При каких условиях существует треугольник: Существует ли треугольник

alexxlab / / Разное

Определить существование треугольника по трем сторонам. Язык Python

С клавиатуры вводятся длины трех отрезков. Определить, можно ли из них составить треугольник.
Решение задачи на языке программирования Python

У треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Иначе две стороны просто «лягут» на третью и треугольника не получится.

Пользователь вводит длины трех сторон. Программа должна определять, может ли существовать треугольник при таких длинах. Это значит, необходимо сравнить суммы всех пар сторон с оставшейся третьей стороной. Чтобы треугольник существовал, сумма всегда должна быть больше отдельной стороны или, по крайней мере, не меньше, если учитывать так называемый вырожденный треугольник.

Поскольку всего три стороны, то можно составить три варианта сложения двух сторон: a + b, b + c, a + c. Первую сумму сравниваем с оставшейся стороной c, вторую — с a и третью — с b

. Если хотя бы в одном случае сумма окажется не больше третьей стороны, то делается вывод, что треугольник не существует.

print("Стороны:")
a = float(input("a = "))
b = float(input("b = "))
c = float(input("c = "))
 
if a + b > c and a + c > b and b + c > a:
    print("Треугольник существует")
else:
    print("Треугольник не существует")

Можно решить задачу сложнее. Если требуется также определить, какая из сторон больше суммы двух других, то решение может быть таким:

print("Длины сторон треугольника:")
a = float(input("a = "))
b = float(input("b = "))
c = float(input("c = "))
 
flag = ''
if a + b > c:
    if a + c > b:
        if b + c > a:
            print("Треугольник есть")
        else:
            flag = 'a'
    else:
        flag = 'b'
else:
    flag = 'c'
 
if flag != '':
    print("Треугольника нет")
    print("'%s' > суммы других" % flag)

Особого смысла использовать переменную flag

здесь нет. Она просто позволяет лишний раз не писать в программе строки, информирующие о том, что треугольник не существует.

Пример выполнения программы:

Длины сторон треугольника:
a = 4
b = 5
c = 10
Треугольника нет
'c' > суммы других

Более изящным решением является использование оператора множественного ветвления языка программирования Python: if-elif-else.

print("Длины сторон треугольника:")
a = float(input("a = "))
b = float(input("b = "))
c = float(input("c = "))
 
flag = ''
if a + b <= c:
    flag = 'c'
elif a + c <= b:
    flag = 'b'
elif b + c <= a:
    flag = 'a'
else:
    print("Треугольник есть")
 
 
if flag != '':
    print("Треугольника нет")
    print("'%s' > суммы других" % flag)

Здесь сравнение происходит от обратного: утверждается, что сумма двух сторон меньше или равна третьей. Если это так (утверждение верно), то треугольника не существует. «Слишком длинная сторона» определяется в зависимости от того, в заголовке какой ветки логическое выражение возвращает истину.

Больше задач в PDF


Существующие Треугольники: Теорема, Докзательство, Признаки

Главная » геометрия

Обновлено

Содержание

  1. Определение
  2. Теорема
  3. Доказательство теоремы
  4. Следствия из теоремы
  5. Признаки существования треугольника

Определение

Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.


Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Теорема

Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:

 

Доказательство теоремы

  1. Проведем отрезок CD равный отрезку CB.
  2. △BCD — равнобедренный, значит ∠CBD = ∠CDB.
  3. Рассмотрим △ABD: ∠ABD > ∠CBD, следовательно ∠ABD > ∠CDB, то AB < AD.
  4. Но AD = AC + CD = AC + CB, поэтому AB < AC + CB, ч.т.д.

Следствия из теоремы

  1. Для любых точек А, В, С, не лежащих на
    одной прямой справедливы неравенства:
    AB < AC + BC
    AC < AB + BC
    BC < AC + AB
  2. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
  3. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов.
  4. Теорема о неравенстве треугольника для разности сторон.

Признаки существования треугольника

  • Если каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, значит треугольник существует.
  • Если большая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон,
    значит треугольник существует.
  • Если сумма углов треугольника равна 180°, значит треугольник существует.

