При делении степени с одинаковым основанием: Деление степеней с одинаковыми основаниями — урок. Алгебра, 7 класс.

Презентация «Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями»

Проверка домашнего задания

№ 388 .

Решение:

а) –1 3 + (–2) 3 = –1 + (–8) = –9;

б) –6 2 – (–1) 4 = –36 – 1 = –37;

в) –8 3 + (–3) 3 = –512 + (–27) = –539;

г) 10 – 5 · 2 4 = 10 – 5 · 16 = 10 – 80 = –70;

Устная работа №1

Ответьте на вопросы:

• Что такое степень?
• Что такое степень?

Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1, называется выражение а п ,

равное произведению n множителей, каждый из которых равен а .

Степенью числа а с показателем 1 называется само число а .

a 1 = a

Устная работа №1

2 . Чему равна степень отрицательного числа с четным показателем?

Степень отрицательного числа с четным показателем – положительное число .

5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625

3. Чему равна степень отрицательного числа с нечетным показателем?

Степень отрицательного числа с нечетным показателем – отрицательное число.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

Однако, −5 4 = −625

4

Устная работа №1

4.Что получится при возведении нуля в степень с натуральным показателем?

При возведении в степень с натуральным показателем нуля получается нуль.

0 n = 0 ,

где n -натуральное число

5

Устная работа №2

9

— 49

1) 3² = 5) – ( — 7)²=

2) = 6) – (- 2)³ =

3) (–0,1) 4 = 7) 0 16 =

4) = 8) (–1) 18 =

6,25

8

0,0001

0

— 1,8

1

Устная работа №3

Проверочная работа:

а)

– (0,5) 2 ; б)3000 · (0,2) 3 – (–2) 6 .

0,5

— 40

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Работа в парах

Вычислите:

1000000

8

256

— 81

— 1

4

19683

32

?

?

Тема урока:

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями.

Цели урока:

• вывести правила умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями;
• научиться применять правила деления степеней с одинаковыми основаниями;
• научиться возводить число в степень с нулевым показателем.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

9

Новые сведения

Свойство 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Свойство 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Новые сведения

Определение . Степень числа а , не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.

где а≠0

a 0 = 1,

Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

Повторение

Задача

Определить во сколько раз масса земного шара больше массы всего окружающего его воздуха.

Повторение

Решение. На каждый 1 см² земной поверхности воздух давит, с силой около килограмма.

Величина поверхности земного шара равна:

510 000 000 км²=51· 10 7  км²; 1 км²= (100 000см)²;

51 · 10 7 · 10 10 см²= 51·10 17 см².

Масса атмосферы Земли:

51·10 17 кг=51·10 17 : 1000 т =51·10 17 : 10³ т = 51·10 14 т

Масса земного шара выражается числом:

6· 10 21 т

Узнаем во сколько раз масса нашей планеты тяжелее ее воздушной оболочки:

6·10 21 : 51 · 10 14 ≈ 10 6

Ответ: ≈ 1 000 000

Домашнее задание

П.16 выучить правила.

Решить задания:

I уровень: №404, 408, 415, 418;

II уровень: №406, 412, 419 (б,г,е), 533.

Дополнительное задание:

Выразить массу Земли и Луны в различных единицах массы (в граммах, килограммах, в центнерах и тоннах)

14

Источники информации

• Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского.- М.: Просвещение, 2014
• Алгебра. 7 класс: поурочные планы по учебнику Ю. Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешкова, С.Б.Суворовой/авт.-сост. Т.Ю.Дюмина, А.А.Махонина. – Волгоград: Учитель, 2011
• Статья «Сколько вести воздух?» http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st004.shtml
• Шаблон для презентации Савенко Е.М.: http://pedsovet.su/load/412-1-0-13709
• Изображение земного шара : http://t-z-n.ru/preokean/photo/intok2.jpg
• Изображение восклицательного знака: http://svg12.edu.27.ru/files/uploads/images/_kniga_dlya_roditelya_2yq14j77a5v3hgenubrgne.jpg

