки опускают, и решение выглядит так:
.
Пример 8. Найти предел .
Решение. Рассмотрим отдельно три случая:
.
а) Пусть ; тогда
.
б) Пусть ; тогда
.
в) Пусть ; тогда
.
Ответ:
Пример 9. Найти предел .
Решение. Вынося старшие степени числителя и знаменателя за скобки, имеем:
.
Пример 10. Найти предел .
Решение. Применить непосредственно свойства пределов здесь нельзя. Чтобы найти данный предел, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему, тогда
(второй предел равен нулю).
Следовательно, числитель есть общий член бесконечно малой последовательности. Так как знаменатель – общий член бесконечно большой последовательности, то последовательность бесконечно мала, а ее предел равен нулю.
Ответ: .
Пример 11. Найти предел .
Решение. Частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую есть бесконечно малая последовательность (свойство 6 бесконечно малых последовательностей). Поэтому предел равен нулю.
Ответ: .
Иногда при нахождении пределов формальные преобразования не достигают цели и нужно рассмотрение по существу. Например, при изучении выражений, содержащих , при , надо иметь в виду, что при значение при , а при значение неограниченно растет.
Пример 12. Найти .
Решение. Рассмотрим отдельно три случая:
.
а) Пусть ; тогда
.
б) Пусть ; тогда
.
в) Пусть ; тогда
.
Ответ:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Контрольная работа на тему: теория пределов, непрерывность
Теория пределов. Непрерывность
Задание: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенностей.
Целы формирование умения вычислять пределы функций, раскрывая неопределенности и используя замечательные пределы.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
10.1. Выучите определение предела функции в точке. Выясните, когда при вычислении пределов функции в точке возникает неопределенность вида
и в чем заключается техника ее раскрытия.10.2. Вычислите предел функции в точке:
10.3. Выучите определение предела функции на бесконечности. Выясните, когда при вычислении пределов функции возникает неопределенность вида
и в чем заключается техника ее раскрытия.10.4. Вычислите предел функции на бесконечности:
10.5. Запомните, какие пределы называются замечательными и проанализируйте, как они используются для вычисления пределов.
10.6. Вычислите предел функции с помощью замечательных пределов:
10.7. Вычислите предел функции:
10.8. Выясните, при каком значении параметра
будет равен -1; 0.Методические указания по выполнению работы:
При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:
1. Предел функции в точке. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .
Число
называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого наперед заданного существует такое , что для всех , удовлетворяющих условиям , имеет место неравенство: .Если
есть предел функции при , то пишут: .При вычислении предела функции в точке удобно использовать следующую технику:
1. Если под знаком предела стоит многочлен, то предел вычисляется простой подстановкой.
Пример 1.Вычислите:
.Решение:
Подставим в многочлен вместо
значение -1, тогдаОтвет:
.2. Если под знаком предела стоит отношение двух многочленов
, то проверяем, обращается ли при подстановке знаменатель в ноль. Если не обращается, то предел вычисляется простой подстановкой.Если при подстановке
знаменатель обращается в ноль, то необходимо использовать дополнительные приемы.Если
, то имеем неопределенность вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов и на множители, используя формулы сокращенного умножения и формулу разложения квадратного трехчлена на множители:, где и — корни уравнения .Если разложение выполнено верно, то в числителе и знаменателе дроби должны получиться одинаковые множители, которые следует сократить. После сокращения предел вычисляется простой подстановкой.
Пример 2.Вычислите
.Решение:
Проверим, какие значения будут принимать числитель и знаменатель при подстановке вместо
значения 3: . Получили неопределенность вида .Разложим числитель на множители по формуле разложения квадратного трехчлена. Составим уравнение
и найдем его корни: или .Тогда числитель можно представить в виде произведения двух множителей:
Знаменатель
разложим по формуле разности квадратов: .Вернемся к исходному пределу:
Ответ:
.3. Если под знаком предела стоит дробь вида
, включающая иррациональную функцию (функцию, содержащую корень), то домножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное иррациональному.Пример 3.Вычислите
.Решение:
Поскольку при подстановке в числитель и знаменатель вместо
значение 0, получаем неопределенность вида , домножим числитель и знаменатель дроби на выражение , сопряженное знаменателю. Получим:В знаменателе дроби воспользуемся формулой разности квадратов:
Вынесем в знаменателе
за скобки и сократим дробь на : .Видим, что при подстановке
числитель и знаменатель не обращаются в 0, следовательно, теперь предел вычисляется простой подстановкой:Ответ:
.2. Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов путем раскрытия неопределенности вида .
Число
называется пределом функции при , если для любого наперед заданного существует такое , что для всех имеет место неравенство: .Если
есть предел функции при , то пишут: .Для нахождения пределов функций на бесконечности часто используют два основных предела:
и , где — константа.При вычислении предела дроби при
возникает неопределенность вида . Техника ее раскрытия заключается в том, что каждое слагаемое числителя и знаменателя нужно разделить на в наивысшей степени. Возможны три случая:1) наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя:
Пример 4.Вычислите
.Решение:
Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на
. Получим:Каждое слагаемое
стремится к 0 при , тогдаОтвет:
.Итак, если наивысшая степень числителя совпадает с наивысшей степенью знаменателя, то в пределе получается число, отличное от нуля.
Пример 5.Вычислите
.Решение:
Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на
. Получим:Ответ:
.Таким образом, если наивысшая степень числителя больше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается бесконечность.
3) наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя:
Пример 6.Вычислите
.Решение:
Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на
Получим:Ответ:
Таким образом, если наивысшая степень числителя меньше наивысшей степени знаменателя, то в пределе получается ноль.
3. Замечательные пределы. Вычисление пределов с помощью замечательных.
Вычисление пределов функции можно осуществлять с помощью замечательных пределов:
— первый замечательный предел; — второй замечательный предел.Пример 7.Вычислите
.Решение:
Поскольку под знаком синуса стоит угол
, домножим числитель и знаменатель дроби на 3, чтобы выражение под знаком синуса и выражение в знаменателе стали равны: .Вынесем число 3 за знак предела:
.Применив первый замечательный предел, получим, что
.Ответ:
.Пример 8.Вычислите
.Решение:
Постараемся преобразовать выражение под знаком предела таким образом, чтобы прийти ко второму замечательному пределу. Необходимо, чтобы числитель дроби
был равен 1. Для этого разделим числитель и знаменатель данной дроби на 3; получим дробь вида: . Теперь постараемся преобразовать показатель степени таким образом, чтобы в нем можно было выделить множитель . Для этого домножаем на 2 и 3 и делим на 2 и 3:Применив к выражению в скобках второй замечательный предел, получим, что
Ответ:
.На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
2}}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ frac {1} {{(x + a) (\ sqrt {x — b} + \ sqrt {a — b})}} = \ frac {1} {{(a + a) (\ sqrt {a — b} + \ sqrt {a — b})}} = \ frac {1} {{4a \ sqrt {a — b}}} $$Обратите внимание, что в приведенных выше примерах после того, как лимит был исчерпан, символ предела удаляется, и фиксированная точка заменяется x. 2} — 3x + 3}) \ sqrt {4x — 1}}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 1} \ frac {{- \ sqrt 0 \ cdot 5}} {(1 + \ sqrt 1) \ sqrt 3}} = 0 \ end {выровнен} $$
исчислений — как оценить этот предел иррациональной функции?
Глядя на различные комментарии OP, кажется, что учебники, которым он следит, невысокого качества, и вместо того, чтобы предлагать пошаговый подход к ограничениям, они пытаются научить их ряду приемов.
Для большинства обычных задач с лимитами достаточно основных правил лимитов и некоторых стандартных лимитов:
1) $ \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) \ pm g (x) = \ lim_ {x \ to a} f (x) \ pm \ lim_ {x \ to a} g (x ) $
2) $ \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x) \ cdot g (x) = \ lim_ {x \ to a} f (x) \ cdot \ lim_ {x \ to a} g (x ) $
3) $ \ displaystyle \ lim_ {x \ to a} \ frac {f (x)} {g (x)} = \ dfrac {{\ displaystyle \ lim_ {x \ to a} f (x)}} { {\ displaystyle \ lim_ {x \ to a} g (x)}} $ при условии, что $ \ lim_ {x \ to a} g (x) \ neq 0 $.{x} — 1} {x} = 1, \, \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ log (1 + x)} {x} = 1 $$
Далее мы подходим к конкретному вопросу здесь $$ \ lim_ {h \ to 0} \ frac {5} {\ sqrt {5h + 1} + 1} $$ Нам не нужно думать, что это рациональная функция или нет, но просто обратите внимание, что это выражение вида $ f (h) / g (h) $, где $ f, g $ — некоторые функции и, следовательно, должно применяться правило 3). Ясно, что для числителя $ f (h) = 5 $ мы видим, что $ \ lim_ {h \ to 0} 5 = 5 $, и нам нужно посмотреть, есть ли предел знаменателя $ g (h) = \ sqrt {5h + 1 } + 1 $ существует и отличен от нуля.Если мы видим форму $ g (h) $, она выглядит как сумма двух функций, и, следовательно, можно применить правило 1). Таким образом, мы можем написать
$ \ displaystyle \ begin {выровнено} \ lim_ {h \ to 0} \ frac {5} {\ sqrt {5h + 1} + 1} & = \ dfrac {{\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} 5 }} {{\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ {\ sqrt {5h + 1} + 1 \}}} \\ & = \ dfrac {5} {{\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ {\ sqrt {5h + 1} + 1 \}}} \\ & = \ dfrac {5} {{\ displaystyle \ lim_ {h \ to 0} \ sqrt {5h + 1} + \ lim_ {h \ to 0} 1}} \\ & = \ frac {5} {1 + 1} = \ frac {5} {2} \ end {align}
долл. СШАЧтобы представить контрастный пример, мы пытаемся вычислить $$ \ lim_ {h \ to 0} \ frac {h} {\ sqrt {5h + 1} — 1} $$. и числитель, и знаменатель равны $ 0 $, и, следовательно, правило 3) не может быть применено точно, потому что предел знаменателя равен $ 0 $.Пришло время произвести некоторые манипуляции, чтобы данная функция могла быть представлена в форме, которая избегает ограничения знаменателя $ 0 $. Такая манипуляция выполняется в предположении, что $ h \ neq 0 $. Тогда
$ \ displaystyle \ begin {align} \ lim_ {h \ to 0} \ frac {h} {\ sqrt {5h + 1} — 1} & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {h} {\ sqrt {5h + 1} — 1} \ cdot \ frac {\ sqrt {5h + 1} + 1} {\ sqrt {5h + 1} + 1} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {h \ {\ sqrt {5h + 1} + 1 \}} {5h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ sqrt {5h + 1} + 1} {5} \\ & \ text {(как в предыдущем примере)} \\ & = \ frac {2} {5} \ end {align}
долл. СШАКак видно из различных вопросов о предельных значениях на этом веб-сайте, большинство новичков в исчислении пытаются использовать такие концепции, как непрерывность, производная, L’Hospital и даже разложения в ряды для решения простых задач о предельных значениях (большинство ответов, приведенных здесь, также пытаются использовать эти методы).Очень жаль, что новички недооценивают силу простых правил ограничений (упомянутых выше) и переходят на концепции высокого уровня. ИМХО, новичку, изучающему ограничения впервые, будет лучше, если он полностью не осознает эти высокоуровневые концепции (которые в конечном итоге получены из более простой концепции ограничений) и вместо этого сосредоточится на правилах ограничений.
