Примеры на деление дробей: Деление дробей — как делить дроби 🤔

Содержание

правила, примеры, решения, деление дробей с разными знаменателями, как число делить на дробь

С дробями можно выполнять все действия, в том числе и деление. Данная статья показывает деление обыкновенных дробей. Будут даны определения, рассмотрены примеры. Подробно остановимся на делении дробей на натуральные числа и наоборот. Будет рассмотрено деление обыкновенной дроби на смешанное число.

Деление обыкновенных дробей

Деления является обратным умножению. При делении неизвестный множитель находится при известном произведении и другого множителя, где и сохраняется его данный смысл с обыкновенными дробями.

Если необходимо произвести деление обыкновенной дроби ab на cd, тогда для определения такого числа нужно произвести умножение на делитель cd, это даст в итоге делимое ab. Получим число и запишем его ab·dc, где dc является обратным cd числу. Равенства можно записать при помощи свойств умножения, а именно: ab·dc·cd=ab·dc·cd=ab·1=ab, где выражение ab·dc является частным от деления ab на cd.

Отсюда получим и сформулируем правило деления обыкновенных дробей:

Определение 1

Чтобы разделить обыкновенную дробь ab на cd, необходимо делимое умножить на число, обратное делителю.

Запишем правило в виде выражения: ab:cd=ab·dc

Правила деления сводятся к умножению. Чтобы придерживаться его, нужно хорошо разбираться в выполнении умножения обыкновенных дробей.

Перейдем к рассмотрению деления обыкновенных дробей.

Пример 1

Выполнить деление 97 на 53. Результат записать в виде дроби.

Решение

Число 53 – это обратная дробь 35. Необходимо использовать правило деления обыкновенных дробей. Это выражение запишем так: 97:53=97·35=9·37·5=2735.

Ответ: 97:53=2735.

При сокращении дробей следует выделять целую часть, если числитель больше знаменателя.

Пример 2

Разделить 815:2465. Ответ записать в виде дроби.

Решение

Для решения нужно перейти от деления к умножению. Запишем это в такой форме: 815:2465=2·2·2·5·133·5·2·2·2·3=133·3=139

Необходимо произвести сокращение, а это выполняется следующим образом: 8·6515·24=2·2·2·5·133·5·2·2·2·3=133·3=139

Выделяем целую часть и получаем 139=149.

Ответ: 815:2465=149.

Деление необыкновенной дроби на натуральное число

Используем правило деления дроби на натуральное число: чтобы разделить ab на натуральное число n, необходимо умножить только знаменатель на n. Отсюда получим выражение: ab:n=ab·n.

Правило деления является следствием правила умножения. Поэтому представление натурального числа в виде дроби даст равенство такого типа: ab:n=ab:n1=ab·1n=ab·n.

Рассмотрим данное деление дроби на число.

Пример 3

Произвести деление дроби 1645 на число 12.

Решение

Применим правило деления дроби на число. Получим выражение вида 1645:12=1645·12.

Произведем сокращение дроби. Получим 1645·12=2·2·2·2(3·3·5)·(2·2·3)=2·23·3·3·5=4135.

Ответ: 1645:12=4135.

Деление натурального числа на обыкновенную дробь

Правило деления аналогично правилу деления натурального числа на обыкновенную дробь: чтобы разделить натуральное число n на обыкновенную ab, необходимо произвести умножение числа n на обратное дроби ab.

Исходя из правила, имеем n:ab=n·ba, а благодаря правилу умножения натурального числа на обыкновенную дробь, получим наше выражение в виде n:ab=n·ba. Необходимо рассмотреть данное деление на примере.

Пример 4

Делить 25 на 1528.

Решение

Нам необходимо переходить от деления к умножению. Запишем в виде выражения 25:1528=25·2815=25·2815. Сократим дробь и получим результат в виде дроби 4623.

Ответ: 25:1528=4623.

Деление обыкновенной дроби на смешанное число

При делении обыкновенной дроби на смешанное число легко можно свети к делению обыкновенных дробей. Нужно совершить перевод смешанного числа в неправильную дробь.

Пример 5

Разделить дробь 3516 на 318.

Решение

Так как 318 — смешанное число, представим его в виде неправильной дроби. Тогда получим 318=3·8+18=258. Теперь произведем деление дробей. Получим 3516:318=3516:258=3516·825=35·816·25=5·7·2·2·22·2·2·2·(5·5)=710

Ответ: 3516:318=710.

Деление смешанного числа производится таким же образом, как и обыкновенных.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Деление дробей.

Навигация по странице:

Деление дроби на натуральное число
Деление натурального числа на дробь
Деление обыкновенных дробей
Деление смешанных чисел

Деление дроби на натуральное число.

Определение.

Чтобы поделить дробь на натуральное число, надо знаменатель дроби умножить на число, а числитель оставить тем же.

Примеры деления дроби на натуральное число

Пример 1.

Найти частное от деления дроби на натуральное число:

3	: 2	=	3	=	3
7			7 · 2		14

Пример 2.

Найти частное от деления дроби на натуральное число:

6	: 3	=	6	=	2 · 3	=	2
11			11 · 3		11 · 3		11

Определение.

Чтобы получить дробь, обратную данной, следует поменять местами числитель и знаменатель.

3	— дробь обратная	7
7	— дробь обратная	3

Деление натурального числа на дробь.

Определение.

Чтобы поделить натуральное число на дробь, следует число умножить на дробь обратную заданной.

Примеры деления натурального числа на дробь

Пример 3.

Найти частное от деления натурального числа на дробь:

2:	7	=	2·	2	=	4
	2			7		7

Пример 4.

Найти частное от деления натурального числа на дробь:

2:	4	=	2·	5	=	2 · 5	=	2 · 5	=	5	=	2 · 2 + 1	= 2	1
	5			4		4		2 · 2		2		2		2

Деление обыкновенных дробей.

Определение.

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Примеры деления обыкновенных дробей

Пример 5.

Найти частное от деления дробей:

3	:	4	=	3	·	5	=	3 · 5	=	15
7	:	5	=	7	·	4	=	7 · 4	=	28

Пример 6.

Найти частное от деления дробей:

6	:	4	=	6	·	7	=	6 · 7	=	3 · 2	=	3	=	2 + 1	= 1	1
7		7		7		4		7 · 4		2 · 2		2		2		2

Смотрите также:

Онлайн калькулятор дробей

Упражнения на тему деление двух обыкновенных дробей

Деление смешанных чисел.

Определение.

преобразовать смешанные дроби в неправильные;
умножить первую дробь на дробь, обратную второй;
сократить полученную дробь;
если получилась неправильная дробь преобразовать неправильную дробь в смешанную.

Примеры деления смешанных чисел

Пример 7.

Найти частное от деления смешанных чисел:

1	1	:	2	2	=	1 · 2 + 1	:	2 · 3 + 2	=	3	:	8	=	3	·	3	=	3 · 3	=	9
	2			3		2		3		2		3		2		8		2 · 8		16

Пример 8.

Найти частное от деления смешанного числа на дробь:

2	1	:	3	=	2 · 7 + 1	:	3	=	15	·	5	=	15 · 5	=	25	= 3	4
	7		5		7		5		7		3		7 · 3		7		7

Смотрите также:

Онлайн калькулятор дробей

Упражнения на тему деление двух смешанных чисел

Дроби Виды дробей (обыкновенная правильная, неправильная, смешанная, десятичная) Основное свойство дроби Сокращение дроби Приведение дробей к общему знаменателю Преобразование неправильной дроби в смешанное число Преобразование смешанного числа в неправильную дробь Сложение и вычитание дробей Умножение дробей Деление дробей Сравнение дробей Преобразование десятичной дроби в обыкновенную дробь

Онлайн калькуляторы дробей

Онлайн упражнения с дробями

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Деление обыкновенных дробей / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

Главная
Справочники
Справочник по математике 5-9 класс
Обыкновенные дроби
Деление обыкновенных дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

Примеры:

Обратите внимание, если возможно, то прежде, чем перемножить числа, выполняем сокращение (такой ход действий облегчит вычисления).

Деление смешанных чисел

Чтобы выполнить деление смешанных чисел, нужно записать эти числа в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом деления дробей.

Примеры:

Деление на натуральное число

При делении дроби на натуральное число, учитываем то, что любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1, затем пользуемся правилом деления дробей.

Примеры:

Нахождения числа по его дроби

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь

Примеры:

1) Найдите число, если данного числа равны 27:

2) Найдите число, если данного числа равны :

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Доли. Обыкновенные дроби

Сравнение дробей

Делители и кратные

Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

Четные и нечетные числа

Признаки делимости на 9 и на 3

Простые и составные числа

Разложение на простые множители

Наибольший общий делитель

Наименьшее общее кратное

Деление и дроби

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Смешанное число

Сложение и вычитание смешанных чисел

Основное свойство дроби

Решето Эратосфена

Приведение дробей к общему знаменателю

Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение обыкновенных дробей

Обыкновенные дроби

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 474, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 529, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 913, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 649, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 686, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1493, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 10, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

7 класс

Номер 4, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 35, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 74, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 75, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 429, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 618, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 787, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 845, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 846, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 874, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Деление обыкновенных дробей — правила и примеры вычислений

При выполнении математических расчетов или упрощении выражений нужно знать правила деления обыкновенных дробей. Некоторые молодые математики путают алгоритмы, поскольку начинают выполнять лишние действия, связанные с приведением к общему знаменателю. Основная причина ошибки — неверная информация, которая находится на различных сайтах сомнительного содержания.

Содержание

Общие сведения
Правильные и неправильные дроби
Операция деления
Признаки делимости
Примеры решения

Общие сведения

Для выполнения арифметической операции следует знать признаки обыкновенной дроби и ее отличия от десятичной. Первая состоит из числителя (вверху) и знаменателя, находящегося внизу. Вторая представлена в виде целой части и дробной, разделенных запятой или точкой. Для примера следует рассмотреть два значения: 6,23 и 12/13. Первая относится к десятичной, вторая — к обыкновенной.

Любое обыкновенное дробное значение можно представить в виде десятичного и наоборот. В последнем случае бывают исключения — бесконечная периодическая и непериодическая. При этом результат округляется до определенного значения.

Обыкновенная дробь — форма представления операции деления двух числовых значений. В различных дисциплинах с физико-математическим уклоном существуют символы,
обозначающие операцию деления (: и /).

Правильные и неправильные дроби

Десятичную дробь 6,2 можно представить в следующем виде: 62/10. Читается запись таким образом: шестьдесят две десятых. Величину можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2: 31/5. Последний результат называется неправильной дробью, так как ее числитель больше знаменателя. Чтобы ее преобразовать в нормальный вид (смешанную дробь), следует воспользоваться таким алгоритмом:

Записать дробь: 31/5.

Выделить целую часть: 6 (поскольку 5 * 6 = 30).

Отнять от значения, полученного во втором пункте, знаменатель: 31 — 30 = 1.

Записать результат: 6 (1/5).

При выполнении операции деления дробей в 5 классе смешанную величину следует преобразовывать всегда. Для этого рекомендуется выполнить следующие шаги:

Записать смешанное число: 6 (1/5).

Вычислить произведение знаменателя на целую часть: 5 * 6 = 30.

Прибавить значение числителя к результату, который получился в пункте 2.

Записать неправильную дробь: 31/5.

Затем нужно выполнять операции умножения и деления дробей. Объяснение этому — упрощение расчетов, которое поможет избежать пустой траты времени на осуществление вычислений с дробными и целыми частями отдельно.

Операция деления

Для деления обыкновенных дробей используется простой принцип, который разработали математики. Он имеет такой вид:

Записать две величины: 25/72 и 5/8.

