Запоминалки — Умножение с помощью формул
Умножение с помощью формул сокращенного умножения.
В математике, конкретно в алгебре есть тема «Формулы сокращенного умножения». Несмотря на свое название очень много в этой теме используется для того, чтобы привести конкретные примеры к более простому виду. А про то, что для чего нужны эти формулы, которые так и называются «формулы сокращенного умножения» учителя говорят как бы мимоходом. С точки зрения устного счёта эти формулы просто клад.
Для начала приведем эти формулы. Несмотря на то что их огромное количество в школьном курсе уделяют внимание нескольким. Мы тоже не будем лезть глубоко в дебри и здесь остановимся на 7 формулах.
Рассмотрим несколько примеров. Примеры довольно школьные, но в том и дело что наше образование уделяет мало внимания вопросу умножения с помощью формул сокращенного умножения. Так мало, что обычно, если человек в упор смотрит на такие примеры он «забывает» применить формулы сокращенного умножения, и умножает обычным способом.
Пример 1.
64*64=(60+4)*(60+4)=60*60+2*60*4+4*4=3600+480+16=4096
Пример 2.
76*76=(70+6)*(70+6)=70*70+2*70*6+6*6=4900+840+36=5776
Пример 3.
136*136=(130+6)*(130+6)=130*130+2*130*6+6*6=16900+1560+36=16900+(1000+560+36)=17900+596=18496
Пример 4.
46*46=(50-4)*(50-4)=50*50-2*50*4+4*4=2500-400+16=2116
Пример 5.
87*87=(90-3)*(90-3)=90*90-2*90*3+3*3=8100-540+9=8100-(500+40)+9=(8100-40-500)+9=8060-500+9=7569
Пример 6.
98*98=(100-2)*(100-2)=100*100-2*100*2+2*2=10000-400+4=9604
Пример 7.
87*93=(90-3)*(90+3)=90*90-3*3=8100-9=8091
Пример 8.
63*57=(60+3)*(60-3)=60*60-3*3=3600-9=3591
Кто-то посмотрел эти примеры и подумал какие примеры искусственные, да такое в жизни никогда не встречается. Действительно, примеры придуманы для того, чтобы просто прояснить правила сокращенного умножения на практике. В школе тоже также — там решаются задачи, которые очень далеки от практики жизни.
А как насчёт таких примеров 45*47=? 87*92=? 61*57=? 44*56=?
Здесь тоже видите как применить формулы сокращенного умножения.
Пример 9.
45*47=?
В этом примере надо две формулы сокращенного умножения 45*47=(46-1)*(46+1)=46*46-1*1=2116-1=2115 как умножить 46*46 смотри пример 4 -при котором применяется вторая формула умножения. Для этого примера есть ещё несколько методов как умножить. Но наша задача показать как работают формулы сокращенного умножения. Чуть ниже покажу как можно было умножить 45*47 по другому.
Пример 10.
87*92=?
Если посмотрите на пример 7, то увидите, что он очень похож. так вот и воспользуемся тем обстоятельством, что 92=93-1.
Итак 87*92=87*(93-1)=87*93-87=(90-3)*(90+3)-87=(8100-9)-87=8091-87=8004
Пример 11.
61*57=?
61*57=(63-2)*57=63*57-2*57=(60+3)*(60-3)-114=3591-114=3491-14=3477
Пример 12.
44*56=?
Подскажу, что 44=54-10.
Дальше думаю будет нетрудно.
Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения Формулы сокращенного умножения применяются в математике, а точнее в алгебре, для быстрого получения результата некоторых алгебраических выражений. Получаются формулы сокращенного умножения из алгебраических правил умножения многочленов. Применение формул сокращенного умножения позволяет более быстро решать математические задачи, производить сокращение громоздких алгебраических выражений. Правила алгебры разрешают произвольно выполнять преобразования выражений по формулам сокращенного умножения: можно левую часть равенства представить в виде правой части или правую часть равенства преобразовать в виде левой части равенства. Формулы сокращенного умножения рекомендуется знать наизусть, поскольку они часто применяются при решении задач и уравнений по алгебре, математике. Наиболее часто встречаются первые три формулы сокращенного умножения.
Рекомендуется сохранить приведенный рисунок на свой компьютер в качестве шпаргалки по математике, алгебре. Представленные на рисунке формулы не являются полным перечнем формул сокращенного умножения. В алгебре существуют и другие формулы сокращенного умножения и деления. Все эти формулы имеют свои собственные названия. Рассмотрим более подробно названия приведенных формул сокращенного умножения.
