Примеры дроби деление: Деление обыкновенных дробей — урок. Математика, 6 класс.

Цикл конспектов умножение и деление смешанных чисел. Дроби. Умножение и деление дробей. Деление обыкновенной дроби на дробь

Цикл конспектов умножение и деление смешанных чисел. Дроби. Умножение и деление дробей. Деление обыкновенной дроби на дробь

Тема урока: «Умножение и деление смешанных дробей»

Цель: выработать у учащихся умение и навыки применения правила умножения и деления смешанных дробей;

развитие аналитического мышления учащихся, формирование умения у учащихся выделять главное и обобщать.

Задачи: повторить правило умножения и деления обыкновенных дробей.

Проверить умения применения правила умножения и деления обыкновенных дробей,

правило умножения дроби на натуральное число и обратно. Проверить умение переводить неправильную дробь в смешанное число и обратно.

Вывести новое правило и алгоритм умножение и деления смешанных чисел.

Отработать новое правило на выполнении заданий.

Предметные результаты: алгоритм умножения и деления смешанных дробей(памятка)

Метапредметные и личностные результаты :

Регулятивные УУД: постановка цели; план, получение результата

Познавательные УУД: общеучебные, логические, постановка и решение проблемы

Коммуникативные УУД: работа в парах

Оборудование: учебник математики 6 класс

Раздаточный материал.

Проектор.

Ход урока:

I .Проблемная ситуация и актуализация знаний

1.Опрос детей на повторение изученного материала по теме умножение и деление дробей (алгоритм выполнения, правило умножения дроби на натуральное число).

2. Иллюстрация примеров на проекторе. Виды обыкновенных дробей. Как из неправильной дроби получить смешанную и обратно.

3.По окончании опроса самостоятельная работа включающая примеры на умножение и деление обыкновенных дробей и содержащая два примера на умножение и деление смешанных дробей, где дети сталкиваются с проблемой. Правильные ответы для сверки с учащимися отражаются на проекторе.

4. Обсуждение проблемы. Вывести на тему урока.

II .Совместное открытие знаний.

1/Предлагается обсуждение в парах, для озвучивания версии решения возникшей проблемы. Версии записать на школьной доске. Как узнать какая же из версий правильная?

2/Предложить ученикам обратиться к учебнику на соответствующей теме.

3/Выполнить ознакомительное чтение, найти нужный абзац и изучить его для составления алгоритма умножения и деления смешанных дробей. Контроль над выполнением задания.

4/Прослушать версии составить из главного общий алгоритм. Отразить его на проекторе и раздать ученикам в виде памятки.

III .Самостоятельное применение знаний

1/Вернуться к проблеме с решением примеров из самостоятельной работы и применяя полученный алгоритм решить их. Проверить в парах. Результаты отразить на проекторе для сверки.

2/ Дать задание из учебника. Контроль выполнения.

IV.

Итог урока

Начать с проблемы возникшей в начале урока, проговорить пути ее решения и полученный результат.

Оценивание работы учащихся.

Задание для домашней работы.

Затем действуем по правилу: первую дробь умножаем на дробь, обратную ко второй (то есть на перевернутую дробь, у которой числитель и знаменатель меняются местами). При умножении дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель.

Рассмотрим примеры на деление смешанных чисел.

Деление смешанных чисел начинаем с перевода их в неправильные дроби. Затем делим полученные дроби. Для этого первую дробь умножаем на перевернутую вторую. 20 и 25 на 5, 3 и 9 — на 3. Получили неправильную дробь, поэтому необходимо .

Смешанные числа переводим в неправильные дроби. Далее по правилу деления дробей первое число оставляем и умножаем его на число, обратное ко второму. Сокращаем 15 и 25 на 5, 8 и 16 — на 2. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.

Смешанные числа заменяем неправильными дробями и делим их. Для этого первую дробь переписываем без изменений и умножаем на перевернутую вторую. Сокращаем 18 и 36 на 18, 35 и 7 — на 7. В результате — неправильная дробь. Выделяем из нее целую часть.

В этой статье мы разберем умножение смешанных чисел . Сначала озвучим правило умножения смешанных чисел и рассмотрим применение этого правила при решении примеров. Дальше поговорим об умножении смешанного числа и натурального числа. Наконец, научимся выполнять умножение смешанного числа и обыкновенной дроби.

Навигация по странице.

Умножение смешанных чисел.

Умножение смешанных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей . Для этого достаточно выполнить перевод смешанных чисел в неправильные дроби .

Запишем правило умножения смешанных чисел

:

• Во-первых, умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
• Во-вторых, нужно воспользоваться правилом умножения дроби на дробь.