Указать операцию: 25/72 / 5/8.

Перевернуть вторую дробь (поменять местами числитель и знаменатель), заменив операцию на умножение: 25/72 * 8/5.

Произвести операцию умножения, сократив числитель и знаменатель: 5/9.

Если два значения представлены в виде смешанных величин, то их необходимо перевести в неправильные дроби, а затем осуществить операцию деления. Действия с дробными выражениями выполняются не только с известными, но и с неизвестными (переменными). Для работы с дробными выражениями нужно знать признаки деления одного числа на другое.

Признаки делимости

При сокращении дробей следует знать признаки делимости. Если одно число делится на другое, то результатом является третья величина, которая называется частным значением. Первое число называется делимым, второе — делителем. Признаки деления на них от 1 до 9 (соответствуют пунктам нумерации):

Любое число.

Последняя цифра — четная величина.

Сумма делится на тройку.

Две крайние справа цифры (последние) делятся на четверку.

Последняя цифра заканчивается на нуль или пятерку.

Сумму, полученную при сложении компонентов-цифр числа, можно делить на двойку и тройку.

Деление по формуле [mn — 2t] / 7, где m, n и t — единицы, десятки и сотни искомого числа.

Деление на двойку и четверку на основании пунктов 2 и 4.

Алгебраическая сумма цифр, составляющих число, делится на девятку без остатка.

Признаки делимости рекомендуется заготовить в виде электронной презентации или на картонном листе. Математики рекомендуют их выучить, поскольку это позволит существенно сократить время на решение примеров и задач.

Примеры решения

Для практического применения полученных знаний нужно разобрать пример деления двух величин: 4 (2/25): 2/15. Дроби в этом случае являются разными, поскольку первая — смешанная, а вторая — обыкновенная правильная. Операция осуществляется по такому алгоритму:

Преобразование 4 (2/25): (25 * 4 + 2)/25 = 102/25.

Запись выражения: 102/25: 2/15.

Переворот второй величины и умножение: 102/25 * 2/15.

Сокращение 25 и 15 на 5: 5 и 3 соответственно.

Выполнение предыдущей операции, но только для 102 и 2: 51 и 1.

Запись искомого значения с учетом сокращений: (55 * 3) / 5 * 1 = (11 * 3) / (1 * 1) = 33.

Из примера видно, что деление одного обыкновенного дробного выражения на другое иногда приводит к целочисленному значению.

Таким образом, при выполнении операций деления двух обыкновенных дробей необходимо руководствоваться специальным алгоритмом, знать признаки делимости, а также уметь преобразовывать неправильное обычное дробное значение в правильное.

МатематикаПроизводная арккосинуса — формулы, правила и примеры вычисления

МатематикаВозрастание и убывание функции — свойства, характеристики и примеры

правила, свойства и примеры для 5 класса

Математика

12. 11.21

8 мин.

В различных дисциплинах с физико-математическим уклоном встречается операция упрощения выражений. Иногда последние представлены в виде обыкновенных дробей. Правила деления и умножения дробных тождеств нужно знать, чтобы не совершать ошибок при вычислениях. Специалисты рекомендуют изучить теорию, а потом перейти к ее практическому применению.

Оглавление:

Общие сведения

Подготовительные операции

Деление и умножение дробей

Общие сведения

Многие начинающие математики путают правила работы с обыкновенными выражениями, поскольку при делении забывают «переворачивать» делитель. Некоторые не отличают обыкновенное дробное выражение от десятичного. Кроме того, следует также знать правила деления числа на определенное значение. Итак, дроби бывают только двух типов:

Обыкновенными (правильными и неправильными).
Десятичными (конечными и бесконечными).

Правильная — дробное выражение, у которого числитель меньше знаменателя, а у неправильного — числитель больше знаменателя (пример 2/3 и 7/3). У конечной десятичной дробной величины после запятой находится определенное количество знаков. Если же она является бесконечной, то делится на 2 типа: бесконечная периодическая (0,85 (3)) и непериодическая (1,56471238971235). Первая отличается от второй повторяющимися знаками, которые следует выделять круглыми скобками 0,(36) через определенный промежуток.

Обыкновенное дробное выражение записывается в десятичной форме. Кроме того, существует и обратное утверждение: любую десятичную дробь возможно записать в виде обыкновенной. Существует еще определенный вид дробных чисел, называющихся смешанными. Они состоят из целой части и обыкновенной дроби, т. е. 4 (½). Деление дробей в 5 классе требует некоторых подготовительных операций.

Подготовительные операции

Чтобы разделить одну дробную величину на другую, требуется произвести некоторые действия. Для этого следует руководствоваться правилом: любое смешанное число должно быть преобразовано в неправильную обыкновенную дробь. В этом случае математики рекомендуют воспользоваться следующим алгоритмом:

Записать величину: 12 (2/5).
Умножить знаменатель на целую часть, а затем прибавить числитель: 12*5+2=62.
Записать результат в виде неправильной дробной величины: 62/5.

Обратную операцию по преобразованию неправильной дроби в смешанное число математики рекомендуют выполнять на завершающих этапах вычисления. Выполняется конвертация по такой методике:

Записывается искомая величина: 62/5.
Выделяется целая часть при делении: 12.
От числителя искомого значения отнимается произведение знаменателя на величину, полученную во 2 пункте: 62−12*5=62−60=2.
Записывается конечный результат: 12 (2/5).

Правило деления целого числа на дробь: произвести преобразование целого в дробь деление на 1, т. е. 4=4/1. Следует также рассмотреть признаки делимости чисел. Они помогут правильно вычислять выражения и быстро сократить полученный результат. К ним относятся:

На 1 делится любое число без остатка.
Если последняя цифра является четной, величину возможно разделить на 2.
Величина делится на 3, когда сумма ее цифр делится на это значение.
Число делится на 4, когда сумма двух крайних справа цифр можно разделить на последнее.
Если величина заканчивается на 5 или 0, значит, 5 является ее делителем.
Деление на 6 выполняется нацело в том случае, когда выполняются второе и третье правила.
Чтобы разделить величину на 7, нужно от произведения всех цифр, не затрагивая последнюю, отнять двойной разряд единиц. В этом случае результат должен делиться на семерку.
При делении на 8 нужно соблюдение второго и четвертого условий.
Если число делится на 9, то на нее должна делиться и сумма цифр, составляющих искомую величину.

Математики рекомендуют заготовить специальные карточки на плотной бумаге или в виде презентаций на компьютере. Для этих целей может подойти программа PowerPoint, входящая в расширенный выпуск Microsoft Office.

Описанных рекомендаций будет достаточно, чтобы выполнить деление обыкновенных дробей. Правило, которое используется при этой операции, включает в себя преобразование величин, выполнение вычислений, а затем приведение к общему виду.

Деление и умножение дробей

При делении обыкновенных дробей рекомендуется на начальных этапах использовать алгоритм. Последний не понадобится, когда учащийся выполняет операцию большое количество раз. Методика имеет следующий вид:

Записать 2 дроби: 3 (2/5) и 12 (2/5).
Преобразовать их в неправильные дробные выражения: (5*3+2)/5=17/5 и (12*5+2)/5=62/5.
Развернуть делитель (вторую дробь) и сменить знак деления «:» на противоположный (*), сократив на «5»: (17/5)*(5/62)=17/62.
Упростить результат при необходимости.

Деление целого значения на дробь выполняется по такому же алгоритму. При умножении обыкновенных дробных величин нет необходимости их переворачивать. Методика является очень простой и сводится к перемножению числителей и знаменателей, а затем результат упрощается.

Таким образом, для выполнения операций деления и умножения двух обыкновенных дробей рекомендуется изучить признаки делимости, алгоритмы и определения, а затем переходить к практике.

Не успеваете написать работу?

Заполните форму и узнайте стоимость

Вид работыПоиск информацииДипломнаяВКРМагистерскаяРефератОтчет по практикеВопросыКурсовая теорияКурсовая практикаДругоеКонтрольная работаРезюмеБизнес-планДиплом MBAЭссеЗащитная речьДиссертацияТестыЗадачиДиплом техническийПлан к дипломуКонцепция к дипломуПакет для защитыСтатьиЧасть дипломаМагистерская диссертацияКандидатская диссертация

Контактные данные — строго конфиденциальны!

Указывайте телефон без ошибок! — потребуется для входа в личный кабинет.

* Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности

Подтверждение

Ваша заявка принята.

Ей присвоен номер 0000.
Просьба при ответах не изменять тему письма и присвоенный заявке номер.
В ближайшее время мы свяжемся с Вами.

Ошибка оформления заказа

Кажется вы неправильно указали свой EMAIL, без которого мы не сможем ответить вам.
Пожалуйста проверте заполнение формы и при необходимости скорректируйте данные.

Деление дробей — Справочник — 2022

Математика деление дробей

Научившись умножать обыкновенные дроби, несложно научиться их делить. Как обычно, рассмотрим какие случаи могут нам встретиться при вычислении примеров на Деление дробей.

Деление дроби на дробь

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, отличную от нуля, нужно:

Другими словами, деление дробей сводится к умножению. Поэтому Правила деления дробей можно записать следующим образом.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое (первую дробь) умножить на обратную дробь делителю.

Как дробь разделить на число

Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно использовать следующий способ.

Мы представляем натуральное число в виде неправильной дроби с числителем, равным самому числу, а знаменатель равным единице.

Затем призводим деление по правилу деления дроби на дробь.

Деление смешанных чисел

При делении смешанных чисел надо представить числа в виде неправильных дробей, а потом разделить их друг на друга по правилу деления дроби на дроби.

Деление дробей.

Math-prosto. ru

09.05.2017 6:26:42

2017-05-09 06:26:42

Источники:

Https://math-prosto. ru/ru/pages/drob/division_drobs/

Деление дробей — как делить дроби 🤔 » /> » /> . keyword { color: red; }

Математика деление дробей

Дроби — тема в математике, которую точно нельзя пропустить. Ведь мы сталкиваемся с ними почти в каждой сфере жизни: музыка, медицина, строительство. В этой статье обсудим деление.

О чем эта статья:

Понятие дроби

Дробь — одна из форм записи частного чисел A и B, представленная в виде A/b.

Существует два формата записи:

Обыкновенный вид — 1/2 или a/b,

Десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление. В 5 классе ребята это уже знают.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 — 0,2)/15.

Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x — y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — .

Основные свойства дроби

1. Дробь не имеет значения, при условии, если знаменатель равен нулю.

2. Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

3. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.

4. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Деление дробных чисел

Деление — арифметическое действие, по которому можно узнать, сколько раз одно число содержится в другом. А еще деление — это обратное действие умножения.

Свойства деления:

При делении на единицу получится такое же число: a : 1 = a.

На ноль делить нельзя.

При делении нуля на что-либо получится ноль: 0 : a = 0.

При делении числа на само себя получится единица: a : a = 1.

При деления суммы на какое-либо число, можно разделить на него каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (a + b) : c = a : c + b : c.

При делении разности на какое-нибудь число, можно разделить на него уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого частного вычесть второе: (a — b) : c = a : c — b : c.

При делении произведения двух множителей на число, можно разделить на него любой из множителей и частное умножить на второй множитель: (a * b) : c = (a : c) · b = a * (b : c).

Деление обыкновенных дробей

Как делить дробь на дробь? Выполняем следующую последовательность действий:

Числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;

Знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.

Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.

Как делить дроби с разными знаменателями? Тут все просто: пользуемся правилами выше, поскольку на практике нам не важно, одинаковые знаменатели или нет.

