Примеры на вычитание и сложение до 100: сложение и вычитание. В пределах 100. На листе А4 для печати.

В пределах каждой из этих двух тем/диапазонов номеров мы рекомендуем обучать в следующей последовательности:

• Сложение
  • Числовая строка
  • Размещение значения
  • Добавление кратных 10
  • Без перегруппировки
    • Добавление 1-значного числа -значное число, например. 23+5
    • добавить 2-значный номер к 2-значному номеру, напр. 23+15
  • При перегруппировке
    • добавьте двузначное число к однозначному, например 37+8
    • добавить 2-значный номер к 2-значному номеру, например. 29+23

• Вычитание
  • Числовая строка
  • Разрядное значение
  • Вычитание кратных 10
  • Без перегруппировки числа, e. 2-g.0 903-1 Вычитание числа из числа
    903-1 38-2
    • Вычесть 2-значное число из 2-значного числа, например, 33-12
  • С перегруппировкой
    • Вычесть 1-значное число из 2-значного числа, например, 43-7
    • Вычесть двузначное число из двузначного числа, например, 51-18

Имея это в виду, мы далее обсудим, что включает в себя каждый элемент, и выделим некоторые распространенные ловушки.

Распространенная ошибка учащихся при счете в уме (и аналогично при обратном счете) состоит в том, чтобы включить начальное число, например, 28 + 3 равно 28, 29, 30 вместо 29, 30, 31. Чтобы свести к минимуму это, мы считаем выгодным начать с числовой прямой. Хорошее понимание числовой линии также имеет решающее значение для развития сильного чувства числа.

Как правило, первоклассники и второклассники должны уметь пользоваться числовой строкой как для счета в прямом, так и для обратного счета.

Стоимость места является ключевой концепцией для перегруппировки. Дети должны полностью понять, например, что 36 = ?  десятки и ? единиц = 3 десятков 6 единиц

Однако многие дети могут отвечать на вопросы о сложении и вычитании, не полностью понимая разрядность. Они просто разбивают числа, например. 36 на 3 и 6 и поместите их в соответствующие ячейки для десятков и единиц. Хороший способ проверить их понимание — задать им следующие вопросы.

36 = 1 десять ? единиц = 1 десять 26 единиц

36 = 2 десятков ?  единицы = 2 десятков 16 единиц

Учащиеся должны уметь складывать и вычитать кратные десяткам, например.

14+20 = 34

Хотя это может показаться тривиальным, нередки случаи, когда ученики борются с этим. Мы находим подход «Конкретно-Изобразительное-Абстрактное» особенно полезным для этого. После использования uni-кубов в десятках и единицах, чтобы сложить числа 14 и 20, учащиеся переходят от конкретного к графическому представлению, чтобы связать свой существующий опыт. Необходимо позаботиться о том, чтобы конкретные и графические изображения были тесно связаны. Многие учащиеся способны воспринимать конкретные изображения, но быстро теряются, когда графические изображения имеют мало общего с их физическими манипуляциями.

Ученики должны понимать, что число 14 состоит из 1 десятка и 4 единиц, число 20 состоит из 2 десятков. Чтобы сложить числа, мы складываем единицы и десятки отдельно. На этом этапе могут быть очень полезны числовые связи, которые напоминают учащимся, что 14 состоит из 10 и 4.

Другим хорошим учебным пособием является таблица сотен, где учащиеся могут понять, что числа увеличиваются кратно десяти по мере того, как они перемещаются вниз по столбцам таблицы.

В приведенном ниже примере учащихся просят заполнить пропущенные числа в таблице неполных сотен.

Обычно у учащихся не возникает проблем с правильным ответом на сложение без перегруппировки. Тем не менее, стоит понимать стратегии, которые используют студенты. На данном этапе многие все еще рассчитывают на это. Хотя это не является математически неправильным, исследования показали, что учащиеся, которые могут использовать и применять свое понимание места, как правило, лучше учатся в старших классах.

При сложении двузначного числа с однозначным (например, 23+5) простым и эффективным способом является разложение 23 на 2 десятка и 3 единицы, а затем последовательное добавление единиц и десятков по отдельности.

