Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования☝
Для того, чтобы возводить в степень числа, а также перемножать числа и выражения используются формулы сокращенного умножения. Данные формулы ускоряют процесс вычислений и делают его более удобным.
В этой статье будут рассмотрены главные формулы, используемые для сокращенного умножения, затем собраны в единую таблицу. Кроме того, будут приведены примеры использования данных формул и основные принципы, доказывающие рассмотренные формулы.
Формулы сокращенного умножения. Таблица
Тема ФСУ впервые подлежит рассмотрению в рамках учебника «Алгебра» за 7 класс.
7 основных формул приведены ниже:
Вместо букв a, b, c в указанных выражениях можно подставить произвольные числа, выражения или переменные. Лучше запомнить наизусть указанные семь главных формул для удобства их применения. Соберем эти формулы в единую таблицу, и покажем ниже, заключив в рамку.
Первая и вторая формула используются, чтобы вычислить квадрат суммы или разности двух чисел.
Третья и четвертая формулы служат для расчета куба суммы или разности двух чисел соответственно.
Пятая формула применима для вычисления разности квадратов двух чисел посредством произведения их разности и суммы.
Шестая формула — сумма кубов двух чисел, которая равна умножению суммы двух чисел на неполный квадрат разности. Седьмая формула — разность кубов двух чисел — равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат суммы.
Формулы сокращенного умножения еще иногда называются равенствами сокращенного умножения. Здесь нет ничего необычного, поскольку каждое равенство является по сути тождеством.
Для решения примеров на практике часто формулы сокращенного умножения применяют, меняя местами левые и правые части. Данное действие является особенно удобным, если происходит разложение многочлена на отдельные множители.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
Если не ограничиваться курсом по алгебре за 7 класс, можно добавить ещё несколько формул в составленную нами таблицу ФСУ.
Для начала, изучим формулу бинома Ньютона.
Здесь Ckn — двучленные коэффициенты, стоящие в строке под номером n в треугольнике паскаля. Биномиальные коэффициенты рассчитывают по формуле:
Из этого следует, что ФСУ для куба и квадрата суммы и разности является частным случаем формулы бинома Ньютона соответственно при n=2, n=3.
Как быть, когда слагаемых в сумме, которые требуется возвести в степень, больше двух? Полезной окажется формула квадрата суммы трех и более чисел.
Как читается эта формула? Квадрат суммы n суммируемых чисел равняется сумме квадратов всех этих чисел и удвоенных произведений всех возможных пар этих чисел.
Вот ещё формула, которая может оказаться полезной — формула разности n-ых степеней двух складываемых чисел.
Данную формулу чаще делят на две — для нечетных и четных степеней соответственно.
Для четных показателей 2m:
Для нечетных показателей 2m+1:
Формулы разности квадратов и разности кубов, как можно догадаться, представляют собой частные случаи этой формулы при n=2 и n=3 соответственно.
Для разности кубов b также заменяется на −b.
Как читать формулы сокращенного умножения?
Рассмотрим соответствующие формулировки для каждой формулы, но для начала изучим принцип чтения формул. Лучше всего это делать на примере. К примеру возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух выражений.
Она трактуется следующим образом: квадрат суммы двух чисел a и b равняется сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения обоих чисел и квадрата второго числа.
Оставшиеся формулы читают аналогичным образом.
Для квадрата разности
можно записать так: квадрат разности двух чисел a и b равняется сумме квадратов данных чисел минус удвоенное произведение первого и второго числа.
Далее читаем формулу
Куб суммы двух чисел a и b равняется сумме кубов этих чисел, утроенного произведения квадрата первого из чисел на второе и утроенного произведения квадрата второго из чисел на первое число.
Далее читаем формулу куба разности двух чисел
Куб разности двух чисел a и b равняется кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго числа на первое число, минус куб второго числа.
Пятая формула (разность квадратов) будет читаться так: разность квадратов двух чисел равна произведению суммы и разности двух этих чисел.
Следующие выражения для удобства называют неполным квадратом разности и неполным квадратом суммы соответственно.
Таким образом, формулы суммы и разности кубов будут читаться так:
Сумма кубов двух чисел будет равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат разности.
