Примеры с решением логарифмы: Логарифмы примеры решения задач, формулы и теоретический материал

alexxlab / / Разное

Свойства логарифмов

Пусть .

  1. Основное логарифмическое тождество:

.

  1. Логарифм произведения, частного и степени:

;

четное целое.

  1. Формула перехода к новому основанию. Пусть Тогда

, в частности, , при.

Кроме того, .

  1. Пусть , тогда

, ;

, целое четное.

  1. .

  2. Для любого положительного числа существует, и притом только одно, такое действительное число, что.

  3. Из равенства следует, что(и наоборот).

Пример 7.

1. Вычислить: a) ; б); в); г); д); е).

Решение. а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е)

.

Ответ: а) ; б); в); г) 0; д); е).

Пример 7.2. Вычислить: a) ;

б) ; в); г);

д) ; е) .

Решение. а)

б)

;

в) ;

г)

;

д)

;

е)

.

Ответ: а) 3; б) 1; в) 8; г) 1; д) ; е) .

Пример 7.3. Вычислить .

Решение.

.

Ответ: 1.

Пример 7.4. Найти ,.

Решение. .

Ответ: 8.

Пример 7.5.

Вычислить .

Решение.

.

Ответ: 1.

Пример 7.6. Вычислить .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 7.7. Вычислить .

Решение.

Ответ: 4.

Пример 7.8. Вычислить .

Решение.

.

Ответ: 7.

Пример 7.9. Вычислить .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 7.10. Вычислить .

Решение. .

Ответ: 48.

Пример 7.11. Найти значение выражения , если .

Решение.

Ответ: .

7.2. Логарифмические уравнения

Выделим некоторые методы решения логарифмических уравнений.

1. Логарифмические уравнения, решаемые по определению логарифма.

.

2. Уравнения вида

.

3. Уравнения первой степени относительно логарифма, решаемые потенцированием. Уравнения вида равносильны каждой из следующих систем:

или,

выбирают ту систему, которая проще для решения.

4. Уравнения вида

равносильно системе

или .

5. Применение свойств логарифмов: произведения, частного и степени.

6. Переход к одному основанию в уравнениях, содержащих логарифмы с различными основаниями. Отметим, что предпочтительнее переходить к основанию, не содержащему переменной, чтобы не потерять корни уравнения.

7. Замена переменной.

8. Функциональный метод.

Замечание 7.2. Формальное использование перечисленных выше методов может привести к изменению ОДЗ уравнения. При нетождественных преобразованиях уравнения необходимо сделать проверку.

Пример 7.12. Решить уравнение

.

Решение.

Ответ: 2; 9.

Пример 7.13. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 7.13. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: 2.

Пример 7.14. Решить уравнение

Решение. Преобразуем логарифмы, стоящие в левой части уравнения:

.

.

Исходное уравнение будет равносильно системе

.

Введем замену , тогда

Ответ: 2; .

Пример 7.15. Решить уравнение .

Решение. Учитывая, что , прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

.

Ответ: 0,1; .

Пример 7.16. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 7.17. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

Пример 7.18. Решить уравнение

Решение.

Ответ: 48.

Пример 7.18. Решить уравнение

Решение.

.

Ответ: 2.

7.3. Логарифмические неравенства

Решение логарифмических неравенств основано на свойствах монотонности логарифмической функции.

Перечислим некоторые методы решения логарифмических неравенств.

1. При неравенства вида

.

При

.

2. Замена переменной.

Пример 7. 19. Решить неравенство .

Решение. Так как основание логарифмов , то исходное неравенство равносильно системе:

Ответ:

Пример 7.20. Решить неравенство .

Решение. Заметим, что

,

тогда

.

Ответ: .

Пример 7.21. Решить неравенство .

Решение. Так как , то

.

Ответ: .

Пример 7.22. Решить неравенство .

Решение. Область определения данного неравенства: .

.

Сделаем замену: , тогда

.

Ответ: .

Пример 7. 23. Решить неравенство .

Решение. Рассмотрим два случая.

1. Если , то

,

нет решений.

2. Если , то

.

Ответ: .