Интегрирование иррациональных функций
Некоторые типы интегралов, содержащие иррациональные выражения, можно свести к интегралам от рациональных функций, сделав соответствующую замену.2}} \) можно оценить с помощью тригонометрических и гиперболических замен.
Решенные проблемы
Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.
Пример 1
Найдите интеграл \ ({\ large \ int \ normalsize} {{\ large \ frac {{\ sqrt {x + 9}}}} {x} \ normalsize} dx}. \)Пример 2
Найдите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{x — \ sqrt x}}} \ normalsize}. \)Пример 3
Вычислите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{\ sqrt x + 1}}} \ normalsize}.\)Пример 4
Вычислить интеграл \ (\ int {\ sqrt [3] {{5x — 1}} dx}. \)Пример 5
Найдите интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {x} {{\ sqrt {x + 1}}}} \ normalsize dx}. \)Пример 6
Найдите интеграл \ (\ int {x \ sqrt {2x — 3} dx}. \)Пример 7
Вычислить интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{x \ sqrt {x — 4}}}} \ normalsize}. \)Пример 8
Вычислите интеграл \ (\ int {{\ large \ frac {{\ sqrt x — 1}} {{\ sqrt x + 1}} \ normalsize} dx}.\)Пример 9
Вычислить интеграл \ ({\ large \ int \ normalsize} {\ large \ frac {{dx}} {{x + \ sqrt [3] {x}}} \ normalsize}. \)Пример 10
Вычислить интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{\ sqrt x + \ sqrt [3] {x}}}} \ normalsize}. \)Пример 11
Вычислить интеграл \ (\ int {\ large {\ frac {{dx}} {{\ sqrt [3] {x} + 1}}} \ normalsize}. 2} du}} {5}.3}}}} {2}} + {C.} \]Пределы иррациональности — Колин Стронг
Одно из популярных представлений о поведенческой науке — это то, что подчеркивает нашу иррациональность. И не просто произвольно иррационально, но, как выразился Дэн Ариэли, «предсказуемо иррационально». Но насколько хорошо это понятие выдерживает проверку?
Многие специалисты в области бихевиористской науки ссылаются на поведенческую экономику. Эта субдисциплина бросает вызов ортодоксальным экономистам, которые склонны объяснять поведение на основе рационального выбора, предполагая, что все мы — вычислительные машины, взвешивающие затраты и выгоды любого решения.
Итак, вполне понятно, что поведенческая экономика должна искать известные систематические способы, которыми наше поведение не соответствует этому в высшей степени «рациональному» набору допущений. Как всегда, мы должны позаботиться о том, чтобы то, что является необходимой корректировкой одной дисциплины, не стало определяющей чертой другой.
Мы хорошо знакомы с оптическими иллюзиями, такими как иллюзия Мюллера-Лайера, где простое различие в концах линий одинаковой длины означает, что мы склонны рассматривать их как разные по длине.Один и тот же эффект был получен в различных ситуациях, что позволяет предположить, что он не ограничивается рамками лаборатории. Несмотря на эту, казалось бы, иррациональную иллюзию, мы не склонны считать себя оптически иррациональными.
Конечно, тот же принцип применим и к когнитивным иллюзиям. Эксперименты, демонстрирующие очевидные недостатки в нашей способности принимать рациональные решения, часто специально предназначены для этого: благодаря этому мы можем кое-что узнать о том, как работает мозг, но это не обязательно означает, что это определяющая черта того, как мы живем в повседневной жизни. life
Мы также должны быть осторожны с тем, как мы определяем «иррациональность».Иллюзорное превосходство — это когнитивная предвзятость, при которой человек переоценивает свои собственные качества и способности по сравнению с такими же качествами и способностями других людей. Например, большинство людей склонны думать, что они являются гораздо лучшими водителями, чем другие, что, по-видимому, является хорошим примером иррациональности. Однако это не так уж иррационально, когда мы понимаем, что судим себя, основываясь на собственных критериях хорошего вождения. Когда нас просят использовать стандартный набор рекомендаций, эти различия между тем, как мы судим себя и других, исчезают.
Мое общее мнение таково: когда мы указываем пальцем на очевидные недостатки людей, отвечающих на опросы или участвующих в экспериментах, нам нужно очень внимательно посмотреть на самих себя и на то, говорят ли они больше о наших собственных недостатках в нашем подходе и интерпретации. . Мы не можем придерживать людей неразумных стандартов, но это далеко не означает, что мы иррациональны.
Для получения дополнительной информации по этой теме прочтите интервью, которое я провел с профессором Питером Эйтоном.
Иррациональные убеждения | Консультационный центр
Работа с иррациональными убеждениями из Инструменты для личного роста (1999-2010) , Джеймс Дж. Мессина, доктор философии.