Деление дроби на натуральное число

Для деления дроби на натуральное число нужно:

Представить данный делитель в виде неправильной дроби, где числитель равен этому числу, а знаменатель единица;

Произвести деление по предыдущему правилу.

Деление натурального числа на дробь

Чтобы поделить натуральное число на обыкновенную дробь нужно:

Делимое записать в виде дроби;

Умножить полученную дробь на дробь, обратную делителю, воспользовавшись алгоритмом, который мы уже разобрали выше.

Делимое записать в виде дроби;.

Skysmart. ru

15.12.2020 12:26:50

2020-12-15 12:26:50

Источники:

Https://skysmart. ru/articles/mathematic/delenie-drobej

Деление дробей. Правила. Примеры. репетитор по математике » /> » /> .keyword { color: red; }

Математика деление дробей

Следующее действие, которое можно выполнять с дробями это деление. Выполнять деление дробей достаточно просто главное знать несколько правил деления. Разберем правила деления и рассмотрим решение примеров на данную тему.

Деление дроби на дробь.

Чтобы делить дробь на дробь, нужно дробь, которая является делителем перевернуть, то есть получить обратную дробь делителю и потом выполнить умножение дробей.

Выполните деление обыкновенных дробей.

Деление дроби на число.

Чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби умножить на число.

Выполните деления дроби на натуральное число \(\frac \div 3\).

Как мы уже знаем, что любое число можно представить в виде дроби \(3 = \frac \).

Деление числа на дробь.

Чтобы поделить число на дробь, нужно знаменатель делителя умножить на число, а числитель делителя записать в знаменатель. То есть дробь делитель перевернуть.

Выполните деление числа на дробь.

Деление смешанных дробей.

Перед тем как приступить к делению смешанных дробей, их нужно перевести в неправильную дробь, а дальше выполнить деление по правилу деления дроби на дробь.

Выполните деление смешанных дробей.

Деление числа на число.

Чтобы поделить простые числа, нужно представить их в виде дроби И выполнить деление по правилам деления дроби на дробь.

Примечание к теме деление дробей:
На нуль делить нельзя.

Вопросы по теме:
Как делить дроби? Как разделить дробь на дробь?
Ответ: дроби делятся так, первую дробь делимое умножаем на дробь обратную дроби делителя.

Как делить дроби с разными знаменателями?
Ответ: не важно одинаковые или разные знаменатели у дробей, все дроби делятся по правилу деления дроби на дробь.

Пример №1:
Выполните деление и назовите делитель, дробь, обратную делителю: а) \(\frac \div \frac\) б) \(2\frac \div 1\frac\)

\( \frac\) – делитель, \( \frac\) – обратная дробь делителя.

Пример №2:
Вычислите деление: а) \(5 \div 1\frac\) б) \(9\frac \div 8\)

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Свежие записи

Решение линейных уравнений с одной переменной. Определение числовой функции. Область определения функции. Область значения функции. Определение функции. Способы задания функции. Десятичные дроби. Разряды и классы десятичных дробей. Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Пожалуйста отключите блокировку рекламы или добавьте сайт в исключения блокировщика, если желаете чтобы проект развивался.

Выполните деление обыкновенных дробей.

Добавить комментарий Отменить ответ.

Tutomath. ru

20.07.2018 10:21:15

2018-07-20 10:21:15

Источники:

Https://tutomath. ru/5-klass/delenie-drobej-pravila-primery. html

Разделение на дроби — шаги, метод, примеры

Разделение означает разделение элемента поровну. Мы узнали о делении целых чисел, теперь давайте посмотрим, как делить дроби. Дробь состоит из двух частей — числителя и знаменателя. Делить дроби почти то же самое, что и умножать их. Для деления дробей умножаем первую дробь на обратную (обратную) второй дроби. Давайте узнаем больше о делении дробей в этой статье.

1.	Как делить дроби?
2.	Деление дробей на дроби
3.	Деление дробей целыми числами
4.	Деление дробей с помощью десятичных знаков
5.	Деление дробей и смешанных чисел
6.	Часто задаваемые вопросы о делении дробей

Как делить дроби?

Мы знаем, что деление — это метод разделения поровну и объединения в равные группы. Делим целое число на делитель, чтобы получить частное. Теперь, когда мы делим дробь на другую дробь, это то же самое, что умножать дробь на обратную вторую дробь. Обратная дробь — это простой способ поменять местами числитель и знаменатель дроби. Обратите внимание на следующий рисунок, чтобы узнать простое правило деления дробей.

В следующих разделах мы изучим деление дробей на дроби, целые числа, десятичные дроби и смешанные числа. В каждом случае мы будем использовать то же правило деления дробей, что и выше. Давайте начнем!

Деление дробей на дроби

Мы только что научились делить дроби, взяв обратную. Теперь давайте рассмотрим метод деления дроби на дробь на примере. Посмотрите на приведенную ниже формулу деления дроби на дробь. Если x/y делится на a/b, это означает, что

x/y ÷ a/b

⇒ x/y × b/a (обратная величина a/b равна b/a)

⇒ xb/ya

Теперь, если нам нужно разделить: 5/8 ÷ 15/16 подставим значения данных числителей и знаменателей.

5/8 ÷ 15/16 = 5/8 × 16/15 = 2/3

∴ Значение 5/8 ÷ 15/16 = 2/3.

Деление дробей целыми числами

Для деления дробей с целыми числами нам нужно умножить знаменатель данной дроби на данное целое число. В общем виде, если x/y — дробь, а a — целое число, то x/y ÷ a = x/y × 1/a = x/ya.

Возьмем пример и разделим 2/3 на 4.

2/3 ÷ 4 = 2/3 × 1/4

= 1/6

Следовательно, 2/3 ÷ 4 дает нам 1 /6. Вот как мы делим дроби с целыми числами.

Деление дробей с помощью десятичных знаков

Мы знаем, что сами десятичные числа являются дробями по основанию 10. Мы можем представить десятичное число в дробной форме, а затем выполнить деление. Чтобы разделить дроби на десятичные дроби, выполните следующие действия:

Преобразование заданного десятичного числа в дробь.
Разделите обе дроби.

Рассмотрим пример 4/5 ÷ 0,5. Здесь 0,5 можно записать дробно как 5/10 или 1/2. Теперь разделите 4/5 на 1/2. Отсюда следует, что 4/5 ÷ 1/2 = 4/5 × 2/1 = 8/5. Вот как мы выполняем деление дробей с десятичными знаками. Теперь давайте научимся делить дроби со смешанными числами.

Деление дробей и смешанных чисел

Мы научились преобразовывать смешанные дроби в неправильные дроби. Для деления дробей со смешанными числами мы должны сначала преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь, а затем разделить их, как мы делим две дроби. Рассмотрим следующий пример.

3/4 ÷ \(1\dfrac{1}{2}\)

Итак, первый шаг — преобразовать \(1\dfrac{1}{2}\) в неправильную дробь. \(1\dfrac{1}{2}\) равно 3/2. Теперь это можно решить следующим образом:

3/4 ÷ 3/2

⇒ 3/4 × 2/3

⇒ 6/12 = 1/2

Следовательно, 3/4 ÷ \(1\dfrac{1}{2}\) = 1/2. Если вы хотите разделить смешанное число на дробь, сначала преобразуйте смешанное число в неправильную дробь и выполните действия, описанные выше.

Разделение дробей Статьи по теме

Проверьте эти интересные статьи, связанные с концепцией деления дробей в математике.

Калькулятор деления дробей
Формула деления дробей
Деление дробей целыми числами
Дроби

Деление дробей Примеры

Пример 1: Найдите значение 3/16 ÷ 15/32.
Решение:
Чтобы разделить 3/16 ÷ 15/32, мы будем использовать шаги деления дробей. Первый шаг — оставить первую фракцию такой, какая она есть. Затем измените знак деления на знак умножения и, наконец, превратите вторую дробь в обратную. Отсюда следует 3/16 × 32/15. После упрощения получаем (3×32)/(16×15) = 2/5.
∴ Значение 3/16 ÷ 15/32 = 2/5
Пример 2: У Тима \(1\frac{1}{2}\) литров сока в кувшине. Он должен разлить сок по чашкам. Каждая чашка может вместить 1/4 литра сока. Сколько чашек ему понадобится, чтобы вылить весь сок?
Решение:
Для решения этого вопроса воспользуемся понятием деления дробей.
Необходимое количество чашек = Общее количество сока ÷ Вместимость 1 чашки
= 3/2 ÷ 1/4 (так как \(1\frac{1}{2}\) = 3/2)
= 3/2 × 4/1
= 12/2
= 6
Следовательно, количество чашек, необходимых для разлива сока, равно 6.
Пример 3: Используйте шаги деления дробей с целыми числами, чтобы найти значение 8/5 ÷ 5.
Решение:
Чтобы разделить дробь на целое число, мы умножаем данное целое число на знаменатель дроби. Здесь 8/5 ÷ 5 = 8/5 × 1/5 = 8/25.
Следовательно, 8/5 ÷ 5 = 8/25.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по делению дробей

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о делении дробей

Что означает деление дробей?

Деление дробей означает разбиение дроби на дополнительные части. Например, если вы возьмете половину (1/2) пиццы и далее разделите ее на 2 равные части, то каждая порция будет составлять 1/4 всей пиццы. Математически мы можем выразить это рассуждение как 1/2 ÷ 2 = 1/4.

Что такое умножение и деление дробей?

Умножение дробей означает многократное сложение дроби с самой собой определенное количество раз. Для умножения дробей используются следующие шаги:

Шаг 1: Умножьте числители обеих дробей.
Шаг 2: Умножьте знаменатели обеих дробей.
Шаг 3: Упростите дробь, полученную после умножения.

С другой стороны, разделение дробей означает равное группирование или равное разделение дроби. Деление дробей связано с умножением, так как при делении двух дробей мы умножаем обратную величину второй дроби на первую.

Как визуализировать деление дробей?

Чтобы наглядно представить деление дробей, возьмите лист бумаги и сложите его на две равные части. Отрежьте 1/2 часть бумаги ножницами. Теперь у вас останется 1/2 бумаги. Теперь снова разделите эту 1/2 часть на 2 равные части. После этого у вас останется 1/4 часть бумаги. Это ответ 1/2 ÷ 2. Вот как вы можете визуализировать концепцию деления дробей.

Какое правило деления дробей?

Основное правило деления дробей состоит в том, чтобы сохранить, изменить и перевернуть. Это означает, что мы должны оставить первую дробь как есть, изменить знак деления на знак умножения и преобразовать вторую дробь в обратную. Следуя этому простому правилу, вы можете разделить любые две дроби.

Как делить дроби?

Чтобы разделить дроби, необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Возьмем обратную величину второй дроби.
Шаг 2: Умножьте его на первую дробь.
Шаг 3: Сократите полученную дробь до наименьшего значения.

Как научить делению дробей?

Делению дробей можно научиться разными способами, например, используя модели или применяя концепцию умножения дробей. Ниже перечислены некоторые способы обучения делению дробей:

Возьмите модели круглых или прямоугольных дробей, чтобы продемонстрировать учащимся концепцию деления дробей.
Используйте рабочие листы с картинками и текстовыми задачами.
Используйте материалы из повседневной жизни, такие как бобы, листья, галька и т. д., чтобы показать учащимся, как делить дроби.

Как разделить число на дробь?

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить целое число на обратную величину данной дроби. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить обратную величину второй дроби на первую дробь.

Как делить дроби на целые числа?