Урок 13. Свойства степени с натуральным показателем

Класс

• 1 класс

• 2 класс

  • Математика
  • Английский язык

• 3 класс

  • Английский язык
  • Русский язык
  • Математика

• 4 класс

  • Математика
  • Русский язык
  • Английский язык

• 5 класс

  • Биология
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Математика

• 6 класс

  • Математика
  • Биология
  • Английский язык
  • Русский язык

• 7 класс

  • Химия
  • Английский язык
  • Русский язык
  • Физика
  • Математика
  • Биология

• 8 класс

  • Английский язык
  • Биология
  • Химия
  • Математика
  • Физика
  • Русский язык

• 9 класс

  • Химия
  • Биология
  • Английский язык
  • Физика
  • Русский язык
  • Математика

• 10 класс

  • Биология
  • Математика
  • Физика
  • Химия
  • Английский язык

• 11 класс

  • Химия
  • Английский язык
  • Биология

7 КЛАСС

Урок 13.

Свойства степени с натуральным показателем

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.

При произведении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, а основание переписывают один раз.  Зная результат, можно найти степень второго множителя, вычитанием из 25 показателя степени первого множителя.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем.  Подбирайте степени так, чтобы сумма всех показателей степени слева была равна показателю степени справа от равно.

При произведении степеней с одинаковым основанием основание переписываем, а показатели складываем. Подбирайте степени так, чтобы сумма всех показателей степени слева была равна показателю степени справа от равно.

При произведении степеней  одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

Используйте таблицу степеней. Примените свойство: при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

Используйте таблицу степеней. Примените свойство: при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели складываем.

Чётная степень всегда положительна, нечётная степень сохраняет знак основания степени.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.  

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем.

При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, показатели вычитаем. При произведении - показатели складываем.
Подбирайте показатели таким образом, чтобы в результате сложения или вычитания показателей слева получился показатель справа от равно.

Сначала в левой части уравнения применим свойство деления степеней. Затем приравниваем показатели, т.
  к. основания одинаковые, и решаем линейное уравнение.

Делимое : Делитель = Частное

1) чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель;
2) чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

Используем свойства степени:
1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;
2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.
Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению.

Используем свойства степени:

1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;

2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.

Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению.

Используем свойства степени:

1) при произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем;

2) при делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем. 

Эти свойства можно применить одновременно ко всему выражению.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Применяем все известные свойства степени.

Сначала приведем все к одному основанию степени, затем применим все известные свойства степеней.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Применяем свойства:
1) При возведении степени в степень показатели перемножаются.
2) При произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем.

Применяем свойства произведения и деления степеней с одинаковым основанием.

Используем свойство возведения степени в степень.

Используем свойства:

1) При возведении степени в степень показатели перемножаются. 

2) При произведении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели складываем.

Применяем свойства:

1) При возведении степени в степень показатели перемножаются.

2) При делении степеней с одинаковым основанием, основание переписываем, а показатели вычитаем.

Примените все известные вам свойства степеней.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Сначала в левой части уравнения упростите выражение с помощью свойств степеней. Затем уравнение можно решить подбором корней.

Вопросники:

Вопрос:

Вопрос:

Вопрос:

Пары:

Пропуски:

вычитаютумножаютскладываютвычитаютумножаютскладываютвычитаютумножаютскладывают

Последовательности:

Степень делится на степень

Содержание

• 0.1 Сложение и вычитание степеней
• 0.2 Умножение степеней
• 0.3 Деление степеней
• 0.4 Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями
  • • 0. 4.0.1 Этот видеоурок доступен по абонементу
• 1 1. Напоминание основных определений и теоремы 1
• 2 2. Разъясняющие задачи
• 3 3. Доказательство теоремы 2 двумя способами
• 4 4. Решение примеров на вычисление и упрощение с помощью теоремы 2
• 5 5. Решение примеров на вычисление на совместное применение теорем 1 и 2
• 6 6. Решение примеров на упрощение на совместное применение теорем 1 и 2

Как делить степени? При каких условиях деление степеней возможно?

В алгебре найти частное степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя (или коротко: при делении степеней показатели вычитают):

(последнюю формулу удобно использовать, если показатель степени в знаменателе больше показателя степени в числителе).

При делении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

Рассмотрим, как делить степени, на конкретных примерах.