Первым [1]
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Вторая [2] формула сокращенного умножения называется квадрат разности. Квадрат разности равняется квадрату первого члена двучлена минус удвоенное произведение первого члена на второй член двучлена плюс квадрат второго члена двучлена. Эта формула очень похожа на формулу квадрата суммы и отличается только знаком перед удвоенным произведением:
(a — b)² = a² — 2ab + b²
В общем виде квадрат суммы и квадрат разности можно записать так:
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
Формула номер три [3] называется разность квадратов.
a² — b² = (a + b)·(a – b)
Четвертая [4] формула называется куб суммы. Куб суммы равняется сумме кубов первого и второго членов двучлена, утроенных произведений квадрата первого члена двучлена на второй и квадрата второго члена двучлена на первый:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3b²a + b³
Пятая [5] формула похожа на куб суммы и называется куб разности. Куб разности равен кубу первого члена двучлена минус утроенное произведение квадрата первого члена двучлена на второй плюс утроенное произведение первого члена двучлена на квадрат второго минус куб второго члена двучлена:
(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3b²a — b³
Одной формулой куб суммы и куб разности можно записать, используя знаки плюс-минус:
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3b²a ± b³
Шестая [6] формула называется сумма кубов.
Сумма кубов равняется сумме первого и второго членов двучлена умноженной на квадрат первого члена двучлена минус произведение первого и второго членов двучлена плюс квадрат второго члена двучлена:
a³ + b³ = (a + b)·( a² — 2ab + b²)
Седьмая [7] формула похожа на предыдущую и называется разность кубов. Разность кубов равняется разности первого и второго членов двучлена умноженной на квадрат первого члена двучлена плюс произведение первого и второго членов двучлена плюс квадрат второго члена двучлена:
a³ — b³ = (a — b)·( a² + 2ab + b²)
Одной формулой куб суммы и куб разности можно записать, используя знаки плюс-минус и минус-плюс.
Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.
9 августа 2010 года — 22 сентября 2019 года.
© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.
Рабочие листы по умножению биномов
Математический термин представляет собой комбинацию чисел и переменных. Биномиал — это выражение, состоящее из двух разных терминов. Ваши ученики будут использовать этот набор рабочих листов, чтобы попрактиковаться в умножении алгебраических выражений с использованием одночленов и двучленов. Полный набор рабочих листов знакомит ваших учащихся с концепцией биномиального умножения и содержит примеры, короткие практические наборы, более длинные наборы вопросов и контрольные тесты. Двоичное умножение относительно просто, по большому счету. Это продукты, в которых используются только две формы целых чисел (единицы и нули). Используйте эти рабочие листы, чтобы учиться и практиковаться в решении уравнений биномиального произведения.
Получите бесплатные рабочие листы в свой почтовый ящик!
Нажмите кнопки, чтобы распечатать каждый рабочий лист и связанный с ним ключ ответа.
Мы начнем с проблемы базового уровня, и этот урок проведет вас через ее решение. Научитесь решать биномиальные уравнения, такие как «x(x + 7)»
Получите больше практики, используя метод, который мы только что изложили для вас. Пример: (у — 2)(у — 9)
Практикуйте метод, который мы обсуждали, работая с 10 различными задачами, которые требуют умножения биномиальных уравнений. Пример: (2у + 5) (у + 6)
Подойдите к этим задачам, используя то, что вы уже узнали. Примером такого типа задач может быть: (y — 5) (-3)
Здесь у вас достаточно места для работы. Не позволяйте отрицательным символам сбивать вас с курса. Просто возьмите их в strid и запомните свои свойства целых чисел. Пример: -11у(у + 1)
Отличный способ просмотреть это всем классом. Вы можете разбить на несколько шагов для студентов. Пример: 10(г — 7)
Как умножать биномы
Биномы — это простые алгебраические выражения. Это просто два термина, соединенные символом математического оператора.
Если переменная, используемая в термине, совпадает со вторым термином, показатель степени, прикрепленный к каждому из них, должен быть другим. Еще одна особенность показателей степени, когда речь идет о биномах, заключается в том, что они должны быть положительными (без дробей или отрицательных значений). Когда нас просят умножить двучлены, каждый член первого двучлена должен быть умножен на второй член. Это самая распространенная ошибка, которую я вижу у студентов с этим навыком. Они часто оставляют термин позади. Я считаю очень полезным, чтобы ученики записывали каждое движение, которое они делают, рисуя линии или стрелки. Самый распространенный способ добиться этого — использовать метод FOIL (First-Outer-Inner-Last). Это говорит умножать: 1) первый член каждого двучлена. 2) внешние члены каждой компоненты. 3) внутренний член каждого. 4) последний член каждой компоненты. Вы заканчиваете, просто объединяя все.
