Как показывает практика, последние две формулы проще запомнить в словесной форме.
Понятие неполного квадрата еще не раз встретится на просторах математики школьного курса. Поэтому запомнить его придется в любом случае. Некоторые учебники приводят таблицы формул для лучшего их запоминания.
Что мы узнали?
Мы привели не просто примеры формул сокращенного умножения, а записали весь список. Разбили формулы на 4 небольших блока, каждый из которых достаточно легко запоминается. Поговорили о сложных моментах, для больших формул привели методы быстрого запоминания. Указали на наиболее частые ошибки, которые возникают при запоминании формул и привели определение формулы неполного квадрата.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Татьяна Федотова
5/5
5/5
Сергей Коротков
5/5
Оценка статьи
4.
4
Средняя оценка: 4.4
Всего получено оценок: 458.
А какая ваша оценка?
Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования☝
Для того, чтобы возводить в степень числа, а также перемножать числа и выражения используются формулы сокращенного умножения. Данные формулы ускоряют процесс вычислений и делают его более удобным.
В этой статье будут рассмотрены главные формулы, используемые для сокращенного умножения, затем собраны в единую таблицу. Кроме того, будут приведены примеры использования данных формул и основные принципы, доказывающие рассмотренные формулы.
Формулы сокращенного умножения. Таблица
Тема ФСУ впервые подлежит рассмотрению в рамках учебника «Алгебра» за 7 класс.
7 основных формул приведены ниже:
Вместо букв a, b, c в указанных выражениях можно подставить произвольные числа, выражения или переменные. Лучше запомнить наизусть указанные семь главных формул для удобства их применения. Соберем эти формулы в единую таблицу, и покажем ниже, заключив в рамку.
Первая и вторая формула используются, чтобы вычислить квадрат суммы или разности двух чисел. Третья и четвертая формулы служат для расчета куба суммы или разности двух чисел соответственно.
Пятая формула применима для вычисления разности квадратов двух чисел посредством произведения их разности и суммы.
Шестая формула — сумма кубов двух чисел, которая равна умножению суммы двух чисел на неполный квадрат разности. Седьмая формула — разность кубов двух чисел — равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат суммы.
Формулы сокращенного умножения еще иногда называются равенствами сокращенного умножения. Здесь нет ничего необычного, поскольку каждое равенство является по сути тождеством.
Для решения примеров на практике часто формулы сокращенного умножения применяют, меняя местами левые и правые части. Данное действие является особенно удобным, если происходит разложение многочлена на отдельные множители.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Если не ограничиваться курсом по алгебре за 7 класс, можно добавить ещё несколько формул в составленную нами таблицу ФСУ.
Для начала, изучим формулу бинома Ньютона.
Здесь Ckn — двучленные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты рассчитывают по формуле:
Из этого следует, что ФСУ для куба и квадрата суммы и разности является частным случаем формулы бинома Ньютона соответственно при n=2, n=3.
Как быть, когда слагаемых в сумме, которые требуется возвести в степень, больше двух? Полезной окажется формула квадрата суммы трех и более чисел.
Как читается эта формула? Квадрат суммы n суммируемых чисел равняется сумме квадратов всех этих чисел и удвоенных произведений всех возможных пар этих чисел.
Вот ещё формула, которая может оказаться полезной — формула разности n-ых степеней двух складываемых чисел.
Данную формулу чаще делят на две — для нечетных и четных степеней соответственно.
Для четных показателей 2m:
Для нечетных показателей 2m+1:
Формулы разности квадратов и разности кубов, как можно догадаться, представляют собой частные случаи этой формулы при n=2 и n=3 соответственно.
Для разности кубов b также заменяется на −b.
Как читать формулы сокращенного умножения?
Рассмотрим соответствующие формулировки для каждой формулы, но для начала изучим принцип чтения формул. Лучше всего это делать на примере. К примеру возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух выражений.
Она трактуется следующим образом: квадрат суммы двух чисел a и b равняется сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения обоих чисел и квадрата второго числа.
Оставшиеся формулы читают аналогичным образом.
Для квадрата разности
можно записать так: квадрат разности двух чисел a и b равняется сумме квадратов данных чисел минус удвоенное произведение первого и второго числа.
Далее читаем формулу
Куб суммы двух чисел a и b равняется сумме кубов этих чисел, утроенного произведения квадрата первого из чисел на второе и утроенного произведения квадрата второго из чисел на первое число.
