Примеры деления комплексных чисел: Деление комплексных чисел | Математика

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

Деление комплексных чисел пример. Деление комплексных чисел в алгебраической форме

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a» + b»i — значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di)=

Пример 1. Найти частное (7 — 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 — 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 — 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:

((7 — 4i)(3 — 2i))/((3 + 2i)(3 — 2i)) = (13 — 26i)/13 = 1 — 2i.

Пример 1 предыдущего пункта даёт проверку.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 — 4i))/((-3 — 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 — 0. 92i.

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a» + b». Получим a + bi.

Решение уравнений с комплексными переменными

комплексный число сложение переменная

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а — заданное число, z — неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

• 1) имеет один корень z = 0, если а = 0;
• 2) имеет два действительных корня z1,2 = , если а>0;
• 3) не имеет действительных корней, если а

На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2 = a, если:

• 1) а = -1; 2) а = -25; 3) а = -3.
• 1) z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2, или z2 — i2 = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2 = i.
• 2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение:

z2 = i2 52, z2 — 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 = 5i, z2 = -5i. Ответ:

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 — ()2i2 = 0, (z — i)(z + i) = 0

Ответ: z1,2 = i.

Вообще уравнение z2 = a, где а

Используя равенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = 2i, = i .

Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2 + bz + c = 0, где а, b, с — действительные числа, а 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2 = = = 2 3i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3i и z2=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4 — это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 — корни уравнения az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1=-1-2i.

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ z2-2z+5=0.

Определение:

Комплексное число =x

Примеры сопряженных комплексных чисел:

–1 + 5i и –1 – 5i , 2 – 3i и 2 + 3i .

Для деления двух комплексных чисел в алгебраической форме, как правило, удобно числитель и знаменатель дроби домножать на число, сопряженное знаменателю .

Пример 4 Выполнить деление:= [домножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю] =

Заметим, что
есть выражение, а не число, поэтому его нельзя рассматривать как ответ.

Пример 5 Выполнить действия:
=

=


=
.

Пример 6 Выполнить действия:
= [домножаем числитель и знаменатель дроби на числа, сопряженные обоим числам знаменателя] =

1. Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

Определение. Комплексное число
называется квадратным корнем из комплексного числаz , если
.

Пример 7 Вычислить
.

Решение. Пусть
= x + yi , тогда

Решим отдельно биквадратное уравнение:

Ответ:{‑3 + 4i ; 3 ‑ 4i }.

Другой способ решения возможен после введения тригонометрической формы записи комплексного числа (см. с. 14).

1. Решение линейных и квадратных уравнений для комплексных чисел

В области комплексных чисел верны те же формулы для решения линейных и квадратных уравнений, что и в области действительных чисел.

Пример 8 Решить уравнение: (‑2 ‑i )z = 3 +i .

Пример 9 Решить уравнение:
.

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

Ответ:{‑2 +i ; ‑2 –i }.

Пример 10 Решить уравнение:
.

Решение:

Ответ:{1 ‑ 2i ; 1 –i }.

Пример 11 Решить уравнение:
.

Решение:

Вычислим
:

Составляем систему, приравнивая вещественные и мнимые части левой и правой частей равенства:

Ответ:{2;i }.

Пример 12 Решить систему уравнений:

Решение. Выражаем из первого уравнения системы переменнуюx через переменнуюy :

Домножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:

В числителе дроби раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Подставляем полученное значение переменной x во второе уравнение системы:

;

Ответ: {1 +i ; i }.

1. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

   1. Геометрическое изображение комплексных чисел

При изучении свойств комплексных чисел весьма удобной является их геометрическая интерпретация . Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то каждое комплексное число z = a + bi изображается точкой плоскости (x , y ) с координатамиx = a и y = b . Такая плоскость называется комплексной плоскостью , ось абсцисс ‑ действительной (Rez ), а ось ординат ‑ мнимой осью (Imz ).

Пример 13 Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам:

Решение . У числаz 1 действительная часть равна ‑2, а мнимая ‑ 0. Следовательно, изображением числаz 1 служит точка (‑2, 0) (рис. 1.1).

У числа z 2 действительная часть равна 0, а мнимая равна 3.