I. Что такое иррациональные убеждения?
Иррациональные убеждения:
- Послания о жизни, которые мы посылаем самим себе, не дают нам эмоционально расти.
- У нас в голове есть сценарии о том, какой, по нашему мнению, должна быть жизнь для нас и для других.
- Необоснованные взгляды, мнения и ценности, которых мы придерживаемся, не соответствуют реальному миру.
- Негативные наборы привычных реакций, которых мы придерживаемся, когда сталкиваемся со стрессовыми событиями или ситуациями.
- Стереотипные способы решения проблем, которые мы применяем, чтобы справиться с жизненным давлением.
- Идеи, чувства, убеждения, образ мышления, отношения, мнения, предубеждения, предрассудки или ценности, с которыми мы выросли. Мы привыкли использовать их, когда сталкиваемся с проблемами в нашей текущей жизни, даже если они не помогают нам достичь положительного решения, способствующего росту.
- Самостоятельные действия. На первый взгляд они могут выглядеть подходящими для данного случая, но на самом деле они приводят к нейтральным или отрицательным последствиям для нас.
- Привычные способы мышления, чувств или действий, которые мы считаем эффективными; однако в конечном итоге они безрезультатны.
- Контрпродуктивный образ мышления, который дает комфорт и безопасность в краткосрочной перспективе, но либо не решает, либо фактически усугубляет проблему в долгосрочной перспективе.
- Негативный или пессимистический взгляд на необходимый жизненный опыт, такой как потеря, конфликт, принятие риска, отказ или принятие изменений.
- Чрезмерно оптимистичный или идеалистический взгляд на необходимый жизненный опыт, такой как потеря, конфликт, риск, отказ или принятие изменений.
- Эмоциональные аргументы в пользу принятия или бездействия перед лицом проблемы. Если следовать им, они не приносят личной выгоды, а скорее приводят к большим личным трудностям или потерям.
- Образцы мышления, которые заставляют нас казаться другим упрямыми, упрямыми, несдержанными, склонными к спорам или равнодушными.
- Способы думать о себе, которые находятся вне контекста с реальными фактами, что приводит к тому, что мы либо недооцениваем, либо переоцениваем себя.
- Средство, с помощью которого мы запутываемся в намерениях других, когда мы запутываемся в межличностных проблемах с ними.
- Сообщения на всю жизнь, отправленные нам официально или неофициально: обществом, культурой, сообществом, расой, этнической группой, соседством, церковью, социальными сетями, семьей, родственниками, группой сверстников, школой, работой или родителями. Они непродуктивны в решении нашей текущей проблемы или кризиса, но мы либо не хотим, либо не можем их отпустить. Эти сообщения могут быть очень понятными для нас или они могут быть скрыты в нашем подсознании.
- Выводы о жизни, которую мы развили в течение долгого времени, живя в иррациональной среде, которая не определяется как иррациональная (например, убеждения, сформированные в результате членства в семье с высоким уровнем стресса).
- Стандарты, по которым мы выросли и на которых мы научились действовать, во что верить и как выражать или испытывать чувства. Однако при соблюдении этих стандартов мы не можем удовлетворительно решить наши текущие проблемы.
- Ритуальные способы, с помощью которых мы поддерживаем наши отношения с другими людьми, что приводит к непродуктивным отношениям и усилению эмоционального стресса.
- Устаревшие, непродуктивные, нереалистичные ожидания, предъявляемые к нам и / или другим, гарантированно недостижимые и приводящие к продолжению негативных представлений о себе.
II. Какие есть примеры иррациональных убеждений?
О себе:
- Не заслуживаю положительного внимания со стороны окружающих.
- Я никогда не должен обременять других своими проблемами или страхами.
- Я барахло.
- Я не творческий, непродуктивный, неэффективный и бездарный.
- Я никудышный.
- Я худший пример человека на земле.
- Я бессилен решить свои проблемы.
- У меня так много проблем, что я могу сдаться прямо сейчас.
- Я так тупой в вещах, что никогда не смогу решить такую сложную задачу.
- Я самый уродливый, самый непривлекательный, непривлекательный, жирный неряха в мире.
Иррациональные представления (негативные) о других:
- Никто ни о ком не заботится.
- Все мужчины (или женщины) нечестны, и им нельзя доверять.
- Успешные отношения — это уловка; у вас нет контроля над тем, как они обернутся.
- Люди хотят получить от вас все, что могут; тебя всегда используют.
- Люди такие самоуверенные; они никогда не хотят прислушиваться к мнению других.
- Вы обязательно пострадаете в отношениях; не имеет значения, как вы пытаетесь это изменить.
- В каждом бою есть проигравший, поэтому избегайте драк любой ценой.
- Все люди вышли за №1; вам нужно знать, что вы всегда будете №2, несмотря ни на что.
- Не то, кто вы есть, а то, что вы делаете, делает вас привлекательным для другого человека.
- В жизни важно мнение других о вас.
- При общении с другими нужно быть начеку, чтобы не пострадали.
Иррациональные убеждения на другие темы
- Есть только один способ делать что-то.
- Работа — это наказание, которое человек должен вынести за то, что он человек.
- Семья, которая играет (молится) вместе, всегда остается вместе.
- Всегда защищаться от сил зла в жизни — это единственный способ жить. * Всегда есть два выбора: правильный или неправильный; черный или белый; победа или поражение; пройти или не пройти; расти или застаиваться.
- Когда вы женитесь и заводите детей, вы присоединяетесь к нормальной человеческой расе.
- Человек с ограниченными возможностями несовершенный, его нужно жалеть и бросать на жизненном пути.
