Примеры деления комплексных чисел: Деление комплексных чисел | Математика

Содержание

как делать в алгебраической, показательной и тригонометрической форме

Содержание:

  • Деление комплексных чисел — основные правила
  • В каких формах это можно делать
  • Формула деления в алгебраической форме
  • Формула деления в тригонометрической форме
  • Формула деления в показательной форме
  • Примеры решения задач

Содержание

  • Деление комплексных чисел — основные правила
  • В каких формах это можно делать
  • Формула деления в алгебраической форме
  • Формула деления в тригонометрической форме
  • Формула деления в показательной форме
  • Примеры решения задач

Деление комплексных чисел — основные правила

Определение 1

Частным двух комплексных чисел  \(z_{1}=a_{1}+b_{1} i\) и  \(z_{2}=a_{2}+b_{2} \)i называют число z, заданное соотношением: \(z=\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+\frac{a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}} i\)

Общий алгоритм для деления комплексных чисел на практике:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  • умножение делимого и делителя на число, комплексно сопряженное делителю, что преобразует делитель в действительное число;
  • в числителе умножают пару комплексных чисел;
  • полученную дробь почленно делят.

В каких формах это можно делать

Комплексные числа делят разными методами, подтвержденными доказательствами. Существуют алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы для подобных операций. В каждом перечисленном случае необходимо использовать определенную формулу.

Формула деления в алгебраической форме

Когда требуется выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме, в первую очередь числитель и знаменатель умножают на число, сопряженное к знаменателю. Таким образом, удается исключить комплексность в знаменателе:

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1 i}{a_2 + b_2 i} = \frac{(a_1+b_1 i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)} = \frac{a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2} + i\frac{a_2 \cdot b_1 — a_1 \cdot b_2}{a_2 ^2 + b_2 ^2}\)

Формула деления в тригонометрической форме

Деление в тригонометрической форме подразумевает деление модулей комплексных чисел. {(\varphi_1 — \varphi_2)i}\)

Примеры решения задач

Задача 1

Задача

Необходимо найти частное пары комплексных чисел:

\(z_1 = 3+i\) и \(z_2 = 2-3i\)

Решение:

Заметим, что комплексные числа заданы в алгебраической форме. В связи с этим целесообразно использовать в действиях соответствующую формулу.

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{3+i}{2-3i} =\)

Сопряженное комплексное число к знаменателю:

\(\overline{z_2} = 2+3i\)

Нужно домножить и разделить на сопряженное комплексное число к знаменателю дроби. Таким образом, получится исключить комплексность в знаменателе:

\(= \frac{(3+i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)} = \frac{6 + 9i + 2i — 3}{4 + 6i — 6i + 9} =\)

Далее следует привести подобные слагаемые и записать вывод с ответом:

\(= \frac{3 + 11i}{13} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i\)

Ответ: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{13} + \frac{11}{13}i\)

Задача 2

Задача

Требуется выполнить деление комплексных чисел:

\(z_1 = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{6})\)

\(z_2 = 4(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6})\)

Решение:

Комплексные числа в условии задачи записаны в тригонометрической форме. {2}}=\)

\(=\frac{-3-i}{1-(-1)}=\frac{-3-i}{2}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}\)

Ответ:\( \frac{-2+i}{1-i}=-\frac{3}{2}-\frac{i}{2}\)

Задача 5

Задача

Необходимо найти частное:

\(\frac{z_{1}}{z_{2}}\)

При условии, что:

\(z_{1}=2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)\)

\(z_{2}=\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\)

Решение:

Искомое частное:

\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{2 \cdot\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4}\right)}{\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}}=\)

\(=\frac{2}{1} \cdot\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\right]=\)

\(=2 \cdot\left[\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right]=2 \cdot(0+i)=2 i\)

Ответ: \(\frac{z_{1}}{z_{2}}=2 \cdot\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)=2 i\)

Задача 6

Задача

Необходимо разделить два комплексных числа:

\(z_{1}=-1+3i\)

\(z_{2}=1+2i\)

Решение:

С помощью соответствующей формулы можно записать уравнение:

\(z_{1} \div z_{2} = \frac{-1+3i}{1+2i} = \frac{(-1+3i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{-1 \cdot 1 + 3 \cdot 2}{1^{2}+2^{2}} + i \frac{3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2)}{1^{2}+2^{2}} =\)

\(= \frac{5}{5} + i \frac{5}{5}=1+i\)

Ответ: \( z_{1} \div z_{2} = 1+i\)

Задача 7

Задача

Необходимо вычислить частное комплексных чисел:

\(z_{1}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)\)

\(z_{2}=\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)\)

Решение:

Используя соответствующую формулу, запишем:

\(z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} — \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} — \varphi _{2})) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \left( \cos \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} \right) \right) =\)

\(= 1 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\)

Ответ:\( z_{1} \div z_{2} = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\)

Задача 8

Задача

Требуется разделить два комплексных числа:

\(z_{1} = \sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{2}i}\)

\(z_{2} = 2 e^{-\frac{\pi}{4}i}\)

Решение:

Используя соответствующую формулу деления комплексных чисел, можно решить уравнение:

\(z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} — \varphi _{2})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{i \left( -\frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{4} \right) } = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}i}\)

Ответ: \(z_{1} \div z_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{-\frac{\pi}{4}i}\)

 

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

Деление комплексных чисел пример. Деление комплексных чисел в алгебраической форме

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a» + b»i — значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di)=

Пример 1. Найти частное (7 — 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 — 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 — 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:

((7 — 4i)(3 — 2i))/((3 + 2i)(3 — 2i)) = (13 — 26i)/13 = 1 — 2i.

Пример 1 предыдущего пункта даёт проверку.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 — 4i))/((-3 — 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 — 0. 92i.

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a» + b». Получим a + bi.

Решение уравнений с комплексными переменными

комплексный число сложение переменная

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а — заданное число, z — неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

  • 1) имеет один корень z = 0, если а = 0;
  • 2) имеет два действительных корня z1,2 = , если а>0;
  • 3) не имеет действительных корней, если а

На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2 = a, если:

  • 1) а = -1; 2) а = -25; 3) а = -3.
  • 1) z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2, или z2 — i2 = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2 = i.
  • 2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение:

z2 = i2 52, z2 — 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 = 5i, z2 = -5i. Ответ:

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 — ()2i2 = 0, (z — i)(z + i) = 0

Ответ: z1,2 = i.

Вообще уравнение z2 = a, где а

Используя равенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = 2i, = i .

Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2 + bz + c = 0, где а, b, с — действительные числа, а 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2 = = = 2 3i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3i и z2=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4 — это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 — корни уравнения az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1=-1-2i.

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ z2-2z+5=0.

Определение:

Комплексное число =x

yi называется сопряженным числом по отношению кw = x + yi .

Примеры сопряженных комплексных чисел:

–1 + 5i и –1 – 5i , 2 – 3i и 2 + 3i .

Для деления двух комплексных чисел в алгебраической форме, как правило, удобно числитель и знаменатель дроби домножать на число, сопряженное знаменателю .

Пример 4 Выполнить деление:= [домножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю] =

Заметим, что
есть выражение, а не число, поэтому его нельзя рассматривать как ответ.

Пример 5 Выполнить действия:
=

=


=
.

Пример 6 Выполнить действия:
= [домножаем числитель и знаменатель дроби на числа, сопряженные обоим числам знаменателя] =

      1. Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

Определение. Комплексное число
называется квадратным корнем из комплексного числаz , если
.

Пример 7 Вычислить
.

Решение. Пусть
= x + yi , тогда

Решим отдельно биквадратное уравнение:


Ответ:{‑3 + 4i ; 3 ‑ 4i }.

Другой способ решения возможен после введения тригонометрической формы записи комплексного числа (см. с. 14).

    1. Решение линейных и квадратных уравнений для комплексных чисел

В области комплексных чисел верны те же формулы для решения линейных и квадратных уравнений, что и в области действительных чисел.

Пример 8 Решить уравнение: (‑2 ‑i )z = 3 +i .

Пример 9 Решить уравнение:
.

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

Ответ:{‑2 +i ; ‑2 –i }.

Пример 10 Решить уравнение:
.

Решение:

Ответ:{1 ‑ 2i ; 1 –i }.

Пример 11 Решить уравнение:
.

Решение:

Вычислим
:

Составляем систему, приравнивая вещественные и мнимые части левой и правой частей равенства:



Ответ:{2;i }.

Пример 12 Решить систему уравнений:

Решение. Выражаем из первого уравнения системы переменнуюx через переменнуюy :

Домножаем числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю:

В числителе дроби раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

Подставляем полученное значение переменной x во второе уравнение системы:


;

Ответ: {1 +i ; i }.

    1. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

      1. Геометрическое изображение комплексных чисел

При изучении свойств комплексных чисел весьма удобной является их геометрическая интерпретация . Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то каждое комплексное число z = a + bi изображается точкой плоскости (x , y ) с координатамиx = a и y = b . Такая плоскость называется комплексной плоскостью , ось абсцисс ‑ действительной (Rez ), а ось ординат ‑ мнимой осью (Imz ).