Деление дробей на целые числа состоит из трех шагов:

Шаг 1: Оставьте дробь как есть. Например, 3/4 ÷ 6.
Шаг 2: Переверните целое число, что сделает его дробью формата 1/a. В этом случае 6 станет 1/6.
Шаг 3: Измените знак на умножение. Получим 3/4 × 1/6 = 3/24 = 1/8.

Как делить дроби со смешанными числами?

Для деления дробей и смешанных чисел используются следующие шаги:

Шаг 1: Оставьте дробь как есть.
Шаг 2: Преобразуйте смешанное число в неправильную дробь и переверните вторую дробь.
Шаг 3: Измените знак на умножение между дробями. Умножьте и упростите их.

Ваше полное руководство — Mashup Math

Ключевой вопрос: Как делить дроби на дроби и дроби с целыми числами?

Научитесь делить дроби, выполнив 3 простых шага.

Добро пожаловать в это бесплатное пошаговое руководство по делению дробей. Это руководство научит вас, как использовать простой трехэтапный метод под названием «Сохранить-изменить-перевернуть», чтобы легко делить дроби на дроби (а также дроби на целые числа).

Ниже вы найдете несколько примеров того, как делить дроби с помощью метода «Сохранить-изменить-перевернуть», а также объяснить, почему этот метод работает для любой математической задачи, связанной с делением дробей. Кроме того, это бесплатное руководство включает в себя анимированный видеоурок и бесплатный практический лист с ответами!

Вы готовы начать?

Прежде чем вы научитесь делить дроби по методу Сохранить-Изменить-Отразить, вам нужно убедиться, что вы понимаете, как умножать дроби вместе (что даже проще, чем делить!).

Поскольку умножение дробей обычно преподается перед делением дробей, возможно, вы уже знаете, как умножать две дроби. Если это так, вы можете перейти к следующему разделу.

Однако, если вы хотите быстро просмотреть, как умножать дроби, вот правило:

Правило умножения дробей: Всякий раз, когда перемножаете дроби, умножайте числители вместе, затем умножайте знаменатели вместе следующим образом…

Например, 3/4 x 1/2 можно решить следующим образом:

Теперь, когда вы знаете, как умножать дроби, вы готовы научиться делить дроби с помощью простого трехэтапного метода «Продолжить-Изменить-Обратить».

Начнем с простого примера

Деление дробей Пример 1

Пример 1: Что такое 1/2 ÷ 1/4 ?

Чтобы решить этот пример (и любую задачу, где вам нужно разделить дроби, мы собираемся использовать метод Keep-Change-Flip)

Где:

1. ) СОХРАНИТЬ = Сохраните первую дробь как есть и просто оставьте ее в покое.

2.) ИЗМЕНИТЬ = Изменить знак деления на знак умножения.

3.) FLIP = Перевернуть вторую дробь (поменять местами числитель и знаменатель)

Эти шаги можно применить к примеру 1 следующим образом:

Опять же, после применения Keep-Change-Flip мы преобразовали исходная задача 1/2 ÷ 1/4 выглядит следующим образом:

Теперь вы можете решить задачу, перемножив дроби вместе и при необходимости упростив:

Обратите внимание, что 4/2 можно упростить.

Окончательный ответ равен 2, и мы можем заключить, что ответ на исходную задачу равен…

Окончательный ответ: 1/2 ÷ 1/4 = 2

Почему этот ответ означает?

В примере 1 мы пришли к выводу, что 1/2 ÷ 1/4 = 2. Но что это на самом деле означает?

Если мы подумаем о 1/2 ÷ 1/4 в форме вопроса: сколько 1/4 в 1/2?

И затем, если мы визуализируем 1/4 и 1/2, мы можем ясно видеть, что в 1/2 содержится 2 1/4, поэтому окончательный ответ равен 2.

Дробь, деленная на дробь: Пример 2

Пример 2: Что такое 2/9 ÷ 1/3 ?

Как и в примере 01, вы можете решить эту проблему, используя метод сохранения сдачи следующим образом:

1.) Оставьте первую дробь 2/9 как есть.

2.) Замените знак деления на умножение.

3.) Переверните вторую дробь, чтобы превратить 1/3 в 3/1

Затем выполните 2/9 x 3/1 следующим образом и упростите ответ, если сможете:

В данном примере 6/9 не является окончательным ответом, так как его можно сократить до 2/3

Окончательный ответ равен 2/3, и мы можем заключить, что ответ исходной задачи равен…

Окончательный ответ: 2/9 ÷ 1/3 = 2/3

Деление дроби на целое число: пример 3

Что делать, если вам нужно разделить дробь на целое число? Оказывается, процесс точно такой же, как и в предыдущих примерах!

Пример 03: Что такое 5 ÷ 2/3?

Обратите внимание, что в этом примере вы делите дробь на целое число. Но на самом деле очень просто преобразовать целое число в дробь. Все, что вам нужно сделать, это переписать число в виде дроби, где само число находится в числителе, а знаменатель равен 1.

Например, 5 можно переписать как 5/1, и это правило применимо для любого целого числа!

Теперь, когда вы переписали целое число в виде дроби, вы можете использовать метод Сохранить-Изменить-Обратить для решения проблемы.

1.) Оставьте первую дробь 5/1 как есть.

2.) Замените знак деления на умножение.

3.) Переверните вторую дробь, чтобы превратить 2/3 в 3/2

Наконец, перемножьте дроби вместе и упростите, если возможно, чтобы найти окончательный ответ следующим образом:

15/2 нельзя упростить, однако его можно выразить как 7 и 1/2

В этом примере ответ может быть выражен как 15/2 или как 7 и 1/2.

И вы можете заключить, что ответ на исходную задачу равен…

Окончательный ответ: 5 ÷ 2/3 = 15/2 или 7&1/2

Все еще запутались? Посмотрите анимационный видео-урок ниже:

Посмотрите видео-урок ниже , чтобы узнать больше о том, как делить дроби на дроби и дроби на целые числа:

Бесплатный рабочий лист!

Вы ищете дополнительную практику деления дробей? Перейдите по ссылкам ниже, чтобы загрузить бесплатные рабочие листы и ключ ответа:

НАЖМИТЕ ЗДЕСЬ, ЧТОБЫ СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНУЮ РАБОЧУЮ ТАБЛИЦУ

Теги: деление дробей, деление дробей на целые числа, примеры деления дробей, дробь делится на дробь

Продолжайте учиться:

Есть мысли? Поделитесь своими мыслями в разделе комментариев ниже!

(Никогда не пропустите блог Mashup Math — нажмите здесь, чтобы получать нашу еженедельную рассылку!)

Автор: Энтони Персико Вы часто можете увидеть, как я с радостью разрабатываю анимированные уроки математики, чтобы поделиться ими на моем 9. 0507 Канал YouTube . Или проводить слишком много времени в тренажерном зале или играть на своем телефоне.

1 Комментарий

Визуальный и концептуальный подход

Немногие темы в арифметике столь же сложны, как деление дробей. И какой бы сложной ни была эта тема для наших учеников, преподавание деления на дроби может быть еще более сложной задачей для учителей.

Неудивительно, что многие из нас просто учат своих учеников «сохранять, изменять и переворачивать». Есть даже милая стишок о скуке обучения делению на дроби: нет смысла удивляться, почему, просто инвертируй и умножай.

Но хотя эти приемы могут казаться облегчающими нашу жизнь, они создают скрытые проблемы для нас и наших учеников.

Ищете ресурсы, которые помогут вашим учащимся развивать свои фракции? Загрузите БЕСПЛАТНОЕ практическое руководство по началу работы с фракциями

Зачем фокусироваться на концептуальных подходах к дробному делению?

Исследования в области обучения и мозга выявили многочисленные преимущества, связанные с концептуальным пониманием математики. Когда учащиеся изучают математику исключительно посредством запоминания и процедур, многие из этих преимуществ теряются.

Было показано, что концептуальные подходы к математике повышают запоминание , или способность учащихся запоминать то, что они узнали.

Мы часто думаем, что «вспомнить» — это хорошо, а «забыть» — как плохо. Но если бы мы помнили все, наш мозг быстро стал бы таким загроможденным, что мы не могли бы думать.

Итак, мозг действует как эффективный садовник, отсеивая неважные воспоминания, чтобы мы могли использовать важные.

Итак, как мозг решает, что имеет значение? Судя по связям. Отдельные фрагменты знаний вырываются и выбрасываются, как сорняки, в то время как информация, образующая связную сеть понимания, считается важной и, таким образом, сохраняется.

Концептуальное понимание также имеет решающее значение для приложения или способности учащихся использовать то, что они изучают, в новых ситуациях. Это включает в себя применение их понимания за пределами класса или все более сложные идеи, с которыми они сталкиваются в будущих классах.

Построение концептуального понимания похоже на возведение здания. Если вы хотите построить небоскреб, вы начинаете с того, что копаете землю глубоко и заливаете прочный фундамент из бетона. Каждый уровень должен быть прочным, чтобы он мог поддерживать все уровни, которые в конечном итоге будут построены поверх него.

Полагаться на уловки больше похоже на построение карточного домика. Для этого не требуется много фундамента, и мы можем чувствовать, что можем быстро перейти с одного уровня на другой. Но такие конструкции не долговечны. Они могут поддерживать одну или две истории, но рано или поздно все рушится.