У числа z 4 действительная часть равна 1 и мнимая 1. Следовательно, изображением числаz 4 служит точка (1, 1).

У числа z 5 действительная часть равна ‑3, а мнимая ‑2. Следовательно, изображением числаz 5 служит точка (‑3, ‑2).

Сопряженные числа изображаются точками на комплексной плоскости, симметричными относительно действительной оси Rez .

Разделить комплексные числа | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Определите и запишите комплексно-сопряженное число комплексного числа.
• Разделить комплексные числа.
• Упростите степени [latex]i[/latex].

Деление комплексных чисел

Деление двух комплексных чисел сложнее, чем сложение, вычитание и умножение, потому что мы не можем делить на мнимое число, а это означает, что у любой дроби должен быть действительный знаменатель. Нам нужно найти член, на который мы можем умножить числитель и знаменатель, который исключит мнимую часть знаменателя, чтобы мы получили действительное число в качестве знаменателя. Этот термин называется комплексное сопряжение знаменателя, которое находится при изменении знака мнимой части комплексного числа. Другими словами, комплексное сопряжение [латекс]а+би[/латекс] есть [латекс]а-би[/латекс].

Обратите внимание, что комплексные сопряжения имеют обратную связь: комплексное сопряжение [латекс]а+би[/латекс] равно [латекс]а-би[/латекс], а комплексное сопряжение [латекс]а-би[/ латекс] это [латекс]а+би[/латекс]. Важно отметить, что комплексно-сопряженные пары обладают особым свойством. Их продукт всегда реален. 92\end{align}[/latex]

Предположим, мы хотим разделить [latex]c+di[/latex] на [latex]a+bi[/latex], где ни [latex]a[/latex], ни [латекс]b[/латекс] равно нулю. Сначала запишем деление в виде дроби, затем найдем комплексно-сопряженную часть знаменателя и умножим.

[латекс]\dfrac{c+di}{a+bi}[/latex], где [латекс]a\ne 0[/латекс] и [латекс]b\ne 0[/латекс].

Умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число знаменателя.

[латекс]\dfrac{\left(c+di\right)}{\left(a+bi\right)}\cdot \dfrac{\left(a-bi\right)}{\left(a- би \ вправо)} = \ dfrac {\ влево (с + ди \ вправо) \ влево (а-би \ вправо)} {\ влево (а + би \ вправо) \ влево (а-би \ вправо)} [/ латекс] 9{2}}\end{align}[/latex]

Общее примечание: Комплексное сопряжение

Комплексное сопряжение

• Когда комплексное число умножается на его комплексно-сопряженное, результатом является действительное число.
• Когда комплексное число добавляется к его комплексно-сопряженному, результатом является действительное число.

Пример: нахождение комплексно-сопряженных чисел

Найдите комплексно-сопряженные числа каждого числа.

1. [латекс]2+i\sqrt{5}[/латекс]
2. [латекс]-\frac{1}{2}i[/латекс]

Показать решение

Как: Даны два комплексных числа, разделить одно на другое.

1. Запишите задачу деления в виде дроби.
2. Определите комплексное сопряжение знаменателя.
3. Умножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженную часть знаменателя. 9{2}-3x[/латекс]. Вычислите [латекс]f\влево(8-i\вправо)[/латекс].

   Показать решение

   Пример: замена мнимого числа в рациональной функции

   Пусть [latex]f\left(x\right)=\dfrac{2+x}{x+3}[/latex]. Оценить [латекс]f\влево(10i\вправо)[/латекс].

   Показать решение

   Попробуйте

   Пусть [латекс]f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x — 4}[/latex]. Вычислите [латекс]f\влево(-i\вправо)[/латекс].

   Показать решение

   Упрощающие степени [latex]i[/latex] 9{19}[/латекс]

   Каждый из них в конечном итоге приведет к ответу, который мы получили выше, но может потребоваться несколько больше шагов, чем в нашем предыдущем методе.

   Поддержите!

   У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

   Улучшить эту страницуПодробнее

   Объяснение урока: Деление комплексных чисел

   В этом объяснителе мы научимся выполнять деление комплексных чисел.