- Признание ошибки или неудачи — признак слабости.
- Проявление любых эмоций неправильно, признак слабости и недопустимо.
- Обращение за помощью к кому-нибудь — это способ признать свою слабость; он отрицает тот факт, что только вы можете решить свои проблемы.
Как распознать иррациональные убеждения? Иррациональные убеждения могут присутствовать, если мы:
- Попадаем в порочный круг в решении наших проблем.
- Найдите непрерывную серию «уловок 22», где каждое движение, которое мы делаем для решения проблемы, приводит к большему или большему количеству проблем.
- Долгое время молча (или не так тихо) страдали от проблемы, но не предприняли шагов, чтобы получить помощь для ее решения.
- Вы решили творчески решить проблему, но оказались неспособны реализовать это решение.
- Выбрали курс действий по решению проблем и обнаружили, что мы недовольны этим курсом действий; тем не менее, мы предпочитаем избегать поиска альтернатив.
- Боятся следовать определенному образу действий из-за вины, которую мы почувствуем, если сделаем это.
- Обнаружил, что мы постоянно озабочены проблемой, но не предпринимаем никаких действий для ее решения.
- Выясни, что мы парализованы перед лицом наших проблем.
- Выясните, что единственный способ справиться с проблемами — это избегать их, отрицать их, откладывать их решение, игнорировать их, убегать от них, отвернуться от них.
- Выясните, что мы можем спорить с обеими сторонами нашей проблемы, становясь неспособными принять решение.
Каковы преимущества опровержения наших иррациональных убеждений?
Опровергая наши иррациональные убеждения, мы можем:
- Разблокируйте наши эмоции и чувства по поводу самих себя и наших проблем.
- Станьте продуктивными, реалистично решающими проблемы.
- Завоюйте доверие к себе и другим.
- Обретите ясность, цель и намерение в решении наших текущих проблем.
- Уменьшите страх перед чувством вины или причинением вреда другим при решении проблем.
- Определите барьеры и препятствия, которые необходимо преодолеть, прежде чем наши проблемы могут быть решены.
- Будьте честнее в отношении себя и своих проблем.
- Рассмотрите нашу проблему с реалистической точки зрения с точки зрения ее важности, масштабов и вероятности решения.
- Отделите наши чувства от содержания проблемы.
- Живите более богатой и аутентичной жизнью.
- Взгляните на нашу жизнь с более здоровой точки зрения, с большим смыслом и направлением.
- Обретите чувство юмора при наличии проблем и в их решении.
- Признайте нашу самооценку и добродетель и отделите это от ошибок и ошибок, которые мы совершили в своей жизни.
- Простите себя и других за сделанные ошибки.
- Дарите себе и другим доброту, нежность и понимание во время сильного стресса.
- Обретите чувство цели и порядка в нашей жизни, когда мы решаем проблемы.
- Почувствуйте продуктивность, трудясь в грязи и грязи наших проблем.
- Уважайте наши права и права других людей при решении проблем.
- Прояснить наши чувства по поводу поведения других без барьера самоцензуры или страха быть отвергнутым.
- Получите «беспроигрышное» решение проблем, которое связано с другими. Это открывает нам путь к компромиссу.
Шаги, которые нужно предпринять для опровержения иррациональных убеждений
Шаг 1: Ваше мышление и способность решать проблемы блокируются иррациональными убеждениями? При ответе на следующие вопросы рассмотрите конкретную проблему:
- Хожу ли я по кругу, пытаясь решить эту проблему?
- Есть ли что-то внутри меня, что мешает или мешает мне предпринять необходимые действия в этом вопросе?
- Беспокоят ли меня мысли о том, что я или другие «должны делать, действовать, думать или чувствовать» в этой ситуации?
- Понимаю ли я, что говорю, какой должна быть эта ситуация, и с трудом справляюсь с ней такой, какая она есть на самом деле?
- Применяю ли я фантазию или магическое мышление при рассмотрении этой проблемы? Всегда ли я надеюсь, что каким-то чудом это исчезнет?
- Обременен ли я страхом того, что другие думают обо мне, когда я работаю над этой проблемой?
- Знаю ли я, что такое решение, но меня парализовало его реализация?
- Часто ли я использую «да, но, но» при обсуждении этой проблемы?
- Мне легче откладывать, избегать, отвлекать внимание, игнорировать или убегать от этой проблемы?
- Вызывает ли эта проблема много страданий и дискомфорта для меня и / или других людей, и все же я не могу решить ее?
Шаг 2: Если вы ответили утвердительно на любой или все вопросы в Шаге 1, вы, вероятно, столкнулись с проблемой или ситуацией, в которой блокирующее иррациональное убеждение затуманивает ваше мышление.Следующее, что нужно сделать, — это попытаться определить блокирующее иррациональное убеждение. Ответьте на следующие вопросы в своем дневнике:
- Блокирующая вера — это то, во что я верил всю свою жизнь?
- Является ли блокирующая вера результатом учения моих родителей, церкви, семьи, сверстников, работы, общества, культуры, сообщества, расы, этнической группы или социальной сети?
- Является ли блокирующая вера чем-то, что всегда повторяется, когда я пытаюсь решить проблемы, подобные этой?
- Помогало ли мне в прошлом успешно решать проблемы блокирующая вера?
- Является ли блокирующая вера тем, что заставляет меня нечестно относиться к этой проблеме?