Рассмотрим примеры применения этого правила при умножении смешанного числа на смешанное число.

Пример.

Выполните умножение смешанных чисел и .

Решение.

Сначала представим умножаемые смешанные числа в виде неправильных дробей: и . Теперь мы можем умножение смешанных чисел заменить умножением обыкновенных дробей: . Применив правило умножения дробей, получаем . Полученная дробь несократима (смотрите сократимые и несократимые дроби), но она неправильная (смотрите правильные и неправильные дроби), поэтому, для получения окончательного ответа осталось выполнить выделение целой части из неправильной дроби : .

Запишем все решение в одну строку: .

Ответ:

.

Для закрепления навыков умножения смешанных чисел рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Выполните умножение .

Решение.

Смешные числа и равны соответственно дробям 13/5 и 10/9 . Тогда . На этом этапе самое время вспомнить про сокращение дроби : заменим все числа в дроби их разложениями на простые множители, и выполним сокращение одинаковых множителей .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа

После замены смешанного числа неправильной дробью, умножение смешанного числа и натурального числа приводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа .

Пример.

Выполните умножение смешанного числа и натурального числа 45 .

Решение.

Смешанное число равно дроби , тогда . Заменим числа в полученной дроби их разложениями на простые множители, произведем сокращение, после чего выделим целую часть: .

Ответ:

Умножение смешанного числа и натурального числа иногда удобно проводить с использованием распределительного свойства умножения относительно сложения. В этом случае произведение смешанного числа и натурального числа равно сумме произведений целой части на данное натуральное число и дробной части на данное натуральное число, то есть, .

Пример.

Вычислите произведение .

) и знаменатель на знаменатель (получим знаменатель произведения).

Формула умножения дробей:

Например:

Перед тем, как приступить к умножению числителей и знаменателей, необходимо проверить на возможность сокращения дроби . Если получится сократить дробь, то вам легче будет дальше производить расчеты.

Деление обыкновенной дроби на дробь.

Деление дробей с участием натурального числа.

Это не так страшно, как кажется. Как и в случае со сложением , переводим целое число в дробь с единицей в знаменателе. Например:

Умножение смешанных дробей.

Правила умножения дробей (смешанных):

• преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
• перемножаем числители и знаменатели дробей;
• сокращаем дробь;
• если получили неправильную дробь, то преобразовываем неправильную дробь в смешанную.

Обратите внимание! Чтобы умножить смешанную дробь на другую смешанную дробь, нужно, для начала, привести их к виду неправильных дробей, а далее умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Второй способ умножения дроби на натуральное число.

Бывает более удобно использовать второй способ умножения обыкновенной дроби на число.

Обратите внимание! Для умножения дроби на натуральное число необходимо знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить без изменения.

Из, приведенного выше, примера понятно, что этот вариант удобней для использования, когда знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Многоэтажные дроби.

В старших классах зачастую встречаются трехэтажные (или больше) дроби. Пример:

Чтобы привести такую дробь к привычному виду, используют деление через 2 точки:

Обратите внимание! В делении дробей очень важен порядок деления. Будьте внимательны, здесь легко запутаться.

Обратите внимание, например:

При делении единицы на любую дробь, результатом будет таже самая дробь, только перевернутая:

Практические советы при умножении и делении дробей:

1. Самым важным в работе с дробными выражениями является аккуратность и внимательность. Все вычисления делайте внимательно и аккуратно, сосредоточенно и чётко. Лучше запишите несколько лишних строчек в черновике, чем запутаться в расчетах в уме.

2. В заданиях с разными видами дробей — переходите к виду обыкновенных дробей.

3. Все дроби сокращаем до тех пор, пока сокращать уже будет невозможно.

4. Многоэтажные дробные выражения приводим в вид обыкновенных, пользуясь делением через 2 точки.

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Деление дробей | Формулы с примерами

Деление правильных дробей

Определение
Чтобы разделить дробь на целое число, нужно преобразовать целое число в дробь (1), полученную дробь перевернуть (2) и умножить на первую дробь (3).

Иными словами: чтобы разделить дробь на целое число, нужно числитель оставить прежним, а знаменатель исходной дроби умножить на данное число.

Пример
35 :  33= 35 :  31 =  35 •  13 =  3 • 15 • 3 =   3 15 =  15;

89 :  43= 8

9 :  41 =  89 •  14 =  8 • 19 • 4 =   8 36 =   2 9;

15 :  43= 15 :  41 =  15 •  14 =  1 • 15 • 4 =   1 20.

