Пример определитель матрицы: Определитель матрицы — порядок вычисления определителя матрицы, примеры и решения

МАТРИЦЫ



МАТРИЦЫ

На главную На следующую страницу

МАТРИЦЫ

1.1 Действия над матрицами

1.2 Определители матриц второго и третьего порядка

1.3 Разложение определителя матрицы по элементами строки и столбца

1.4 Обратная матрица

1.1 Действия над матрицами

Прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m*n:

Каждый элемент матрицы снабжается двумя индексами: первый указывает номер строки, второй – номер столбца, в которых расположен этот элемент.

Две матрицы называются равными, если числа их строк и столбцов равны и если равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц.

Если число столбцов матрицы n равно числу ее строк, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n. Элементы а₁₁, а₁₂

,. .,a_nn квадратной матрицы порядка n образуют ее главную диагональ.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица Е называется единичной, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице.

Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число.

Суммой матриц A и B одинаковых размеров называется матрица, элементы которой равны суммам элементов матриц A и B, расположенных на соответствующих местах:

+=

Матрицу можно умножить на матрицу только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получится матрица , у которой столько же строк, сколько их в матрице , и столько же столбцов, сколько их в матрице. Элементы матрицы вычисляются по формуле

т. е. для получения элемента , расположенного в i-й строке и j-м столбце матрицы c, надо элементы i-й строки матрицы A умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и полученные произведения сложить.

           Пример.

=

 

1.2 Определители матриц второго и третьего порядка

Определителем матрицы второго порядка называется число

Определителем матрицы третьего порядка называется число

1.3 Разложение определителя матрицы по элементами строки и столбца

Минором M_ij элемента a_ij матрицы n-го порядка называется определитель (n–1)-го порядка, который получается в результате вычеркивания в матрице n-го порядка строки и столбца, содержащих элемент

a_ij.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij матрицы A называется его минор, умноженный на (–1)^i+j:

Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 1. Вычислить определитель, разлагая его по элементам третьего столбца.

=+ ++=

Пример 2. Найти минор элемента a44 в определителе четвертого порядка

Ответ:

1.4 Обратная матрица

Матрица A^-1называется обратной для квадратной матрицы A , если  Квадратная матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Квадратная матрица

A, определитель которой не равен нулю, имеет единственную обратную матрицу

где Δ– определитель матрицы ;

     A_ij– алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Наверх

          На главную На следующую страницу

1.2. Определитель квадратной матрицы

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, вычисляемое по определенному правилу. Если матрица то ее определителем называется число, которое вычисляется по формуле:

(1.2.1.)

Например, для матрицы определитель

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка:

Определителем матрицы третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле:

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение.

Чтобы получить правило для вычисления определителя любого порядка, введем понятие минора и алгебраического дополнения элемента квадратной матрицы .

Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком , то есть

Пример. Дана матрица третьего порядка:

Найти миноры и алгебраические дополнения

Решение. Вычеркивая первую строку и первый столбец, получим минор Вычеркивая первую строку и второй столбец, найдем минор Тогда

Ответ.

За правило вычисления определителя n-го порядка примем утверждение следующей теоремы.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

,

где i=1,2,…,n.

Эта формула называется разложением определителя по элементам i-й строки. Аналогично имеет место разложение по элементам j-го столбца:

где j=1,2,…,n.

Убедимся в справедливости теоремы на примере определителя третьего порядка, разложив его по элементам первой строки.

Полученный ответ совпадает с определением

Пример. Вычислить определитель квадратной матрицы третьего порядка:

Решение. Разложим определитель по элементам первой строки

Пример. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка:

Решение. Раскроем определитель данной матрицы по элементам первого столбца

Заметим, что определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. И вообще, если квадратная матрица имеет под главной диагональю или над ней элементы равные нулю, то ее определитель равен произведению чисел главной диагонали

Рассмотрим свойства определителей, которые можно доказать с помощью теоремы Лапласа.

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется. Из этого свойства следует, что все свойства, сформулированные относительно строк, справедливы и относительно столбцов.

2. Если все элементы какой-либо строки имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя:

3. При перестановке двух строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

4. Определитель, имеющий нулевую строку, равен нулю.

5. Если определитель имеет две одинаковые строки, то он равен нулю.

6. Если определитель имеет две пропорциональные строки, то он равен нулю.