- Является ли блокирующее убеждение обездвиживающим понятием, которое вызывает в моем сознании страх перед чувством вины или страх быть отвергнутым, когда я сталкиваюсь с этой проблемой?
- Можно ли выразить блокирующее убеждение в одном-двух предложениях?
- Является ли блокирующее убеждение последовательным утверждением, когда я сталкиваюсь с этой проблемой, или оно имеет тенденцию меняться по мере того, как переменные этой проблемы становятся для меня более ясными?
- Является ли блокирующее убеждение осязаемым утверждением убеждения или это просто чувство или интуиция?
- Могу ли я заявить о блокирующем убеждении? Если да, запишите это в свой дневник: Мое блокирующее убеждение:
Шаг 3. После того, как вы определили блокирующее убеждение на Шаге 2, проверьте его рациональность.Ответьте на следующие вопросы о своей вере: да или нет.
- Есть ли на самом деле какое-либо основание, чтобы поддержать это убеждение как всегда истинное?
- Способствует ли эта вера личному росту, эмоциональной зрелости, независимости мышления и действий и стабильному психическому здоровью?
- Является ли эта вера той, которая, если ее приписать, поможет вам преодолеть эти или будущие проблемы в вашей жизни?
- Является ли эта вера той, которая, если ее приписать, приведет к поведению, которое является для вас саморазрушающим?
- Защищает ли эта вера вас и ваши права как личности?
- Помогает ли эта вера вам в честном и открытом контакте с другими людьми для достижения здоровых, стимулирующих рост межличностных отношений?
- Помогает ли эта вера вам быть творческим, рациональным решателем проблем, способным определить ряд альтернатив, из которых вы можете выбрать свои личные приоритетные решения?
- Эта вера подавляет ваше мышление и способность решать проблемы до такой степени, что они обездвижены?
- Когда вы рассказываете другим об этой вере, они поддерживают вас, потому что так думают все в вашей семье, группе сверстников, работе, церкви или сообществе?
- Это вера абсолютна? Это черный или белый, да или нет, победа или поражение, отсутствие вариантов в среднем типе веры?
Правильные ответы: 1-нет 2-да 3-да 4-нет 5-да 6-да 7-да 8-нет 9-нет 10-нет
Если вы не можете дать правильные ответы на один или несколько вопросов в Шаге 2, то ваше блокирующее убеждение, скорее всего, иррационально.
Шаг 4: Как только вы определили, что блокирующее убеждение иррационально, вы готовы опровергнуть это иррациональное убеждение. Ответьте на следующие вопросы в своем дневнике:
- Что я постоянно чувствую, когда думаю об этом убеждении?
- Есть ли что-нибудь в действительности, подтверждающее это убеждение как истинное?
- Что на самом деле подтверждает отсутствие абсолютной истины в этом убеждении?
- Истина этого убеждения существует только в том, как я говорю, действую или чувствую по поводу этой проблемы?
- Что самое худшее, что может случиться со мной, если я не буду придерживаться этой веры?
- Что хорошего может случиться со мной, если я не буду придерживаться этой веры?
- Каким подходящим, реалистичным убеждением я мог бы заменить это иррациональное убеждение?
- Что бы я почувствовал, если бы заменил это новое убеждение своим блокирующим убеждением?
- Как я буду расти и как мои права и права других будут защищены этой замещающей верой?
- Что мешает мне принять это альтернативное убеждение?
После того, как вы ответили на эти вопросы, замените рациональное убеждение и действуйте в соответствии с ним.Мое альтернативное рациональное и здоровое убеждение: Шаг 5: Если у вас все еще есть проблемы с решением проблем, вернитесь к Шагу 1 и начните снова.
чисел: рациональные и иррациональные | Математическая ассоциация Америки
Впечатляет, как много вы можете узнать и доказать об иррациональных числах с очень небольшим математическим образованием. Эта книга была написана шестьдесят лет назад для старшеклассников и не предполагает ничего, кроме школьной алгебры. Основными используемыми инструментами являются теорема о рациональном корне и принцип голубиной дыры Дирихле (оба из которых подробно описаны в книге).Не существует исчисления и бесконечных процессов, хотя это ограничение в разделе о трансцендентных числах обходится за счет использования бесконечных десятичных знаков. В целом книга упрощает задачу, рассматривая конкретные примеры иррациональных чисел, а не общие классы.
Это книга корректур. Он не предполагает, что читатель уже знает, как что-то доказывать, поэтому дает полезные подсказки по ходу дела. Подход — «старая школа»: вы изучаете доказательства, доказывая вещи, а не проходя курс «Переход к доказательствам».Как говорится в книге на стр. 7: «Если природа доказательства не может быть описана или сформулирована подробно, как кто-то может узнать его? Его учат использовать упрощенную аналогию таким же образом, как ребенок учится определять цвета, а именно, наблюдая, как кто-то другой идентифицирует зеленые, синие предметы и т. Д., А затем имитируя то, что он наблюдал ». Есть разделы о методах доказательства, перемежающиеся с изложением, например раздел 2.3 «Многочисленные способы формулировки и доказательства предложений».
Примерно первая треть книги (главы 1–3) посвящена тщательному изучению различных типов чисел (целые, простые, рациональные, действительные) и заканчивается несколькими примерами более простых иррациональных чисел, таких как \ ( \ sqrt {2} \), \ (\ sqrt {3} \) и \ (\ sqrt {2} + \ sqrt {3} \). Доказательства этого являются специальными. Затем мы начинаем более систематически доказывать иррациональность, развивая теорему о рациональном корне в главе 4 и используя ее там и в главе 5 для доказательства иррациональности многих конкретных радикальных выражений, логарифмов и значений тригонометрических функций. {- 5!} + \ Ldots \)
трансцендентен.{\ circ} = 1 \). (Глава 5 доказала это для нескольких конкретных углов.)