Ресурсы для обучения дробям
Обучение делению дробей с помощью 3 транспортных средств
Итак, если вы понимаете важность обучения концепциям деления дробей, следующий вопрос: «как».
В конце концов, большинство учебников не предназначены для построения концептуального понимания. Они основаны на модели обучения Content Coverage , в которой учитель проводит учащихся по единообразному содержанию в одинаковом темпе.
Предоставление учащимся контента, соответствующего их уровню, безусловно, приносит пользу. Но чтобы добиться глубокого понимания, учащиеся должны участвовать в исследованиях, основанных на запросах (IBL). Чтобы учиться через исследование, мы предлагаем учащимся вопросы, а не ответы. Участвуя в продуктивной борьбе , и опираясь на то, что они уже знают, учащиеся развивают глубокое и прочное понимание математических концепций.
Учитывая количество стандартов, которые необходимо охватить каждый год, может быть сложно разработать новые практических исследований по каждой теме. Но я обнаружил, что три модели уроков, которые я называю «Три средства концептуальной математики», , можно использовать снова и снова, чтобы превратить почти любую математическую концепцию в исследовательскую деятельность.
Масштабные модели: Манипулятивные и визуальные модели, отражающие размер чисел и значения операций.
Количество предложений: Выражения и уравнения — отличная альтернатива алгоритмам «стекирования». Числовые предложения обеспечивают большую гибкость и помогают учащимся развивать концептуальное понимание.
Рассказы: Связь математических идей с реальными ситуациями (т.н. словесные задачи) помогает учащимся придать смысл математике и применять то, что они изучают вне школы.
Я обычно использую масштабные модели, чтобы представить новую математическую концепцию, поскольку они часто являются наиболее эффективным способом для учащихся понять, что на самом деле означает число или операция. Затем я учу их переводить в символическое/абстрактное представление, используя числовые предложения.
Наконец, мы рассмотрим сюжетные задачи, связанные с новой концепцией. Визуальное моделирование и числовые предложения становятся полезными стратегиями для решения сюжетных задач.
Конечная цель состоит в том, чтобы учащиеся могли свободно переводить между всеми тремя транспортными средствами. Это убедительный признак того, что они освоили концепцию.
Чтобы узнать больше о планировании уроков на основе запросов с помощью этого подхода, ознакомьтесь с моими предыдущими публикациями «Три средства концептуальной математики» и планы уроков , которые способствуют вовлечению учащихся.
Примечание о дробном и дробном делении
Самая большая проблема при обучении делению дробей заключается в том, что у многих учащихся есть пробелы в основных понятиях, необходимых для понимания деления дробей. Многие в течение нескольких лет подвергались воздействию подхода к обучению математике, основанного на трюках, и имеют шаткое или отсутствующее понимание как дробей, так и деления.
Когда учащиеся имеют четкое концептуальное представление об основных понятиях, они могут разобраться в делении дробей, просто объединив то, что они знают о дробях, с тем, что они знают о делении.
Но когда я впервые попытался научить своих учеников делить дроби, я начал понимать, что сам упускаю ключевое понимание деления. На самом деле, я преподавал математику несколько лет, прежде чем узнал разницу между партитивом и 9.0533 кавычка дивизия.
Разница сводится к значениям делителя и частного . В партитивном делении делитель сообщает нам количество групп , а частное указывает размер каждой группы.
В кавычках значения меняются местами. Делитель определяет 90 533 размер каждой группы 90 534, оставляя частное 90 533, чтобы сообщить нам количество групп.
Большинство из нас интуитивно понимают деление как разделение: деление на три означает разделение на 3 группы. Но обычно имеет смысл использовать деление в кавычках при делении дробей. В конце концов, как разделить что-то на ⅓ группы?
По мере того, как мы будем продвигаться к делению на дроби, я предложу, следует ли вводить каждую стадию с помощью деления на части или в кавычках. Большинству из нас достаточно сосредоточиться на одном или другом на каждом этапе. Но вам может показаться забавной задачей подумать, как бы вы использовали оба типа для каждого этапа.
Для получения дополнительной информации о концепциях деления, в том числе партитивного и кавычного , обратитесь к Учебный отдел для понимания понятий.
Стадия #1: дробные частные (частные)
Я думаю, что есть две причины, по которым дробное деление особенно сложно . Во-первых, деление само по себе является сложной операцией, требующей меры алгебраических рассуждений . (Вспомните «неизвестный множитель».)
Вторая причина заключается в том, что дроби сами по себе являются проблемой деления. Следовательно, при делении двух дробей мы, по сути, «делим деление за делением». Что за что?
Вот почему так важно, чтобы перед делением дробей учащиеся усвоили понятие дробных частных. В большинстве штатов дробные частные являются стандартом 5-го класса. Но я не могу сказать вам, скольких учеников средней школы я поставил в тупик простым выражением 3 ÷ 4.
Учащиеся должны знать, что они могут определить дробь как числитель, деленный на знаменатель. Но они также должны быть в состоянии объяснить, почему это так, используя примеры из реального мира и визуальные или физические модели.
Поскольку мы делим 3 целых на 4 равные части, дробные частные проще всего понять с помощью партитивного деления.
Этот план урока и задание помогут вашим ученикам развить концептуальное понимание дробных частных.
Этап №2: Дробь, деленная на целое число (партитив)
После того, как учащиеся поймут, как дробь может представлять одно целое число, деленное на другое, следующим шагом будет деление дроби на целое число.
На данном этапе мы делим только на целые числа равные множителя числителя. Начните с деления на числитель (например, ¾ ÷ 3). Это помогает учащимся понять, как работают дроби: ¾ состоит из 3 частей, каждая из которых равна ¼.
Затем перейдите к числителям, которые в 2 или 3 раза больше делителя, например, «6/7 ÷ 2» или «9/10 ÷ 3». Пока учащиеся понимают понятия числителей и знаменателей, они можно просто разделить раздельно, как при делении целых чисел.
Стадия № 3: Целое число, деленное на дробь (в кавычках)
Это точка, в которой учащиеся впервые начинают фактически делить на дробь .
И это также был момент, когда я отказался от преподавания смысла математики. Я думал о разделении по частям и не мог понять, что значит разделить что-то на ⅓ группы или, что еще хуже, на ⅖ группы.
Но, в конце концов, мое любопытство взяло верх надо мной, и я, наконец, понял, что можно делить на повторным вычитанием , что является другим способом описания деления в кавычках .
Внезапно все стало намного логичнее. Если я разделю целое на трети, то, конечно, их будет три. А если я нарисую 2 целых, разделенных на трети, то легко увидеть, что их 6 штук.
Этот процесс также можно распространить на случаи, когда частное представляет собой дробь или смешанное число, например 5 ÷ ⅔.
Я начинаю с того, что беру ⅔ от каждого целого (5 групп по ⅔).
Остается ⅓ от каждого целого (5 третей или 5/3).
Из 5/3 можно составить еще 2 полные группы по ⅔ (пока всего 7)
Осталось ⅓. Эта ⅓ составляет половину группы (половину ⅔)
Всего можно сделать 7 ½ групп.
Это процесс, который я проделываю в своей голове, чтобы решить эту задачу с помощью ментальной арифметики. Модель столбца ниже использует аналогичный процесс, но без перегруппировки.
Стадия №4. Разделение дроби на дробь с одинаковым знаменателем (в кавычках)
После того, как учащиеся столкнулись с задачами на деление дробей с дробью либо делимым, либо делителем, они готовы решать задачи с дробями как делимого, так и делителя.
Это намного проще, когда делимое и делитель имеют одинаковый знаменатель. Такие примеры, как ⅔ ÷ ⅓, подтверждают идею о том, что мы имеем дело с «единицей» ⅓. Поскольку мы можем вычесть ⅓ из ⅔ два раза, этот тип дробного деления лучше всего понимать как кавычки.
Далее мы можем перейти к немного более сложным примерам, таким как 6/7 ÷ 2/7, где учащиеся вычитают по 2 единицы за раз, но при этом получается целое частное (3).
Затем учащиеся могут распространить свои рассуждения, как они это делали в Этапе 3 , на примеры, которые дают интуитивное частное смешанного числа. Если мы попросим их разделить 5/7 на 2/7, они могут дважды отнять 2/7, прежде чем у них останется только 1/7. Поскольку это половина делителя, наше окончательное частное равно 2 ½.
Я нахожу такие примеры немного проще, чем аналогичные, которые производят дробь (в отличие от смешанного числа). Например, 1/7 ÷ 2/7 даст нам «более простое» частное ½. Однако предыдущий пример позволяет учащимся сделать что-то знакомое (вычесть 2 копии 2/7) перед чем-то незнакомым (вычесть 90 533 половины копии 2/7). Но если вы обнаружите, что ваши ученики борются со смешанными числами, вы можете попробовать сделать наоборот.
Стадия № 5. Разделение дроби на дробь с совместимым знаменателем (кавычка)
Затем учащиеся могут приступить к делению дробей, имеющих «совместимые знаменатели». больший знаменатель , как в ½ ÷ ¼, или ⅔ ÷ ⅙. Студенты могут легко визуализировать удаление меньших 6-х от больших 3-х. А для учащихся, которые все еще сбиты с толку идеей о том, что больший знаменатель означает меньшую дробь, эта практика может помочь им освоить эту основополагающую концепцию.
Затем учащиеся могут сделать обратное, разделив меньшую дробь на большую, совместимую, например, ½ ÷ ¼. На этом этапе они могут полагаться на свое понимание дробных частных (2 ÷ 4) и деления определенных одинаковых знаменателей (⅓ ÷ ⅔), чтобы представить себе, что произойдет, если мы разделим одну дробь на другую, которая в два раза больше – мы получим ½ .
Заметка о стратегии фантомных копий для частичного деления
Прежде чем перейти к 6-му (и последнему) этапу фракционного деления, мы хотим еще раз вернуться к частичному делению, используя стратегию, которую я называю «призрачные копии» 9. 0003
Я придумал эту стратегию, когда столкнулся с проблемой использования деления в кавычках для деления дробей. Во всех случаях, описанных выше, это был прекрасный подход. Вместо того, чтобы ломать голову над тем, как разделить ⅗ на ⅕ группы, я мог бы просто использовать деление в кавычках и вычесть ⅕ три раза.
Но этот подход работал не для всех дробей. Если я хочу разделить ⅔ на 6/7, повторное вычитание 6/7 ни к чему не приведет.
Мне также показалось странным, что я могу делить целые числа, используя либо деление на части, либо кавычки, а дроби можно делить только одним способом. Часть того, что мне нравится в математике, — это находить случаи, когда одни и те же правила применяются к разным типам чисел.
Итак, я подумал о том, что значит разделить целые числа по частям, как при делении 8 на 2 группы. Что, если вместо этого мы прочитаем это как «8 состоит из 2 групп». Это может иметь больше смысла в отношении дробей, так как я мог бы прочитать 8 ÷ ½ как «8 — это ½ группы».
Такой способ мышления о делении дробей позволил мне понять (и нарисовать) более широкий набор задач на деление дробей.
Стадия №6: деление дроби на дробь с несовместимым знаменателем (партитив)
К 6-му и последнему этапу наши ученики, наконец, смогут делить любую дробь на любую другую дробь.
Именно в этот момент многие из нас могут решить, что пришло время просто оставить-изменить-перевернуть и не беспокоиться о значении или визуальном моделировании. И если ваши ученики могут концептуально подойти к этапам 1-5, они, вероятно, будут в порядке, просто используя алгоритм с этого момента.
Но для тех из нас, кто испытывает ненасытное любопытство к , почему математика работает , мы все еще можем использовать рассуждения для нахождения более сложных частных.
Мы можем начать с простого примера, например, ⅕ ÷ ⅓. Это выглядит просто, так как оба являются обычными дробями. Но так как знаменатели несовместимы, сложно многократно вычесть один из другого.
Мы могли бы найти общий знаменатель, что дало бы нам 3/15 ÷ 5/15, что по сути то же самое, что 3 ÷ 5, или ⅗. И хотя деление дробей с общим знаменателем — прекрасный, хотя и менее распространенный подход, это все же больше похоже на алгоритм. На самом деле это не говорит нам, что происходит, и это медведь для рисования.
Вместо этого я предпочитаю использовать линейчатую модель и стратегию призрачных копий. Я начинаю с моделирования ⅕. Затем, поскольку ⅕ — это ⅓ всей группы, я выстраиваю модель ⅓ под моей пятой. Заполнив оставшиеся трети в нижней строке, я показываю, что наше частное (одна полная группа) будет равно ⅗.
Одним из преимуществ моделирования этих сценариев является то, что оно помогает учащимся понять, почему работает алгоритм «оставить-изменить-перевернуть». Поскольку наш делитель — это количество групп, нам нужно «увеличить» наше делимое, чтобы найти размер 1 группы.
Если ⅕ составляет ⅓ группы, мы умножаем на 3, чтобы найти всю группу (⅕ ÷ ⅓ = ⅕ x 3). Если ⅕ составляет ⅔ группы, нам нужно разделить на 2, чтобы найти ⅓ группы, и умножить на 3, чтобы найти всю группу (⅕ ÷ ⅔ = ⅕ x 3/2).
Выход за рамки: приближенное моделирование
Просто для развлечения я также хотел бы продемонстрировать, как этот подход можно использовать даже для неинтуитивных сценариев деления дробей. Чтобы смоделировать 7/16 ÷ 5/9, я начинаю с моделирования 7/16 и выстраиваю модель 5/9 ниже. Чтобы найти частное, я должен расширить «5/9группы» на одну полную группу, 9/9.