7. Если все элементы какой-либо строки представляют сумму двух слагаемых, то определитель можно представить как сумму двух определителей: у первого в соответствующей строке стоят первые слагаемые, а у второго – вторые, остальные элементы те же, что и у данного определителя:

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки матрицы прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений элементов какой-либо строки матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки этой матрицы равна нулю.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей., где А,В- матрицы n-го порядка. То есть если даже АВ,

Приведенные свойства определителей используются при их вычислении.

Пример. Вычислить определитель матрицы

Решение. Выполним преобразования, которые по свойству 8 не изменят величины определителя: первую строку прибавим ко второй, и, умноженную на 2, вычтем из последней строки:

Определитель третьего порядка можно вычислить по определению или продолжить применение свойства 8: третью строку, умноженную на 4, вычитаем из первой строки, умноженную на 3 вычтем из второй, получим

Примеры для самостоятельной работы

Вычислить определители:

1) 2)

3)

Ответы: 1)24; 2)0; 3)10.

Determinant of a 3×3 matrix and example

	目次
—	$3\times 3$ determinant
—	Example
—	Calculator
—	Правило Сарруса

$3 \times 3$ определитель

Найдите определитель матрицы 3×3,

, с помощью расширения кофактора.

---

Доказательство
Кофакторное разложение $A$ по первому столбцу равно

Вычисляя определитель 2×2 в каждом члене,

Мы получаем

---

Примеры

Найдите определители следующих матриц.

---

Пример ответа
По формуле определителя $3 \times 3$,

---

Калькулятор
Введите матрицу 3×3 и нажмите кнопку «Выполнить». Затем выводится определитель.

	1	2	3
1
2
3

$|А|$ «=»

Правление Сарруса

Определитель $3 \times 3$ равен немного сложнее, чем определитель $2 \times 2$, так что есть визуальная формула для запоминания.
Проведем пять линий из левого верхнего угла в правый нижний на матрице $3\times 3$.

Произведение всех элементов, проходящих через 3-ю прямую, равно $A_{11}A_{22}A_{33}$. Произведение всех элементов через 2-ю и 5-ю строки равно $A_{12}A_{23}A_{31}$. Произведение всех элементов через 1-ю и 4-ю строки равно $A_{13}A_{21}A_{32}$. Сумма произведений выше равна

$$ \тег{4. 1} $$ Далее нарисуем пять линий из правого верхнего угла в левый нижний угол матрицы.

Произведение всех элементов, проходящих через третью прямую, равно $A_{13}A_{22}A_{31}$. Произведение всех элементов через 2-ю и 5-ю строки равно $A_{12}A_{21}A_{33}$. Произведение всех элементов через 1-ю и 4-ю строки равно $А_{11}А_{23}А_{32}$ Умножение вышеуказанных продуктов на $-1$ и их сложение дает Сумма произведений выше, умноженная на $-1$, равна

$$ \тег{4.2} $$ Добавляя $(4.1)$ и $(4.2)$, у нас есть

, который равен определителю матрицы $3 \times 3$.
Таким образом, определитель матрицы $3 \times 3$ получается путем сложения членов, полученных путем рисования линий из левого верхнего угла в правый нижний, и вычитание членов, полученных путем рисования линий справа вверху слева внизу. Эта визуальная формула называется правилом Сарруса.

Расширения кофактора

Цели

1. Научитесь распознавать, какие методы лучше всего подходят для вычисления определителя данной матрицы.
2. Рецептов: определитель матрицы 3×3, вычислите определитель, используя разложения кофакторов.
3. Словарные слова: минор , кофактор .

В этом разделе мы даем рекурсивную формулу для определителя матрицы, называемую разложением кофактора . Формула является рекурсивной в том смысле, что мы будем вычислять определитель матрицы n×n , предполагая , что мы уже знаем, как вычислить определитель матрицы (n−1)×(n−1).

В конце есть дополнительный подраздел о правиле Крамера и формуле кофактора для обратной матрицы.

Рекурсивная формула должна иметь начальную точку. Для расширений кофакторов отправной точкой является случай матриц 1 × 1. Из определения определителя прямо следует, что

detAaB=а.

Чтобы описать разложения кофакторов, нам нужно ввести некоторые обозначения.

Определение

Пусть A — матрица размера n × n.

1. (i, j) минор, , обозначаемый Aij, представляет собой матрицу (n−1)×(n−1), полученную из A удалением i-й строки и j-го столбца.
2. Кофактор (i,j) Cij определяется в терминах минора как

   Cij=(−1)i+jdet(Aij).