В конце каждого раздела есть множество упражнений, и они хорошо подобраны. Большинство из них упражняются в применении результатов раздела к дальнейшим примерам, а некоторые служат для доказательства. Ответы и подсказки к избранным задачам находятся в конце книги. Эта книга сильно отличается от более ранней монографии Каруса Нивена «Иррациональные числа». Эта книга предназначена для студентов колледжей и профессиональных математиков.Его предпосылки более высокие, но не очень высокие: исчисление и некоторая алгебраическая теория чисел и теория поля. Он также начинается с самого начала и охватывает многие из тех же результатов, хотя обычно с более продвинутой точки зрения и с разными доказательствами. Он охватывает некоторые дополнительные темы, такие как нормальные числа, обобщенная теорема Линдемана о линейной независимости степеней \ (e \) (включая трансцендентность \ (e \) и \ (\ pi \)), а также теорему Гельфонда. –Теорема Шнейдера.Определение теории рационального выбора
Что такое теория рационального выбора?
Теория рационального выбора утверждает, что люди используют рациональные расчеты, чтобы делать рациональный выбор и достигать результатов, соответствующих их личным целям.Эти результаты также связаны с максимизацией личных интересов человека. Ожидается, что использование теории рационального выбора приведет к результатам, которые принесут людям наибольшую пользу и удовлетворение, учитывая ограниченный выбор, который у них есть.
Ключевые выводы
- Теория рационального выбора утверждает, что люди полагаются на рациональные расчеты, чтобы сделать рациональный выбор, который приводит к результатам, отвечающим их собственным интересам.
- Теория рационального выбора часто ассоциируется с концепциями рациональных субъектов, личных интересов и невидимой руки.
- Многие экономисты считают, что факторы, связанные с теорией рационального выбора, полезны для экономики в целом.
- Адам Смит был одним из первых экономистов, разработавших основные принципы теории рационального выбора.
- Многие экономисты оспаривают достоверность теории рационального выбора и теории невидимой руки.
Понимание теории рационального выбора
Многие основные экономические предположения и теории основаны на теории рационального выбора.Теория рационального выбора связана с концепциями рациональных субъектов, эгоизма и невидимой руки.
Теория рационального выбора основана на предположении об участии рациональных субъектов. Рациональные субъекты — это люди в экономике, которые делают рациональный выбор на основе расчетов и доступной им информации. Рациональные акторы составляют основу теории рационального выбора. Теория рационального выбора предполагает, что индивиды или рациональные субъекты пытаются активно максимизировать свое преимущество в любой ситуации и, следовательно, последовательно пытаются минимизировать свои потери.
Экономисты могут использовать это предположение о рациональности как часть более широких исследований, стремящихся понять определенные модели поведения общества в целом.
Личная выгода и невидимая рука
Адам Смит был одним из первых экономистов, разработавших основные принципы теории рационального выбора. Смит подробно остановился на своих исследованиях эгоизма и теории невидимой руки в своей книге «Исследование природы и причин богатства народов», опубликованной в 1776 году.
Сама невидимая рука является метафорой невидимых сил, влияющих на свободную рыночную экономику. В первую очередь, теория невидимой руки предполагает личный интерес. И эта теория, и дальнейшие разработки теории рационального выбора опровергают любые негативные заблуждения, связанные с личными интересами. Вместо этого эти концепции предполагают, что рациональные субъекты, действующие с учетом собственных интересов, могут фактически создать выгоды для экономики в целом.
Согласно теории невидимой руки, люди, движимые корыстными интересами и рациональностью, будут принимать решения, которые приведут к положительным результатам для экономики в целом.Благодаря свободе производства и потребления соблюдаются интересы общества. Постоянное взаимодействие отдельных факторов давления на рыночный спрос и предложение вызывает естественное движение цен и торговый поток. Экономисты, которые верят в теорию невидимой руки, лоббируют меньшее вмешательство государства и больше возможностей свободного рынка для обмена.
Преимущества и недостатки теории рационального выбора
Многие экономисты оспаривают достоверность теории рационального выбора и теории невидимой руки.Несогласные отмечают, что люди не всегда принимают рациональные решения, максимизирующие полезность. Область поведенческой экономики — это недавнее вмешательство в проблему объяснения экономических процессов принятия решений отдельными лицами и учреждениями.
Поведенческая экономика пытается объяснить — с психологической точки зрения — почему отдельные субъекты иногда принимают иррациональные решения и почему и как их поведение не всегда соответствует предсказаниям экономических моделей.Критики теории рационального выбора говорят, что, конечно, в идеальном мире люди всегда будут принимать оптимальные решения, которые принесут им наибольшую пользу и удовлетворение. Однако мы не живем в идеальном мире; на самом деле людьми часто движут эмоции и внешние факторы.
Нобелевский лауреат Герберт Саймон, который отверг предположение о совершенной рациональности в господствующей экономической теории, вместо этого предложил теорию ограниченной рациональности. Эта теория гласит, что люди не всегда могут получить всю информацию, которая им нужна, чтобы принять наилучшее возможное решение.Саймон утверждал, что знание всех альтернатив или всех последствий, вытекающих из каждой альтернативы, реально невозможно для большинства решений, принимаемых людьми.