Я вижу, что 9/9 на нижней модели примерно совпадает с 12,5/16 (25/32) на верхней модели. Когда я сверяю свой ответ с алгоритмом, я получаю 63/80, или 0,7875. Смоделированное мною частное (25/32) равно 0,78125. Таким образом, этот тип модели не даст точного ответа (потому что мне нужно было оценить, где находится мое частное между строками для 12/16 и 13/16).
Одно из преимуществ моделирования этого типа дробного деления состоит в том, что учащиеся видят, что 7/16 и 5/9оба довольно близки к ½. И что деление таких дробей должно дать нам ответ, близкий к 1. Другая причина — продемонстрировать, что можно смоделировать практически любой сценарий деления дробей.
Онлайн-семинары для преподавателей математики
Использование понятий деления дробей в классе
Что меня больше всего поразило в обучении делению дробей, так это то, как много в нем встроенных понятий.
При сложении и вычитании дробей основные шаги шли от одинаковых знаменателей к разным. А поскольку умножение коммутативно, умножение целого числа на дробь работает так же, как умножение на целое число.
Но с разделением кажется, что каждая проблема требует своего подхода. Вот почему так много студентов (и преподавателей) испытывают затруднения, когда дело доходит до обучения концепциям и включению визуальных моделей.
Хотя это может показаться трудоемким, обязательно научите своих учеников различным этапам деления дробей. Это не только гарантирует, что они разовьют концептуальное понимание деления на дроби, но и укрепит их понимание основных концепций дроби и деления.
Более того, когда вы обучаете этапам по порядку, учащиеся могут легко переходить от одного к другому. Вам не нужно тратить дни на знакомство, практику и повторение каждого этапа. Если у ваших учеников ограниченный опыт практической концептуальной математики, вам может потребоваться дополнительное время на более ранних этапах. Но как только они разработают основы, вы сможете набрать темп.
Классные ресурсы и профессиональное обучение
Если ваши существующие классные ресурсы не делают достаточно для формирования концептуального понимания, вы можете найти множество ресурсов дробей в нашем интернет-магазине.
В конечном счете, 3 транспортных средства предназначены для того, чтобы помочь вам легко разрабатывать основанные на проблемах действия для нескольких стандартов. А поскольку наши загружаемые ресурсы доступны для редактирования, вы можете изменить их для других стандартов, которые вы охватываете, или просто для дополнительной практики ваших студентов. Мы также предлагаем виртуальные мастерские по всем трем автомобилям как для начальной, так и для средней школы. Чтобы записаться на предстоящий открытый семинар, посетите нашу страницу семинаров.
Если вы хотите взять с собой больше математика на основе запросов в вашу школу или район, запланируйте бесплатную консультацию. Мы обсудим ваши цели и поможем вам решить, подходят ли наши семинары, коучинг или консультации для ваших нужд.
Если вашим учащимся будет полезен концептуальный подход к основанию дробей, загрузите наше бесплатное краткое руководство «Практики дробей» . Он включает в себя ресурсы для учителей и ресурсы для занятий в классе, чтобы обеспечить осмысленное понимание основ фракций. Вы также будете добавлены в нашу еженедельную Информационный бюллетень для преподавателей, , наполненный советами и стратегиями, позволяющими внедрить практическое обучение в свой класс.
Получите БЕСПЛАТНУЮ копию FRACTIONS QS GUIDE
Об авторе
Джефф Лискиандрелло — основатель Room to Discover и консультант по вопросам образования, специализирующийся на обучении, ориентированном на учащихся. Его 3-Bridges Design for Learning помогает школам изучать инновационные методы в традиционных условиях. Ему нравится помогать преподавателям внедрять основанные на запросах и персонализированные подходы к обучению. Вы можете связаться с ним через Twitter @EdTechJeff
Деление дробей на целые числа
Деление дробей на целые числа
ExampleVideoQuestionsLesson
Поделиться в Google Classroom
ExampleVideoQuestionsLesson
Поделиться в Google Classroom
Поделиться в Google Classroom .
Чтобы разделить дробь на целое число, умножьте нижнюю часть дроби на целое число.
Основание дроби равно 2, а целое число равно 3.
2 × 3 = 6.
¹ / ₂ ÷ 3 = ¹ / ₆
Мы делим дробь на 3, чтобы увеличить нижнюю часть дроби в 3 раза.
Число внизу дроби говорит нам, на сколько она делится.
Большее число внизу дроби означает, что она разделена на большее количество частей.
При делении дроби на целое число дробь становится еще меньше.
Здесь одна половина делится на 3 равные части.
После деления у нас получается 1 из 6 частей.
¹ / ₂ ÷ 3 = ¹ / ₆ .
Изначально круг был разделен на 2 части. Дальнейшее деление на 3 означало, что оно было разделено на 6 частей.
Дробь ¹ / ₂ стала меньше при делении на 3,
Как делить дроби на целые числа
Чтобы разделить дроби на целые числа, выполните следующие действия:
Разделите верхнюю часть дроби на целое число, если оно делится точно.
Если нет, умножьте нижнюю часть дроби на целое число.
Если вы использовали шаг 2, возможно, вам придется упростить ответ, разделив верхние и нижние части дроби на одно и то же число.
Например, рассчитайте ⁴ / ₅ ÷ 3.
Сначала мы смотрим, можем ли мы разделить верхний числитель на 3.
У нас есть 4 в верхней части дроби, и 4 нельзя разделить точно на 3, чтобы получить целое число.
Это означает, что вместо этого мы используем шаг 2, чтобы разделить дробь.
Умножаем нижний знаменатель на целое число, на которое делим. 5 — знаменатель дроби.
5 × 3 = 15, значит, 15 — знаменатель в нижней части ответа.
⁴ / ₅ ÷ 3 = ⁴ / ₁₅ .
Мы умножили знаменатель на 3, чтобы разделить всю дробь на 3.
Вычислить ⁶ / ₇ ÷ 2.
Мы можем следовать методу, показанному в предыдущем примере, где мы можем умножить знаменатель на 2.
⁶ / ₇ ÷ 2 = ⁶ / _{(7 × 2)} .
⁶ / ₇ ÷ 2 = ⁶ / ₁₄ .
Затем это можно упростить, потому что и 6, и 14 можно разделить на 2.
⁶ / ₁₄ = ³ / ₇ .
Однако гораздо проще использовать шаг 1 в наших шагах для деления дробей на целые числа.
Мы видим, что числитель сверху можно делить сразу.
6 ÷ 2 = 3, значит, числитель можно разделить точно.
Мы можем просто разделить числитель в ⁶ / ₇ на 3, чтобы получить ответ ³ / ₇ .
Легче сделать этот метод, так как впоследствии не требуется упрощение.
Чтобы разделить дробь на целое число, мы можем либо умножить знаменатель на целое число, либо разделить числитель на целое число.
Обратите внимание, что нам нужно использовать только тот или иной метод.
Вот еще один пример использования этого метода для деления дроби на целое число.
У нас есть ⁹ / ₁₀ ÷ 3.
Сразу видно, что 9 ÷ 3 = 3 и делится точно. Используем метод 1.
Делим числитель, а знаменатель оставляем прежним.
⁹ / ₁₀ ÷ 3 = ³ / ₁₀ .
Обратите внимание, что мы делим 9 только на 3. Мы не умножаем 10 внизу на 3, потому что мы уже выполнили наше деление, разделив 9.на 3.
Модель деления дробей на целые числа
Когда мы делим, мы делим сумму на равные части. Разделить дробь на целое число означает также разделить его на равные части.
Когда мы делим дробь на целое число, оно становится меньше.
Вот пример деления дроби ¹ / ₂ на 3.
¹ / ₂ означает, что у нас есть 1 из 2 равных частей.
Когда мы делим одну половину на 3, мы делим ее на 3 равные части.
Ответ меньше половины.
Это 1 из 6 равных частей.
Мы говорим, что ¹ / ₂ ÷ 3 = ¹ / ₆ .
Мы можем видеть в визуальной модели, что окончательная заштрихованная область представляет собой меньшую долю, чем мы начали, но число в нижней части дроби увеличилось с 2 до 6.
Мы умножили знаменатель в нижней части дроби на 3, чтобы разделить дробь на 3.
Без рисования визуальной модели метод заключается в простом умножении нижней части дроби на 3.
Вот еще один пример деления дроби на целое число.
У нас есть ³ / ₄ ÷ 2 = показано с помощью визуальной модели.
³ / ₄ означает, что у нас есть 3 из 4 равных частей. Это показано ниже.
Когда мы разделим ³ / ₄ на 2, у нас будет только половина исходной заштрихованной дроби.
Мы можем разделить каждую четвертинку на две части, чтобы всего получилось 8 частей. 3 четверти это то же самое, что 6 из 8 частей.
Если мы разделим на 2, у нас будет только 3 из 8 частей.
Мы видим, что половина от ³ / ₄ составляет ³ / ₈ .
Круг был разделен на вдвое больше частей. Вместо 3 из 4 у нас теперь только 3 из 8 частей.
Мы можем видеть это разделение без визуальной модели ниже.
Мы видим, что проще просто умножить основание дроби на 2. Умножение основания дроби на 2 дает тот же эффект, что и деление дроби на 2.
При обучении делению дроби на целые числа важно помнить, что увеличение числа в верхней части дроби делает дробь больше, а увеличение числа в нижней части дроби уменьшает ее.
Некоторых детей может смутить деление, приводящее к умножению знаменателя в нижней части, но важно помнить, что число в нижней части дроби показывает, на сколько частей мы разделили нашу сумму.
Чем больше знаменатель внизу, тем меньше дробь.
Деление дробей – Математика для сделок: Том 1
Дроби
Деление дробей следует той же логике, что и умножение дробей. Это предполагает работу с числителями и знаменателями отдельно. После того, как вы сделали свои первоначальные расчеты, вы собираете все это вместе, чтобы получить ответ. Однако есть небольшой поворот, который нам придется изучить, когда мы будем работать над некоторыми вопросами.
Прежде чем мы доберемся до всего этого, давайте начнем с деления целых чисел, а затем перейдем к дробям.
Начните с 20 отверток:
Теперь разделите эти 20 отверток на 10 (или на группы по 10).
[латекс]\LARGE20÷10=2[/латекс]
Вы получите 2 группы по 10 человек.
Теперь разделите эти 20 отверток на 5 (или на группы по 5).
[латекс]\БОЛЬШОЙ20÷5=4[/латекс]
Вы получите 4 группы по 5 человек.
Теперь разделите эти 20 отверток на 2 (или на группы по 2).
[латекс]\НАИБОЛЕЕ20÷2=10[/латекс]
Вы получите 10 групп по 2 человека.
Взгляните на математику здесь. Вы видите закономерность? Что ты придумал? Вы заметили, что когда вы берете исходную сумму (в данном случае 20) и делите ее на число, которое продолжает уменьшаться (10, затем 5, затем 2), мы получаем ответ, который становится больше.
[латекс]\LARGE20÷10=2[/латекс]
[латекс]\БОЛЬШОЙ20÷5=4[/латекс]
[латекс]\НАИБОЛЕЕ20÷2=10[/латекс]
Следуйте этой логике в дробях, помня, что дроби не только меньше 10, 5 и 2, но и 1. Используя этот шаблон, мы определяем, что деление 20 отверток на число меньше 1 даст нам больший ответ чем если бы мы разделили 20 на 10, 5 или 2.
Попробуйте это. Возьмите 20 отверток и разделите их на ½. Как вы думаете, каким будет ваш ответ?
[латекс]\БОЛЬШОЙ20÷\dfrac{1}{2}=?[/латекс]
Следуя нашей логике, ответ должен быть больше 10, и это действительно так.
[латекс]\БОЛЬШОЙ20÷\dfrac{1}{2}=40[/латекс]
Однако это не означает, что у нас будет 40 отверток. Это означает, что в итоге мы получим 40 частей отверток. Вы должны представить, что каждая из отверток была разделена на 2. Двадцать отверток, разделенных пополам, дадут нам в итоге 40 штук. Теперь возникает вопрос, как мы можем сделать это математически? Ответ заключается в использовании того, что известно как взаимное. Вот определение.
Взаимное : Число, которое связано с другим числом таким образом, что их произведение равно 1.
Это означает, что если вы возьмете число, например 5, а затем умножите его на обратную величину, вы получите ответ 1. Мы начнем с целого числа 5. Мы также могли бы записать число 5 как дробная часть.
[латекс]\БОЛЬШОЙ5=\dfrac{5}{1}[/латекс]
Используя наше определение обратного числа, нам нужно найти число, которое при умножении на ⁵ / ₁ дает нам ответ 1.
Чтобы найти ответ, нам нужно вернуться к умножению дробей. Помните, что когда мы умножаем дроби, мы просто умножаем числители, а затем умножаем знаменатели. Отсюда можно сделать вывод, что:
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{1}\times\dfrac{1}{5}=1[/латекс]
В конце концов, чтобы найти обратную дробь, мы просто берем числитель и делаем его знаменателем, берем знаменатель и делаем его числителем. По сути, мы просто переворачиваем дробь. Вот еще несколько примеров взаимности.
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{3}{8}\text{ и }\dfrac{8}{3}[/latex]
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{2}{9}\text{ и }\dfrac{9}{2}[/latex]
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{24}{17}\text{ и }\dfrac{17}{24}[/latex]
Итак, теперь, когда мы устранили взаимный вопрос, возникает вопрос, зачем нам вообще нужны взаимные вопросы? Что ж, ответ кроется в правиле деления дробей.
Правило деления дробей заключается в том, что вы берете первую дробь и умножаете ее на обратную величину второй дроби. Да, вы не ослышались: при делении вы в конечном итоге умножаете, но только после того, как сначала перевернете вторую дробь.
Переворачивание второй дроби (нахождение ее обратной величины) изменяет значение уравнения. Чтобы математически сохранить уравнение таким же, мы должны заменить вопрос на деление вопросом на умножение. Взгляните на следующий пример, чтобы увидеть, как это делается.
[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{2}÷\dfrac{3}{8}=?[/latex]
Шаг 1 : Задайте вопрос в удобной для работы форме. Это включает в себя нахождение обратной величины второй дроби и последующее умножение ее на первую.
[латекс]\БОЛЬШОЙ\текст{Обратное значение }\dfrac{3}{8}\text{ равно }\dfrac{8}{3}[/latex]
[латекс]\БОЛЬШОЙ\текст{Проверить : }\dfrac{3}{8}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{24}{24}=1[/latex]
Таким образом, мы получаем:
[латекс]\БОЛЬШОЙ \dfrac{1}{2}÷\dfrac{3}{8}\text{ становится }\dfrac{1}{2}\times\dfrac{8}{3}=?[/latex]
Шаг 2 : Следуйте той же процедуре, что и при умножении дробей. Перемножьте числители вместе, а затем умножьте знаменатели вместе.
Умножить числители вместе
[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ1\times8=8[/латекс]
Умножить знаменатели вместе