Обратите внимание, что знаки кофакторов расположены в шахматном порядке. А именно, (−1)i+j изображено в этой матрице:

GKI+-+—+-++-+—+-+HLJ.

Пример

Кофакторы Cij матрицы n×n являются определителями (n−1)×(n−1) подматриц. Следовательно, следующая теорема фактически представляет собой рекурсивную процедуру вычисления определителя.

Теорема (расширение кофактора)

Пусть A — матрица размера n × n с элементами aij.

1. Для любого i=1,2,…,n имеем

   det(A)=nMj=1aijCij=ai1Ci1+ai2Ci2+···+ainCin.

   Это называется расширением кофактора вдоль i-й строки.
2. Для любого j=1,2,. ..,n имеем

   det(A)=nMi=1aijCij=a1jC1j+a2jC2j+···+anjCnj.

   Это называется расширением кофактора по j-му столбцу.

Доказательство

Сначала мы докажем, что разложение кофакторов по первому столбцу вычисляет определитель. Определить функцию d:{n×nmatrices}→R на

d(A)=nMi=1(−1)i+1ai1det(Ai1).

Мы хотим показать, что d(A)=det(A). Вместо того чтобы показывать, что d удовлетворяет четырем определяющим свойствам определителя в разделе 4.1, мы докажем, что он удовлетворяет трем альтернативным определяющим свойствам в разделе 4.1, эквивалентность которых была показана.

1. Покажем, что d полилинейно по строкам матрицы A. Пусть A — матрица со строками v1,v2,…,vi−1,v+w,vi+1,…,vn:

   А=Ea11a12a13b1+c1b2+c2b3+c3a31a32a33F.

   Здесь мы пусть bi и ci будут элементами v и w соответственно. Пусть B и C — матрицы со строками v1,v2,…,vi−1,v,vi+1,…,vn и v1,v2,…,vi−1,w,vi+1 ,…,вн соответственно:

   B=Ea11a12a13b1b2b3a31a32a33FC=Ea11a12a13c1c2c3a31a32a33F.

   Мы хотим показать d(A)=d(B)+d(C). При iAB=i (iA,1)-кофактор A представляет собой сумму (iA,1)-кофакторов B и C в силу полилинейности определителей матриц (n−1)×(n−1) :

   (-1)3+1det(A31)=(-1)3+1detNa12a13b2+c2b3+c3O=(-1)3+1detNa12a13b2b3O+(-1)3+1detNa12a13c2c3O=(-1)3+1det(B31)+ (−1)3+1det(C31).

   С другой стороны, (i,1)-кофакторы A, B и C одинаковы:

   (-1)2+1det(A21)=(-1)2+1detNa12a13a32a33O=(-1)2+1det(B21)=(-1)2+1det(C21).

   Теперь мы вычисляем

   d(A)=(−1)i+1(bi+ci)det(Ai1)+MiAB=i(−1)iA+1ai1det(AiA1)=(−1)i+1биде(Bi1)+(− 1)i+1cidet(Ci1)+MiAB=i(−1)iA+1ai1Adet(BiA1)+det(CiA1)B=P(−1)i+1bidet(Bi1)+MiAB=i(−1)iA+ 1ai1det(BiA1)Q+P(-1)i+1cidet(Ci1)+MiAB=i(-1)iA+1ai1det(CiA1)Q=d(B)+d(C),

   по желанию. Это показывает, что d(A) удовлетворяет первому определяющему свойству в строках A.

   Нам еще нужно показать, что d(A) удовлетворяет второму определяющему свойству в строках матрицы A. Пусть B — матрица, полученная масштабированием i-й строки матрицы A с коэффициентом c:

   A=Ea11a12a13a21a22a23a31a32a33FB=Ea11a12a13ca21ca22ca23a31a32a33F.

   Мы хотим показать, что d(B)=cd(A). Для iAB=i (iA,1)-кофактор B в c раз больше (iA,1)-кофактор A из-за полилинейности определителей (n−1)×(n−1)-матриц:

   (-1)3+1det(B31)=(-1)3+1detNa12a13ca22ca23O=(-1)3+1·cdetNa12a13a22a23O=(-1)3+1·cdet(A31).

   С другой стороны, (i,1)-кофакторы A и B одинаковы:

   (-1)2+1det(B21)=(-1)2+1detNa12a13a32a33O=(-1)2+1det(A21).