Правило
Чтобы разделить одну правильную дробь на другую, нужно также
применить умножение на обратную дробь.

Пример
47 :  14 =  47 •  41 =  4 • 47 • 1 =  167 =  227;

68 :  36 =  68 •  63 =  6 • 68 • 3 =  3624 =  112;

79 :  47 =  79 •  74 =  7 • 79 • 4 =  4936 =  11336.

Деление смешанных дробей

Определение
Чтобы разделить смешанные дроби, сначала нужно
преобразовать их в неправельные (1), а затем перевернуть
вторую дробь (2) и умножить на первую (3).

Пример
243 :  314 =  2 • 3 + 43 :  3 • 4 + 14 =  103 :  134 =  103 •  413 =  4039 =  1 1 39;

113 :  212 =  1 • 3 + 13 :  2 • 2 + 12 =  43 :  52 =  43 •  25 =   8 15;

352 :  514 =  3 • 2 + 52 :  5 • 4 + 14 =  112 :  214 =  112 •   4 21 =  4442 =  2221 =  1 1 21.

Обратная дробь

Правило
Дробь  ba — обратная к дроби  ab.

Дроби  ab и  ba — взаимно обратные дроби.

Пример (взаимно обратные) 34 и  43;

72 и  27;

125 и   5 12.

Дроби — Деление дробей — Примеры

Дроби — Деление дробей — Примеры

Дом | Учитель | Родители | Глоссарий | О нас

 

Помощь с домашним заданием | Предварительная алгебра | Дроби

Отправить эту страницу другу по электронной почте

Поиск   ·   Деление дробей	Первый Взгляд   В Глубина   Примеры   Тренировка Деление дробей

Деление дробей | Математика для гуманитарных наук Основной предмет

Результаты обучения

• Разделение дробей
  • Найдите обратное число
  • Разделить дробь на целое число
  • Разделить дробь на дробь

Введение

Прежде чем мы начнем, приведем несколько важных терминов, которые помогут вам понять принципы работы с дробями в этом разделе.

• произведение: результат умножения
• коэффициент: что-то умножается — для  [latex]3 \cdot 2 = 6[/latex] , и 3, и 2 являются множителями 6
• числитель: верхняя часть дроби – числитель дроби [latex]\frac{2}{3}[/latex] равен 2
• знаменатель: нижняя часть дроби – знаменатель дроби [латекс]\фракция{2}{3}[/латекс] равен 3

Примечание об инструкциях

Учебники по математике и учителя используют много разных слов, чтобы дать учащимся инструкции о том, что они должны делать с данной задачей. Например, вы можете увидеть такие инструкции, как «Найти» или «Упростить» в примере в этом модуле. Важно понимать, что означают эти слова, чтобы вы могли успешно решать задачи этого курса. Вот краткий список слов, которые вы можете встретить и которые помогут вам понять, как работать с проблемами в этом модуле.

Инструкция	Интерпретация
Найти	Выполнить указанные математические операции, которые могут включать сложение, вычитание, умножение, деление.
Упрощение	1) Выполнить указанные математические действия, включая сложение, вычитание, умножение, деление 2) Запишите математическую формулировку в наименьших выражениях, чтобы не было других математических операций, которые можно было бы выполнить — часто встречается в задачах, связанных с дробями и порядком операций
Оценка	Выполнение указанных математических операций, включая сложение, вычитание, умножение, деление
Уменьшить	Напишите математическое выражение в наименьшем или минимальном выражении, чтобы не было других математических операций, которые можно было бы выполнить — часто встречается в задачах, связанных с дробями или делением

Разделение дробей

Бывают случаи, когда вам нужно использовать деление для решения проблемы. Например, если для нанесения одного слоя краски на стены комнаты требуется 3 литра краски, а у вас есть ведро с 6 литрами краски, сколько слоев краски вы можете нанести на стены? Вы делите 6 на 3 для ответа 2 пальто. Также будут случаи, когда вам нужно разделить на дробь. Предположим, что для покраски шкафа в один слой требуется всего [латекс] \frac{1}{2}[/латекс] кварта краски. Сколько слоев можно нанести 6 литрами краски? Чтобы найти ответ, вам нужно разделить 6 на дробь [латекс] \фракция{1}{2}[/латекс].

Прежде чем мы начнем делить дроби, давайте рассмотрим некоторые важные термины.