Далее читаем формулу куба разности двух чисел
Куб разности двух чисел a и b равняется кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго числа на первое число, минус куб второго числа.
Пятая формула (разность квадратов) будет читаться так: разность квадратов двух чисел равна произведению суммы и разности двух этих чисел.
Следующие выражения для удобства называют неполным квадратом разности и неполным квадратом суммы соответственно.
Таким образом, формулы суммы и разности кубов будут читаться так:
Сумма кубов двух чисел будет равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат разности.
Разность кубов двух чисел будет равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы.
Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ можно достаточно простым способом. Опираясь на свойства умножения, рассчитаем произведение частей формул, указанных в скобках.
В качестве примера возьмем формулу квадрата разности.
Для того, чтобы возвести во вторую степень данное выражение, нужно это выражение умножить само на себя.
Раскрываем скобки:
Данная формула доказана. Оставшиеся ФСУ доказываются схожим способом.
Примеры применения ФСУ
Целью применения формул сокращенного умножения — возведение чисел в степень, а также краткое и быстрое их умножение.
Кроме того этим сфера использования ФСУ не ограничивается. Формулы широко применяются при сокращении выражений, сокращении дробей, а также разложении многочленов на отдельные множители.
Рассмотрим примеры.
]
Помимо этого ФСУ служат для вычисления значения выражений.
Главное — уметь определить, где применить какую формулу. Рассмотрим это на примере.
Возведем число 79 в квадрат. Вместо объемных вычислений, запишем так:
Таким образом, что сложное вычисление рассчитано быстро всего лишь с помощью формул сокращенного умножения и таблицы умножения.
Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение можно преобразовать в вид . Данные преобразования широко используются в интегрировании.
Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора. Формулы сокращенного умножения Какое число получается в квадрате 65
Формулы сокращенного умножения.
Изучение формул сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности двух выражений; разность квадратов двух выражений; куб суммы и куб разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители и приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .
Пусть a, b R. Тогда:
1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения и второго плюс квадрат второго выражения.(а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2
2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения и второго плюс квадрат второго выражения.
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.
а 2 — б 2 = (а — б) (а + б)
4. куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс умноженному на три квадрата первого выражения умноженному на второе плюс умноженному на три произведению первого выражения на квадрат второго плюс умноженному на куб второе выражение.
(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3
5. куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(а — б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3
6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражений на неполный квадрат разности этих выражений.
а 3 + Ь 3 = (а + Ь) (а 2 — аб + Ь 2)
7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражений на неполный квадрат суммы этих выражений.
а 3 — б 3 = (а — б) (а 2 + аб + б 2)
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Пример 1
Вычислить
а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получаем
98 2 = (100 — 2) 2 = 100 2 — 2 100 2 + 2 2 = 10000 — 400 + 4 = 9604
Пример 2
Вычислить
Используя формулу разности квадратов двух выражений, получаем
Пример 3
Упростить выражение
(х — у) 2 + (х + у) 2
Используем формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений
(х — у) 2 + (х + у) 2 = х 2 — 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2
Формулы сокращенного умножения в одной таблице:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
a 2 — b 2 = (a — b) (a+b)
( а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3
(а — б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3
а 3 + б 3 = (а + б ) (а 2 — аб + б 2)
а 3 — б 3 = (а — б) (а 2 + аб + б 2)
Сегодня мы научимся быстро возводить в квадрат большие выражения без калькулятора.
1156 это квадрат 34.
Проблема этого метода может быть описана в двух пунктах:
1) требует письменной регистрации;
2) очень легко ошибиться в процессе расчета.
Сегодня мы научимся быстро умножать без калькулятора, устно и практически без ошибок.
Итак, приступим. Для работы нам понадобится формула квадрата суммы и разности. Запишем их: 9(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
Что наводит нас на такую мысль? Дело в том, что с суммой или разницей мы можем применить приведенные выше расчеты. Конечно, чтобы сократить расчеты, для каждого из элементов следует подобрать выражение с наименьшим вторым членом.
Зачем стремиться к уменьшению второго члена в быстром умножении? Все дело в первоначальных вычислениях квадрата суммы и разности. Дело в том, что плюс-минус член $2ab$ вычислить сложнее всего при решении реальных задач. И если множитель $a$, кратный 10, всегда легко умножается, то с множителем $b$, представляющим собой число в диапазоне от единицы до десяти, у многих учащихся регулярно возникают трудности. 9{2}}=6400+160+1=6561\]
Итак, за три минуты мы умножили восемь примеров. Это менее 25 секунд на выражение. На самом деле, немного потренировавшись, вы будете считать еще быстрее. На вычисление любого двузначного выражения у вас уйдет не более пяти-шести секунд.