Единицу в показателе степени не пишут, но при делении степеней ее следует учесть:

При делении степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями получаем единицу:

Вынесение общего показателя при делении степеней позволяет упростить вычисления:

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число разделить на степень либо степень разделить на число, сначала следует выполнить возведение в степень, а затем — деление:

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из	2a 4	3h 2 b 6	5(a — h) 6
Вычитаем	-6a 4	4h 2 b 6	2(a — h) 6
Результат	8a 4	-h 2 b 6	3(a — h) 6

Или:
2a 4 — (-6a 4 ) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Первый множитель	x -3	3a 6 y 2	a 2 b 3 y 2
Второй множитель	a m	-2x	a 3 b 2 y
Результат	a m x -3	-6a 6 xy 2	a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Первый множитель	4a n	b 2 y 3	(b + h — y) n
Второй множитель	2a n	b 4 y	(b + h — y)
Результат	8a 2n	b 6 y 4	(b + h — y) n+1

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2 : то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2 )⋅(a 2 + y 2 ) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4 )⋅(a 4 + y 4 ) = a 8 — y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

Делимое	9a 3 y 4	a 2 b + 3a 2	d⋅(a — h + y) 3
Делитель	-3a 3	a 2	(a — h + y) 3
Результат	-3y 4	b + 3	d

Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $frac$. 5>$. Ответ: $frac<2x><1>$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Читайте также:  Fork player для sony смарт тв

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n и k, таких, что n > k справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №2. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k таких, что n > k.

в) а) а) а) а) а) Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Умножение и деление показателей степени — правила, примеры

Показатель степени показывает, сколько раз данная переменная или число умножается само на себя. Например, 6 ⁴ означает, что мы умножаем 6 четыре раза. В расширенной форме это записывается как 6 × 6 × 6 × 6. При умножении двух экспоненциальных членов с одним и тем же основанием их степени складываются, а основание остается прежним. Однако при делении двух экспоненциальных членов, имеющих одно и то же основание, их степени вычитаются. Давайте узнаем больше об умножении и делении показателей в этой статье.

1.	Показатель деления
2.	Как умножать и делить дробные степени?
3.	Как умножать и делить экспоненты с переменными?
4.	Часто задаваемые вопросы об умножении и делении показателей степени

Показатель деления

Законы экспонент облегчают процесс упрощения выражений. Основное правило деления показателей степени с одинаковым основанием состоит в том, что мы вычитаем данные степени. Это также известно как частное свойство показателей.

Как разделить показатели степени?

Деление показателей становится простым, если мы следуем свойствам показателей. Например, давайте решим следующий вопрос обычным способом: 6 ⁵ ÷ 6 ³ = (6 × 6 × 6 × 6 × 6)/(6 × 6 × 6 ) = 6 ² . Это требует дополнительных расчетов. Однако, когда мы используем законы экспонент, это сокращает все эти вычисления. Давайте разберемся, как разделить показатели в разных сценариях, используя разные свойства.

Деление показателей степени с одинаковым основанием

Чтобы разделить показатели степени с одинаковым основанием, мы используем основное правило вычитания степеней. Рассмотрим a ^m ÷ a ⁿ , где «a» — общее основание, а «m» и «n» — показатели степени. Это «частное свойство экспоненты» говорит: а ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n . Теперь давайте разберемся в этом на примере.

Пример: Разделить 6 ⁵ ÷ 6 ³

Решение: Мы видим, что в данном выражении основания одинаковы. Используя «частное свойство экспоненты», мы получим 6 ^{5 — 3} = 6 ² . Поэтому ответ 6 ² .

Деление показателей с разными основаниями

Для того, чтобы разделить показатели с разными основаниями и одним и тем же показателем, мы используем «степень частного свойства», которая равна (a/b) ^m = a ^m /b ^м . Рассмотрим ^m ÷ b ^m , где выражения имеют разные основания и одинаковый показатель степени. Например, решим: 12 ³ ÷ 3 ³ . Используя «Свойство степени частного», это можно решить следующим образом: случаи, мы должны разделить выражения, которые имеют коэффициенты. Эти коэффициенты, привязанные к их основаниям, можно легко разделить так же, как мы делим любую другую дробь. Следует отметить, что коэффициенты можно делить даже в том случае, если выражения имеют разные основания.