Пример 13 Изобразить на плоскости точки, соответствующие числам:

Решение . У числаz 1 действительная часть равна ‑2, а мнимая ‑ 0. Следовательно, изображением числаz 1 служит точка (‑2, 0) (рис. 1.1).

У числа z 2 действительная часть равна 0, а мнимая равна 3.

Следовательно, изображением числаz 2 служит точка (0, 3). У числаz 3 действительная часть равна 1, а мнимая ‑4. Следовательно, изображением числаz 3 служит точка (1, ‑4).

У числа z 4 действительная часть равна 1 и мнимая 1. Следовательно, изображением числаz 4 служит точка (1, 1).

У числа z 5 действительная часть равна ‑3, а мнимая ‑2. Следовательно, изображением числаz 5 служит точка (‑3, ‑2).

Сопряженные числа изображаются точками на комплексной плоскости, симметричными относительно действительной оси Rez .

Разделить комплексные числа | Колледж Алгебра

Результаты обучения

  • Определите и запишите комплексно-сопряженное число комплексного числа.
  • Разделить комплексные числа.
  • Упростите степени [latex]i[/latex].

Деление комплексных чисел

Деление двух комплексных чисел сложнее, чем сложение, вычитание и умножение, потому что мы не можем делить на мнимое число, а это означает, что у любой дроби должен быть действительный знаменатель. Нам нужно найти член, на который мы можем умножить числитель и знаменатель, который исключит мнимую часть знаменателя, чтобы мы получили действительное число в качестве знаменателя. Этот термин называется комплексное сопряжение знаменателя, которое находится при изменении знака мнимой части комплексного числа. Другими словами, комплексное сопряжение [латекс]а+би[/латекс] есть [латекс]а-би[/латекс].

Обратите внимание, что комплексные сопряжения имеют обратную связь: комплексное сопряжение [латекс]а+би[/латекс] равно [латекс]а-би[/латекс], а комплексное сопряжение [латекс]а-би[/ латекс] это [латекс]а+би[/латекс]. Важно отметить, что комплексно-сопряженные пары обладают особым свойством. Их продукт всегда реален. 92\end{align}[/latex]

Предположим, мы хотим разделить [latex]c+di[/latex] на [latex]a+bi[/latex], где ни [latex]a[/latex], ни [латекс]b[/латекс] равно нулю. Сначала запишем деление в виде дроби, затем найдем комплексно-сопряженную часть знаменателя и умножим.

[латекс]\dfrac{c+di}{a+bi}[/latex], где [латекс]a\ne 0[/латекс] и [латекс]b\ne 0[/латекс].

Умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число знаменателя.

[латекс]\dfrac{\left(c+di\right)}{\left(a+bi\right)}\cdot \dfrac{\left(a-bi\right)}{\left(a- би \ вправо)} = \ dfrac {\ влево (с + ди \ вправо) \ влево (а-би \ вправо)} {\ влево (а + би \ вправо) \ влево (а-би \ вправо)} [/ латекс] 9{2}}\end{align}[/latex]

Общее примечание: Комплексное сопряжение

Комплексное сопряжение

комплексного числа [латекс]а+би[/латекс] равно [латекс]а-би [/латекс]. Его находят изменением знака мнимой части комплексного числа. Действительная часть числа остается неизменной.

  • Когда комплексное число умножается на его комплексно-сопряженное, результатом является действительное число.
  • Когда комплексное число добавляется к его комплексно-сопряженному, результатом является действительное число.

Пример: нахождение комплексно-сопряженных чисел

Найдите комплексно-сопряженные числа каждого числа.

  1. [латекс]2+i\sqrt{5}[/латекс]
  2. [латекс]-\frac{1}{2}i[/латекс]

Показать решение

Как: Даны два комплексных числа, разделить одно на другое.

  1. Запишите задачу деления в виде дроби.
  2. Определите комплексное сопряжение знаменателя.
  3. Умножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженную часть знаменателя. 9{2}-3x[/латекс]. Вычислите [латекс]f\влево(8-i\вправо)[/латекс].

    Показать решение

    Пример: замена мнимого числа в рациональной функции

    Пусть [latex]f\left(x\right)=\dfrac{2+x}{x+3}[/latex]. Оценить [латекс]f\влево(10i\вправо)[/латекс].

    Показать решение

    Попробуйте

    Пусть [латекс]f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x — 4}[/latex]. Вычислите [латекс]f\влево(-i\вправо)[/латекс].

    Показать решение