   Когда учащийся впервые сталкивается с комплексными числами, такие выражения, как 3−6𝑖1−5𝑖 может показаться немного загадочным или, по крайней мере, может показаться трудно понять, как можно вычислить результат. Этот объяснитель свяжет это идея к более знакомым областям математики и поможет вам понять, как вычислять выражения как это. Прежде чем мы займемся делением комплексных чисел вообще, рассмотрим два более простых случая деления на действительное число и деление на чисто мнимое число.

   Пример 1: Деление комплексного числа на вещественное число

   Учитывая 𝑧=5+3𝑖, выразить 𝑧2 в виде 𝑎+𝑏𝑖.

   Ответ

   Подставляя значение 𝑧, получаем 𝑧2=5+3𝑖2.

   Мы можем распределить 12 по комплексному числу, чтобы получить 𝑧2=52+32𝑖.

   Во многих отношениях деление комплексного числа на действительное число является довольно тривиальным упражнением. Однако деление комплексного числа на мнимое не так тривиально, как следующее пример продемонстрирует.

   Пример 2. Деление комплексного числа на мнимое число

   Упростить 2+4𝑖𝑖.

   Ответ

   Чтобы упростить эту дробь, нам нужно как-то преобразовать знаменатель в действительное число. Этого можно добиться, используя тот факт, что 𝑖=−1. Следовательно, если мы умножаем и числитель и знаменатель на 𝑖, получим вещественное числа в знаменателе, что позволит нам упростить дробь. Следовательно, 2+4𝑖𝑖=2+4𝑖𝑖×𝑖𝑖=(2+4𝑖)𝑖𝑖.

   Распределяя по скобкам в числителе, имеем 2+4𝑖𝑖=2𝑖+4𝑖𝑖.

   Используя 𝑖=−1, получаем 2+4𝑖𝑖=−4+2𝑖−1=4−2𝑖.

   Технику, которую мы использовали выше, можно обобщить, чтобы помочь нам понять, как разделить любые два комплексные числа. Первое, что нам нужно сделать, это определить комплексное число, которое, когда умножение на знаменатель дает действительное число. Тогда мы можем умножить оба числителя и знаменатель на это число и упростить. Вопрос в том, что задано комплексное число 𝑧, какое число при умножении на 𝑧 дает действительное количество? Это тот момент, когда мы должны вспомнить свойства комплексного сопряжения, в в частности, что для комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, 𝑧𝑧=𝑎+𝑏, является действительным числом. Следовательно, умножая числитель и знаменатель комплексным сопряжением знаменателя, мы можем исключить мнимую часть из знаменателя, а затем упростить результат. Эта техника не должно быть новым для большинства людей. Узнавая о радикалах, мы сталкиваемся с похожей проблемой. пытаясь упростить выражения вида 𝑎+𝑏√𝑐𝑑+𝑒√𝑓.

   В этом случае мы умножаем числитель и знаменатель на сопряженное число знаменатель. Этот прием часто называют рационализацией знаменателя. С комплексом чисел, во многом мы используем ту же технику в особом случае, когда 𝑓 — отрицательное число.

   Теперь давайте рассмотрим пример, где нам нужно упростить деление двух комплексные числа, подобно тому, как мы рационализируем знаменатель с помощью радикалы.

   Пример 3: Деление комплексных чисел

   Упростить 3−6𝑖1−5𝑖.

   Ответ

   Начнем с определения комплексного числа, которое при умножении на знаменатель дает в реальном числе. Обычно мы используем комплексное сопряжение знаменателя: 1+5𝑖. Теперь умножаем и числитель, и знаменатель на это числа следующим образом: 3−6𝑖1−5𝑖=3−6𝑖1−5𝑖×1+5𝑖1+5𝑖=(3−6𝑖)(1+5𝑖)(1−5𝑖)(1+5𝑖).

   Раскрывая скобки в числителе и знаменателе, имеем 3−6𝑖1−5𝑖=3+15𝑖−6𝑖−30𝑖1+5𝑖−5𝑖−25𝑖.

   Используя 𝑖=−1 и собирая подобные термины, мы получаем 3−6𝑖1−5𝑖=33+9𝑖26.

   Наконец, мы выражаем это в форме 𝑎+𝑏𝑖 следующим образом: 3−6𝑖1−5𝑖=3326+926𝑖.