Пример: Разделить 12a ⁷ ÷ 4a ²

Решение: Выполним следующие шаги для деления выражений с коэффициентами. В данном случае 12 и 4 — коэффициенты, а остальные — переменные.

• Сначала перепишем выражение в виде дроби, то есть 12а ⁷ / 4а ² .
• Затем делим коэффициенты, то есть 12/4 = 3.
• После этого шага мы можем применить частное свойство показателей и решить переменную, то есть ⁷ / ² = ^{7 — 2} = ⁵ .
• Итак, теперь у нас есть коэффициент 3 и переменная ⁵ . Это дает ответ как 3a ⁵

Умножение экспонент

Умножение экспонент с одинаковым основанием и разными основаниями включает определенные правила экспонент. Давайте разберемся с этим в следующем разделе.

Умножение показателей степени с одинаковым основанием

Когда мы умножаем два выражения с одинаковым основанием, мы применяем правило a ^m × a ⁿ = a ^{(m + n)} , , где «a» — общее основание, а «m» и «n» — показатели степени. Например, умножим 2 ² × 2 ³ . Используя правило, 2 ² × 2 ³ = 2 ^{(2 + 3)} = 2 ⁵ .

Умножение показателей степени с разным основанием и одинаковой степенью

Когда мы умножаем выражения с разными основаниями и одинаковой степенью, мы применяем правило: a ^m × b ^м = (а × b) ^м . Например, умножим: 11 ⁴ × 3 ⁴ . Это можно решить как 11 ⁴ × 3 ⁴ = (11 × 3) ⁴ = 33 ⁴ .

Как умножать и делить дробные степени?

Чтобы умножать и делить дробные степени, мы используем те же правила, что и для целых чисел. Дробные показатели степени — это те выражения, в которых степени — дроби, например, 2 ^½ , 6 ^¾ и так далее.

Умножение дробных степеней с одинаковым основанием

Для умножения дробных степеней с одинаковым основанием мы используем правило a ^m × a ⁿ = a ^m+n

68

4. Например, упростим: 2 ^½ × 2 ^¾ = 2 ^{(½ + ¾)} = 2 ^5/4 .

Деление дробных степеней с одинаковым основанием

Для деления дробных степеней с одинаковым основанием мы используем правило a ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n . Например, давайте решим 3 ^3/2 ÷ 3 ^1/2 . Используя правило, получаем, 3 ^{(3/2 — 1/2)} = 3 ¹ = 3.

Как умножать и делить экспоненты с переменными?

Правила, которые используются в числах, также используются в показателях степени с переменными. Вспомним их и затем используем в следующих примерах:

• a ^м × a ⁿ = a ^m+n
• a ^м × b ^м = (a × b) ^м
• а ^м ÷ а ^н = а ^м-н
• a ^м ÷ b ^м = (a ÷ b) ^м

Переменная как основа

Давайте посмотрим, как использовать эти правила, когда база является переменной. Например, решить: у ² × (2y) ³

We will apply the rule: a ^m × b ^m = (a × b) ^m , y ² × (2y) ³ = Y ² × 2 ³ × y ³ = 2 ³ × y ⁽²⁺³⁾ = 8y ⁵

переменный в качестве экспертиза

Давайте посмотрим, как использовать правила, когда показатель степени является переменной. Например, решить: 5 ^{(2x -1)} ÷ 5 ^{(x + 1)}

Мы применим правило: A ^M ÷ A ^N = A ^{M -N} , WE получить 5 ^{(2x -1 — x — 1)} = 5 ^{(x -2)}

Советы по умножению и делению показателей степени

• a ⁰ = 30 м 00÷900 m = 1 = a ^m-m = a ⁰ ]
• Следует также отметить, что отрицательный показатель степени можно преобразовать в положительный показатель, написав обратную величину числа. Например, 6 ^-3 можно записать как 1/6 ³ .
• Если мы умножим два показателя степени с одним и тем же основанием, их степени будут складываться.
• Если мы разделим два показателя степени с одинаковым основанием, то их степени вычитаются.

Связанные темы

• Rational Exponents
• Иррациональные Показатели

Часто задаваемые вопросы об умножении и делении показателей степени

Как умножать и делить степени?