Сложение с перегруппировкой часто сложнее, и учащимся необходимы 2 основных базовых навыка, чтобы преуспеть.

1. Быстрое сложение в пределах 20.
2. Прочная основа в месте стоимости.

Прежде чем продолжить, учащиеся должны ответить на эти вопросы о разрядности.

16 единиц = ? 10 ? Единицы = 1 Десятки 6 Единицы

3 Десятки 12 Единицы = 42

а. Конкретный – изобразительный – абстрактный подход

Используя пример 26 + 7,

1. Конкретное представление : С помощью манипулятивных средств 26 представлено как 2 десятка 6 единиц, а 7 представлено как 7 единиц на диаграмме разрядности;
2. Графическое изображение : В числовом предложении число 26 разложено на 2 десятка и 6 единиц с помощью числовых связей;
3. Абстрактное представление : Продолжая фокусироваться на значении разряда, мы находим сумму, добавляя единицы и десятки, где 2 десятка 13 единиц равно 33.

б. Стандартный алгоритм

У многих учащихся нет проблем с правильными ответами при настройке стандартного алгоритма. Однако бывает сложно выяснить, «соблюдают ли они процедуры» или «действуют с пониманием». Вот несколько методов, которые мы используем.

1. Учитесь с пониманием

a. Тщательная настройка обеспечивает тесную связь между установкой разрядного значения и стандартным алгоритмом.  В настройке разряда 26 разбивается на 2 десятка и 6 единиц. На следующем шаге к 7 прибавляется 6 единиц, где сумма 13 единиц прибавляется к 2 десяткам и получается 33. Это сразу увязывается со стандартным алгоритмом.

b. Мы используем язык позиционных значений при обучении и изучении стандартного алгоритма. Например, вместо того, чтобы говорить «1 плюс 1 равно 2», мы говорим «1 десяток плюс 1 десяток равно 2 десяткам».

2. Тест на понимание

a. Часто компоненты стандартного алгоритма сложения или вычитания предварительно заполнены правильными числами. Чтобы проверить понимание учащимися значения места, мы используем промежуточный шаг, предоставляя учащимся пустые ячейки для заполнения соответствующих чисел.

В приведенном выше примере многие учащиеся впишут «7» в разряд десятков для 7 + 26. Однако, получив ответ и сравнив его с предыдущим ответом на 26 + 7, они поняли бы, что, поскольку 26 + 7 должно иметь то же значение, что и 7 + 26 (свойство коммутативности), что-то должно быть не так с их работой!

б. Многие студенты привыкли составлять десятку при вычислении стандартного алгоритма. Непримеры — это очень полезный способ показать, что число, которое «переносится», представляет собой разряд десятков и не обязательно должно быть «1». Например, опросите учеников по таким суммам, как «56 + 8 + 7». Сумма единиц равна 21, десятки составляют «2», а не «1».

Вычитание обычно представляется как «вычитание». В статье «Сила математики — как помочь вашему ребенку полюбить математику, даже если вы ее не любите» Патриция Кларк рассказывает о важности ознакомления наших учащихся с различными концепциями вычитания.

Искусственное разделение значений вычитания создает ненужные барьеры. Дети должны выучить четыре способа вычитания одновременно. Вставьте все четыре в свой разговор.

– Сила математики: как помочь ребенку полюбить математику, даже если вы ее не любите, Патриция Кларк

Ниже приведены несколько примеров.

• На вынос – напр. У меня есть 5, и я забираю 3. Сколько у меня есть?
• Сравнение/различие – напр. У меня 5, а у тебя 3, у кого больше? На сколько больше?
• Отсутствует добавление – напр. У меня есть 25 долларов. Мне нужно 30 долларов, чтобы купить сумку. Сколько еще мне нужно?
• Движение – напр. Я проезжаю 7 миль до библиотеки, разворачиваюсь и еду обратно 5 миль по тому же маршруту. Как далеко я от начальной точки?

Вычитание чисел от 20 до 100 обычно занимает вдвое больше времени, чем сложение. Этому есть две основные причины. Во-первых, у них нет сильного чувства места. Во-вторых, они по-прежнему борются с вычитанием в пределах 20.