   Теперь мы вычисляем

   d(B)=(-1)i+1cai1det(Bi1)+MiAB=i(-1)iA+1aiA1det(BiA1)=(-1)i+1cai1det(Ai1)+MiAB=i(-1)iA +1aiA1·cdet(AiA1)=cP(-1)i+1cai1det(Ai1)+MiAB=i(-1)iA+1aiA1det(AiA1)Q=cd(A),

   по желанию. Это завершает доказательство полилинейности d(A) по строкам матрицы A.

2. Теперь покажем, что d(A)=0, если A имеет две одинаковые строки. Предположим, что строки i1,i2 матрицы A идентичны, причем i1 A=GKIa11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a11a12a13a14HLJ.
   Если iB=i1,i2, то (i,1)-сомножитель матрицы A равен нулю, поскольку Ai1 — матрица (n−1)×(n−1) с одинаковыми строками:

   (-1)2+1det(A21)=(-1)2+1detEa12a13a14a32a33a34a12a13a14F=0.

   (i1,1)-минор может быть преобразован в (i2,1)-минор с помощью i2-i1-1 перестановки строк:

   (-1)i1+1det(Ai11)=(-1)i1+1·(-1)i2-i1-1det(Ai21)=-(-1)i2+1det(Ai21).

   Два оставшихся кофактора компенсируются, поэтому d(A)=0, как и требовалось.
3. Осталось показать, что d(In)=1. Первый — единственный ненулевой член в кофакторном разложении тождества:

   d(In)=1·(-1)1+1det(In-1)=1.

Это доказывает, что det(A)=d(A), т. е. разложение на кофакторы по первому столбцу вычисляет определитель.

Теперь мы покажем, что разложение кофактора по j-му столбцу также вычисляет определитель. Выполняя j-1 перестановку столбцов, можно переместить j-й столбец матрицы в первый столбец, сохраняя порядок в других столбцах. Например, здесь мы перемещаем третий столбец в первый, используя два обмена столбцами:

a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44GIHJa11a13a12a14a21a23a22a24a31a33a32a34a41a43a42a44GIHJa13a12a11a14a23a22a21a24a33a32a31a34a43a42a41a44GIHJ

Let B be the matrix obtained by moving the jth column of A to the first column in this way. Тогда (i,j)-минор Aij равен (i,1)-минору Bi1, так как удаление i-го столбца A равносильно удалению первого столбца B. По построению (i,j)-элемент aij матрицы A равен (i,1)-элементу bi1 матрицы B. Поскольку мы знаем, что можем вычислить определители, разложив по первому столбцу, имеем

det(B)=nMi=1(-1)i+1bi1det(Bi1)=nMi=1(-1)i+1aijdet(Aij).

Поскольку B был получен из A путем перестановки j−1 столбцов, мы имеем

det(A)=(−1)j−1det(B)=(−1)j−1nMi=1(−1)i+1aijdet(Aij)=nMi=1(−1)i+jaijdet(Aij) .

Это доказывает, что разложение кофактора по i-му столбцу вычисляет определитель A.

В соответствии со свойством транспонирования в разделе 4.1 расширение кофактора по i-й строке A совпадает с расширением кофактора по i-му столбцу AT. Опять же, благодаря свойству транспонирования, мы имеем det(A)=det(AT), поэтому разложение кофакторов вдоль строки также вычисляет определитель.

Обратите внимание, что теорема на самом деле дает 2n различных формул для определителя: по одной для каждой строки и по одной для каждого столбца. Например, формула разложения кофактора по первому столбцу равна

.

det(A)=nMi=1ai1Ci1=a11C11+a21C21+···+an1Cn1=a11det(A11)−a21det(A21)+a31det(A31)−···±an1det(An1).

Помните, что определитель матрицы — это просто число, определяемое четырьмя определяющими свойствами в разделе 4.1, поэтому для ясности:

Вы получаете то же число, расширяя кофакторы по любой строке или столбцу.

Теперь, когда у нас есть рекурсивная формула для определителя, мы наконец можем доказать теорему существования в разделе 4.1.

Пример

Определитель матрицы 2×2

Вычислим (снова) определитель общей матрицы 2×2

А=NabcdO.

Несовершеннолетние

abcdCDA11==AdBabcdCDA12==AcBabcdCDA21==AbBabcdCDA22==AaB.