Чтобы умножать и делить степени, мы используем набор правил степени. При перемножении двух экспоненциальных членов с одним и тем же основанием их степени складываются, а основание остается прежним. Например, умножим 6 ³ × 6 ⁵ = 6 ^{(3 + 5)} = 6 ⁸ . Однако при делении двух экспоненциальных членов, имеющих одно и то же основание, их степени вычитаются. Например, 7 ⁸ ÷ 7 ⁵ = 7 ³ . Точно так же есть и другие правила, которые помогают легко упростить показатели степени.

Каковы правила деления показателей степени?

Есть несколько правил экспоненты, которые помогают в делении экспонент. Эти правила также помогают упростить числа со сложными степенями, включая дроби, десятичные дроби и корни. Например, чтобы разделить числа или переменные с одинаковым основанием, применим правило: a ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n . Чтобы разделить числа или переменные с разными основаниями, применим правило: a ^m ÷ b ^m = (a ÷ b) ^m

Как вы решаете показатели степени в скобках?

Показатель степени в скобках можно решить, используя тождество (a ^m ) ⁿ = a ^mn . Например, (4 ² ) ³ = 4 ^{(2 × 3)} = 4 ⁶ = 4096

Можем ли мы распределить показатели по делению?

Да, мы можем распределять показатели по делению. Например, (7/2) ³ = 7 ³ ÷ 2 ³ = 343/8

Как умножать и делить отрицательные степени?

Когда мы умножаем и делим отрицательные степени, мы следуем тем же правилам, которые используются для положительных степеней. Например, мы используем свойство: a ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n , чтобы решить: 2 ^-3 ÷ 2 ^-4 . Это будет: 2 ^(-3-(-4)) = 2 ^{(-3 + 4)} = 2 ¹ = 2. Соблюдайте правило упрощения целых чисел, которое меняет знак после раскрытия скобок. . Следует также отметить, что отрицательный показатель степени можно преобразовать в положительный показатель, написав обратную величину числа. Например, 7 ^-3 можно также записать как: 1/7 ³ . Это означает, что если нам нужно разделить выражения с отрицательными показателями, мы можем просто переместить основание на другую сторону дробной черты. Например, если у нас в знаменателе дроби 4 ^-2 , мы можем перенести его в числитель. Это означает, что y ^-2 /y ^-3 = y ³ /y ² = y ^{3 — 2} = y ¹ = y.

Как разделить экспоненты с разными степенями?

Чтобы разделить показатели с разными степенями, но одинаковыми основаниями, мы вычитаем данные степени. Здесь используется следующее свойство: a ^m ÷ a ⁿ = a ^(m-n) . Например, давайте разделим показатели степени, 8 ⁶ ÷ 8 ⁴ . После применения свойства показателей степени, мы получаем, 8 ^{6 — 4} = 8 ²

Как разделить показатели степени на дроби?

Чтобы разделить степени на дроби, мы используем то же правило, что и для целых чисел, то есть ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n . Например, разделим следующие показатели степени: 2 ^3/4 ÷ 2 ^1/2 = 2 ^{3/4 -1/2} = 2 ^1/4 .

Как разделить показатели степени с разными основаниями и одинаковыми степенями?

Чтобы разделить показатели степени с разными основаниями и одинаковыми степенями, мы применяем «Степень частного свойства», которая равна: a ^m ÷ b ^m = (a ÷ b) ^m . Например, разделим 14 ³ ÷ 2 ³ = (14 ÷ 2) ³ = 7 ³ .

Как делить экспоненты с отрицательными основаниями?

Когда нам нужно разделить степени с отрицательным основанием, правила степени остаются прежними. Например, разделим (-4) ⁸ ÷ (-4) ² = (-4) ^{8 — 2} = (-4) ⁶

Как умножать и делить степени?

Показатель степени и степени используются для упрощения представления очень больших или очень малых чисел. Степень — это число или выражение, которое представляет собой многократное умножение одного и того же числа или множителя. Значение показателя степени — это количество раз, когда основание умножается само на себя.