   Практическое руководство. Деление комплексных чисел

   Чтобы разделить комплексные числа, мы используем следующую технику (иногда называемую «реализуя» знаменатель):

   1. Умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число знаменатель.
   2. Раскройте скобки в числителе и знаменателе.
   3. Соберите одинаковые термины (действительные и мнимые), помня, что 𝑖=−1.
   4. Ответ представите в виде 𝑎+𝑏𝑖, сократив любые дроби.

   Используя эту технику, мы можем получить общую форму для деления сложных числа, как продемонстрирует следующий пример.

   Пример 4: Общая форма сложного деления

   1. Развернуть и упростить (𝑝+𝑞𝑖)(𝑝−𝑞𝑖).
   2. Расширить (𝑎+𝑏𝑖)(𝑝−𝑞𝑖).
   3. Следовательно, найдите дробь, эквивалентную 𝑎+𝑏𝑖𝑝+𝑞𝑖 и чей знаменатель действителен.

   Ответ

   Часть 1

   Раскрывая скобки с помощью FOIL или любого другого метода, мы имеем (𝑝+𝑞𝑖) (𝑝 — 𝑞𝑖) = 𝑝 — 𝑝𝑞𝑖+𝑝𝑞𝑖 — 𝑞𝑖.

   с использованием 𝑖 = −1 и упрощающего, мы имеем (𝑝+𝑞𝑖) (𝑝 — 𝑞𝑖) = 𝑝+𝑞. 

   Часть 2

   Аналогично, мы расширяем скобку, чтобы получить (𝑎+𝑏𝑖) (𝑝 -𝑞𝑖) = 𝑎𝑝 — 𝑎𝑞𝑖+𝑏𝑝𝑖 — 𝑏𝑞𝑖.

   Сбор, как термины, и используя 𝑖 = -1. , имеем (𝑎+𝑏𝑖)(𝑝−𝑞𝑖)=(𝑎𝑝+𝑏𝑞)+(𝑏𝑝−𝑎𝑞)𝑖.

   Часть 3

   Чтобы представить эту дробь с действительным знаменателем, мы умножаем числитель и знаменателя на комплексное сопряжение знаменателя следующим образом:

   Подставляя наши ответы из части 1 и части 2, мы имеем разделение, желательно знакомиться с техникой, а не просто запоминать формулу.

   Пример 5: Свойства комплексного деления

   Если 𝑎+𝑏𝑖=−3−5𝑖−3+5𝑖, верно ли, что 𝑎+𝑏=1?

   Ответ

   Чтобы выразить −3−5𝑖−3+5𝑖 в виде 𝑎+𝑏𝑖, умножаем числитель и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя следующим образом: −3−5𝑖−3+5𝑖=(−3−5𝑖)(−3−5𝑖)(−3+5𝑖)(−3−5𝑖).

   Раскрывая скобки, имеем −3−5𝑖−3+5𝑖=9+15𝑖+15𝑖+25𝑖9+15𝑖−15𝑖−25𝑖. −5𝑖−3+5𝑖=−16+30𝑖34.

   Упрощая, имеем −3−5𝑖−3+5𝑖=−817+1517𝑖.

   Следовательно, 𝑎=−817 и 𝑏=1517. В настоящее время мы можем рассмотреть сумму их квадратов: 

   Следовательно, верно, что 𝑎+𝑏=1.

   Тот факт, что 𝑎+𝑏=1 в предыдущем вопросе, не случаен. В на самом деле, это пример общего правила: если 𝑎+𝑏𝑖=𝑧𝑧 для некоторого комплексного числа 𝑧, то 𝑎+𝑏=1. Это можно доказать, работая с алгеброй. Однако это не очень поучительно. Наоборот, такие результаты лучше всего понять, когда мы узнать о модуле и аргументе.

   Пример 6. Решение сложных уравнений деления

   Решите уравнение 𝑧(2+𝑖)=3−𝑖 относительно 𝑧.

   Ответ

   Начнем с деления обеих частей уравнения на 2+𝑖, что даст следующее уравнение: 𝑧=3−𝑖2+𝑖.