Разность кубов двух чисел будет равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы.
Доказательство ФСУ
Доказать ФСУ можно достаточно простым способом. Опираясь на свойства умножения, рассчитаем произведение частей формул, указанных в скобках.
В качестве примера возьмем формулу квадрата разности.
Для того, чтобы возвести во вторую степень данное выражение, нужно это выражение умножить само на себя.
Раскрываем скобки:
Данная формула доказана. Оставшиеся ФСУ доказываются схожим способом.
Примеры применения ФСУ
Целью применения формул сокращенного умножения — возведение чисел в степень, а также краткое и быстрое их умножение.
Кроме того этим сфера использования ФСУ не ограничивается. Формулы широко применяются при сокращении выражений, сокращении дробей, а также разложении многочленов на отдельные множители.
Рассмотрим примеры.
]
Помимо этого ФСУ служат для вычисления значения выражений.
Главное — уметь определить, где применить какую формулу. Рассмотрим это на примере.
Возведем число 79 в квадрат. Вместо объемных вычислений, запишем так:
Таким образом, что сложное вычисление рассчитано быстро всего лишь с помощью формул сокращенного умножения и таблицы умножения.
Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение можно преобразовать в вид . Данные преобразования широко используются в интегрировании.
Запоминалки — Умножение с помощью формул
Умножение с помощью формул сокращенного умножения.
В математике, конкретно в алгебре есть тема «Формулы сокращенного умножения». Несмотря на свое название очень много в этой теме используется для того, чтобы привести конкретные примеры к более простому виду.
А про то, что для чего нужны эти формулы, которые так и называются «формулы сокращенного умножения» учителя говорят как бы мимоходом. С точки зрения устного счёта эти формулы просто клад.
Для начала приведем эти формулы. Несмотря на то что их огромное количество в школьном курсе уделяют внимание нескольким. Мы тоже не будем лезть глубоко в дебри и здесь остановимся на 7 формулах.
Рассмотрим несколько примеров. Примеры довольно школьные, но в том и дело что наше образование уделяет мало внимания вопросу умножения с помощью формул сокращенного умножения. Так мало, что обычно, если человек в упор смотрит на такие примеры он «забывает» применить формулы сокращенного умножения, и умножает обычным способом.
Пример 1.
64*64=(60+4)*(60+4)=60*60+2*60*4+4*4=3600+480+16=4096
Пример 2.
76*76=(70+6)*(70+6)=70*70+2*70*6+6*6=4900+840+36=5776
Пример 3.
136*136=(130+6)*(130+6)=130*130+2*130*6+6*6=16900+1560+36=16900+(1000+560+36)=17900+596=18496
Пример 4.
46*46=(50-4)*(50-4)=50*50-2*50*4+4*4=2500-400+16=2116
Пример 5.
87*87=(90-3)*(90-3)=90*90-2*90*3+3*3=8100-540+9=8100-(500+40)+9=(8100-40-500)+9=8060-500+9=7569
Пример 6.
98*98=(100-2)*(100-2)=100*100-2*100*2+2*2=10000-400+4=9604
Пример 7.
87*93=(90-3)*(90+3)=90*90-3*3=8100-9=8091
Пример 8.
63*57=(60+3)*(60-3)=60*60-3*3=3600-9=3591
Кто-то посмотрел эти примеры и подумал какие примеры искусственные, да такое в жизни никогда не встречается. Действительно, примеры придуманы для того, чтобы просто прояснить правила сокращенного умножения на практике. В школе тоже также — там решаются задачи, которые очень далеки от практики жизни.
А как насчёт таких примеров 45*47=? 87*92=? 61*57=? 44*56=?
Здесь тоже видите как применить формулы сокращенного умножения.
Пример 9.
45*47=?
В этом примере надо две формулы сокращенного умножения 45*47=(46-1)*(46+1)=46*46-1*1=2116-1=2115 как умножить 46*46 смотри пример 4 -при котором применяется вторая формула умножения.
Для этого примера есть ещё несколько методов как умножить. Но наша задача показать как работают формулы сокращенного умножения. Чуть ниже покажу как можно было умножить 45*47 по другому.