Точно так же экономист Ричард Талер указал на дальнейшие ограничения предположения о том, что люди действуют как рациональные субъекты. Идея умственного учета Талера показывает, что люди придают большее значение одним долларам, чем другим, даже если все доллары имеют одинаковую ценность. Они могут поехать в другой магазин, чтобы сэкономить 10 долларов при покупке на 20 долларов, но они не поедут в другой магазин, чтобы сэкономить 10 долларов на покупке на 1000 долларов.
Как и все теории, одно из преимуществ теории рационального выбора состоит в том, что она может быть полезной при объяснении индивидуального и коллективного поведения. Все теории пытаются придать смысл тому, что мы наблюдаем в мире. Теория рационального выбора может объяснить, почему люди, группы и общество в целом делают определенный выбор, исходя из конкретных затрат и вознаграждений.
Теория рационального выбора также помогает объяснить поведение, которое кажется иррациональным. Поскольку центральная посылка теории рационального выбора состоит в том, что любое поведение рационально, любое действие можно тщательно исследовать на предмет лежащих в его основе рациональных мотиваций.
Плюсы теории рационального выбораПолезно для объяснения индивидуального и коллективного поведения
Все теории пытаются придать смысл тому, что мы наблюдаем в мире.
Может помочь объяснить поведение, которое кажется иррациональным
Люди не всегда принимают рациональные решения.
На самом деле людьми часто движут нерациональные внешние факторы, например, эмоции.
Люди не имеют идеального доступа к информации, которая им необходима для того, чтобы каждый раз принимать наиболее рациональные решения.
Люди ценят одни доллары больше, чем другие.
Примеры теории рационального выбора
Согласно теории рационального выбора, рациональные инвесторы — это те инвесторы, которые быстро купят любые акции по слишком низкой цене и продадут в шорт любые акции по слишком высокой цене.
Примером рационального потребителя может быть человек, выбирающий между двумя автомобилями.Автомобиль B дешевле, чем автомобиль A, поэтому потребитель покупает автомобиль B.
Хотя теория рационального выбора логична и проста для понимания, в реальном мире ей часто противоречат. Например, политические фракции, поддержавшие голосование за Брексит, состоявшееся 24 июня 2016 года, использовали рекламные кампании, основанные на эмоциях, а не на рациональном анализе. Эти кампании привели к полушокирующему и неожиданному результату голосования — Великобритания официально решила выйти из Европейского Союза.Финансовые рынки отреагировали тем же шоком, резко увеличив краткосрочную волатильность, измеряемую индексом волатильности CBOE (VIX).
Рациональное поведение может не включать получение максимальной денежной или материальной выгоды; выгода от конкретного выбора может быть чисто эмоциональной или неденежной. Например, хотя для руководителя, вероятно, более выгодно с финансовой точки зрения остаться в компании, чем брать отпуск, чтобы ухаживать за своим новорожденным ребенком, для них по-прежнему считается рациональным поведение брать отпуск, если они чувствуют, что выгода времени, проведенного с их ребенком, перевешивает полезность получаемой ими зарплаты.
Часто задаваемые вопросы по теории рационального выбора
Что такое теория рационального выбора?
Ключевой посылкой теории рационального выбора является то, что люди не выбирают продукты с полки случайным образом. Скорее, они используют логический процесс принятия решений, который учитывает затраты и выгоды различных вариантов, сравнивая их друг с другом.
Кто основал теорию рационального выбора?
Адама Смита, предложившего идею «невидимой руки», двигающей рыночную экономику в середине 1770-х годов, обычно считают отцом теории рационального выбора.Смит обсуждает теорию невидимой руки в своей книге «Исследование природы и причин богатства народов», опубликованной в 1776 году.
Каковы основные цели теории рационального выбора?
Основная цель теории рационального выбора — объяснить, почему отдельные лица и более крупные группы делают определенный выбор, исходя из конкретных затрат и вознаграждений. Согласно теории рационального выбора, люди используют свои интересы, чтобы сделать выбор, который принесет им наибольшую пользу.Люди взвешивают свои варианты и делают выбор, который, по их мнению, будет им лучше всего.
Что такое теория рационального выбора в международных отношениях?
Государства, межправительственные организации, неправительственные организации и транснациональные корпорации — все это люди. Чтобы понять действия этих сущностей, мы должны понять поведение людей, которые ими управляют. Теория рационального выбора помогает объяснить, как руководители и другие важные лица, принимающие решения в организациях и учреждениях, принимают решения.Теория рационального выбора также может пытаться предсказать будущие действия этих акторов.
Каковы сильные стороны теории рационального выбора?
Одна из сильных сторон теории рационального выбора — универсальность ее применения. Его можно применить ко многим различным дисциплинам и областям обучения. Он также делает разумные предположения и убедительную логику. Теория также побуждает людей принимать разумные экономические решения. Принимая разумные экономические решения, человек может приобрести больше инструментов, которые позволят ему в дальнейшем максимизировать свои предпочтения.
Итог
Большинство классических экономических теорий основано на предположениях теории рационального выбора: люди делают выбор, который приводит к оптимальному уровню выгоды или полезности для них. Кроме того, люди предпочтут действовать, которые приносят им пользу, а не действиям, которые являются нейтральными или наносят им вред. Хотя существует много критики теории рационального выбора — потому что люди эмоциональны и легко отвлекаются и, следовательно, их поведение не всегда соответствует предсказаниям экономических моделей, — она по-прежнему широко применяется в различных академических дисциплинах и областях обучения.
.