Как и в случае сложения без перегруппировки, многие учащиеся не испытывают трудностей с вычитанием без перегруппировки. Тем не менее, снова важно тщательно изучить стратегии, которые могут использовать некоторые студенты. В статье «При чем здесь математика?» профессор математики из Стэнфорда Джо Боулер говорит о «сложной математике, которую использовали дети ниже среднего». При вычислении 16–13, вместо того чтобы разлагать 16 и 13 на десятки и единицы, вычитать десятки и вычитать единицы, дети ниже среднего начинали с 16 и начинали считать в обратном порядке (16-15-14-13-12-11-10- 9-8-7-6-5-4-3).

Когнитивная сложность этой задачи огромна, и возможности для ошибок огромны.

– «При чем здесь математика?» Стэнфордский профессор математики Джо Боалер

Эта математическая трудность, если не вмешаться на более раннем этапе, может распространяться на большие числа до 40 и выше. Учащиеся, хорошо разбирающиеся в разрядности, часто могут понимать сложение и вычитание больших чисел без дополнительных указаний учителя.

В этом примере (1) учащиеся должны разложить числа 55 и 23 на десятки и единицы. (2) учащиеся должны вычитать десятки и единицы отдельно.

При использовании стандартного алгоритма важно использовать «язык разрядного значения».

Используя следующий пример, мы можем использовать «16 единиц вычесть 9 единиц» и «4 десятка вычесть 3 десятка» вместо «16 вычесть 9» и «4 вычесть 3». Это позволит студентам увидеть, что мы вычитаем 30 из 40 вместо дискретных чисел 3 из 4. Это особенно важно, когда мы переходим к большим числам в сотнях.

Чтобы лучше понять связь между сложением и вычитанием, в дополнение к обычным вопросам можно давать вопросы с отсутствующими слагаемыми. По нашему опыту, учащиеся нередко испытывают затруднения в вопросах с отсутствующим дополнением. Чтобы помочь учащимся, можно использовать числовую связь с недостающими частями. Числовая связь также особенно полезна при решении сложных задач со словами.

Большинство предыдущих стратегий, используемых для чисел до 20 , следует пересмотреть для этого диапазона чисел, например.

• производные факты
• сделать десятки

Кроме того, на этом этапе можно ввести еще одну хорошую стратегию — деление чисел пополам. Как правило, в то время как учащиеся легко удваивают числа, они находят обратное (уполовинивание) сложным. Детям обычно очень весело разбивать «большие» числа пополам.

Например,

половина от 60 равна 30.

половина от 36 равна 18.

Более продвинутых учащихся можно познакомить с такими стратегиями разделения, как: , число 74 разбивается на 60 и 14. Хотя разбивать 74 на 2 равные части не интуитивно понятно, с 60 и 14 это, безусловно, проще!

Навыки счисления, подобные этим, пригодятся позже в 5-м/6-м классе, где учащиеся будут решать процедуры, чтобы найти наименьшие общие кратные, наибольшие общие делители, простые факторизации, квадратные корни и кубические корни. По нашим наблюдениям, учащиеся, которые не приобрели эти навыки на старших начальных уровнях, часто тратят слишком много времени на обработку простых математических операций, таких как 72, деленное на 2 и т. д., что замедляет их работу при выполнении сложных процедур, что часто приводит к разочарованию и «отказу». ».

На этом этапе дети могут практиковаться в использовании числовой линии в уме для интуитивных рассуждений. Например, они могут решить, что 23+5 меньше 33+5, а 37-20 меньше 40-20. Они должны уметь сравнивать два набора чисел, не вырабатывая ответов.

Заключение

Мы надеемся, что вы найдете это обсуждение обучения «сложению и вычитанию чисел до 100» полезным. На следующей неделе мы поговорим о типичных проблемах, возникающих при расширении обучения сложению и вычитанию чисел до 1000 и выше.

Подробнее об обучении сложению и вычитанию:

• Стратегии обучения сложению и вычитанию. Часть 1. Числа до 10
• Стратегии обучения сложению и вычитанию. Часть 2. Числа до 20
• Стратегии обучения сложению и вычитанию. – Часть 3: Числа до 100 (этот пост)
• Стратегии обучения сложению и вычитанию – Часть 4: Числа до 1000

Дополнительные ресурсы по теме см.