Правило поясняется картинками и примерами

Могут ли любые 3 длины сторон образовать треугольник?

Например, могу ли я создать треугольник из сторон длины… скажем, 4, 8 и 3?

Нет! На самом деле это невозможно!

Как вы можете видеть на рисунке ниже, невозможно создать треугольник, длина сторон которого равна 4, 8 и 3

Оказывается, есть некоторые правила, касающиеся длины сторон треугольников. Вы не можете просто составить 3 случайных числа и получить треугольник! Вы можете получить 3 строки, подобные тем, что изображены выше. нельзя соединить в треугольник.

Видео по теореме

Формула

Теорема о неравенстве треугольника утверждает, что сумма

любых двух сторон треугольника должна быть больше, чем мера третьей стороны.

Примечание: Это правило должно выполняться для всех 3-х условий сторон.

Другими словами, как только вы узнаете, что сумма двух сторон меньше (или равна) меры третьей стороны, тогда вы знаете, что стороны не составляют треугольник.

Вы можете поэкспериментировать сами, используя наш бесплатный онлайн-калькулятор теоремы о неравенстве треугольника — который позволяет ввести любые три стороны и объясняет, как к ним применима теорема о неравенстве треугольника.

Должен ли я всегда проверять все 3 набора?

НЕТ!

Вам нужно только посмотреть, больше ли две меньшие стороны, чем наибольшая сторона!

Посмотрите на пример выше, проблема была в том, что 4 + 3 (сумма меньших сторон) не больше 10 (большая сторона)

Мы начнем использовать этот ярлык с практической задачи 2 ниже.

Интерактивная демонстрация теоремы

Интерактивная демонстрация ниже показывает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна превышает длину третьей стороны. Демонстрация также иллюстрирует, что происходит, когда сумма 1 пары сторон равняется длине третьей стороны — в итоге вы получите прямую линию! Вы не можете сделать треугольник!

В противном случае вы не можете создать треугольник с 3-х сторон.

А + В > С

6 + 6 > 6

А + С > В

6 + 6 > 6

Б + С > А

6 + 6 > 6


Наведите курсор, чтобы начать демонстрацию

Практические задачи

Проблема 1

Может ли треугольник иметь длины сторон

  • Сторона 1: 4
  • Сторона 2: 8
  • Сторона 3: 2

№

Используйте теорему о неравенстве треугольника и изучите все 3 комбинации сторон. Как только сумма

любых двух сторон меньше третьей стороны то стороны треугольника не удовлетворяют теореме.

Проблема 2

Может ли треугольник иметь длины сторон

  • Сторона 1: 5
  • Сторона 2: 6
  • Сторона 3: 7

Да

Используйте ярлык и проверьте, больше ли сумма двух меньших сторон, чем большая сторона.

маленький + маленький > большой потому что 5 + 6 > 7
Проблема 3

Может ли треугольник иметь длины сторон

  • Сторона 1: 1,2
  • Сторона 2: 3.1
  • Сторона 3: 1,6

Нет

Используйте ярлык и проверьте, больше ли сумма двух меньших сторон, чем большая сторона.

маленький + маленький > большой потому что 1,2 + 1,6 $$\color{Red}{ \ngtr } $$ 3,1
Проблема 4

Может ли треугольник иметь длины сторон

  • Сторона 1:6
  • Сторона 2: 8
  • Сторона 3: 15

Нет

Используйте ярлык и проверьте, больше ли сумма двух меньших сторон, чем большая сторона.

маленький + маленький > большой потому что 6 + 8 $$\color{Red}{ \ngtr } $$ 16

Больше похоже на Задача 1-4…

Проблема 4.1

Может ли треугольник иметь длины сторон

  • Сторона 1: 5
  • Сторона 2: 5
  • Сторона 3: 10

Нет

Используйте ярлык и проверьте, больше ли сумма двух меньших сторон, чем большая сторона.