• обратное: две дроби являются обратными, если их произведение равно 1 (не волнуйтесь, мы покажем вам примеры того, что это означает.)
• частное: результат деления

Для деления дробей необходимо использовать обратное число или дробь. Если вы умножаете два числа вместе и в результате получаете 1, то эти два числа являются обратными. Вот несколько примеров взаимного обмена:

Исходный номер	Обратный	Продукт
[латекс] \frac{3}{4}[/латекс]	[латекс] \frac{4}{3}[/латекс]	[латекс] \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{3\cdot 4}{4\cdot 3}=\frac{12}{12}=1[/ латекс]
[латекс] \frac{1}{2}[/латекс]	[латекс] \frac{2}{1}[/латекс]	[латекс]\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{1}=\frac{1\cdot}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1[/latex]
[латекс] 3=\frac{3}{1}[/латекс]	[латекс] \frac{1}{3}[/латекс]	[латекс] \frac{3}{1}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3\cdot 1}{1\cdot 3}=\frac{3}{3}=1[/ латекс]
[латекс]2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}[/latex]	[латекс] \frac{3}{7}[/латекс]	[латекс]\frac{7}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{7\cdot3}{3\cdot7}=\frac{21}{21}=1[/latex]

Иногда мы называем обратное «переворотом» другого числа: переверните [латекс] \frac{2}{5}[/latex], чтобы получить обратное [латекс]\frac{5}{2}[ /латекс].

 

Деление на ноль

Вы знаете, что значит делить на 2 или делить на 10, но что значит делить количество на 0? Это вообще возможно? Можно ли разделить 0 на число? Рассмотрим дробь

[латекс]\frac{0}{8}[/latex]

. Мы можем прочитать это как «ноль разделить на восемь». Поскольку умножение обратно делению, мы могли бы переписать это как задачу на умножение.

[латекс]\текст{?}\cdot{8}=0[/латекс].

Мы можем сделать вывод, что неизвестное должно быть равно 0, так как это единственное число, которое дает 0 при умножении на 8.

Теперь рассмотрим обратную величину [латекс]\фрак{0}{8}[/латекс], которая будет [латекс]\фрак{8}{0}[/латекс]. Если мы перепишем это как задачу на умножение, то получим

[латекс]\текст{?}\cdot{0}=8[/латекс].

Это не имеет никакого смысла. Не существует чисел, которые можно умножить на ноль, чтобы получить результат 8. Обратная величина [латекс]\фрак{8}{0}[/латекс] не определена, и фактически любое деление на ноль не определено.

Внимание! Деление на ноль не определено, как и обратная величина любой дроби с нулем в числителе. Для любого действительного числа а [латекс]\фракция{а}{0}[/латекс] не определена. Кроме того, обратная величина [latex]\frac{0}{a}[/latex] всегда будет неопределенной.

Деление дроби на целое число

При делении на целое число вы умножаете его на обратное. В примере покраски, где вам нужно 3 литра краски для слоя и у вас есть 6 литров краски, вы можете найти общее количество слоев, которые можно покрасить, разделив 6 на 3, [латекс]6\div3=2[/латекс ]. Вы также можете умножить 6 на обратную величину 3, то есть [латекс] \frac{1}{3}[/latex], поэтому задача умножения будет выглядеть так:

[латекс] \frac{6}{1}\cdot \ frac{1}{3}=\frac{6}{3}=2[/latex].

 

Деление – это умножение на обратное число

Для любого деления вы можете превратить операцию в умножение, используя обратное число. Деление равносильно умножению на обратное.

Та же идея будет работать, когда делитель (вещь, которую делят) является дробью. Если у вас есть [латекс] \frac{3}{4}[/latex] шоколадного батончика и вам нужно разделить его между 5 людьми, каждый получит [латекс] \frac{1}{5}[/latex] доступные конфеты:

[латекс] \frac{1}{5}\text{ of }\frac{3}{4}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{4}= \frac{3}{20}[/латекс]

Каждый человек получает [латекс]\фрак{3}{20}[/латекс] целого шоколадного батончика.

Если у вас есть рецепт, который нужно разделить пополам, вы можете разделить каждый ингредиент на 2 или умножить каждый ингредиент на [латекс]\frac{1}{2}[/latex] , чтобы найти новое количество .

Например, деление на 6 равносильно умножению на обратную величину 6, то есть [латекс]\frac{1}{6}[/латекс]. Посмотрите на схему двух пицц ниже. Как можно справедливо разделить то, что осталось (область, заштрихованная красным), между 6 людьми?

Каждый человек получает один кусок, поэтому каждый человек получает [латекс] \frac{1}{4}[/latex] пиццы.

Деление дроби на целое — это то же самое, что и умножение на обратную, поэтому вы всегда можете использовать умножение дробей для решения задач на деление.