Все второстепенные матрицы являются матрицами 1×1. Поскольку мы видели, что определитель матрицы 1 × 1 — это просто число внутри нее, следовательно, кофакторы равны

C11=+det(A11)=dC12=-det(A12)=-cC21=-det(A21)=-bC22=+det(A22)=a

Разложив сомножители по первому столбцу, находим, что

det(A)=aC11+cC21=ad-bc,

, что согласуется с формулами в этом определении в разделе 3. 5 и этом примере в разделе 4.1.

Определитель матрицы 3×3

Мы также можем использовать разложения на кофакторы, чтобы найти формулу для определителя матрицы 3×3. Вычислим определитель числа

.

А=Еа11а12а13а21а22а23а31а32а33Ф

, развернув первую строку. Миноры и кофакторы:

a11a12a13a21a22a23a31a32a33GIHJA11==Na22a23a32a33OC11=+detNa22a23a32a33Oa11a12a13a21a22a23a31a32a33GIHJA12==Na21a23a31a33OC12=−detNa21a23a31a33Oa11a12a13a21a22a23a31a32a33GIHJA13==Na21a22a31a32OC13=+detNa21a22a31a32O

The determinant is:

det(A)=a11C11+a12C12+a13C13=a11detNa22a23a32a33O−a12detNa21a23a31a33O+a13detNa21a22a31a32O=a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33 .

Формула определителя матрицы 3×3 выглядит слишком сложной, чтобы ее сразу запомнить. К счастью, есть следующий мнемонический прием.

Рецепт: вычисление определителя матрицы 3×3

Чтобы вычислить определитель матрицы 3×3, сначала нарисуйте матрицу большего размера, в которой первые два столбца повторяются справа. Затем сложите произведения нисходящих диагоналей и вычтите произведения восходящих диагоналей:

detEa11a12a13a21a22a23a31a32a33F=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33a11a12a13a11a12a21a22a23a21a22a31a32a33a31a32−a11a12a13a11a12a21a22a23a21a22a31a32a33a31a32

В качестве альтернативы нет необходимости повторять первые два столбца, если вы позволяете своим диагоналям «оборачивать» стороны матрицы, как в Pac-Man или Asteroids.

Пример

Расширения кофакторов наиболее полезны при вычислении определителя матрицы, которая имеет строку или столбец с несколькими нулевыми элементами. В самом деле, если (i,j)-элемент A равен нулю, то нет причин вычислять (i,j)-кофактор. В следующем примере мы вычисляем определитель матрицы с двумя нулями в четвертом столбце путем расширения кофакторов по четвертому столбцу.

Пример

Расширения кофакторов также очень полезны при вычислении определителя матрицы с неизвестными элементами. Действительно, в этом случае выполнять редукцию строк неудобно, потому что нельзя быть уверенным, является ли запись, содержащая неизвестное, опорной или нет.

Пример

Часто наиболее эффективно использовать комбинацию нескольких методов при вычислении определителя матрицы. Действительно, при разложении кофакторов на матрице можно вычислить определители кофакторов любым удобным способом. Или можно выполнить операции со строками и столбцами, чтобы очистить некоторые элементы матрицы перед расширением кофакторов, как в предыдущем примере.

Резюме: методы вычисления определителей

У нас есть несколько способов вычисления определителей:

1. Специальные формулы для матриц 2×2 и 3×3.

   Обычно это лучший способ вычислить определитель маленькой матрицы, за исключением матрицы 3×3 с несколькими нулевыми элементами.

2. Расширение кофактора.

   Обычно это наиболее эффективно, когда есть строка или столбец с несколькими нулевыми элементами или если в матрице есть неизвестные элементы.

3. Операции со строками и столбцами.

   Как правило, это самый быстрый результат при представлении большой матрицы, в которой нет ни строки, ни столбца с большим количеством нулей.

4. Любая комбинация вышеперечисленного.

   Расширение кофактора является рекурсивным, но определители миноров можно вычислить любым удобным способом. Или вы можете выполнять операции со строками и столбцами, чтобы очистить некоторые элементы матрицы перед расширением кофакторов.

Помните, все методы вычисления определителя дают одно и то же число.

Напомним из этого предложения в разделе 3.5, что можно вычислить определитель матрицы 2 × 2, используя правило

A=Nd-b-caO=⇒A-1=1det(A)Nd-b-caO.

В этом примере мы вычислили кофакторы матрицы 2×2; используя C11=d,C12=-c,C21=-b,C22=a, мы можем переписать приведенную выше формулу как

A-1=1det(A)NC11C21C12C22O.