Пример для показателей степени. Если нам нужно выразить 3 × 3 × 3 × 3 × 3 простым способом, мы можем записать это как 3 ⁵ , где 3 — основание, а 5 — показатель степени. Считается, что все выражение 3 ⁵ представляет мощность. Пример степеней: 5 ³ = 5 в степени 3 = 5 × 5 × 5 = 125, 6 ⁴ = 6 в степени 4 = 6 × 6 × 6 × 6 = 1296. Показатель степени числа представляет сколько раз число умножалось само на себя. 3 умножается само на себя n раз, 3 × 3 × 3 × 3 × …n раз = 3 ^п . 3 ⁿ — сокращение от 3, возведенного в степень n. В результате показатели степени иногда называют степенью или, в некоторых случаях, индексами.

Общая форма показателей степени 

Показатель степени указывает, сколько раз нужно умножить число само на себя, чтобы получить желаемый результат. В результате любое число b, возведенное в степень p, может быть выражено следующим образом:

b ^p = {b × b × b × b × b × … × b} p раз

Здесь b — любое число, а p — натуральное число.

• Здесь b ^p также называется p ^th степенью b.
• «b» представляет основание, а «p» — показатель степени или степень.
• Здесь «b» умножается на «p» раз, и, таким образом, возведение в степень представляет собой упрощенный метод повторного умножения.

Некоторые основные правила экспонентов0004

Правило коэффициента ⇢ ^N / A ^M = A ^{N — M}

Правило мощности ⇢ (A ^N ) ^M = A ^{N × M} или ^M √a ^N = A ^N/M

Отрицательное правило показания ⇢ A ^-M = 1/A ^M

нулевое правило ⇢ A ⁰ = 1

ОДИН Правило ⇢ ¹ = A

.

Как умножать и делить степени?

Решение:  

Экспоненты и степени используются для упрощения представления очень больших или очень малых чисел.

Деление показателей степени

Законы показателей степени упрощают процесс упрощения выражений. При делении показателей с одинаковым основанием основное правило — вычитание данных степеней. Это также известно как закон деления или свойство коэффициента экспоненты.

м ^{н ₁} ÷ м ^{н ₂} = m ^{n ₁} / m ^{n ₂} = m ^{(n ₁ – n ₂ )}

First Пример: деление показателей степени с одинаковым основанием

Мы используем основное правило вычитания степеней для деления показателей степени с одинаковым основанием. Рассмотрим выражение m ^{n ₁} ÷ m ^{n ₂} , где «m» — общее основание, а показатели степени «n ₁ » и «n ₂ » — показатели степени. Согласно «родной свойств экспонентов»,

M ^{N ₁} ÷ M ^{N ₂} = M ^{N ₁} / M ^N _{29222 2} / M 472222 2 ¹ 9075 / M ^N _{9 2 ¹ 9075 / M ^N 2 ^{1 2009 2} 40004722229 2 2 .} = m ^{(n ₁ – n ₂ )}   

Пример: Разделить 3 ⁵ ÷ 3 ³  

Здесь, как мы видим, основания одинаковы, но разные силы.

So the division law or Quotient law  : m ^{n ₁} ÷ m ^{n ₂}   =  m ^{n ₁} / m ^{n ₂} = м ^{(н ₁ – н ₂ )}

Здесь, 3 ⁵ ÷ 3 ³

= 3 ⁵ /3 ³

= 3 ^(5-3)

= 3 ²

7 = 3 ²

79 = 3 ²

9000 27. Второй случай: деление показателей степени с разными основаниями

Мы применяем «степень частного свойства» для деления показателей степени с разными основаниями и одним и тем же показателем, который равен

(m/n) ^p = m ^p /n ^р  

Рассмотрим формулы m ^p ÷ n ^p , которые имеют разные основания, но один и тот же показатель степени.

Пример: Разделить: 15 ³ ÷ 3 ³ .

Это можно решить с помощью «степени частного свойства»:

(m/n) ^p = m ^p /n ^p

= 15 ³ ÷ 3 ³

= (15 / 3) ³

= 5 ³ .

Для умножения показателей степени 

Первый случай: при умножении показателей степени с одинаковым основанием 

В соответствии с этим правилом: произведение двух показателей степени с одинаковым основанием, но разными степенями равно основанию, возведенному в сумму двух степеней или целые числа; это также известно как закон умножения показателей. При умножении двух выражений с одинаковым основанием мы можем использовать

m ^{n ₁} × m ^{n ₂} = m ^{(n ₁ + n ₂ )}  

Where m is the common base and n ₁ and n ₂ are экспоненты.