Пример 10.
87*92=?
Если посмотрите на пример 7, то увидите, что он очень похож. так вот и воспользуемся тем обстоятельством, что 92=93-1.
Итак 87*92=87*(93-1)=87*93-87=(90-3)*(90+3)-87=(8100-9)-87=8091-87=8004
Пример 11.
61*57=?
61*57=(63-2)*57=63*57-2*57=(60+3)*(60-3)-114=3591-114=3491-14=3477
Пример 12.
44*56=?
Подскажу, что 44=54-10. Дальше думаю будет нетрудно.
Метод ФОЛЬГИ | Как FOIL и примеры Метод FOIL
Метод FOIL Method используется для умножения двучленов. ФОЛЬГА — это аббревиатура. Буквы обозначают «первый», «снаружи», «внутри» и «последний», указывая на порядок умножения терминов. Вы умножаете первые термины, затем внешние термины, затем внутренние термины, затем последние термины, а затем комбинируете одинаковые термины для своего ответа.
Как FOIL
Мнемоника FOIL точно говорит нам, какие члены умножать и в каком порядке:
F irst – умножить первые члены
9001 7 O снаружи – умножить внешние/внешние члены
I nside – умножить внутренние/внутренние члены
L ast – умножить последние члены
By следуя за Первым, Внешним, Внутренним, Последним, мы не упускаем из виду ни одного термин в любом биноме. Все члены первого двучлена правильно сочетаются с членами второго двучлена. Все подсчитывается. 9{2}+33n+185n2+33n+18
FOIL математический примерНаш окончательный ответ, произведение двух двучленов, содержит три члена, поэтому это трехчлен.
Умножение трех двучленов
Умножение трех двучленов является особым случаем для FOIL, поскольку метод FOIL может использоваться только для умножения двух двучленов одновременно.
Вы можете использовать FOIL для умножения трех или более двучленов, если вы разделите их на пары, а затем разложите ответ на оставшийся двучлен.
FOIL нельзя использовать для биномиального сложения, вычитания или деления.
Вот уравнение умножения с тремя биномами:
Для начала мы разделим первые два бинома на пары:
Затем перемножим их, используя метод FOIL, и получим:
Затем мы объединим одинаковые члены:
Теперь мы умножаем наш новый двучлен на оставшийся двучлен из исходного уравнения:
Затем разложение на множители и упрощение является последним шагом:
Умножение трех двучленовЕсли вы столкнулись с большим количеством умножения двух двучленов, решите два за раз, используя FOIL пока не останется только один многочлен.
Термин полином относится к выражению констант, переменных и показателей степени, которые складываются, вычитаются или умножаются, как в выделенном ответе выше. Каждый член сам по себе называется мономом.
Что такое порядок операций? Определение, правила, примеры, факты
В математике существует множество операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление.
Они помогают нам оценивать математические выражения.
Рассмотрим следующее выражение: 4+ 5 × 32 – 2
Выражение состоит из множества операций. Но какую часть вы считаете первой?
Вы можете начать слева и получить один ответ. Но ваш друг может начать справа и получить совершенно другой ответ!
Примечание. Оба приведенных выше метода неверны.
Таким образом, чтобы избежать путаницы, было установлено стандартное правило для выполнения таких вычислений. Это правило известно как порядок операций.
Каков порядок операций в математике?
Если у вас есть выражение, в котором все операции одинаковы (например, только сложение, только вычитание, только умножение или только деление), то правильным способом его решения будет слева направо. Но для выражений с несколькими операциями нам нужно следовать порядку операций.
Порядок операций — это правило, которое указывает нам последовательность, в которой мы должны решить выражение с помощью нескольких операций.
Способ помнить, что заказ PEMDAS. Каждая буква в PEMDAS означает математическую операцию.
Связанные игры
Порядок действий Шаги:Круглые скобки
Первым шагом является решение операции в круглых скобках или скобках. Скобки используются для группировки элементов. Проработайте все группы изнутри наружу.
Экспоненты
Вычислите экспоненциальные выражения после скобок.
Умножение и деление
Далее, двигаясь слева направо, умножьте и/или разделите, в зависимости от того, что наступит раньше.