Оказывается, эта формула обобщается на матрицы размера n×n.

Теорема

Пусть A — обратимая матрица размера n × n с кофакторами Cij. Затем

A-1=1det(A)GKKKKIC11C21···Cn-1,1Cn1C12C22···Cn-1,2Cn2……………C1,n-1C2,n-1· ··Cn−1,n−1Cn,n−1C1nC2n···Cn−1,nCnnHLLLLJ.

(4.2.1)

Матрица кофакторов иногда называется сопряженной матрицей матрицы A и обозначается adj(A):

adj(A)=GKKKKIC11C21···Cn−1,1Cn1C12C22···Cn−1,2Cn2.. ………….C1,n−1C2,n−1···Cn−1,n−1Cn,n−1C1nC2n···Cn−1,nCnnHLLLLJ.

Обратите внимание, что (i,j) кофактор Cij входит в запись (j,i) сопряженной матрицы, а не в запись (i,j): сопряженная матрица представляет собой транспонирование матрицы кофакторов.

Пример

Из предыдущего примера видно, что (4.2.1) — очень неэффективный способ вычисления обратной матрицы по сравнению с увеличением на единичную матрицу и сокращением строк, как в этом подразделе раздела 3.5. Тем не менее, у него есть свое применение.

• Если матрица имеет неизвестные элементы, то трудно вычислить ее обратную с помощью редукции строк по той же причине, по которой таким способом трудно вычислить определитель: нельзя быть уверенным, является ли элемент, содержащий неизвестное, опорным или нет.
• Эта формула полезна для теоретических целей. Обратите внимание, что единственные знаменатели в (4.2.1) появляются при делении на определитель: вычисление кофакторов включает только умножение и сложение, а не деление. Это означает, например, что если определитель очень мал, то любая ошибка измерения в элементах матрицы сильно увеличивается при вычислении обратной. Таким образом, (4.2.1) полезен при анализе ошибок.

В доказательстве теоремы используется интересный трюк под названием Правило Крамера , которое дает формулу для элементов решения обратимого матричного уравнения.

Правило Крамера

Пусть x=(x1,x2,…,xn) — решение уравнения Ax=b, где A — обратимая матрица размера n × n, а b — вектор в Rn. Пусть Ai — матрица, полученная из A заменой i-го столбца на b. Затем

xi=det(Ai)det(A).

Доказательство

Сначала предположим, что A — единичная матрица, так что x=b. Тогда матрица Ai выглядит так:

ГКИ10б1001б2000б3000б41ХЛДЖ.

Раскладывая сомножители по i-й строке, мы видим, что det(Ai)=bi, поэтому в данном случае

xi=bi=det(Ai)=det(Ai)det(A).

Теперь пусть A — общая матрица размера n × n. Один из способов решить Ax=b — сократить расширенную матрицу (A|b) по строке; результат (In|x). В случае, который мы рассмотрели выше, достаточно проверить, что величина det(Ai)/det(A) не меняется, когда мы выполняем операцию со строкой для (A|b), поскольку det(Ai)/det(A) =xi, когда A=In.

1. Doing a row replacement on (A|b) does the same row replacement on A and on Ai:Ea11a12a13b1a21a22a23b2a31a32a33b3FR2=R2−2R3−−−−−−→Ea11a12a13b1a21−2a31a22−2a32a23−2a33b2−2b3a31a32a33b3FEa11a12a13a21a22a23a31a32a33FR2=R2−2R3−− ——→Ea11a12a13a21-2a31a22-2a32a23-2a33a31a32a33FEa11b1a13a21b2a23a31b3a33FR2=R2-2R3——→Ea11b1a13a21-2a31b2-2b3a23-2a33a31b3a.3a. В частности, det(A) и det(Ai) не изменились, поэтому det(A)/det(Ai) не изменились.
2. Масштабирование строки (A|b) с коэффициентом c приводит к масштабированию одной и той же строки A и Ai с одинаковым коэффициентом: Ea11a12a13b1a21a22a23b2a31a32a33b3FR2=cR2−−−−→Ea11a12a13b1ca21ca22ca23cb2a31a32a33b3FEa11a12a13a21a22a23a31a32a33FR2=cR2−−−−→Ea11a12a13ca21ca22ca23a31a32a33FEa11b1a13a21b2a23a31b3a33FR2=cR2−−−−→Ea11b1a13ca21cb2ca23a31b3a33F.

   No related posts.