Например, умножить 3 ³ × 3 ⁶ ?

Дано: 3 ³ × 3 ⁶  

Здесь основания одинаковы. Итак, мы будем использовать: m ^{n ₁} × M ^{N ₂} = M ^{(N ₁ + N ₂ )}

, поэтому 3 3 ⁾

^{(3 ).}

= 3 ⁹

Второй случай: при умножении экспоненты с другими основаниями

Когда существует различная основа с одинаковыми показателями, мы будем использовать формулу:

M ^P × N ^стр. = (м × п) ^р .

Здесь m и n — разные основания, а p — показатель степени.

Пример: Умножьте 2 ³ × 4 ³

Дано: 2 ³ × 4 ³

Здесь мы будем использовать: M ^P × N ^P = = = МНЕ. (m × n) ^p

= (2 × 4) ³

= 8 ³                       

Такими способами в разных случаях можно делить и умножать показатели степени.

Образец Вопросы

Вопрос 1: Упростить или разделите 25 ⁴ /5 ⁴

Решение:

Здесь различны с тем же участником,

Мы будем использовать формулу (M /n) ^P = M ^P /N ^P

Следовательно, = 25 ⁴ /5 ⁴

= (25/5) ⁴

= 5 ⁴

= 625

Вопрос 2: Найдите значение выражения, 15 ⁸ × 15 ³

Solution:

Given: 15 ⁸ × 15 ³

When multiplying two expressions with the same base but different exponent, 

m ^{n ₁} x M ^{N ₂} = M ^{(N ₁ + N ₂ )} Formula, где M. Ample Mase Basul0725 и n ₂ — показатели степени.

, применив это правило,

Мы получаем, = 15 ⁸ × 15 ³

= 15 ^{(8 + 3)}

= 15 ¹¹

Вопрос 3: Что является The The The произведение (2x ³ y ⁵ ) и (3x ⁴ y ² )?

Решение:

Произведение  (2x ³ y ⁵ ) и (3x ⁴ y ² )

= (2x ³ y ⁵ ) × (3x ⁴ y ² )

= (2 × 3) × x ³ x ⁴ × y ⁵ Y ²

При умножении двух выражений на одну и ту же базу мы можем использовать M ^{N ₁} × M ^{N ₂} = M ^{(N ₁} = M ^(N 9 + ^{+ + + + + + (N = M (N = M (N ₁ = M + = M (N ₁ . ₂ )} формула, где m — общее основание и n ₁ и n ₂ являются показателями степени.

= 6x ³⁺⁴ × y ⁵⁺²

= 6x ⁷ Y ⁷

Вопрос 4: Что такое X ³ , разделенные на X ² ?

Решение:

Здесь дано: x ³ разделить на x ²  

здесь основания одинаковы, но показатели степени разные,0004 _¹ ÷ m ^{n ₂}    =  m ^{n ₁} / m ^{n ₂} = m ^{(n ₁ – n ₂ )}  

So write it as x ³ /x ²

= x ^{3 – 2}

= x ¹

= x

Question 5 : Оценить ³ × a ⁵ × A ^-6

Решение:

Учитывая, что: ³ × A ⁵ × A

Здесь базовые , Используя правило произведения или закон умножения.

m ^{n ₁} × m ^{n ₂} = m ^{(n ₁ + n ₂ )}

= ³ × A ⁵ × A ^-6

= A ^{(3 +5)} × A ^-6

= A ⁸ × A ^-6

= A ⁸ = a{8+ (-6)} {Используя правило произведения}

= a ^8-6

= a ²  

Решение:

Здесь основания разные с одинаковым показателем степени ,

мы будем использовать формулу  : (m/n) ^P = M ^P /N ^P

Следовательно, = 10 ⁵ /5 ⁵

= (10/5) ⁵

= 5 ⁵

= 3125

= 5

Деление с показателями Рона Куртуса

SfC Home > Арифметика > Алгебра >

Рон Куртус (11 декабря 2021 г. )

Когда вы делите два экспоненциальных выражения с тем же основанием , вы вычитаете степени .

Примечание : основание экспоненциального выражения x ^y равно x , а показатель степени равен y .