   Теперь упростим дробь, выполнив сложное деление. Следовательно, умножая оба числителя и знаменателя комплексно-сопряженным знаменателю, получаем 𝑧=(3−𝑖)(2−𝑖)(2+𝑖)(2−𝑖).

   Раскрыв скобки, мы имеем 𝑧=6−3𝑖−2𝑖+𝑖4+2𝑖−2𝑖−𝑖.

   Используя 𝑖=−1 и собрав подобные термины, мы можем переписать это как 𝑧=5−5𝑖5=1−𝑖.

   В связи с тем, что умножать и делить комплексные числа таким способом можно довольно долго потребляя, полезно рассмотреть, какой подход будет наиболее эффективным. Это часто включает в себя использование свойств комплексных чисел или замечание факторов, которые мы можем быстро отменить. Следующие два примера продемонстрируют, как мы можем упростить наши вычисления.

   Пример 7: комплексный раздел

   Упростить (−3+2𝑖)(3+3𝑖)(4+𝑖)(4+4𝑖).

   Ответ

   При представлении такого выражения хорошо сначала подумать, какой подход мы должны взяться за ее решение. Мы могли бы расширить скобки в числителе и знаменатель, а затем умножить числитель и знаменатель на комплекс сопряжение знаменателя. В качестве альтернативы мы могли бы разделить дробь на две части и попытаться упростите каждую часть, затем умножьте полученные комплексные числа. Принятый подход будет обычно зависят от конкретного данного выражения; однако хорошо поискать особенности выражения, которые могут упростить вычисление. В этом случае хорошо заметить, что у нас есть общий множитель (1+𝑖) в обоих числителях и знаменатель. Отменив сначала этот фактор, мы можем упростить наши вычисления. Следовательно, (−3+2𝑖)(3+3𝑖)(4+𝑖)(4+4𝑖)=3(−3+2𝑖)(1+𝑖)4(4+𝑖)(1+𝑖)=34( −3+2𝑖)(4+𝑖).

   Теперь мы можем умножить и числитель, и знаменатель на комплексно-сопряженное число знаменатель следующим образом: 34(−3+2𝑖)(4+𝑖)=34(−3+2𝑖)(4−𝑖)(4+𝑖)(4−𝑖).

   Раскрывая скобки в числителе и знаменателе, имеем 34(−3+2𝑖)(4−𝑖)(4+𝑖)(4−𝑖)=34(−12+3𝑖+8𝑖−2𝑖)(16+4𝑖−4𝑖−𝑖).

   Используя 𝑖 =−1 и собирая подобные термины, мы можем переписать это как 34−12+3𝑖+8𝑖−2𝑖(16+4𝑖−4𝑖−𝑖)=34(−10+11𝑖)17.

   Наконец, мы можем упростить, чтобы получить 34−12+3𝑖+8𝑖− 2𝑖(16+4𝑖−4𝑖−𝑖)=−1534+3368𝑖.

   В ответ на следующий вопрос мы снова рассмотрим пример, в котором применяются свойства комплексные числа могут упростить вычисления.

   Пример 8. Сложные выражения, включающие деление

   Упростить 3−4𝑖2+2𝑖+3−4𝑖2−2𝑖.

   Ответ

   Эту задачу можно решить, выполнив сложное деление на обоих дроби, а затем сложение их результатов. Однако мы можем упростить наши вычисления, сначала заметив, что мы можем вынести 3−4𝑖 из обоих членов. Следовательно, мы можем переписать выражение как

   3−4𝑖2+2𝑖+3−4𝑖2−2𝑖=(3−4𝑖)12+2𝑖+12−2𝑖.

   (1)

   Теперь рассмотрим выражение в скобках; обратите внимание, что знаменатели две дроби представляют собой комплексно-сопряженную пару; то есть выражение имеет вид 1𝑧+1𝑧.

   Если мы представим это как одну дробь над общим знаменателем, мы получим 1𝑧+1𝑧=𝑧+𝑧𝑧𝑧.

   Используя свойства комплексных сопряженных чисел, мы знаем, что если 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, 𝑧𝑧=𝑎+𝑏 и 𝑧+𝑧=2(𝑧)=2𝑎Re. Следовательно, 1𝑧+1𝑧=2𝑎𝑎+𝑏.