Логарифмы и их свойства примеры с решением – Telegraph

Логарифмы и их свойства примеры с решением

Скачать файл — Логарифмы и их свойства примеры с решением

Включите JavaScript для лучшей работы сайта. Еда Hi-Tech Дом Здоровье Компьютеры Хобби Все разделы Отзывы Ответы Все рубрики Все эксперты Все статьи Реклама Стать экспертом! Логарифм числа b определяет показатель степени для возведения исходного положительного числа a, являющегося основанием логарифма, и получения в результате заданного числа b. Решение логарифма заключается в определении данной степени по заданным числам. Существует несколько базовых правил для определения логарифма или преобразования записи логарифмического выражения. Применяя данные правила и определения можно вычислить логарифмические уравнения, находить производные, решать интегралы и другие выражения. Решение логарифма часто выглядит, как упрощенная логарифмическая запись. Запишите заданное логарифмическое выражение. Если в выражении используется логарифм по основанию 10, то его запись укорачивается и выглядит так: Если же логарифм имеет в виде основания натуральное число е, то записывают выражение: Подразумевается, что результатом любого логарифма является степень, в которую надо возвести число основания, чтобы получилось число b. Решение логарифма заключается в вычислении данной степени. Перед решением логарифмическое выражение, как правило, требуется упростить. Преобразуйте его, используя известные тождества, правила и свойства логарифма. Сложение и вычитание логарифмов чисел b и с по одинаковым основаниям заменяется одним логарифмом с произведением или делением чисел b и с соответственно. Применяйте по необходимости самое распространенное преобразование — формулу перехода логарифма к другому основанию. Используя выражения для упрощения логарифма, учитывайте существующие ограничения. Так основание логарифма а может быть только положительным числом, не равным единице. Число b также должно быть больше нуля. Однако не всегда, упростив выражение, можно вычислить логарифм в его числовом виде. Иногда это не имеет смысла, так как многие степени представляют собой иррациональные числа. В таком случае оставьте степень числа записанной в виде логарифма. Как решать двойные интегралы Из курса математического анализа известно понятие двойного интеграла. С помощью двойных интегралов можно рассчитать массу тонкой пластины с заданной плотностью, площадь плоской фигуры, площадь куска поверхности, координаты центра тяжести однородной пластины и другие величины. Решение двойных интегралов можно свести к вычислению определённых интегралов. Если необходимо вычислить двойной интеграл на более сложных областях D, то область D разбивается на части, каждая из которых представляет собой область, представленную в пункте 1 или 2. Рассчитывается интеграл на каждой из этих областей, полученные результаты суммируются. Как решать производные Производная — это одно из важнейших понятий не только в математике, но и во многих других областях знаний. Она характеризует скорость изменения функции в заданный момент времени. С точки зрения геометрии, производная в некоторой точке — это тангенс угла наклона касательной к этой точке. Процесс ее нахождения называется дифференцированием, а обратный — интегрированием. Зная несколько несложных правил, можно вычислять производные любых функций, что в свою очередь существенно облегчает жизнь и химикам, и физикам, и даже микробиологам. Первое, что необходимо для дифференцирования функций — это знать основную таблицу производных. Ее можно найти в любом математическом справочнике. Для того чтобы решать задачи, связанные с нахождением производных, нужно изучить основные правила. Итак, допустим, у нас есть две дифференцируемы функции u и v, и некоторая постоянна величина с. Производная от константы всегда равняется нулю: Используя полученные выше знания, можно продифференцировать практически любую функцию. Итак, рассмотрим несколько примеров: Как решать иррациональные уравнения Итак, чем же отличается иррациональное уравнение от рационального? Если неизвестная переменная находиться под знаком квадратного корня, то уравнение считается иррациональным. Основной метод решения таких уравнений — метод возведения обоих частей уравнения в квадрат. Технически этот метод не сложен, но иногда это может привести к неприятностям. Но число 1 не будет являться корнем данного уравнения. Подставьте единицу в уравнение вместо значения х. И в правой и в левой части будут содержаться выражения, не имеющие смысла, то есть отрицательные. Такое значение не допустимо для квадратного корня. Поэтому 1 — посторонний корень, и следовательно данное иррациональное уравнение не имеет корней. Итак, иррациональное уравнение решается с помощью метода