[латекс]\НАИБОЛЬШИЙ1\times3=90[00/0 3 : Возьмите эти ответы и разделите их на дроби.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{1}{2}\times\dfrac{8}{3}=\dfrac{8}{6}[/latex]

Шаг 4 : Поместите ответ в самый низкий термины, а затем в смешанное число, если это необходимо.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{4}{3}=1\dfrac{1}{3}\text{ Смешанное число}[/latex]

Окончательный ответ:

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{ 1}{2}÷\dfrac{3}{8}=1\dfrac{1}{3}[/latex]

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{9}÷\dfrac{7}{4}=?[/latex]

Шаг 1 : Задайте вопрос в удобной для работы форме. Это включает в себя нахождение обратной величины второй дроби и последующее умножение ее на первую.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{9}÷\dfrac{7}{4}\text{ становится }\dfrac{5}{9}\times\dfrac{4}{7}[/latex]

Шаг 2 : Перемножьте числители, а затем перемножьте знаменатели.

Умножений числителей вместе

[Latex] \ lags5 \ times4 = 20 [/latex]

Умноженные знаменатели вместе

[latex] \ lagry9 \ times7 = 63 [/latex]

\ step 3 . : Возьмите эти ответы и сложите их обратно в дробь.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{9}\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{20}{63}[/latex]

Шаг 4 : Укажите ответ в наименьшем выражении, а затем, при необходимости, в смешанном числе. В этом случае ответ и в наименьшем выражении, и уже является правильной дробью, так что мы закончили.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{5}{9}÷\dfrac{7}{4}=\dfrac{20}{63}[/latex]

Попробуйте ответить на эти практические вопросы и посмотрите видеоответы, чтобы узнать, как вы справились.

[латекс]\БОЛЬШОЙ\dfrac{7}{8}÷\dfrac{7}{16}=[/латекс]

[латекс]\БОЛЬШОЙ4\dfrac{7}{8}÷2\dfrac{3}{4}=[/латекс]

Примечание. Это немного отличается от того, что мы делали раньше, так как включает в себя деление смешанных чисел. Как вы думаете, что вам придется делать, имея дело с этим?

ОТВЕТ : Сначала вы должны превратить смешанное число в неправильную дробь. Затем вы можете работать над вопросом так же, как мы делали это раньше.

Деление дробей: определение, свойства, примеры

Автор Priya Wadhwa
Последнее изменение 20-07-2022

Автор Прия Вадхва
Последнее изменение 20-07-2022

Мы узнали о делениях в предыдущих главах. Деление – это деление чего-либо на две равные части. Дробь имеет числитель и знаменатель. Мы можем выполнить Деление дроби , умножив первую дробь на обратную величину второй дроби.

Нахождение обратной величины (перестановка числителя и знаменателя) второй дроби является первым шагом в делении дробей. Затем умножьте два числителя. В этой статье вы узнаете о делении дробей и их практическом применении.

Дроби и их виды

Дробь — это число, представляющее часть целого. Целое может представлять собой один объект или группу объектов. Дробь записывается как \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) — целые числа, а \(q \ne 0.\) такие числа, как \(\frac{ 1}{2},\frac{2}{3},\frac{4}{5},\frac{{11}}{7}\) известны как дроби. Число под чертой деления называется знаменателем. Он говорит нам, на сколько равных частей делится целое. Число над чертой называется числителем. Он говорит нам, сколько равных частей взято или учтено.

\({\rm{Дробь =}}\frac{{{\rm{Числитель}}}}{{{\rm{Знаменатель}}}}\)

Например: Нарисуйте круг любого подходящего радиуса. Затем разделите круг на три равные части (сектора).

Теперь
Посмотрите на рисунок еще раз.

Если две части круга заштрихованы, мы можем сказать, что две трети \(\left( {\frac{2}{3}} \right)\) заштрихованы, а одна треть \(\left( {\frac{1}{3}} \right)\) круга не является.

Изучение концепций экзамена на Embibe

Типы фракций

Существуют различные типы дробей , которые мы подробно объяснили ниже:

1. Правильная дробь: Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью.
Пример, \(\frac{1}{3},\frac{7}{9},\frac{{13}}{{25}}\)

2. Неправильная дробь: Дробь, в которой числитель больше или равен знаменателю, называется неправильной дробью.
Пример: \(\frac{8}{3},\frac{17}{9},\frac{{13}}{{4}}\)

3. Смешанная дробь: Смесь целого числа и правильной дроби называется смешанной дробью или смешанным числом.
Пример: \(1\frac{1}{3},4\frac{7}{9},7\frac{{13}}{{25}}\)

4. Единичная дробь: Правильная дробь, имеющая \(1\) в числителе и положительное целое число в знаменателе, называется единичной дробью. Единичная функция является обратной величиной положительного целого числа.
Пример: \(\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{{1}}{{25}}\)

5. Подобные и отличные дроби: Дроби с одинаковым знаменателем называются подобными дробями.
Пример: \(\frac{1}{7},\frac{5}{7},\frac{{6}}{{7}}\).
Дроби с разными знаменателями называются в отличие от дробей.
Пример: \(\frac{1}{7},\frac{5}{71},\frac{{6}}{{25}}\)

6. Эквивалентные дроби: Если две или более дроби имеют одинаковое значение, они называются эквивалентными или равными дробями.
Пример: \(\frac{1}{3},\frac{3}{9},\frac{{6}}{{18}}\) и \(\frac{9}{{27}}\) являются эквивалентной дробью, поскольку \(\frac{1}{3} = \frac{ 3}{9} = \frac{6}{{18}} = \frac{9}{{27}}\).

7. Десятичные дроби:
Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой равен степени \(10\) или кратен \(10\), например \(100, 1000, 10000,\) и т. д.
Для например, \(\frac{3}{{10}},\frac{4}{{100}},\frac{{13}}{{10}},\frac{9}{{1000}}\ ) — все десятичные дроби.

Деление дробей

Давайте подробно изучим факты деления дробей.

Пример разделения дробей : В школе был организован лагерь, в котором участвовало \(12\) учащихся. Однако руководитель лагеря хотел разделить их на группы по \(2\) студентов. Сколько групп было?

Было \(6\) групп, которые были получены делением \(12\) на \(2.\) То есть \(12÷2=6,\), что означает шесть \({\rm {2}}\) в \(12.\)

Если руководитель лагеря распределяет \({\rm{6}}\,{\rm{литров}}\) воды в \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}} }\,{\rm{литров}}\) бутылок с водой студентам, то сколько студентов получат бутылки с водой? Это означает найти, сколько \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\,{\rm{литров}}\) содержится в \({\rm{6}} \,{\rm{литров}}\). Для этого нам нужно вычислить \({\rm{6}} \div \frac{1}{2}.\)

Опишем ситуацию.

Это означает, что если разделить \({\rm{6}}\,{\rm{литров}}\) воды на \({\rm{1}}\,{\rm{литр}}\) бутылки, \(6\) человек могут получить воду. Но если вы разделите его в бутылках с водой \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\,{\rm{литр}}\), \(12\) человек могут получить вода. Если вы разделите его в \(\frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}\,{\rm{литр}}\) бутылках с водой, \(\24\) человек могут получить воду . Это

Обычно деление числа на дробь равносильно умножению этого числа на обратную дробь.

Чтобы получить обратную дробь, нужно просто поменять местами числитель (верхнее число) и знаменатель (нижнее число). Противоположное обратное означает отрицательное значение обратного числа.

Пример: обратная величина \(\frac{{15}}{{11}}\) равна \(\frac{{11}}{{15}}\).

Обратная величина \(\frac{{4}}{{3}}\) равна \(\frac{{3}}{{4}}\).

В приведенном выше примере, когда мы делим \(6\) на \(\frac{1}{2},\), это просто означает, что \(6\) умножается на обратную величину \(\frac{1}{ 2} = 2. \)

Чтобы разделить дробь на другую дробь

Найдите обратную вторую дробь.
Умножьте первую дробь на обратную величину второй дроби.
При необходимости упростите дроби.