Но это еще не все. Для тех, кому показанная техника не кажется достаточно быстрой и недостаточно крутой, предлагаю еще более быстрый метод умножения, который, правда, работает не для всех задач, а только для тех, которые отличаются на единицу от кратных 10.
При этом нам вообще не нужно запоминать расчеты квадратов суммы и разности и пользоваться калькулятором. Скорость работы выше всяких похвал. Поэтому запоминайте, практикуйте и применяйте на практике.
Ключевые точки
С помощью этой методики можно легко умножать любые натуральные числа от 10 до 100. Причем все расчеты выполняются устно, без калькулятора и даже без бумаги! 9(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
— аналогичная формула для чисел больше 1.
Надеюсь, эта методика сэкономит вам время на всех важных тестах и экзаменах по математике. И это все для меня. Увидимся!
Квадрат числа является результатом математической операции, которая возводит это число во вторую степень, то есть умножает это число само на себя один раз. Такую операцию принято обозначать так: Z2, где Z — наше число, 2 — степень «квадрата». Наша статья расскажет вам, как посчитать квадрат числа.
Вычислить квадрат
Если число простое и маленькое, то его легко сделать либо в уме, либо с помощью хорошо известной всем нам таблицы умножения. Например:
42 = 4х4 = 16; 72 = 7х7 = 49; 92 = 9×9 = 81.
Если число большое или «огромное», то можно воспользоваться либо таблицей квадратов, которую все учили в школе, либо калькулятором. Например:
122 = 12х12 = 144; 172 = 17х17 = 289; 1392 = 139×139 = 19321,
Также, чтобы получить желаемый результат для двух приведенных выше примеров, вы можете умножить эти числа в столбик.
Для того чтобы получить квадрат любой дроби необходимо:
- Преобразование дроби (если дробь имеет целую часть или десятичную) в неправильную дробь. Если дробь правильная, то ничего переводить не нужно.
- Умножьте знаменатель на знаменатель и числитель на числитель дроби.
Например:
(3/2)2 = (3/2)х(3/2) = (3х3)/(2х2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)х(5/7) = (5х5)/(7х7) = 25/49; (14/17) 2 = (14х14)/(17х17) = 196/289.
В любом из этих вариантов проще всего воспользоваться калькулятором. Для этого вам нужно:
- Введите число на клавиатуре
- Нажмите на кнопку со знаком умножения
- Нажать кнопку со знаком «равно»
Вы также всегда можете воспользоваться поисковыми системами в Интернете, такими как, например, Google. Для этого нужно просто ввести соответствующий запрос в поле поисковой системы и получить готовый результат. 92 или «9,17 в квадрате». В любом из этих вариантов поисковик выдаст вам правильный результат — 84.0889.
Теперь вы знаете, как вычислить квадрат любого интересующего вас числа, будь то целое число или дробь, большое или маленькое!
Математика для блондинок: кубик из 101
Сегодня мы рассмотрим на примере, как можно найти сто один в кубе с помощью формул сокращенного умножения. Другими словами, как поднять куба из 101 93=101*101*101=1030301
Если под рукой нет калькулятора (мало ли, телефон только что украли), то можно посчитать на листочке в столбик (картинка будет в конце, как проверка и калькулятора, и формулы).
В условии задачи сказано, что нужно найти куб из 101 по формуле сокращенного умножения. По мнению учителей математики, эти формулы должен знать каждый. Наивный. Где найти эту формулу?
Вы можете найти в Интернете куб суммы . Гугл вам в помощь. Эти формулы можно найти в справочнике по математике, в учебнике по математике, можно спросить у одноклассника, который знает наизусть формулы сокращенного умножения. Нужная нам формула сокращенного умножения называется куб суммы . Вы увидите это ниже.
А теперь ответ на самый каверзный вопрос: как из одного числа получить сумму чисел? Необходимо разложить это число на термины. С точки зрения математики количество слагаемых может быть любым, но… Формулы сокращенного умножения для возведения суммы в куб я нашел только для двух и трех слагаемых. Формула куба суммы трех слагаемых очень сложная, желаю вам никогда с таким не сталкиваться. Но куб суммы двух слагаемых выглядит красиво. Основной принцип расширения терминов для применения формул сокращенного умножения заключается в том, что числа можно легко умножать в уме без использования калькулятора.