Ниже приведены распространенные методы умножения двучленов:
1. Метод FOIL
Один из самых простых методов умножения двух двучленов — использование метода FOIL. Вероятно, поэтому он также является наиболее часто используемым способом решения этих проблем. Давайте углубимся в это.
Двучлен, умноженный сам на себя, дает четыре члена. ФОЛЬГА — это сокращение от Первого, Внешнего, Внутреннего и Последнего членов уравнения. Аббревиатуру FOIL легко запомнить, так как она помогает найти все четыре продукта. Если вы хотите умножать двучлены, вам нужно начать с умножения первых членов, затем внешних членов, затем перейти к внутренним элементам и закончить последними членами. Это отличный метод для получения результатов.
Например:
(a+2)(a-b)
В этом случае а из первой скобки будет умножено на «а» из второй скобки, что даст 2 . Это означает, что вы должны умножить первые члены. Тогда «а» из первой скобки будет умножено на «b» из скобки, сохраняя знак минус нетронутым.
Это означает, что вам нужно умножить внешние термины.
Затем нужно умножить внутренние члены. В этом случае 2 из первой скобки будет умножено на а из второй скобки, в результате чего получится 2а. В конце концов, вам придется перемножить последние члены. В этом случае 2 из первой скобки будет умножено на b из второй скобки, сохраняя знак минус без изменений.
Результатом будет:
a 2 – ab + 2a – 2b
2. Распределительное свойство
Распределительное свойство умножения можно использовать дважды для умножения двучленов. Следующие процедуры будут использоваться для умножения двух двучленов (а + 2) и (а + 3).
Возьмем первый член каждого двучлена и перемножим их вместе, что равно a (a + 3). На этом шаге будут перемножены два бинома: a (a + 3) и 2 (a + 3) соответственно. Уравнение примет вид (а + 3) + 2 (а + 3). Это сумма значений из скобок.
В качестве последнего шага вам нужно будет использовать распределительный принцип, чтобы расширить каждое из выражений в форме a(a + 3), что даст вам следующее: (a 2 + 3a) и (2a +6 ).
Результат будет:
A 2 + 3a + 2a +6 = a 2 + 5a + 6
Вместо того, чтобы каждый раз вычислять FOIL, общая формула позволяет вам вводить свои числа. Биномы, возведенные во вторую или третью степень, легко вписать в существующую формулу, что приведет к быстрому и простому решению.
Вы можете использовать переменные для замены всех целых чисел в формуле. В конце можно будет ввести свои номера, чтобы получить ответ. Возможно, что в уравнении нет числа, и в этом случае прибавляемая или вычитаемая константа равна 1.
4. Возведение в квадрат биномов
Помните, что возведение числа в квадрат — это просто его умножение само на себя, даже если оно оказывается более сложным. Произведение двух независимых переменных равно произведению, полученному при их умножении друг на друга. Новое уравнение можно решить с помощью FOIL.
Дополнительная информация: Умножение и деление — операции гипер-2, тогда как возведение в степень и радикалы — операции гипер-3.
Если есть показатели степени, свойства умножения и деления не применяются.
Короткие формулы умножения. Схема решения. Алгебра фон. Образование, получение классов, школьная программа Высший математический текст. Сгруппированы и изолированы на белом. Векторная иллюстрация — Вектор
Схема решения коротких формул умножения. Алгебра. Фон. Образование. Получение классов.90Изображения
ВидеоРедактированиеМузыка и звуковые эффекты
Инструменты
Предприятие
Цены
Все изображения
ВойтиРегистрация
Чтобы загрузить это изображение,
2 уже зарегистрированы? ВойтиЯ согласен с Соглашением о членстве Получать новости и специальные предложения
Краткие формулы умножения. Схема решения. Алгебра фон. Образование, получение классов, школьная программа Высший математический текст.
Сгруппированы и изолированы на белом. Векторная иллюстрация
— Вектор от [email protected]
Получите это изображение всего за €1,44 с нашим новым гибким планом
Попробуйте сейчас Тригонометрические формулы приведения некоторых углов. Образование, получение классов, школьная программа Высшая математика. Математический текст. Изолировано. Векторная иллюстрацияОсновные тригонометрические тождества. Формулы вычисления суммы и разности углов. Образование, получение классов, школьная программа Высшая математика. Рукописный математический текст. Векторная иллюстрацияОсновные тригонометрические тождества. Формулы вычисления синуса, косинуса, тангенса, котангенса половин углов. Образование, получение классов, школьная программа Высшая математика. Рукописный математический текст. ВекторОсновные тригонометрические тождества.Формулы для вычисления сумм и разностей углов.Образование, получение классов, школьная программа Высшая математика.