Пример: \(\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{4} {6} = \frac{2}{3}\)

Пример: \(\frac{2}{5} \div \frac{{11}}{4} = \frac{2}{5} \times \frac{4}{{11}} = \frac{ 8}{{55}}\)

Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить целое число на обратную дробь.
Пример: \(6 \div \frac{1}{9} = 6 \times \frac{9}{1} = 6 \times 9 = 72\)

Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, умножьте знаменатель дроби на целое число. Упростите дробь (при необходимости).
Пример: \(\frac{1}{3} \div 2 = \frac{1}{{3 \times 2}} = \frac{1}{6}\)

Свойства

1. Если ненулевую дробь разделить на \(1\), результатом будет само дробное число.
Пример: \(\frac{3}{5} \div 1 = \frac{3}{5}\)

2. Если ноль разделить на ненулевую дробь, то результат равен нулю.
Пример: \(0 \div \frac{2}{5} = 0 \times \frac{5}{2} = 0\)

3. Дробь не делится на ноль; следовательно, обратное \(0\) не существует.
Пример: \(\frac{2}{5} \div 0 = \frac{2}{5} \times \frac{1}{0} = \frac{2}{0} = \infty \) ( не определено)

4. Произведение дроби на обратную всегда равно \(1.\)
Пример: \(\frac{2}{5} \times \frac{5}{2} = \frac{{2 \times 5}}{{5 \times 2}} = \frac{{10}}{{10}} = 1\) (обратная величина \(\frac{2}{5}\) равна \(\frac{5 {2}\))

Сложение и вычитание дробей

В зависимости от типа дроби можно использовать следующие методы для сложения или вычитания дробей.

Сложение и вычитание одинаковых дробей

Чтобы складывать или вычитать одинаковые дроби, просто сложите или вычтите числители и оставьте тот же знаменатель.
Пример: (i) Добавьте \(\frac{5}{7}\) и \(\frac{3}{7}\).

\(\frac{5}{7} + \frac{3}{7} = \frac{{5 + 3}}{7} = \frac{8}{7}\)

Пример: (ii) Вычтите \(\frac{9}{17}\) и \(\frac{3}{17}\).\(\frac{9}{{17}} – \frac{3 }{{17}} = \frac{{9 – 3}}{{17}} = \frac{6}{{17}}\)

Сложение и вычитание разнородных дробей

Для сложения и вычитания разных дробей найдите НОК знаменателей, а затем преобразуйте дроби в эквивалентные дроби с этим НОК в качестве общего знаменателя.

Теперь сложите или вычтите эквивалентные дроби.
Пример: (i) Сложите \(\frac{5}{4}\) и \(\frac{1}{6}\).
LCM из \(4\) и \(6=12\)

Теперь \(\frac{5}{4} = \frac{{5 \times 3}}{{4 \times 3}} = \frac{{15}}{{12}}\) и \( \frac{1}{6} = \frac{{1 \times 2}}{{6 \times 2}} = \frac{2}{{12}}\)

Итак, \(\frac{{15}}{{12}} + \frac{2}{{12}} = \frac{{17}}{{12}}\)

Пример: (ii) Вычтите \(\frac{2}{3}\) из \(\frac{4}{5}\).

LCM из \(3\) и \(5=3×5=15\)

Теперь \(\frac{2}{3} = \frac{{2 \times 5}}{{3 \times 5}} = \frac{{10}}{{15}}\) и \( \frac{4}{5} = \frac{{4 \times 3}}{{5 \times 3}} = \frac{{12}}{{15}}\)

Итак, \(\frac{{12}}{{15}} – \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{{15}}\)

Сложение и вычитание смешанных дробей

Для сложения и вычитания смешанных дробей выполните следующие действия.
1. Преобразуйте смешанные дроби в неправильные дроби.
2. Преобразуйте полученные неправильные дроби в равные дроби.
3. Оставьте знаменатель прежним и сложите или вычтите числители эквивалентных дробей, чтобы получить одну дробь.
4. Сократите дробь до наименьшего значения, если это необходимо, а затем снова преобразуйте ее в смешанную дробь.
Пример: Решите \(1\frac{3}{7} – \frac{1}{6}\)

\( = \frac{{10}}{7} – \frac{1}{6}\)

\( = \frac{{10 \times 6}}{{7 \times 6}} – \frac{{1 \times 7}}{{6 \times 7}} = \frac{{60}}{ {42}} – \frac{7}{{42}}\)

\( = \frac{{60 – 7}}{{42}} = \frac{{53}}{{42}} = 1\frac{{11}}{{42}}\)

Умножение дробей

При умножении двух дробей числитель и знаменатель умножаются отдельно. Числитель первого умножается на числитель второго, а знаменатель первого умножается на знаменатель второго. Например: \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{ 4} = \frac{{1 \times 3}}{{2 \times 4}} = \frac{3}{8}\)

Умножение дроби на целое число

Умножение дроби на целое число равно умножение целого числа на числитель дроби с сохранением знаменателя. После умножения упростите дробь, если требуется, чтобы получить произведение в простейшей форме.
Например: \(\frac{4}{7} \times 14 = \frac{{4 \times 14}}{7} = \frac{{56}}{7} = \frac{8}{1 }\)

Практические экзаменационные вопросы

Умножение дроби с использованием оператора of

Слово «из» обозначает умножение.
Например, \(\frac{2}{4}\) из \(4\) пирожных означает \(2\) пирожных, т.е. \(\frac{2}{4} \times 4 = 2.\)

Решенные примеры

Q.1. Решите \(\frac{{20}}{{30}} \div \frac{9}{{30}}.\)
Ответ: Дано \(\frac{{20}}{ {30}} \div \frac{9}{{30}}\)
\(\frac{{20}}{{30}} \div \frac{9}{{30}} = \frac{{ 20}}{{30}} \times \frac{{30}}{9}\)
\( = \frac{{20}}{9}\).

Q.2. Упростить \(5 \div \left( {\frac{8}{{11}} \div \frac{6}{{11}}} \right).\)
Ответ: Дано, \(5 \div \left( {\frac{8}{{11}} \div \frac{6}{{11}}} \right)\)
\(5 \div \left( {\frac{8}{{11}} \div \frac{6}{{11}}} \right) = 5 \div \left( {\frac{8}{ {11}} \times \frac{{11}}{6}} \right)\)
\( = 5 \div \frac{4}{3}\)
\( = 5 \times \frac{3 }{4} = \frac{{15}}{4}\)

Q. 3. Масляная банка содержит \({\rm{7}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\,{\rm{литров}}\) масла который разлит в \({\rm{2}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\,{\rm{литров}}\) бутылок. Сколько бутылок нужно, чтобы наполнить \({\rm{7}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\,{\rm{литров}}\) нефти?
Ответ: Необходимое количество бутылок \(7\frac{1}{2} \div 2\frac{1}{2} = \frac{{7 \times 2 + 1}}{ 7} \div \frac{{2 \times 2 + 1}}{2} = \frac{{15}}{2} \div \frac{5}{2} = \frac{{15}}{2 } \times \frac{2}{5}\) (обратная величина \(\frac{5}{2}\) равна \(\frac{2}{5}\)) )
\(=3\) бутылок

Q.4. Решите \(3\frac{8}{9} \div 8\frac{3}{4}.\)
Ответ: \(3\frac{8}{9} \div 8\frac{3}{4} = \frac{{3 \times 9 + 8}}{9} \div \frac{ {8 \times 4 + 3}}{4}\)
= \( = \frac{{35}}{9} \div \frac{{35}}{4}\)
\( = \frac{{35}}{9} \times \frac{4}{{35}} = \frac{4}{9}\)

Q. 5. Стержень длиной \({\rm{6}}\,{\rm{m}}\) разрезается на небольшие стержни длиной \({\rm{1}}\frac{{ \rm{1}}}{{\rm{2}}}\,{\rm{m}}\) каждый. Сколько маленьких стержней можно разрезать?
Ответ: Количество маленьких стержней \( = 6 \div 1\frac{1}{2} = 6 \div \frac{{1 \times 2 + 1}}{2}\)
\( = 6 \div \frac{3}{2}\)
\( = 6 \times \frac{2}{3}\) (Обратное значение \(\frac{3}{2}\) равно \ (\frac{3}{2}\))
\(=4\) стержней

Попытка пробных тестов

Резюме

В этой статье мы узнали о дробях, различных типах дробей, о том, как выполнять основные операции с дробями, такие как сложение, вычитание и умножение, на большом количестве примеров. Мы подробно обсудили деление дробей и различные случаи деления дробей. Например, деление дроби на другую дробь, деление целого числа на дробь и деление дроби на целое число.

Изучите понятие дроби в простой форме

Часто задаваемые вопросы

Q. 1. Как умножать дроби?
Ответ: При умножении двух дробей числитель и знаменатель умножаются отдельно. Числитель первого умножается на числитель второго, а знаменатель первого умножается на знаменатель второго.
Например: \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{{1 \times 3}}{{2 \times 4}} = \frac{3}{ 8}\)

Q.2. Как делить дроби со смешанными числами?
Ответ: Сначала преобразуйте смешанное число в неправильную дробь, а затем умножьте первую дробь на обратную вторую дробь.
Пример: \(3\frac{8}{9} \div 8\frac{3}{4} = \frac{{3 \times 9 + 8}}{9} \div \frac{{8 \times 4 + 3}}{4}\)
\( = \frac{{35}}{9} \div \frac{{35}}{4}\)
\( = \frac{{35}}{ 9} \times \frac{4}{{35}} = \frac{4}{9}\)

Q.3. Как разделить число на дробь?
Ответ: Чтобы разделить целое число на дробь, умножьте целое число на величину, обратную дроби.

правила, примеры, решения, деление дробей с разными знаменателями, как число делить на дробь

Деление обыкновенных дробей

Деление необыкновенной дроби на натуральное число

Деление натурального числа на обыкновенную дробь

Деление обыкновенной дроби на смешанное число

Деление дробей.

Деление дроби на натуральное число.

Примеры деления дроби на натуральное число

Деление натурального числа на дробь.

Примеры деления натурального числа на дробь

Деление обыкновенных дробей.

Примеры деления обыкновенных дробей

Деление смешанных чисел.

Примеры деления смешанных чисел

Деление обыкновенных дробей / Обыкновенные дроби / Справочник по математике 5-9 класс

Деление смешанных чисел

Деление на натуральное число

Нахождения числа по его дроби

Советуем посмотреть:

Правило встречается в следующих упражнениях:

Деление обыкновенных дробей — правила и примеры вычислений

Общие сведения

Правильные и неправильные дроби

Операция деления

Признаки делимости

Примеры решения

правила, свойства и примеры для 5 класса

Общие сведения

Подготовительные операции

Деление и умножение дробей

Не успеваете написать работу?

Заполните форму и узнайте стоимость

Контактные данные — строго конфиденциальны!

Подтверждение

Ваша заявка принята.

Ошибка оформления заказа

Деление дробей — Справочник — 2022

Деление дроби на дробь

Как дробь разделить на число

Деление смешанных чисел

Источники:

Понятие дроби

Основные свойства дроби

Деление дробных чисел

Деление обыкновенных дробей

Деление дроби на натуральное число

Деление натурального числа на дробь

Источники:

Деление дроби на дробь.

Деление дроби на число.

Деление числа на дробь.

Деление смешанных дробей.

Деление числа на число.

You may also like:

Десятичные дроби. Разряды и классы десятичных дробей.

Нужен репетитор по математике (алгебре) или геометрии?

Сравнение неправильных дробей правила и примеры.

Умножение дробей.

Добавить комментарий Отменить ответ

Свежие записи

Источники:

Разделение на дроби — шаги, метод, примеры

Как делить дроби?

Деление дробей на дроби

Деление дробей целыми числами

Деление дробей с помощью десятичных знаков

Деление дробей и смешанных чисел

Разделение дробей Статьи по теме

Деление дробей Примеры

Практические вопросы по делению дробей

Часто задаваемые вопросы о делении дробей

Что означает деление дробей?

Что такое умножение и деление дробей?

Как визуализировать деление дробей?

Какое правило деления дробей?

Как делить дроби?

Как научить делению дробей?

Как разделить число на дробь?

Как делить дроби на целые числа?

Как делить дроби со смешанными числами?