Сложение и вычитание
Наконец, двигаясь слева направо, сложите и/или вычтите, в зависимости от того, что наступит раньше.
Связанные листы
Зачем следовать порядку действий?Мы следуем правилам порядка операций для решения выражений, чтобы все пришли к одному и тому же ответу.
Вот пример того, как мы можем получить разные ответы, если НЕ соблюдается правильный порядок операций:
Решенные примеры по порядку операций
Пример 1: Решите: 2 + 6 × (4 + 5) ÷ 3 – 5 с помощью PEMDAS.
Решение:
Шаг 1 – Скобки: 2+6 × (4 + 5) ÷ 3 – 5 = 2 + 6 × 9 ÷ 3 – 5
Шаг 2 – Умножение: 2 + 6 × 9 ÷ 3 – 5 = 2 + 54 ÷ 3 – 5
Шаг 3 – Деление: 2 + 54 ÷ 3 – 5 = 2 + 18 – 5
Шаг 4 – Сложение: 2 + 18 – 5 = 20 – 5
Шаг 5 – Вычитание: 20 – 5 = 15
Пример 2: Решите 4 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 5 с помощью PEMDAS.
Решение:
Шаг 1 – Скобки: 4 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 5 = 4 – 5 ÷ 5 × 2 + 5
Шаг 2 – Деление: 4 – 5 ÷ 5 × 2 + 5 = 4 – 1 × 2 + 5
Шаг 3 – Умножение: 4 – 1 × 2 + 5 = 4 – 2 + 5
Шаг 4 – Вычитание: 4 – 2 + 5 = 2 + 5
Шаг 5 – Добавление: 2 + 5 = 7
Пример 3: Решите 100 ÷ (6 + 7 × 2) – 5 с помощью PEMDAS.
Решение:
Шаг 1 – Умножение в скобках: 100 ÷ (6 + 7 × 2 ) – 5= 100 ÷ (6 + 14) – 5
Шаг 2 – Сложение внутри скобки: 100 ÷ (6 + 14) – 5 = 100 ÷ 20 – 5
Шаг 3 – Деление: 100 ÷ 20 – 5 = 5 – 5 Шаг 4 – Вычитание: 5 – 5 = 0
Практика Проблемы с порядком действий
1Упростите 4+ (5 ×3² + 2) с помощью PEMDAS.
48
49
50
51
Правильный ответ: 51
4 + (5 × 3² + 2)
= 4 + (5 × 9 + 2
)
= 4 + (45 + 2)
= 4 + 47
= 51
Упростите 9 – 24 ÷ 8 × 2 + 3, используя PEMDAS.
7
6
5
4
Правильный ответ: 6
9 – 24 ÷ 8 × 2 + 3
= 9 – 3 × 2 + 3 умножение, потому что мы должны идти слева направо)
= 9 – 6 + 3
= 3 + 3 (Обратите внимание, что мы сделали вычитание перед сложением, потому что мы должны идти слева направо.
)
= 6
Упростить [(32 ÷ 4) + 3] × 2 с помощью ПЕМДАС.
20
18
22
10
Правильный ответ: 22
[(32 ÷ 4) + 3] × 2
= [8 + 3] × 2 9031 1 = 11 × 2
= 22
Упростите $(3 × 5² ÷ 5)$ – $(16 — 10)$ с помощью PEMDAS.
15
9
3
Правильный ответ: 9
$(3 × 5² ÷ 5)$ – $(16 – 10)$
= $(3 × 25 ÷ 5)$ – $(16 – 10)$
= $(75 ÷ 5) )$ – $(6)$
= 15 – 6
= 9
Часто задаваемые вопросы о порядке операций
Каков порядок операций в математике?
Порядок операций — это правила, которые сообщают нам последовательность, в которой мы должны решить выражение с помощью нескольких операций.
Порядок PEMDAS: скобки, показатели степени, умножение и деление (слева направо), сложение и вычитание (слева направо).
Можно ли как-нибудь запомнить порядок операций?
Да. Вы можете использовать фразу «Пожалуйста, извините, моя дорогая тетя Салли», чтобы вспомнить PEMDAS.