возведения в квадрат обоих его частей. И решив уравнение, необходимо обязательно сделать проверку, чтобы отсечь посторонние корни. Для этого подставьте найденные корни в оригинальное уравнение. Рассмотрите еще один пример. Перенести составные уравнения , не имеющие квадратного корня, в правую часть и далее использовать метод возведения в квадрат. Но существует и другой способ, более изящный. То есть обычное квадратное уравнение. Не забудьте, о необходимости проверки корней. Как решать тождества Решать тождества достаточно просто. Для этого требуется совершать тождественные преобразования, пока поставленная цель не будет достигнута. Таким образом, при помощи простейших арифметических действий поставленная задача будет решена. Простейший пример таких преобразований — алгебраические формулы сокращенного умножения такие как квадрат суммы разности , разность квадратов, сумма разность кубов, куб суммы разности. Кроме того существует множество логарифмических и тригонометрических формул, которые по своей сути являются теми же тождествами. В высшей математической школе, если разобраться, тождественные преобразования — первейшее из первейшего. Но там они считаются чем-то само собой разумеющимся. Цель их не всегда упрощение выражения, а иной раз и усложнение, с целью, как уже говорилось, достижения поставленной цели. Как решать определенные интегралы Решение определенного интеграла всегда сводится к приведению его изначального выражения к табличному виду, по которому уже можно легко его вычислить. Основной проблемой же является поиск способов данного приведения. Общие принципы решения Повторите по учебнику по математическому анализу или высшей математике, что собой представляет определённый интеграл. Как известно, решение определенного интеграла есть функция, производная которой даст подынтегральное выражение. Данная функция называется первообразной. По данному принципу и строится таблица основных интегралов. Определите по виду подынтегральной функции, какой из табличных интегралов подходит в данном случае. Не всегда удается это определить сразу же. Зачастую, табличный вид становится заметен только после нескольких преобразований по упрощению подынтегральной функции. Метод замены переменных Если подынтегральной функцией является тригонометрическая функция, в аргументе которой некоторый многочлен, то попробуйте использовать метод замены переменных. Для того чтобы это сделать, замените многочлен, стоящий в аргументе подынтегральной функции, на некоторую новую переменную. По соотношению между новой и старой переменной определите новые пределы интегрирования. Дифференцированием данного выражения найдите новый дифференциал в интеграле. Таким образом, вы получите новый вид прежнего интеграла, близкий или даже соответствующий какому-либо табличному. Решение интегралов второго рода Если интеграл является интегралом второго рода, что означает векторный вид подынтегральной функции, то вам будет необходимо пользоваться правилами перехода от данных интегралов к скалярным. Одним из таких правил является соотношение Остроградского-Гаусса. Данный закон позволяет перейти от потока ротора некоторой векторной функции к тройному интегралу по дивергенции данного векторного поля. Подстановка пределов интегрирования После нахождения первообразной необходимо подставить пределы интегрирования. Сначала подставьте значение верхнего предела в выражение для первообразной. Вы получите некоторое число. Далее вычтите из полученного числа другое число, полученное подстановкой нижнего предела в первообразную. Если один из пределов интегрирования является бесконечностью, то при подстановке ее в первообразную функцию необходимо перейти к пределу и найти, к чему стремится выражение. Если интеграл является двумерным или трехмерным, то вам придется изображать геометрически пределы интегрирования, чтобы понимать, как рассчитывать интеграл. Ведь в случае, скажем, трехмерного интеграла пределами интегрирования могут быть целые плоскости, ограничивающие интегрируемый объем. Не получили ответ на свой вопрос? Добавить комментарий к статье. Honor 6X Premium новая премиальная версия.

Вычисление логарифмов, примеры, решения.

Расписание поездов саратов адлер на декабрь 2015

Призрак опера 1 сезон

Совет 1: Как решать логарифмы

Расписание чартерныхиз хабаровска

Декор штукатуркасвоими руками видео

Специалисты для санаторно курортной карты

Боль в суставах рук лечение

Формулы логарифмов.

Логарифмы примеры решения.

Мукачево одесса расписание поездов

Образец соглашения об изменении суммы

Какого числабудут результаты цт 2017

Примеры решения задач с логарифмами

Стеб над металл группами

Как похудеть ляшки за три дня

Буженина в домашних условиях из свинины видео

Экспоненциальные и логарифмические функции