   Следовательно, 12+2𝑖+12−2𝑖=2×22+2=12.

   Подставляя это в (1), получаем 3−4𝑖2+2𝑖+3−4𝑖2−2𝑖=12(3 −4𝑖)=32−2𝑖.

   Наконец, давайте рассмотрим пример, в котором нам нужно найти пропущенные значения в уравнение путем деления комплексных чисел.

   Пример 9. Решение линейного уравнения с двумя переменными и комплексными коэффициентами

   Учитывая, что 𝑦 — действительные числа, определите значение 𝑥 и значение из 𝑦.

   Ответ

   В этом примере мы хотим определить недостающие значения 𝑥 и 𝑦 в линейном уравнении с двумя переменными с комплексным коэффициенты.

   Данное уравнение содержит 3 отдельных сложных деления, два слева и одно справа сторону уравнения. Начнем с упрощения каждого члена, выполнив сложное деление. Это достигается путем умножения числителя и знаменателя на комплексно-сопряженное число знаменателя, что приводит к действительное число в знаменателе после распределения по скобкам.

   Для первого члена 𝑥+𝑖𝑦1−3𝑖 мы умножаем знаменатель и числитель на 1+3𝑖, что является комплексно-сопряженным знаменателя: 𝑥+𝑖𝑦1−3𝑖=𝑥+𝑖𝑦1−3𝑖×1+3𝑖1+3𝑖=(𝑥+𝑖𝑦)(1+3𝑖)(1−3𝑖)(1+3𝑖).

   Распределяя по скобкам в числителе и знаменателе, имеем 𝑥+𝑖𝑦1 — 3𝑖 = 𝑥+3𝑥𝑖+𝑦𝑖+3𝑖𝑦1+3𝑖 — 3𝑖 — 9𝑖 = 𝑥+3𝑥𝑖+𝑦𝑖 — 3𝑦1+9 = (𝑥 -3𝑦)+𝑖 (3𝑥+𝑦) 10.

   Повторяя это процесс для второго члена, 9𝑥−𝑖𝑦1+3𝑖, на этот раз умножив числитель и знаменатель на 1−3𝑖, получаем 9𝑥 — 𝑖𝑦1+3𝑖 = 9𝑥 — 𝑖𝑦1+3𝑖 × 1–3𝑖1–3𝑖 = (9𝑥 — 𝑖𝑦) (1 — 3𝑖) (1+3𝑖) (1–3𝑖) = 9𝑥 — 27𝑥𝑖 — 𝑦𝑖+3𝑖𝑦1+3𝑖 — 3𝑖) −9𝑖=9𝑥−27𝑥𝑖−𝑦𝑖−3𝑦1+9=(9𝑥−3𝑦)+𝑖(−27𝑥−𝑦)10.

   Наконец, для последнего члена 6+5𝑖4−8𝑖, с правой стороны, умножив знаменатель и числитель на 4+8𝑖, 6+5𝑖4−8𝑖=6+5𝑖4−8𝑖×4+8𝑖4+8𝑖=(6+5𝑖)(4+8𝑖)(4−8𝑖)(4+8𝑖)=24+48𝑖+20𝑖+40𝑖16+32𝑖−32𝑖 −64𝑖=24+48𝑖+20𝑖−4016+64=−16+68𝑖80.

   Таким образом, данное уравнение принимает вид 𝑥+𝑖𝑦1−3𝑖−9𝑥−𝑖𝑦1+3𝑖=6+5𝑖4−8𝑖(𝑥−3𝑦)+𝑖(3𝑥+𝑦)10−(9𝑥−3𝑦)+𝑖(−27𝑥−𝑖06+68=−10=−10 (𝑥−3𝑦)−(9𝑥−3𝑦)+𝑖(3𝑥+𝑦)+𝑖(27𝑥+𝑦)10=−16+68𝑖80−8𝑥+𝑖(30𝑥+2𝑦)10=−16+68𝑖80−8𝑥+𝑖(30𝑥+2)−2 16+68𝑖8.

   Действительные значения 𝑥 и 𝑦 можно найти, приравняв действительную и мнимую части обеих сторон.

   No related posts.