Когда вы делите экспоненциальное выражение само на себя, показатель степени равен 0 . При делении на большее экспоненциальное выражение с тем же основанием показатель степени будет отрицательным.

У вас могут возникнуть следующие вопросы:

• Как вы делите числа, возведенные в степень?
• Что обозначает показатель степени 0?
• Что обозначает отрицательный показатель степени?

Этот урок ответит на эти вопросы.

---

---

Вычитание показателей степени при делении

Когда вы делите экспоненциальные числа или переменные с одинаковым основанием, вы вычитаете степени.

Номера

Это можно продемонстрировать на примере деления 7*7*7*7*7 на 7*7 .

Результат:

(7*7*7*7*7)/(7*7) =

7*7*7 = 7 ³

Поскольку 7*7*7*7*7 = 7 ⁵ и 7*7 = 7 ² , получается

7 ⁵ /7 ² = 7 ⁵⁻² = 7 ³

Переменные

Аналогичным образом, если вы разделите x ²⁵ на x ¹⁰ , вы получите

x ²⁵ /x ¹⁰ = x ^25-10 = x ¹⁵

Если переменная возводится в степень другой переменной, вы все равно вычитаете показатели степени:

x ^y /x ^z = x ^y−z

Должно иметь одинаковое основание

Обратите внимание, что основание должно быть одинаковым или кратным, чтобы уменьшить выражение путем вычитания показателей степени.

Ни 5 ⁵ ÷ 2 ³ , ни x ⁷ /y ⁴ не могут быть уменьшены этим методом, так как основания каждого из них не одинаковы.

Однако в некоторых случаях можно проявить хитрость и привести числа к общему основанию.

Рассмотрим 6 ⁵ ÷ 2 ³ . Так как 6 ⁵ = (2*3) ⁵ = 2 ⁵ *3 ⁵ , затем

6 ⁵ ÷ 2 ³ = 2 ⁵ *3 ⁵ /2 ³ = 2 ^{5 — 3} *3 ⁵ = 2 — 3 *3 ⁵ = 2 — 3 *3 ⁵ = 2 *3 ⁵ =

4 2 *3 ⁵ = ^{4 2} *3 ⁵ 9152 3 ⁵

Деление само на себя

Что происходит, когда вы делите показательное число само на себя?

11 ³ /11 ³ = 11 ³⁻³ = 11 ⁰

Число 11 ⁰ выглядит странно, но поняв, что число, разделенное само на себя, равно 1 , можно увидеть, что 11 ⁰ = 1 .

Случай x

⁰

Правило : Любое число, возведенное в степень 0 , равно 1 .

Итак, x ⁰ = 7 ⁰ = 250 ⁰ = 1 .

Случай 0

⁰

А как насчет 0 ⁰ ?

Это особый случай. Хотя это не кажется логичным, большинство определений говорят, что 0 ⁰ = 1 .

На это можно посмотреть, рассматривая дроби в степени 0 .

1/2 ⁰ = 1/2000 ⁰ = 1/2000000 ⁰ = 1/1 = 1

Таким образом, по мере того, как дробь становится все меньше и меньше, приближаясь к нулю, ее значение остается равным 1 .

Отрицательные степени

Но что произойдет, если вы разделите на большее число? Если вы разделите 5 ³ на 5 ⁷ , вы получите 5 ³⁻⁷ = 5 ⁻⁴ .

Но также 5*5*5/5*5*5*5*5 = 1/5*5*5*5 = 1/5 ⁴ . Таким образом, 5 ⁻⁴ = 1/5 ⁴ .

Аналогично, x ⁻³ = 1/x ³ .

Правило : Отрицательная экспонента есть величина, обратная экспоненте. x ^−y = 1/x ^y .

Сводка

Вы вычитаете показатели степени при делении двух экспоненциальных чисел или переменных с одинаковым основанием.

Когда вы делите экспоненциальное число само на себя, показатель степени равен 0 .

При делении на большую экспоненту с тем же основанием показатель степени будет отрицательным.

Показательное число с отрицательным показателем степени является обратной величиной показательного числа.

---

Увеличьте свое понимание, зная правила

---

Ресурсы и ссылки

Рон Куртус.1525 — rapidtables.com

Законы экспонентов — Mathisfun.

No related posts.