Рукописный математический текст.Изолировано.Векторная иллюстрацияКоллекция различных стрел. Изолированные на белом фоне. Нарисованные вручную индикаторы, указатели и элементы прокрутки. Надпись на санскрите, Деванагари: Ом Намах Шивая. Перевод: «Приветствие Шиве». Поклонение, почтение, почтение Богу индуизма, называемому Рудра, Шанкара, Шамбху, Махадева, Махешвара. Надпись на векторсанскрите, Деванагари: Ом Намах Шивая. Перевод: «Приветствую Шиву». Поклонение, благоговение, почтение Богу индуизма, называемому Рудра, Шанкара, Шамбху, Махадева, Махешвара. Векторная Санскритская надпись, деванагари. Перевод: «познай себя». Мудрый совет, как найти смысл жизни. Светящийся фон со звездами. Фон, текст и звезды изолированы на разных слоях. Векторная Санскритская надпись, Деванагари: Ом Намах Шивая. Перевод: «Приветствую Шиву». Поклонение, благоговение, почтение Богу индуизма, называемому Рудра, Шанкара, Шамбху, Махадева, Махешвара. Векторная Санскритская надпись, Деванагари: Ом Намах Шивая. Перевод: «Приветствую Шиву».
Поклонение, благоговение, почтение Богу индуизма, называемому Рудра, Шанкара, Шамбху, Махадева, Махешвара. Векторная Санскритская надпись, Деванагари: Ом Намах Шивая. Перевод: «Приветствую Шиву». Поклонение, благоговение, почтение Богу индуизма, называемому Рудра, Шанкара, Шамбху, Махадева, Махешвара. Нарисованный векторным маркером дизайн. Векторная иллюстрация для вашего дизайна. Да здравствует Беларусь на фоне флага Республики Беларусь, бело-красно-белого национального символа страны. Баннер, лозунг августа 2020 года. Векторная иллюстрация «Жыве Беларусь», написанная на украинском языке, на фоне флага Республики Беларусь, бело-красно-белого национального символа страны. Баннер, лозунг августа 2020 года. Векторная иллюстрацияПодробнее
Похожие видеоролики:
Исходный код на экране монитора. Исходный код. Национальный памятник гигантской секвойи в Калифорнии, СШАCOVID-19, коронавирус. Выделенное слово в другом тексте. Концепция для новостей или медицинских СМИ. Опасный вирус 2019-CONV распространяется по Земле.
Буквы на светлом фоне. COVIDDigital анимация письменной конституции Соединенных Штатов, движущейся на экране на бежевом фоне. 4kФонтан на острове Торонто, Торонто, КанадаКреативные идеи, анимированное облако слов с различным фоном, анимация дизайна текста. Крупный план черного текста, связанного с Украиной, на белой бумаге. Красные линии. Концепция российского вторжения в Украину. Кризис. Санкции. Военная деятельность. Камера медленно движется вперед. Выборочный фокус. Оставайся дома, спасай жизни, анимированное облако слов на белом фоне. Зашифрованный файл. Шестнадцатеричный код программы на экране. Анимированный фон движущихся двоичных кодовых чисел. Движение бинарного кода в виде таблицы.Японский. Курсор скользит и нажимает «Открыть существующий документ». Указатель мыши на экране монитора компьютера устройства. Нажатие кнопки «Получить файловый процессор» для бизнес-задания компании или школьного образовательного проекта. Курсор мыши скользит и устанавливает флажок «Нажал ли я кнопку подписки».
Просмотр экрана устройства с курсором, нажимающим галочку для подписки на канал Vlog Blog Online. Точка зрения через интернет-сеть Website.Old Phone Records на ретро-рваной бумаге ALTMobile Device Word Cloud Animation SET. Белый, черный, серый фон. Разрешение 4kРабота аналитика. Цифры на компьютереSee More
Информация об использовании
Вы можете использовать это бесплатное векторное изображение «Короткие формулы умножения. Схема решения. Алгебра фон. Образование, получение классов, школьная программа Высший математический текст. Сгруппировано и изолировано на белом. Векторная иллюстрация» для личных и коммерческих целях в соответствии со Стандартной или Расширенной лицензией. Стандартная лицензия распространяется на большинство вариантов использования, включая рекламу, дизайн пользовательского интерфейса и упаковку продуктов, и позволяет издавать до 500 000 печатных копий. Расширенная лицензия разрешает все варианты использования в рамках Стандартной лицензии с неограниченными правами печати и позволяет вам использовать загруженные векторные файлы для продажи, перепродажи продукта или бесплатного распространения.