маленький + маленький > большой потому что 5 + 5 $$\color{Red}{ \ngtr } $$ 10
Проблема 4.2

Может ли треугольник иметь длины сторон

  • Сторона 1: 7
  • Сторона 2: 9
  • Сторона 3: 15

Да

Используйте ярлык и проверьте, больше ли сумма двух меньших сторон, чем большая сторона.

маленький + маленький > большой потому что 7 + 9 > 15

Решайте задачи усерднее

Проблема 5

Две стороны треугольника имеют длины 8 и 4. Найдите все возможные длины третьей стороны.

Вы можете использовать простую формулу, показанную ниже, для решения этих типов проблем:

разница $$< x <$$ сумма
$$8 -4 < x < 8+4 $$

Отвечать: $$4 < х < 12$$

Существует бесконечное количество возможных треугольников, но мы знаем, что сторона должна быть больше 4 и меньше 12.

Одно возможное решение

Вот пример треугольника, неизвестная сторона которого чуть больше 4:
.

Другое возможное решение

Вот пример треугольника, неизвестная сторона которого чуть меньше 12:
.

Проблема 6

Две стороны треугольника имеют длины 2 и 7. Найдите все возможные длины третьей стороны.

разница $$< x <$$ сумма
$$7 -2 < х < 7+2$$

Отвечать: $$5 < х < 9$$

Проблема 7

Две стороны треугольника имеют длины 12 и 5. Найдите все возможные длины третьей стороны.

разница $$< x <$$ сумма
$12 -5 < x < 12 + 5$$

Отвечать: $$7 < х < 17$$

Расчет теоремы о неравенстве треугольника

Неоднозначный случай — тригонометрия

  • Как узнать, когда использовать неоднозначный случай при нахождении возможных длин треугольников?

    Как указано ниже.

    Для тех из вас, кому нужно напоминание, неоднозначный случай возникает, когда кто-то использует закон синусов для определения недостающих мер треугольника, когда заданы две стороны и угол, противолежащий одному из этих углов (SSA). … Если угол A острый и a = h, существует один возможный треугольник

    1. Если угол A острый и a < h, такого треугольника не существует.

    2. Если угол A острый и a = h, существует один возможный треугольник.

    3. Если угол A острый и a > b, существует один возможный треугольник.

    4. Если угол A острый и h < a < b, существуют два возможных треугольника.

    5. Если угол A тупой и a < b или a = b, такого треугольника не существует.

    6. Если угол A тупой и a > b, то такой треугольник существует.

  • Если у вас есть угловой случай SSA с двумя возможными решениями, как вы можете проверить оба решения, чтобы убедиться, что они верны?

    Три числа (#a,b,c#) могут быть длинами трех сторон треугольника тогда и только тогда, когда каждая из них больше разности двух других и меньше суммы двух других.

    IE: (если #a>b>c#)

    #a>b-c#,
    #b>a-c#,
    #c>a-b#;

    и:

    #a #b #c

  • Как найти второй треугольник в неоднозначном случае?

    Как указано ниже.

    Если сумма больше 180°, второй угол недействителен. Во-первых, мы знаем, что этот треугольник является кандидатом на неоднозначный случай, поскольку нам даны две стороны и угол не между ними. Нам нужно найти меру угла B, используя закон синусов: если их сумма меньше 180 °, мы знаем, что треугольник может существовать.

    (http://www.softschools.com/math/calculus/the_ambiguous_case_of_the_law_of_sines/)

    Чтобы определить, существует ли второй допустимый угол:

    1. Посмотрите, даны ли вам две стороны и угол не между ними (SSA). Это ситуация, которая может иметь 2 возможных ответа.

    2. Найдите значение неизвестного угла.

    3. Как только вы найдете значение своего угла, вычтите его из 180°, чтобы найти возможный второй угол.

    4. Добавьте новый угол к исходному углу. Если их сумма меньше 180°, у вас есть два правильных ответа. Если сумма больше 180°, то второй угол недействителен.

    5. Если уже задан один тупой угол, он не может иметь второй набор значений.

      No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *